1.संख्यात्मक विश्लेषण में सिम्पसन नियम (Simpson Rule in Numerical Analysis),सिम्पसन नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson Rule):

Simpson Rule in Numerical Analysis

संख्यात्मक विश्लेषण में सिम्पसन नियम (Simpson Rule in Numerical Analysis) द्वारा संख्यात्मक समाकलन का निकटतम मान ज्ञात करते हैं।जब यह प्रक्रिया चर वाले फलन के समाकलन में प्रयुक्त की जाती है तो इसे क्षेत्रकलन (Quadrature) कहते हैं।
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2.संख्यात्मक विश्लेषण में सिम्पसन नियम पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Simpson Rule in Numerical Analysis):

Example:1.सात समदूरस्थ कोटियाँ लेकर सिम्पसन के एक-तिहाई सूत्र की सहायता से \int_{-3}^{3} x^{4} d x के लगभग मान की गणना कीजिए।इसकी तुलना सही तथा समलम्ब चतुर्भुज नियम द्वारा प्राप्त मानों से कीजिए।इसकी तुलना पर टिप्पणी कीजिए।
(Calculate by Simpson’s \frac{1}{3} rd rule an approximate value of \int_{-3}^{3} x^{4} d x by taking seven equidistant ordinates.Compare it with exact value and the value obtained by using Trapezoidal rule.Comment it’s comparison.)
Solution:सात समदूरस्थ कोटियों के लिए परास [-3,3] को छ: बराबर भागों में विभाजित करते हैं।यहाँ प्रत्येक की चौड़ाई है।अब प्रत्येक की चौड़ाई h=\frac{3+3}{6}=1 है।अब प्रत्येक बिन्दु पर फलन का अभिकलित मान जो कि निम्न हैं:

सिम्पसन \frac{3}{8} नियम से:

\int_{x_{0}}^{x_{0}+nh} y d x \approx \frac{3 h}{8}[\left ( y_{0}+y_{n} \right )+3\left(y_{1}+y_{2}+y_{4} +y_{5}+\cdots+y_{n-1}\right)+2\left(y_{3}+y_{6}+\ldots+y_{n-3}\right)]\\  \int_{-3}^{3} x^{4} d x=\frac{3}{8} \times 1\left [ (81+81)+3(16+1+1+16)+2(0) \right ] \\=\frac{3}{8}[162+3 \times 34]\\ =\frac{3}{8}[162+102]=\frac{3}{8} \times 264=\frac{792}{8}=99
सटीक मान=\int_{-3}^{3} x^{4} d x \\ =\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{-3}^{3} \\ =\frac{1}{5}\left[3^{5}-(-3)^{5}\right] \\ =\frac{1}{5}[243+243] \\ =97.2
ट्रेपिजोइडल नियम से:

\int_{x_{0}}^{x_{n}} y d x \approx h\left[\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{n}\right) +\left(y_{1}+y_{2} +\cdots+y_{n-1}\right)\right]\\ \int_{-3}^{3} x^{4} d x \approx 1\left[\frac{1}{2}(81+81)+(16+1+0+1+16)\right] \\ =[81+34] \\=115
सिम्पसन \frac{3}{8} नियम तथा सटीक मान लगभग समान है जबकि ट्रेपिजोइडल मान व सटीक मान में बहुत अन्तर है।
Example:2.एक नदी की चौड़ाई 80 मीटर है।एक किनारे से x मीटर की दूरी पर इसकी गहराई d मीटर निम्नलिखित सारणी में दी है:
(A river is 80 meter wide.The depth d meter for the river at a distance x from one bank is given by the following table):

Solution:

प्रश्नानुसार स्प्ष्ट है कि परास [0,80] को 8 समान भागों में विभाजित किया गया है तथा h=10 है।
अब सिम्पसन \frac{1}{3} नियमानुसार:

\int_{x_{0}}^{x_{0}+n h} y d x =\frac{h}{3} \left[\left(y_{0}+y_{n}\right)+4\left(y_{1} +y_{3}+\cdots \right)+ 2\left(y_{2}+y_{4}+\cdots\right)\right]\\ \int_{0}^{80} y d x =\frac{10}{3}[(0+3)+4(4+9+15 +8) +2(7+12+14)] \\ =\frac{10}{3}[3+4 \times 36+2 \times 33] \\ =\frac{10}{3}[3+144+66] =\frac{10}{3} \times 213 \\ =710
Example:3.परास को 8 समान भागों में विभाजित करके (तीन दशमलव स्थानों तक) मान ज्ञात कीजिए:
(Calculate (upto 3 places of decimal) by dividing the range into eight equal parts):
Solution:परास [2,10] को 8 समान भागों में विभाजित करना है।यहाँ प्रत्येक भाग की चौड़ाई h=\frac{10-2}{8}=1 है।अब प्रत्येक विभाजित बिन्दु पर फलन y=\frac{1}{1+x} का अभिकलित मान जो कि निम्न है:

अब सिम्पसन \frac{3}{8} नियमानुसार:

Simpson Rule in Numerical Analysis

Example:4.11 कोटियों का उपयोग कर (a) ट्रेपिजोइडल तथा (b) सिम्पसन नियम द्वारा समाकल का मान ज्ञात कीजिए:
(Using 11 ordinates to evaluate the following integral by (a) Trapezoidal rule (b) Simpson’s rule):

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x
Solution:समाकलन के अन्तराल [0,\frac{\pi}{2}] को 11-1=10 से विभाजित करने पर h=\frac{\frac{\pi}{2}-0}{10}=\frac{\pi}{20}

ट्रेपिजोइडल नियम से:

\int_{x_{0}}^{x_{n}} y d x=\frac{h}{2}\left[\left(y_{0}+y_{n}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n-1}\right) \right] \\ \Rightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x=\frac{\pi}{40} \left[\left(y_{0}+y_{10} \right) +2\left(y_{1} +y_{2}+y_{3}+y_{4}+ y_{5}+y_{6}+y_{7}+y_{8}+y_{9}\right)\right] \\ =\frac{\pi}{40} [(0.00000+1)+2(0.15643+ 0.30902+0.45399+0.78779+0.70711+0.80902+0.89101+0.95106+0.98769)] \\ =\frac{\pi}{40}[1+2 \times 6.05312]\\ =\frac{22}{280} \times 13.10624=\frac{288.33728}{280} \\ \approx 1.029776
सिम्पसन \frac{1}{3} नियम से:

\int_{x_{0}}^{x_{0}+nh} y d x=\frac{h}{3}\left[\left(y_{0}+y_{n}\right) +4\left(y_{1}+y_{3} +\cdots\right) +2\left(y_{2}+y_{4}+\cdots\right)\right]\\ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x=\frac{\pi}{60}[(0+1) +4(0.15643+0.45399+0.70711+0.89101+0.98769)+2(0.30902+0.58779+0.80902+0.95106)]\\ =\frac{22}{7 \times 60}[1+4 \times 3.19623+2 \times 2.65689]\\ =\frac{22}{420}[1+12.78492+5.31378]\\ =\frac{22}{420} \times 19.0987\\ \approx 1.00041
Example:5.निम्न समाकल का मान चार दशमलव स्थान तक ज्ञात कीजिए:
(Find the value of the following integral correct to four decimal places.)
Solution:समाकलन अन्तराल [0,\frac{\pi}{2}] को छ: समान भागों में विभाजित करने पर तथा चौड़ाई h=\frac{\frac{\pi}{2}-0}{6}=\frac{\pi}{12} है।

सिम्पसन \frac{3}{8} नियम से:

\int_{x_{0}}^{x_{0}+n h} y d x=\frac{3 h}{8}\left[\left(y_{0}+y_{n}\right) +3\left(y_{1}+y_{2} +y_{4} +y_{5} +\cdots\right)+2\left ( y_{3}+y_{6}+\cdots \right )\right]\\ \Rightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin x} d x=\frac{3 \times \pi}{12 \times 8}\left[\left(y_{0}+y_{6}\right)+3\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{5}\right)+2 y_{3}\right] \\ =\frac{3 \times 22}{8 \times 7 \times 12} \left[(1+2.7183)+3(1.2954+1.6487+ 2.3774+2.6272 +2 \times 2.0281\right)] \\ =\frac{11}{8 \times 14}[3.7183+3 \times 7.9487+4.0562] \\ =\frac{11}{112} \times [3.7183 +23.8461+4.0562]\\ =\frac{11}{112} \times 31.6206=\frac{347.8266}{112} \\ \approx 3.10559
Example:6.एक वक्र निम्न सारणी में दिए गए बिन्दुओं से गुजरता है।वक्र x-अक्ष तथा रेखा x=1,x=4 द्धारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल सिम्पसन \frac{1}{3} नियम से ज्ञात कीजिए।
(A curve is drawn to pass through the points given by the following table.Calculate the area bounded by the curve, the x-axis and the line x=1,x=4 by Simpson’s \frac{1}{3} rule.)

Solution:समाकलन अन्तराल [1,4] को छ: समान भागों में विभाजित किया गया है तथा h=\frac{4-1}{6}=0.5 है।

सिम्पसन \frac{1}{3} नियम से:

\int_{x_{0}}^{x_{n}} y^{2} d x \approx \frac{h}{3}\left[\left(y_{0}+y_{n}\right)+4\left(y_{1}+y_{3}+y_{n-1} \right) +2\left ( y_{2}+y_{4}+\cdots+y_{n-2}\right )\right] \\ \Rightarrow \int_{1}^{4} y d x \approx \frac{h}{3}\left[\left(y_{0}+y_{6}\right)+4\left(y_{1}+y_{3}+y_{5}\right)+2\left(y_{2}+y_{4}\right)\right] \\ =\frac{0.5}{3}[(2+2.1)+4(2.4+2.8+2.6)+2(2.7+3)] \\ =\frac{0.5}{3}\left[4.1+4 \times 7.8+2 \times 5.7] \\ =\frac{0.5}{3} [4.1+31.2+11.4\right]=\frac{0.5 \times 46.7}{3} \approx 7.783
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा संख्यात्मक विश्लेषण में सिम्पसन नियम (Simpson Rule in Numerical Analysis),सिम्पसन नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson Rule) को समझ सकते हैं।

3.संख्यात्मक विश्लेषण में सिम्पसन नियम के सवाल (Simpson Rule in Numerical Analysis Questions):

Simpson Rule in Numerical Analysis

(1.)निम्न सारणी में दिए गए x और y के मान के लिए सिम्पसन \frac{1}{3} सूत्र द्वारा \int_{1}^{1.2} y dx का मान ज्ञात कीजिए।
(Use Simpson’s \frac{1}{3} rule to evaluate \int_{1}^{1.2} y dx from the values of x and y tabulated as under):

(2.)यदि e^{0}=1, e^{1}=2.72, e^{2}=7.39, e^{3}=20.09, e^{4}=54.60 तो का संख्यात्मक समाकलन द्वारा मान ज्ञात कीजिए और सही मान से उसकी तुलना कीजिए:
(Given e^{0}=1, e^{1}=2.72, e^{2}=7.39, e^{3}=20.09, e^{4}=54.60 evaluate by numerical integration and compare with the exact value.)
उत्तर (Answers):(1.)0.321485
(2.)58.873333 सही मान=53.60 त्रुटि=53.873333-53.60= 0.273333
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर संख्यात्मक विश्लेषण में सिम्पसन नियम (Simpson Rule in Numerical Analysis),सिम्पसन नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson Rule) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.संख्यात्मक विश्लेषण में सिम्पसन नियम (Simpson Rule in Numerical Analysis),सिम्पसन नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson Rule) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

संख्यात्मक विश्लेषण में सिम्पसन नियम (Simpson Rule in Numerical Analysis) द्वारा
संख्यात्मक समाकलन का निकटतम मान ज्ञात करते हैं।