1.अवकल समीकरण में युगपत अवकल समीकरण (Simultaneous Differential Equations in DE),युगपत अवकल समीकरण (Simultaneous Differential Equations):

Simultaneous Differential Equations in DE

अवकल समीकरण में युगपत अवकल समीकरण (Simultaneous Differential Equations in DE) पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.अवकल समीकरण में युगपत अवकल समीकरण के उदाहरण (Simultaneous Differential Equations in DE Examples):

निम्नलिखित युगपत अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:20. t \frac{d^2 x}{d t^2}+2 \frac{d x}{d t}+t x=0 ; \frac{d y}{d t}+\frac{2}{t^2} y=\frac{d x}{d t}
Solution: \frac{d^2 x}{d t^2}+2 \frac{d x}{d t}+t x=0 ; \frac{d y}{d t}+\frac{2}{t} y=\frac{d x}{d t} \\ t \frac{d^2 x}{d t^2}+2 \frac{d x}{d t}+t x=0 \cdots(1)
Put tx=V ……(2)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

x+t \frac{d x}{d t}=\frac{d v}{d t}
पुनः t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d t}+\frac{d x}{d t}+t \frac{d^2 x}{d t^2}=\frac{d^2 v}{d t^2} \\ \Rightarrow t \frac{d^2 x}{d t^2}+\frac{2 d x}{d t}=\frac{d^2 v}{d t^2} \cdots(3)
समीकरण (2) और (3) से समीकरण (1) में मान रखने पर:

\frac{d^2 V}{d t^2}+V=0 \\ \Rightarrow\left(D^2+1\right) V=0
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^2+1=0 \\ \Rightarrow m= \pm i
अतः इसका हल होगा:

V=c_1 \cos t+c_2 \sin t \\ \Rightarrow t x =c_1 \cos t+c_2 \sin t \\ x=\frac{c_1}{t} \cos t+\frac{c_2}{t} \sin t \cdots(4)
समीकरण (4) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d t}=-\frac{c_1}{t^2} \cos t-\frac{c_1 }{t} \sin t-\frac{c_2}{t^2} \sin t+\frac{c_2}{t} \cos t \\ \frac{d y}{d t}+\frac{2}{t} y=\frac{d x}{d t} \cdots(6)
समीकरण (6) में समीकरण (5) से \frac{d x}{d t} का मान रखने पर:

\frac{d y}{d t}+\frac{2}{t} y= -\frac{c_1}{t^2} \cos t-\frac{c_1}{t} \sin t-\frac{c_2 }{t^2} \sin t +\frac{c_2}{t} \cos t \\ \Rightarrow t^2 \frac{d y}{d t}+2 t y=-c_1 \cos t-c_1 t \sin t-c_2 \sin t +c_2 t \cos t \cdots(7)
put t^2 y=p \cdots(8)
समीकरण (8) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

t^2 \frac{d y}{d t}+2 t y=\frac{d p}{d t} \cdots(9)
समीकरण (9) से समीकरण (7) में का मान रखने पर:

\frac{d p}{d t}=-c_1 \cos t- c_1 t \sin t-c_2 \sin t+c_2 t \cos t \\ \Rightarrow \int d p=\int(-c_1 \cos t) dt-c_1 \int t \sin t d t -c_2 \int \sin t d t+c_2 \int t \cos t d t \\ \Rightarrow P=-c_1 \sin t-c_1 t \int \sin t dt +c_1 \int\left[\frac{d}{dt}(t) \int \sin t d t\right] d t+c_2 \cos t +c_2 t \int \cos t d t-c_2 \int\left[\frac{d}{d t}(t) \int \cos t d t\right] dt+c_3 \\ =-c_1 \sin t+c_1 t \cos t-c_1 \int \cos t d t +c_2 \cos t+c_2 t \sin t-c_2 \int \sin t d t+c_3 \\ =-c_1 \sin t+c_1 t \cos t-c_1 \sin t+c_2 \cos t +c_2 t \sin t+c_2 \cos t+c_3 \\ \Rightarrow  t^2 y=c_3+2\left(c_2 \cos t-c_1 \sin t\right)+t\left( c_1 \cos t+c_2 \sin t\right)
तथा x t=c_1 \cos t+c_2 \sin t

Simultaneous Differential Equations in DE

Example:21. t^2 \frac{d^2 x}{d t^2}+t \frac{d x}{d t}+2 y=0
Solution: t^2 \frac{d^2 x}{d t^2}+t \frac{d x}{d t}+2 y=0 \cdots(1) \\ t^2 \frac{d^2 y}{d t^2}+t \frac{d y}{d t}-2 x=0 \cdots(2)
ये द्वितीय कोटि के समघात रैखिक समीकरण हैं।
अतः (1) व (2) में z=\log_e t अर्थात् t=e^t रखने पर इन्हें निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

[D(D-1)+D] x+2 y=0 \\ \Rightarrow D^2 x+2 y=0 \cdots(3) \\ \left[D(D-1)+D \right] y-2 x=0 \\ D^2 y-2 x=0 \cdots(4)
समीकरण (3) को D^2 से संक्रिया करने तथा समीकरण (4) को 2 से गुणा करके घटाने पर:

\begin{array}{c}D^4 x+2 D^2 y=0 \cdots(5)\\-4 x+2 D^2 y=0 \cdots(6) \\ + \quad \quad \quad - \quad \quad \quad \quad \quad \quad\\ \hline \end{array} \\ \left(D^4+4\right) x=0
इसका सहायक समीकरण है:
m^4+4=0 \\ m^4+4 m^2+4-4 m^2=0 \\ \left(m^2+2\right)^2-4 m^2=0 \\ \Rightarrow \left(m^2+2-2 m\right)\left(m^2+2+2 m\right)=0 \\ \Rightarrow m^2+2-2 m=0, m^2+2+2 m=0 \\ \Rightarrow m^2-2 m+2=0 से:
m=\frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4 \times 1 \times 2}}{2} \\ \Rightarrow m=\frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} \\ \Rightarrow m=\frac{2 \pm 2 i}{2} \\ \Rightarrow m=1 \pm i \\ m^2+2 m+2=0 से:

\Rightarrow =\frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2-4 \times 1 \times 2}}{2 \times 1} \\ =\frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2} \\ =\frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} \\ =\frac{-2 \pm 2 i}{2} \\ \Rightarrow m =-1 \pm i \\ \Rightarrow m=1 \pm i, -1 \pm i
अतः इसका हल होगा:

x= e^z\left(c_1 \cos z+b_2 \sin z\right)+e^{-z} \left(c_3 \cos z+c_4 \sin z\right) \cdots(1)
z का मान रखने पर:

x= t\left(c_1 \cos (\log t)+c_2 \sin (\log t)\right) +\frac{1}{t}\left(c_3 \cos (\log t)+c_4 \sin (\log t)\right)
समीकरण (1) का z के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d z}= e^z\left(c_1 \cos z+c_2 \sin z\right)+e^z\left(-c_1 \sin z+c_2 \cos z\right)-e^z\left(c_3 \cos z+c_4 \sin z\right)+e^{-z} \left(-c_3 \sin z+c_4 \cos z\right) \\ =e^z(c_1+c_2) \cos z+(c_2-c_1) \sin z) +e^{-z}\left(c_4-c_3) \cos z-\left(c_4+c_3\right) \sin z\right) \\ \frac{d^2 x}{d z^2} =e^z\left(\left(c_1+c_2 \right) \cos z+\left(c_2-c_1\right) \sin z\right) +e^z\left(-\left(c_1+c_2\right) \sin z+\left(c_2-c_1\right) \cos z\right) -e^z \left(\left(c_4-c_3\right) \cos z-\left(c_4+c_3\right) \sin z\right) +e^{-z}\left(-\left(c_4-c_3\right) \sin z-\left(c_4+c_3\right)\cos z\right) \\ =e^z \left(-2 c_1 \sin z+2 c_2 \cos z\right)+e^{-z} \left(2 c_3 \sin z-2 c_4 \cos z\right) \\ \Rightarrow \frac{d^2 x}{d z^2}=2 e^z(-2 c_1 \sin z+c_2 \cos z)+e^{-z} 2\left(c_3 \sin z- c_4 \cos z\right) \\ \frac{d^2 x}{d z^2} का मान समीकरण (3) में रखने पर:

2 e^z\left(-2 c_1 \sin z+c_2 \cos z\right)+2 e^{-z}\left(c_3 \sin z-c_4 \cos z \right) +2 y=0 \\ \Rightarrow y=e^z\left(c_1 \sin z-c_2 \cos z\right)+e^{-z}\left(c_1 \cos z-c_3 \sin z\right)
z का मान रखने पर:

\Rightarrow y=t\left(c_1 \sin (\log t)-c_2 \cos (\log t)\right) +\frac{1}{t}\left(c_{4} \cos (\log t)-c_3 \sin (\log t)\right)
तथा x= t\left(c_1 \cos (\log t)+c_2 \sin (\log t)\right) +\frac{1}{t}\left(c_3 \cos (\log t)+c_4 \sin (\log t)\right)
Example:22. lt\frac{d x}{d t}=m n(y-z) ; m t \frac{d y}{d t}=n l(z-x) ; n t \frac{d z}{d t}=lm(x-y)
Solution:  lt\frac{d x}{d t}=m n(y-z) ; m t \frac{d y}{d t}=n l(z-x) ; n t \frac{d z}{d t}=lm(x-y)
Put lx=X,my=Y,nz=Z , t=e^T
अवकलन करने पर:

l d x=d X, m d y=dY, n d z=dZ, d t=e^T dT \\ \Rightarrow l \frac{d x}{d t}=\frac{1}{e^T} \frac{d x}{d T}, m \frac{d y}{d t}=\frac{1}{e^T} \frac{dY}{d T}, \\ n \frac{d z}{d t}=\frac{1}{e^T} \frac{d z}{d T} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d T}=n Y-m Z \cdots(1) \\ \frac{d Y}{d T}=l Z-n X \cdots(2) \\ \frac{d Z}{d T}=m X-l Y \cdots(3)
(1),(2),(3) को क्रमशः 2X,2Y व 2Z से गुणा करके जोड़ने पर:

2 X \frac{d X}{d T}+2 Y \frac{d Y}{d T}+2 Z \frac{d Z}{d T}=0 \\ \Rightarrow \frac{d}{d T} \left(X^2+Y^2+Z^2\right)=0
समाकलन करने पर:

X^2+Y^2+Z^2=c_1 \cdots(4)
अब (1),(2) व (3) को क्रमशः l,m व n से गुणा करके जोड़ने पर:

\ell \frac{d X}{d T}+m \frac{d Y}{d T}+n \frac{d Z}{d T}=0 \\ \Rightarrow \frac{d}{d T}(l X+m Y+n Z)=0
समाकलन करने पर:

\Rightarrow l X+m Y+n Z=c_2 \cdots(5)
(1),(2) व (3) का T के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d^2 X}{d T^2}=n \frac{d Y}{d T}-m \frac{d Z}{d T} \cdots(6)\\ \frac{d^2 Y}{d T^2}=l \frac{d Z}{d T}-n \frac{d X}{d T} \cdots(7) \\ \frac{d^2 Z}{d T^2}=m \frac{d X}{d T}-l \frac{d Y}{d T} \cdots(8)
अब (6),(7) व (8) को क्रमशः 2 \frac{d X}{d T}, 2 \frac{d Y}{d T}, 2 \frac{d Z}{d T} से गुणा करके जोड़ने पर:

2 \frac{d X}{d T} \cdot \frac{d^2 X}{d T^2}+2 \frac{d Y}{d T} \cdot \frac{d^2 Y}{d T^2}+2 \frac{d Z}{d T} \cdot \frac{d^2 Z}{d T^2}=0
समाकलन करने पर:

\left(\frac{d X}{d T}\right)^2+\left(\frac{d Y}{d t}\right)^2+\left(\frac{d Z}{d T}\right)^2=c_3 \\ \Rightarrow(n Y-m Z)^2+(l Z-n X)^2+(m X-1 Y)^2=c_3 \cdots(9)
(4),(5) व (9) मिलाकर दिए हुए समीकरण का व्यापक हल प्रदान करते हैं जहाँ lx=X,my=Y,nz=Z,t=e^T
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण में युगपत अवकल समीकरण (Simultaneous Differential Equations in DE),युगपत अवकल समीकरण (Simultaneous Differential Equations) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण में युगपत अवकल समीकरण की समस्याएँ (Simultaneous Differential Equations in DE Problems):

Simultaneous Differential Equations in DE

निम्नलिखित युगपत अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.)\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}-y=2 t+1,2 \frac{d x}{d t}+2 \frac{d y}{d t}+y=t
(2.)\frac{d y}{d x}+y=z+e^x, \frac{d z}{d x}+z=y+e^x
उत्तर (Answers): (1.)x=-t-\frac{2}{3} \\ y=\frac{1}{2} t^2+\frac{4}{3} t+c_1
(2.)y=e^x+A+B e^{-2 x}, Z=e^x+A-B e^{-2 x}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण में युगपत अवकल समीकरण (Simultaneous Differential Equations in DE),युगपत अवकल समीकरण (Simultaneous Differential Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकल समीकरण में युगपत अवकल समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Simultaneous Differential Equations in DE),युगपत अवकल समीकरण (Simultaneous Differential Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकल समीकरण में युगपत अवकल समीकरण (Simultaneous Differential Equations
in DE) पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।