1.सिम्पसन तथा वैडले क्षेत्रकलन सूत्र (Simpson and Weddle Quadrature Formulae),सिम्पसन तथा वैडले सूत्रों से संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson and Weddle):

Simpson and Weddle Quadrature Formulae

सिम्पसन तथा वैडले क्षेत्रकलन सूत्र (Simpson and Weddle Quadrature Formulae) के इस आर्टिकल में सिम्पसन व वैडले के सूत्रों द्वारा संख्यात्मक क्षेत्रकलन पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सिम्पसन तथा वैडले क्षेत्रकलन सूत्र के साधित उदाहरण (Simpson and Weddle Quadrature Formulae Solved Examples):

Example:12.एक वक्र निम्न सारणी में दिए बिन्दुओं से गुजरता है।वक्र x-अक्ष तथा रेखा x=1,x=4 द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (i) सिम्पसन \frac{1}{3} नियम से तथा (ii)वैडले के नियम से ज्ञात कीजिए:
(A curve is drawn to pass through the points given by the following table.Calculate the area bounded by the curve,the x-axis and the lines x=1,x=4 by using (i)simpson’s \frac{1}{3} rule (ii)Weddle’s rule.)

Solution:(i)प्रश्नानुसार स्पष्ट है कि परास [1,4] को छः समान भागों में विभाजित किया गया है तथा h=0.5 है।
अब सिम्पसन \frac{1}{3} नियमानुसार से:
\int_{x_0}^{x_0+nh} y d x=\frac{h}{3} \left[\left(y_0+y_n\right) +4\left(y_1+y_3+\cdots\right) +2\left(y_2+y_1+\ldots \ldots\right) \right]
यहाँ \int_1^4 y d x=\frac{0.5}{3}[(2+2.1)+4(2.4+2.8+2.6) +2(2.7+3)] \\ =\frac{0.5}{3}[4.1+4 \times 7.8+2 \times 5.7] \\ =\frac{0.5}{3}[4.1 \times 31.2+11.4] \\ =\frac{0.5}{3} \times 46.7 \\ =\frac{23.35}{3}=7.78333 \\ \approx 7.78
(ii)अब वैडले नियम से समाकलन का मान
\int_1^4 y d x=\frac{3 h}{10}\left[y_0+y_6+5\left(y_1+y_5\right)+\left(y_2+y_4\right)+6 y_3\right] \\ =\frac{3 \times 0.5}{10}\left[\begin{array}{l}2+2.1+5(2.4+2.6)+(2.7+3)+6 \times 2.8\end{array}\right] \\ =\frac{1.5}{10}[4.1+5 \times 5+5.7+16.8] \\ =0.15[4.1+25+5.7+16.8] \\ =0.15 \times 51.6 \\ =7.74
Example:13.x=0 तथा x=1 के बीच वाले वक्र जो कि दी हुई सारणी के बिन्दुओं से गुजरता है तथा x-अक्ष द्वारा परिबद्ध x-अक्ष के परितः परिक्रमण करती है इस तरह जो घनाकृति बने,उसका आयतन ज्ञात कीजिए।
(A solid of revolution is formed by rotating about the x-axis the arc between the x-axis, the line x=0 and x=1 and a curve through the points with following co-ordinates given in table Estimate the volume of the solid formed.)

Solution:Calculation Table

प्रश्नानुसार स्पष्ट है कि परास [0,1] को चार समान भागों में विभाजित किया गया है तथा h=0.25 है।
अभीष्ट आयतन=\pi \int_0^1 y^2 d x \\ =\pi \times \frac{h}{3}\left[y_0+y_4+4\left(y_1+y_3\right)+2 y_2\right] \\ =\frac{22}{7} \times \frac{0.25}{3}[1+0.70812225+4(0.97930816 +0.82609921)+2 \times 0.91948921] \\=\frac{5.5}{21}[1.70812225+4 \times 1.80540737+1.83897842] \\ =\frac{5.5}{21}[3.54710067+7.22162948] \\=\frac{5.5}{21} \times 10.76873015 \\ =\frac{59.22801583}{21} \\ =2.820381706
Example:14(a).वैडले नियम की व्याख्या कीजिए तथा उसको सिद्ध कीजिए।
(State and prove Weddle’s rule)
Solution:प्राकथन (Statement): \int_{x_0}^{x_0+nh} y dx=\frac{3 h}{10}\left[y_0+5 y_1+y_2+6 y_3+y_4+5 y_5+2 y_6+5 y_7+y_8+\cdots\right]
प्रमाण (Proof):समदूरस्थ कोटियों हेतु सामान्य क्षेत्रकलन सूत्र (A general quadrature formula for equidistant ordinates):
I \approx n\left[n y_0+\frac{n^2}{2} \Delta y_0+\left(\frac{n^3}{3}-\frac{n^2}{2}\right)\right. \frac{\Delta^2 y_0}{2!}+\left(\frac{n^4}{4}-n^3+n^2\right) \frac{\Delta^3 y_0}{3!}+\left.\cdots+(n+1) \text { पदों तक }\right] \cdots(1)
(1) में प्राप्त सामान्य क्षेत्रकलन सूत्र में n=6 प्रतिस्थापित कर सात से अधिक क्रम के अन्तरों की उपेक्षा करने पर:
\int_{x_0}^{x_0+6 h} y d x \approx h\left[6 y_0+18 \Delta y_0+27 \Delta^2 y_0+24 \Delta^3 y_0+\frac{123}{10} \Delta^4 y_0+\frac{33}{10} \Delta^5 y_0+\frac{41}{140} \Delta^6 y_0\right] \cdots(2)
यदि h का मान इस प्रकार हो कि छठे अन्तर छोटे हों और अन्तिम \frac{41 h}{140}\Delta^6 y_0 को \frac{3 h}{10} \Delta^6 y_0 से प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ \frac{h}{140} \Delta^6 y_0 की त्रुटि नगण्य हो तो (2) से:
\int_0^{x_0+6 h} y dx \approx \frac{3 h}{10}\left[y_0+5 y_1+y_2+6 y_3+y_4+5 y_5+y_6\right] \ldots(3)
इसी प्रकार
\int_{x_0+6 h}^{x_0+12 h} y dx \approx \frac{3 h}{10} \left[y_6+5 y_7+y_8+6 y_0+y_{10}+5 y_{11} +y_{12}\right]+\ldots (4) \\ \int_{x_0+(n-6)h}^{x_0+nh} y d x \approx \frac{3h}{10}\left[y_{n-6}+5 y_{n-5} +y_{n-4}+6 y_{n-3}+y_{n-2}+ 5 y_{n-1}+y_n\right] \ldots(5)
यदि n, 6 का गुणित है,अर्थात् n=6m
सभी समाकलनों (3) से (5) का योग करने पर:
\int_{x_0}^{x_0+nh} y d x \approx \frac{3 h}{10}\left[y_0+6 y_1+y_2+6 y_3+y_4+5 y_5+2 y_6+5 y_7+y_8+\ldots\right] \ldots(6)
यदि x_0+h=x_1, x_0+2 h=x_2, \ldots, x_0+n h=x_n लें तो:
समाकलन (6) का अन्य रूप होगा:
\int_{x_0}^{x_n} y dx \approx \frac{3 h}{10}\left[y_0+5 y_1+y_2+6 y_3+y_4+5 y_5+2 y_6+5 y_7+y_8+\cdots\right] \cdots(7)
यह “वैडले-नियम (Weddle’s rule)” के नाम से जाना जाता है।इससे प्राप्त मान सिम्पसन के तुलना में ज्यादा ठीक है।इस नियम के उपयोग के लिए परास को 6 से गुणित संख्या के बराबर भागों में विभाजित करते हैं अर्थात् कम से कम 6 भागों में विभाजित करते हैं।साथ ही y=f(x)=A x^6+B x^5+C x^4+D x^3+E x^2+F x+G
एक छठी घात का बहुपद है।क्योंकि \Delta^7 y_0 , \Delta^8 y_0, \cdots, सभी की उपेक्षा की गई है।
Example:14 (b).सात कोटियों का उपयोग करते हुए वैडले नियम द्वारा \int_0^3 \frac{d x}{1+x^2} का परिकलन कर \log _e 2 का मान निकालिए।
(Compute \log _e 2 using Weddle’s rule with seven ordinates to evaluate.)
\int_0^3 \frac{d x}{1+x^2}
Solution:वैडले नियम के लिए सात कोटियों का उपयोग करने हेतु समान भागों की संख्या 6 का गुणित होना चाहिए।इसलिए समाकल के परास [0,3] के 6 समान भागों में विभाजित करने पर: \frac{3-0}{6}=0.5=h \\ y=f(x)=\frac{1}{1+x}
Calculation Table

\int_0^3 \frac{1}{1+x} d x= \frac{3 h}{10}\left[y_0+y_6+5\left(y_1+y_5\right)+\left(y_2+y_4\right)+6 y_3\right] \\ =\frac{3 \times 0.5}{10}[1+0.25+5(0.66666670+0.2857142) +(0.5+0.3333333)+6 \times 0.4] \\= 0.15[1.25+5 \times 0.9523809+0.8333333 +2.4] \\ =0.15 \times[1.25+4.7619045+0.8333333 +2.4] \\ =0.15 \times 9.2452378 \\ =1.38678567 \\ \int_0^3 \frac{1}{1+x} d x=[\log (1+x)]_0^3=\log 4 \\ \Rightarrow \log 4=1.38678567 \\ \Rightarrow \log 2^2=1.38678567 \\ \Rightarrow 2 \log 2=1.38678567 \\ \Rightarrow \log 2=\frac{1.38678567}{2} \\ \Rightarrow \log 2=0.693392835

Simpson and Weddle Quadrature Formulae

Example:15.यदि f(x) एक तीन घातीय x में बहुपद है तो \int_0^1 f(x) dx का व्यंजक f(0),f(1),f(2) तथा f(3) में ज्ञात कीजिए और इस सूत्र को प्रयोग करके प्रदर्शित कीजिए कि

(If f(x) is a polynomial in x of the third degree,find an expression for \int_0^1 f(x) dx in terms f(0),f(1),f(2) and f(3).Use this result to show that
\int_1^2 f(x) d x=\frac{1}{24}[-f(0)+13 f(1)+13 f(2)-f(3)]
Solution:लग्रांज सूत्र से:
f(x)=\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(-1)(-2)(-3)} f(0)+\frac{(x-0)(x-2)(x-3)}{(1)(-1)(-2)} f(1)+\frac{x(x-1)(x-3)}{(2)(1)(-1)} f(2)+\frac{x(x-1)(x-2)}{(3)(2)(1)} f(3) \\=-\frac{1}{6}\left(x^3-6 x^2+11 x-6\right) f(0)+\frac{1}{2}\left(x^3-5 x^2+6 x\right) f(1)-\frac{1}{2}\left(x^3-4x^2+3 x\right) f(2)+\frac{1}{6}\left(x^3-3x^2+2 x\right) f(3) \\ \int_0^{x} f(x) d x=\left[-\frac{1}{6}\left(\frac{x^4}{4}-\frac{6 x^3}{3}+\frac{11 x^2}{3}-6 x\right) f(0) \right.+\frac{1}{2}\left(\frac{x^4}{4}-\frac{5 x^3}{3}+\frac{6 x^2}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{x^4}{6} \frac{-4 x^3}{3}+\frac{3 x^2}{2}\right) f(2)+\left.\frac{1}{6}\left(\frac{x^4}{4}-\frac{3 x^2}{3}+\frac{2 x^2}{2}\right)f(3)\right]_0^x \\ =-\frac{1}{6}\left(\frac{x^4}{6}-\frac{6 x^3}{3}+\frac{11 x^2}{3}-6 x\right) f(0) +\frac{1}{2}\left(\frac{x^4}{4}- \frac{5x^3}{3}+\frac{6 x^2}{2}\right) f(1)-\frac{1}{2}\left(\frac{x^4}{4}-\frac{4 x^3}{3}+\frac{3 x^2}{2}\right) f(2)+\frac{1}{6}\left(\frac{x^4}{4}-x^3+x^4\right)f(3) \cdots(1)
अब (1) में x=2 रखने पर
\int_0^2 f(x) d x=\frac{1}{3} f(0)+\frac{4}{3} f(1)+\frac{1}{3} f(2) \cdots(2)
(1) में x=1 रखने पर:
\int_0^1 f(x) d x=\frac{3}{8} f(0)+\frac{19}{24} f(1)-\frac{5}{24} f(2)+\frac{1}{24}f(3) \cdots(3)
(3) में से (2) घटाने पर:
\int_1^2 f(x) d x= -\frac{1}{24} f(0)+\frac{13}{24} f(1)+\frac{13}{24} f(2)+\frac{1}{24} f(3) \\ \Rightarrow \int_2^2 f(x) d x=\left[ \frac{1}{24} -f(0)+13 f(1)+13 f(2)-f(3) \right]
Example:16.निम्न सन्निकटन क्षेत्रकलन सूत्र ज्ञात कीजिए:
(Obtain the approximate quadrature formula)
Example:16(a). \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} f(x) d x=\frac{1}{2}\left[f\left(-\frac{1}{2}\right) +f\left(\frac{1}{2}\right)\right]+\frac{1}{24} \left[\Delta f\left(-\frac{3}{2}\right)-\Delta f\left(\frac{1}{2}\right)\right]
Solution:यदि x_0=-\frac{3}{2}, h=1 \\ f(x)=f\left(-\frac{3}{2}+x+\frac{3}{2}\right) \quad \left[f\left(x_0+nh\right) \text{ से }\right] \\ \therefore \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} f(x) d x=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} [f\left(-\frac{3}{2}\right)+\left(x+\frac{3}{2}\right) \Delta f\left(-\frac{3}{2}\right) +\frac{(x+\frac{3}{2}) (x+\frac{1}{2})}{2!} \Delta^2 f\left(-\frac{3}{2}\right)- \frac{(x+\frac{3}{2})(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})}{3!} \Delta^3 f\left(-\frac{3}{2}\right)] d x \\ =\left[ xf\left(-\frac{3}{2}\right)\right. +\left(\frac{x^2}{2}+\frac{3 x}{2}\right) \Delta f\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{1}{2} \left(\frac{x^3}{3}+\frac{2 x^2}{2}+\frac{3 x}{4}\right) \Delta^2 f\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{8}+\frac{3}{2} \cdot \frac{x^3}{3}-\frac{3 x}{8}\right)\left. \Delta^3 f\left(-\frac{3}{2}\right) \right]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \\ =f\left(\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2} \Delta f\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{10}{12}\right) \Delta^2 f\left(-\frac{3}{2}\right) +\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{4}\right) \Delta^3 f\left(-\frac{3}{2}\right) \\ =f\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}\left[f\left(-\frac{1}{2}\right)-f\left(-\frac{3}{2}\right)\right]+\frac{5}{12} \left[f\left(\frac{1}{2}\right)-2 f\left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(-\frac{3}{2}\right)\right]-\frac{1}{24} \left[f\left(\frac{3}{2}\right)-3 f\left(\frac{1}{2}\right)+3 f\left(-\frac{1}{2}\right)-f\left(-\frac{3}{2}\right)\right] \\ =\frac{1}{24}\left[-f\left(-\frac{3}{2}\right)+13 f\left(-\frac{1}{2}\right)+13 f\left(\frac{1}{2}\right)-f\left(\frac{3}{2}\right)\right] \\ =\frac{1}{2}\left[f\left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)\right]+\frac{1}{24}\left[f\left(-\frac{1}{2}\right)-f\left(-\frac{3}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right) \right] \\ =\frac{1}{2}\left[f\left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)\right]+\frac{1}{24} \left[\Delta f\left(-\frac{3}{2}\right)-\Delta f\left(\frac{1}{2}\right)\right]\\ \Rightarrow \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} f(x) d x=\frac{1}{2}\left[f\left(-\frac{1}{2}\right) +f\left(\frac{1}{2}\right)\right]+\frac{1}{24} \left[\Delta f\left(-\frac{3}{2}\right)-\Delta f\left(\frac{1}{2}\right)\right]
Example:16(b). \int_0^2 f(x) d x=\frac{1}{24}\left[f\left(-\frac{1}{2}\right)+23 f\left(\frac{1}{2}\right) +23 f\left(\frac{3}{2}\right)+f\left(\frac{5}{2}\right)\right]
यदि तृतीय कोटि के अन्तर अचर हो (If third order differences are constant)
Solution:यदि x_0=\frac{1}{2} तथा h=1 हो तो
f(x)=f\left(-\frac{1}{2}+x+\frac{1}{2}\right) \left[f\left(x_0+n h\right) \text { से }\right] \\ =E^{x+\left(\frac{1}{2}\right)} f\left(-\frac{1}{2}\right) \\=(1+\Delta)^{x+\frac{1}{2}} f\left(-\frac{1}{2}\right) \\ =f\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(x+\frac{1}{2}\right) \Delta f\left(\frac{-1}{2}\right) +\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)}{2} \Delta^2 f\left(-\frac{1}{2}\right) +\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)}{2} \Delta^3 f\left(-\frac{1}{2} \right) \\ \therefore \int_0^2 f(x) d x=\int_0^2\left[f\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(x+\frac{1}{2}\right) \Delta f\left(-\frac{1}{4}\right)\right.+\left(\frac{x^2-\frac{1}{4}}{2}\right) \Delta^2 f\left(-\frac{1}{2}\right)+\left. \frac{1}{6}\left(x^3-\frac{x}{4}-\frac{3 x^2}{2}+\frac{3}{8}\right) \Delta^3 f\left(-\frac{1}{2}\right)\right] d x \\ =\left[x f\left(-\frac{1}{2}\right)\left(x^2+\frac{1}{2} x\right) \Delta f\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x}{4}\right)\Delta^2 f\left(-\frac{1}{2}\right)\right.+\left. \frac{1}{6}\left(\frac{x^4}{2}-\frac{x^2}{8}-\frac{3 x^3}{8}+\frac{3 x}{8}\right) \Delta^3 f\left(-\frac{1}{2}\right)\right]_0^2 \\ =2 f\left(-\frac{1}{2}\right)+3 \Delta f\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{13}{6}\right) \Delta^2 f\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4}\right) \Delta^3 f\left(-\frac{1}{2}\right) \\ =2 f\left(-\frac{1}{2}\right) +3\left[f\left(\frac{1}{2}\right)-f\left(-\frac{1}{2}\right)\right]+\frac{13}{2}\left[f\left(\frac{1}{2}\right)-2 f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(-\frac{1}{2}\right)\right]+\frac{1}{2}\left[f\left(\frac{5}{2}\right)-3 f\left(\frac{3}{2}\right)-3 f\left(\frac{1}{2}\right)-f\left(-\frac{1}{2}\right)\right] \\ =\frac{1}{24} f\left(-\frac{1}{2}\right)+23 f\left(\frac{1}{2}\right)+23 f\left(\frac{3}{2}\right)+f\left(\frac{5}{2}\right) \\ \int_0^2 f(x) d x=\frac{1}{24} f\left(-\frac{1}{2}\right)+23 f\left(\frac{1}{2}\right)+23f\left(\frac{3}{2}\right)+f\left(\frac{5}{2}\right)
Example:16(c). \int_{-1}^1 f(x) d x=\frac{2}{3}\left[f(0) +f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right]
यदि तृतीय कोटि के अन्तर अचर हो (If third order differences are constant.)
Solution:तीसरा अन्तर अचर है,अतः हम तीन घात के बहुपद पर विचार करते हैं:
\Rightarrow f(x)=a+b x+c x^2+c x^3 \cdots(1) \\ \text { L.H.S. } =\int_{-1}^1 f(x) d x=\int_{-1}^1 \left(a+b x+cx^2+d x^3\right) dx \\ =\left[a x+\frac{b x^2}{2}+\frac{c x^3}{2}+\frac{d x^4}{4}\right]_{-1}^1 \\ =2\left(a+\frac{c}{3}\right)
तथा R.H.S.=\frac{2}{3}\left[a+\left(a+\frac{b}{\sqrt{2}}+\frac{c}{2}+\frac{d}{2 \sqrt{2}}\right) +\left(a-\frac{b}{\sqrt{2}}+\frac{c}{2}-\frac{d}{2 \sqrt{2}}\right)\right] [(1) से]
=\frac{2}{3}(3 a+c)=2\left(a+\frac{c}{3}\right)=L.H.S.
Example:17.यदि f(x) द्विघातीय बहुपद है तो सिद्ध कीजिए कि:
(If f(x) is a polynomial of degree 2,prove that)
\int_0^1 f(x) d x=\frac{1}{12}[5 f(0)+8 f(1)-f(2)]
Solution:यदि f(x), x में दो घात का बहुपद है तो तीसरे तथा उच्चतर अन्तर शून्य होंगे,यहाँ h=1
f(x)=f\left(\frac{x}{1} \cdot h\right)=E^x \cdot f(0) \\ =(1+\Delta)^x \cdot f(0) \\ =f(0)+x \Delta f(0)+ \frac{x(x-1)}{2} \Delta^2 f(0) \\ \therefore \int_0^1 f(x) d x=\int_0^1 \left[f(0)+x \Delta f(0)+\frac{x^2-x}{2} \Delta^2 f(0)\right] d x \\ =\left[x f(0)+\frac{x^2}{2} \Delta f(0)+\frac{\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}}{2} \Delta^2 f(0)\right]_0^1 \\=f(0)+\frac{1}{2} \Delta f(0)-\frac{1}{12} \Delta^2 f(0) \\ =f(0)+\frac{1}{2}(f(1)-f(0))-\frac{1}{12}\left[ f(2)-2 f(1)+f(0)\right] \\ =f(0)+\frac{1}{2} f(1)-\frac{1}{2} f(0)-\frac{1}{12} f(2) +\frac{1}{6} f(1)-\frac{1}{2}f(0) \\ \therefore \int_0^1 f(x) d x=\frac{1}{12}\left[ 5 f(0)+8 f(1)-f(2) \right]
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सिम्पसन तथा वैडले क्षेत्रकलन सूत्र (Simpson and Weddle Quadrature Formulae),सिम्पसन तथा वैडले सूत्रों से संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson and Weddle) को समझ सकते हैं।

Simpson and Weddle Quadrature Formulae

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3.सिम्पसन तथा वैडले क्षेत्रकलन सूत्र (Frequently Asked Questions Related to Simpson and Weddle Quadrature Formulae),सिम्पसन तथा वैडले सूत्रों से संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson and Weddle) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सिम्पसन तथा वैडले क्षेत्रकलन सूत्र (Simpson and Weddle Quadrature Formulae) के
इस आर्टिकल में सिम्पसन व वैडले के सूत्रों द्वारा संख्यात्मक क्षेत्रकलन पर आधारित सवालों को
हल करके समझने का प्रयास करेंगे।