1.अंकगणित में सरलीकरण (Simplification in Arithmetic),सरलीकरण (Simplification):

Simplification in Arithmetic

अंकगणित में सरलीकरण (Simplification in Arithmetic) के इस आर्टिकल में सरलीकरण पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.अंकगणित में सरलीकरण के उदाहरण (Simplification in Arithmetic Illustrations):

Illustration:1.7,77,77,77,777÷77 बराबर है
(a)1111 (b)101001 (c)10101 (d)101010101
Solution: \frac{7,77,77,77,777}{77}=101010101
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:2. \frac{3.25 \times 3.20-3.20 \times 3.05}{0.064} बराबर है
(a) 1 (b) \frac{1}{2} (c) \frac{1}{10} (d) 10
Solution: \frac{3.25 \times 3.20-3.20 \times 3.05}{0.064} \\ =\frac{10.40-9.76}{0.064}= \\ =\frac{0.64}{0.064}=10
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:3. \frac{2}{3} \div \left(9 \frac{3}{8} \times 5 \frac{3}{5}\right) बराबर है
(a) \frac{1}{3} (b) \frac{2}{9} (c)\frac{35 \times 35}{2} (d)इनमें से कोई नहीं
Solution: 11 \frac{2}{3} \div\left(9 \frac{3}{8} \times 5 \frac{3}{5}\right) \\ =\frac{35}{3} \div\left(\frac{75}{8} \times \frac{28}{5}\right) \\ =\frac{35}{3} \div\left(\frac{15 \times 7}{2}\right)=\frac{35}{3} \times \frac{2}{105}=\frac{2}{9}
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:4 0.12×12×0.012
Solution: 0.12×12×0.012=0.01728
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:5. \frac{91 \times 45-60 \times 21}{55} का मान है
(a) 26.3 (b)21.5 (c)22.68 (d) 51.54
Solution: \frac{91 \times 45-60 \times 21}{55} \\ =\frac{4095-1260}{55} \\=\frac{2835}{55} \approx 51.54
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:6. 5 \frac{2}{3}-3 \frac{2}{5}+7 \frac{1}{4}= ?
(a) 9 \frac{31}{60} (b) 9 \frac{2}{5} (c)9\frac{11}{13} (d) 8 \frac{3}{5}
Solution: 5 \frac{2}{3}-3 \frac{2}{5}+7 \frac{1}{4} \\ =5-3+7+\frac{2}{3}-\frac{2}{5}+\frac{1}{4} \\ =9+\frac{40-24+15}{60}=9+\frac{31}{60}=9 \frac{31}{60}
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:7.106×106-94×94=?
(a) 2400 (b) 2000 (c) 1904 (d) 1906
Solution:106×106-94×94
=11236-8836=2400
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:8. \frac{3+4 \div 2 \times 3}{4+3 \times 2 \div 3} का मान कितना है?
(a) \frac{7}{36} (b) \frac{9}{4} (c) \frac{3}{2} (d) \frac{11}{18}
Solution: \frac{3+4 \div 2 \times 3}{4+3 \times 2 \div 3}=\frac{3+2 \times 3}{4+3 \times \frac{2}{3}}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:9. \left(\frac{21}{25} \div \frac{9}{20}\right) \times\left(\frac{5}{12} \div \frac{10}{17}\right)
(a) 7 \frac{77}{125} (b) 11 \frac{9}{10} (c) \frac{119}{450} (d) 1 \frac{29}{90}
Solution: \left(\frac{21}{25} \div \frac{9}{20}\right) \times\left(\frac{5}{12} \div \frac{10}{17}\right)\\ =\left(\frac{21}{25} \times \frac{20}{9}\right) \times\left(\frac{5}{12} \times \frac{17}{10}\right) \\=\frac{28}{15} \times \frac{17}{24}=\frac{119}{90}=1 \frac{29}{90}
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:10. \frac{20+8 \times 0.5}{20-?}=12 में प्रश्नवाचक चिन्ह (?) के स्थान पर लिखा जाएगा
(a) 8 (b) 18 (c) 2 (d)इनमें से कोई नहीं
Solution: \frac{20+8 \times 0.5}{20-?}=12
माना  ?=x
=\frac{20+8 \times 0.5}{20-x}=12 \\ \Rightarrow 20+4=12(20-x) \\ \Rightarrow 24=240-12 x \\ \Rightarrow 12 x=-24+240 \\ \Rightarrow x=\frac{216}{12}=18
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:11.1.07×65+1.07×26+1.07×9 का मान है
(a) 10.73 (b) 10.7 (c) 1070 (d) 107
Solution:1.07×65+1.07×26+1.07×9
=69.55+27.82+9.63=107
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:12.176×0.00125
(a) 0.022 (b) 2.2 (c) 0.0022 (d) 0.22
Solution:176×0.00125=0.22
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:13.80.40÷20-(-4.2) का मान है
(a) 497.8 (b) 5.786 (c) 947 (d) 8.22
Solution:80.40÷20-(-4.2)
=4.02+4.2=8.22
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:14. \frac{48-12 \times 3+9}{12-9 \div 3}=?
(a) \frac{21}{5} (b) 21 (c)3 (d)4 \frac{1}{3}
Solution: \frac{48-12 \times 3+9}{12-9 \div 3}=? \\ =\frac{48-36+9}{12-3}=\frac{21}{9}
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:15.-7m-[3n-{8m-(4n-10m)}] का सरलीकृत रूप होगा
(a) 11 m-7 n (b) 11 n-7 m (c) 13n-11 m (d) 11 m-5 n
Solution:-7m-[3n-{8m-(4n-10m)}]
=-7m-[3n-{8m-4n+10m}]
=-7m-[3n-{18m-4n}]
=-7m-[3n-{8m-(4n-10m)}]
=-7m-[3n-18m+4n]
=-7m-[7n-18m]
=-7m-7n+18m
=11m-7n
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:16. 18-[5-\{6+2(7-\overline{8-5})\}3] का मान है
(a)13 (b)27 (c) 32 (d) 15
Solution: 18-\left[ 5-\left\{ 6+2(7-\overline{8-5}) \right\}3 \right] \\ =18-[5-\{6+2(7-3)\}] \\ =18-\left[ 5-\{6+8\} \right] \\ =18-[5-14]\\=18+9=27
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:17. \frac{0.07 \times 0.07-2 \times 0.07 \times 0.05+0.05 \times 0.01}{0.07 \times 0.07+2 \times 0.07 \times 0.05 +0.05 \times 0.05}
(a) 0.002 (b) 0.02 (c) 0.2 (d) 0.0002
Solution: \frac{0.07 \times 0.07-2 \times 0.07 \times 0.05+0.05 \times 0.05}{0.07 \times 0.07+2 \times 0.07 \times 0.05+0.05 \times 0.05} \\ =\frac{(0.07-0.05)^2}{(0.07+0.05)^2} \\=\frac{(0.02)^2}{(0.12)^2}=\frac{0.0004}{0.0144}=\frac{1}{36} \\ \approx 0.02
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:18.3-[1.6-{3.2-(3.2+2.25÷K)}]=0.65, K का मान है
(a) 0.3 (b) 3 (c) 7 (d) -7
Solution: 3-[1.6-\{3.2-(3.2+2.25 \div k)\}]=0.65 \\ \Rightarrow 3-\left[1.6-\left\{3.2-\left(3.2 +\frac{2.25}{k}\right)\right\}\right]=0.65 \\ \Rightarrow 3-\left[1.6-\left\{3.2-3.2-\frac{2.25}{k} \right\}\right]=0.65 \\ \Rightarrow 3-\left[1.6+\frac{2.25}{k}\right]=0.65 \\ \Rightarrow 3-1.6-\frac{2.25}{k}=0.65 \\ \Rightarrow \frac{2.25}{k}=1.4-0.65 \\ \Rightarrow k=\frac{2.25}{0.75}=3
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:19. \frac{9}{20}-\left[\frac{1}{5}+\left\{\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{6}-\overline{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}\right)\right\}\right]=?
(a) 5 (b) 0 (c) 4 (d) 1
Solution: \frac{9}{20}-\left[\frac{1}{5}+\left\{\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{6}-\overline{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}\right)\right\}\right] \\ =\frac{9}{20}-\left[\frac{1}{5}+\left\{\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{6}-\frac{5}{6}\right)\right\}\right] \\ =\frac{9}{20}-\left[\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\right]=\frac{9}{20}-\frac{9}{20}=0
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:20. 6\frac{2}{3}+15 \frac{1}{4}+3 \frac{3}{4}-7 \frac{2}{5} का मान है
(a) 17 \frac{4}{5} (b) 18 \frac{4}{15} (c) 18 \frac{7}{5} (d) 19 \frac{2}{15}
Solution: 6 \frac{2}{3}+15 \frac{1}{4}+3 \frac{3}{4}-7 \frac{2}{5} \\ =6+15+3-7+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-\frac{2}{5} \\ 17+\frac{40+15+45-24}{60} \\ =17+\frac{76}{60}=17 \frac{19}{15}=18 \frac{4}{15}
अतः विकल्प (b) सही है।

Simplification in Arithmetic

Illustration:21. \frac{1 \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4}}} का मान है?
(a)1 (b) \frac{3}{2} (c)\frac{5}{6} (d) \frac{5}{4}
Solution: \frac{1 \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4}}}=\frac{\frac{3}{2}}{1+\frac{1}{5}}=\frac{\frac{3}{2}}{1+\frac{4}{5}} \\ =\frac{\frac{3}{2}}{\frac{9}{5}}=\frac{3}{2} \times \frac{5}{9}=\frac{5}{6}
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:22. 1 \frac{2}{3} का 3 \frac{3}{4} \div 1 \frac{1}{4}+99 \frac{48}{49} \times 245 सरलीकृत मान है
(a) 4905 (b) 2450 (c) 24520 (d) 4900
Solution: 1 \frac{2}{3} \text{ का } 3 \frac{3}{4} \div 1 \frac{1}{4}+99 \frac{48}{49} \times 245 \\ =\left(\frac{5}{3} \times \frac{15}{4}\right) \div \frac{5}{4}+\frac{4899}{49} \times 245 \\ =\frac{75}{12} \times \frac{4}{5}+24495=5+24495=24500
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:23. 48 \div 12 \times\left[\frac{9}{8}\right. का \frac{4}{3} \div \frac{3}{4} का \left.\frac{2}{3}\right]  मान है
(a) 11 (b) 5 \frac{1}{3} (c) 1 \frac{1}{3} (d) 12
Solution: 48 \div 12 \times\left[\frac{9}{8} \text { का } \frac{4}{3} \div \frac{3}{4} \text { का } \frac{2}{3}\right] \\ =48 \div 12 \times\left[\left(\frac{3}{8} \times \frac{4}{3}\right) \div\left(\frac{3}{4} \times \frac{2}{3}\right)\right] \\ =48 \div 12 \times\left[\frac{3}{2} \div \frac{1}{2}\right] \\ =48 \div(12 \times 3)=\frac{48}{36}=\frac{4}{3}=1 \frac{1}{3}
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:24. \frac{2.3 \times 2.3 \times 2.3-1}{2.3 \times 2.3+2.3+1} का मान है
(a)1.3 (b) 3.3 (c) 0.3 (d) 2.2
Solution: \frac{2.3 \times 2.3 \times 2.3-1}{2.3 \times 2.3 +2.3+1} \\ =\frac{(2.3-1)(2.3 \times 2.3+2.3+1)}{2.3 \times 2.3+2.3+1} \\=1.3
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:25. 9-3 \frac{3}{11} \text { का } 1 \frac{2}{9} \div \frac{7}{9} \text { का } 5 \frac{1}{7} बराबर है
(a)8 (b)9 (c)8 \frac{32}{81} (d) \frac{5}{4}
Solution: 9-3 \frac{3}{11} \text { का } 1 \frac{2}{9} \div \frac{7}{9} \text { का } 5 \frac{1}{7} \\ =9-\left(\frac{36}{11} \times \frac{11}{9}\right) \div \left(\frac{7}{9} \times \frac{36}{7}\right) \\ =9-4 \div 4=9-1=8
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:26. \left(\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\cdots \cdots+\frac{1}{9 \times 10}\right) बराबर है
(a) 0.1 (b)1.1 (c)0.9 (d)0.09
Solution: \left(\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\cdots+\frac{1}{9 \times 10}\right) \\ =\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\right) \\ =1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}=0.9
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:27. \frac{2}{3} \times \frac{3}{\frac{5}{6} \div 1\frac{1}{4} \text{ का } \frac{2}{3}} का मान है
(a) 2 (b) 1 (c) \frac{1}{2} (d) \frac{2}{3}
Solution: \frac{2}{3} \times \frac{3}{\frac{5}{6} \div 1 \frac{1}{4} \text { का } \frac{2}{3}} \\ =\frac{2}{3} \times \frac{3}{\frac{5}{6} \div\left(\frac{5}{4} \times \frac{2}{3}\right)} \\ =\frac{2}{3} \times \frac{3}{\frac{5}{6} \div \frac{5}{6}} \\ =\frac{2}{3} \times 3=2
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:28. \left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right) \cdots \cdots \left(1-\frac{1}{99}\right) \left(1-\frac{1}{100}\right) का मान है
(a) \frac{2}{99} (b) \frac{1}{25} (c) \frac{1}{50} (d) \frac{1}{100}
Solution: \left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right) \cdots \cdots\left(1-\frac{1}{99}\right)\left(1-\frac{1}{100}\right) \\ =\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \cdots \times \frac{98}{99} \times \frac{99}{100}=\frac{2}{100}=\frac{1}{50}
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:29.कुछ समीकरण विशेष विधि के आधार पर हल किए गए हैं।उसी आधार पर हल न किए गए समीकरण का सही उत्तर दिए गए विकल्पों में से चुनिए।
6×4×3=436;8×4×?=468;6×9×8=986
(a)3 (b) 4 (c)5 (d)6
Solution: 5
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:30. \left[(0.111)^3+(0.222)^3-(0.333)^3+(0.333)^2 (0.222)\right]^2 का सरलीकृत मान है
(a) 0.999 (b) 0 (c) 0.888 (d) 111
Solution: \left[(0.111)^3+(0.222)^3-(0.333)^3+(0.333)^2 (0.222)\right]^2
माना 0.111=a,0.222=b,0.333=c
\left[a^3+b^3-c^3+3 a b c\right]^2=\left[(a +b-c) \left(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ac\right)\right]^2\\ a+b-c=0.111+0.222-0.333=0
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:31. \frac{ 1.81 \times 1.81 \times 1.81+1.19 \times 1.19 \times 1.19}{ 1.81 \times 1.81-1.81 \times 1.19+1.19 \times 1.19}
(a) 2.15 (b)2 (c)3.75 (d)3
Solution: \frac{ 1.81 \times 1.81 \times 1.81+1.19 \times 1.19 \times 1.19}{ 1.81 \times 1.81-1.81 \times 1.19+1.19 \times 1.19} \\ =\frac{(1.81)^3+(1.19)^3}{(1.81)^2-1.81 \times 1.19+(1.19)^2} \\ =\frac{(1.81+1.19)\left[(1.81)^2-1.81 \times 1.19 \times(1.19)^2\right]}{(1.81)^2-1.81 \times 1.19+(1.19)^2} \\ =3
अतः विकल्प (d) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अंकगणित में सरलीकरण (Simplification in Arithmetic),सरलीकरण (Simplification) को समझ सकते हैं।

3.अंकगणित में सरलीकरण की समस्याएँ (Simplification in Arithmetic Problems):

Simplification in Arithmetic

(1.) \frac{17.28 \div ? }{3.6 \times 0.2}=200 हो,तो प्रश्नचिन्ह का मान है
(a) 0.12 (b) 120 (c)1.20 (d) 12
(2.)यदि 1 \frac{2}{3} \div \frac{2}{7} \times \frac{x}{7}=1 \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} \div \frac{1}{6} ,तो x का मान है
(a)0.006 (b) \frac{1}{6} (c)0.6 (d) 6
उत्तर (Answers):(1.) (a) (2.)(d)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अंकगणित में सरलीकरण (Simplification in Arithmetic),सरलीकरण (Simplification) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अंकगणित में सरलीकरण (Frequently Asked Questions Related to Simplification in Arithmetic),सरलीकरण (Simplification) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अंकगणित में सरलीकरण (Simplification in Arithmetic) के इस आर्टिकल में
सरलीकरण पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।