Simple Index Numbers
1.साधारण सूचकांक (Simple Index Numbers),अभारित सूचकांक (Unweighted Index Numbers):
साधारण सूचकांक (Simple Index Numbers),अभारित सूचकांक (Unweighted Index Numbers) अथवा अभारित सूचकांक (Unweighted Index Numbers) उन्हें कहते हैं जब समस्त वस्तुओं को समान महत्त्व दिया जाए।इनके निर्माण की विभिन्न रीतियाँ निम्नलिखित हैंः
साधारण सूचकांक (Simple Index Numbers):
(1.)एक वस्तु के (of One Commodity)
(2.)एक से अधिक वस्तुओं के (of more than one commodity)
(i)सरल समूही रीति (Simple Aggregative Method)
(ii)मूल्यानुपात सरल माध्य रीति (Simple Average of Price Relatives Method)
(क) एक वस्तु के मूल्य सूचकांकों की रचना (Construction of Price Index Numbers of One Commodity):
इनकी गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती हैः
P_{01}=\frac{P_1 }{P_0}\times 100
यहाँ P_{1}=Price of current year (चालू या प्रचलित वर्ष का मूल्य)
P_{0}=Price of Base Year (आधार वर्ष के मूल्य)
P_{01}=Price of current year based on base year (आधार वर्ष पर आधारित चालू वर्ष सूचकांक)
बहुवर्षीय माध्य आधार (Average Period Base):
इसके अन्तर्गत उपर्युक्त सूत्र में से आशय कुछ वर्षों के औसत मूल्य होता है जो आधार मानना है।शेष गणना यथावत् रहती है।
(ख) श्रृंखला आधार रीति (Chain Base Method):
श्रृंखला मूल्यानुपात (Link Relatives)=\frac{\text{चालू वर्तमान का मूल्य (Current Year's Price)}}{\text{पिछले वर्ष का मूल्य (Previous Year's Price)}}
स्थिर आधार से श्रृंखला सूचकांक ज्ञात करनाः
Chain Index No.=\frac{\text{Current year's Link Relatives ×Previous year's chain Index No.} }{100}
एक से अधिक वस्तुओं के सूचकांक (Index Nos. for more than one commodity):
(i) सरल समूही रीति (Simple Aggregative Method)
P_{01}=\frac{\Sigma P_1}{\Sigma P_0} \times 100
\Sigma P_{1}=प्रचलित वर्ष के मूल्यों का योग
\Sigma P_{0}=आधार वर्ष के मूल्यों का योग तथा
P_{01}=आधार वर्ष के मूल्यों के आधार पर प्रचलित वर्ष के मूल्यों के सूचकांक
(ii) मूल्यानुपात सरल माध्य रीति (Simple Average of Price Relatives Method):
एक वर्षीय आधारःR (मूल्यानुपात)=\frac{\text{(प्रचलित वर्ष का मूल्य)}}{\text{आधार वर्ष का मूल्य}}
बहुवर्षीय आधारःR=\frac{\text{प्रचलित वर्ष का मूल्य}}{\text{औसत}} \times 100=\frac{P_{1}}{P_{\bar{x}}}\times 100
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2.साधारण सूचकांक के साधित उदाहरण (Simple Index Numbers Solved Examples):
Example:1.निम्नलिखित समंक गेहूं के औसत थोक मूल्य सम्बन्धित हैं जिससे प्रत्येक वर्ष के लिए सूचकांकों की रचना करनी हैः
(i) वर्ष 1991 को आधार मानकर
(ii) वर्ष 2000 को आधार मानकर
(Construct Index Numbers for each of the following year from the following average wholesale prices of wheat):
(i) taking 1991 year as base and
(ii) taking 2000 year as base)
| Year | Price(Rs.) |
| 1991 | 75 |
| 1992 | 50 |
| 1993 | 65 |
| 1994 | 60 |
| 1995 | 72 |
| 1996 | 70 |
| 1997 | 69 |
| 1998 | 75 |
| 1999 | 84 |
| 2000 | 90 |
Solution:Calculation of Price Indices
| Year | Price | Index Nos. | Index Nos. |
| (Rs.) | (1991=100) | (2000=100) | |
| 1991 | 75 | 100 | \frac{75 \times 100}{90}=83.3 |
| 1992 | 50 | \frac{50 \times 100}{75}=66.7 | \frac{50 \times 100}{90}=55.6 |
| 1993 | 65 | \frac{65 \times 100}{75}=86.7 | \frac{65 \times 100}{90}=72.2 |
| 1994 | 60 | \frac{60 \times 100}{75}=80 | \frac{60 \times 100}{90}=66.7 |
| 1995 | 72 | \frac{72 \times 100}{75}=96 | \frac{72 \times 100}{90}=80 |
| 1996 | 70 | \frac{70 \times 100}{75}=93.3 | \frac{70 \times 100}{90}=77.8 |
| 1997 | 69 | \frac{69 \times 100}{75}=92 | \frac{69 \times 100}{90}=76.7 |
| 1998 | 75 | \frac{75 \times 100}{75}=100 | \frac{75 \times 100}{90}=83.3 |
| 1999 | 84 | \frac{84 \times 100}{75}=112 | \frac{84 \times 100}{90}=93.3 |
| 2000 | 90 | \frac{90 \times 100}{75}=120 | 100 |
Example:2.एक वस्तु का औसत फुटकर मूल्य निम्नवत था।प्रत्येक के लिए मूल्यानुपातों का परिकलन कीजिएः
(i) प्रथम वर्ष को आधार मानकर
(ii) चतुर्थ वर्ष को आधार मानकर
(iii) प्रथम तीन वर्षों के औसत मूल्य के आधार पर।
(The average retail prices of a commodity was as under.calculate price relatives for all the given years:
(i) taking 1st year as the base
(ii) IV year as the base
(iii) average of first three years as the base):
| Years | Average retail price |
| I | 2.5 |
| II | 3.5 |
| III | 3.0 |
| IV | 5.0 |
| V | 6.2 |
| VI | 6.8 |
Solution:Calculation of Price Indices
| Years | Avg. retail price |
Index Nos. | Index Nos. | Index Nos.(avg. of |
| (I=100) | (IV=100) | first three Years) | ||
| I | 2.5 | 100 | \frac{2.5 \times 100}{5.0}=50 | \frac{2.5 \times 100}{3}=83.3 |
| II | 3.5 | \frac{3.5 \times 100}{2.5}=140 | \frac{3.5 \times 100}{5}=70 | \frac{3.5 \times 100}{3}=116.7 |
| III | 3.0 | \frac{3.0 \times 100}{2.5}=120 | \frac{3.0 \times 100}{5}=60 | \frac{3 \times 100}{3}=100 |
| IV | 5.0 | \frac{5 \times 100}{2.5}=200 | 100 | \frac{5 \times 100}{3}=166.7 |
| V | 6.2 | \frac{6.2 \times 100}{2.5}=248 | \frac{6.2 \times 100}{5}=124 | \frac{6.2 \times 100}{3}=206.7 |
| VI | 6.8 | \frac{6.8 \times 100}{2.5}=272 | \frac{6.8 \times 100}{5}=136 | \frac{6.8 \times 100}{3}=226.7 |
Average of first three Years
\frac{2.5+3.5+3.0}{3}=3
Example:3.निम्नलिखित समंकों से 2000 को आधार मानते हुए 2004 वर्ष के लिए मूल्य सूचकांक की रचना कीजिएः
(From the following data construct Index Number of prices for 2004 taking 2000 as base):
| Commodity | 2000 | 2004 |
| A | 100 | 100 |
| B | 10 | 8 |
| C | 5 | 4 |
| D | 4 | 2 |
| E | 1 | 1 |
| F | 2 | 2.5 |
| G | 3 | 3.5 |
Solution:Calculation of Index Nos. (2000=100)
| commodity | 2000 | 2004 | ||
| Price | R | Price | R_{1} | |
| A | 100 | 100 | 100 | \frac{100 \times 100}{100}=100 |
| B | 10 | 100 | 8 | \frac{8 \times 100}{10}=80 |
| C | 5 | 100 | 4 | \frac{4 \times 100}{5}=80 |
| D | 4 | 100 | 2 | \frac{2 \times 100}{4}=50 |
| E | 1 | 100 | 1 | \frac{1 \times 100}{1}=100 |
| F | 2 | 100 | 2.5 | \frac{2.5 \times 100}{2}=125 |
| G | 3 | 100 | 3.5 | \frac{3.5 \times 100}{3}=116.7 |
| Total of price Relatives | 700 | 651.7 | ||
| Mean of Relatives | 100 | 93.1 | ||
Example:4.निम्नलिखित सूचनाओं से सरल मूल्यानुपात माध्य रीति के लिए मध्यका लेते हुए वर्ष 2001 के आधार पर 2002,2003,2004 के सूचकांकों की गणना कीजिएः
(From the following information calculate simple index numbers for 2002,2003 and 2004 taking 2001 as the base by simple average of price relatives method using median):
| Prices in rupees per 10 kg | ||||
| वस्तुएँ | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 |
| (Articles) | Rs. | Rs. | Rs. | Rs. |
| A | 360 | 900 | 1080 | 1680 |
| B | 600 | 720 | 1200 | 1290 |
| C | 300 | 450 | 600 | 720 |
| D | 240 | 360 | 720 | 780 |
| E | 480 | 1200 | 1440 | 1320 |
Solution:Calculation of Index Nos. (2001=100)
| Articles | A | B | C | D | E | Median of price Relatives | |
| 2001 | Price | 360 | 600 | 300 | 240 | 480 | |
| R | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | |
| 2002 | Price | 900 | 720 | 450 | 360 | 1200 | |
| 250 | 120 | 150 | 150 | 250 | 150 | ||
| 2003 | Price | 1080 | 1200 | 600 | 720 | 1440 | |
| 300 | 200 | 200 | 300 | 300 | 300 | ||
| 2004 | Price | 1680 | 1290 | 720 | 780 | 1320 | |
| 466.7 | 215 | 240 | 325 | 275 | 275 |
Example:5.2000 से श्रृंखलाबद्ध तीन वस्तुओं के औसत मूल्यों (रुपये प्रति किग्रा) से श्रृंखला आधार सूचकांकों को परिकलित कीजिएः
(a) समूही रीति द्वारा
(b) मूल्यानुपात माध्य रीति द्वारा
(Calculate the chain base index number chained to 2000 from the average price (Rupees per kg.) of following three commodity:
(a)using aggregative method
and (b)average of price relatives method
| समूह (Groups) | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 |
| चावल (Wheat) | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| चावल (Rice) | 16 | 20 | 24 | 30 | 36 |
| चीनी (Sugar) | 8 | 10 | 16 | 20 | 24 |
Solution:(a) समूही रीति द्वारा (Using Aggregative Method)
Calculation of Index Nos. (Simple Aggregative Method)
| समूह (Groups) | 2000( P_{0}) | 2001(P_{1}) | 2002(P_{2}) | 2003(P_{3}) | 2004(P_{4}) |
| चावल (Wheat) | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| चावल (Rice) | 16 | 20 | 24 | 30 | 36 |
| चीनी (Sugar) | 8 | 10 | 16 | 20 | 24 |
| Total | 28 | 36 | 48 | 60 | 72 |
2000: 100
2001: \frac{\Sigma P_1}{\Sigma P_0} \times 100=\frac{36 \times 100}{28}=128.6
2002: \frac{\Sigma P_2}{\Sigma P_0} \times 100=\frac{48 \times 100}{28}=171.4
2003: \frac{\Sigma P_3}{\Sigma P_0} \times 100=\frac{60 \times 100}{28}=214.3
2004: \frac{\Sigma p_4}{\Sigma P_0} \times 100=\frac{72 \times 100}{28}=257.1
(b)मूल्यानुपात माध्य रीति द्वारा (Average of Price Relatives Method)
Calculation of Chain Base Indices
| Groups | Wheat | Rice | Sugar | Total of L.R. | Avg. of L.R. | Chain Indices | |
| 2000 | Price | 4 | 16 | 8 | |||
| L.R. | 100 | 100 | 100 | 300 | 100 | 100 | |
| 2001 | Price | 6 | 20 | 10 | |||
| L.R. | 150 | 125 | 125 | 400 | 133.3 | \frac{133.3 \times 100}{100}=133.3 | |
| 2002 | Price | 8 | 24 | 16 | |||
| L.R. | 133.3 | 120 | 160 | 413.3 | 137.8 | \frac{137.8 \times 133.3}{100}=183.7 | |
| 2003 | Price | 10 | 30 | 20 | |||
| L.R. | 125 | 125 | 125 | 375 | 125 | \frac{125 \times 183.7}{100}=229.6 | |
| 2004 | Price | 12 | 36 | 24 | |||
| L.R. | 120 | 120 | 120 | 360 | 120 | \frac{120 \times 2296}{100}=275.5 |
Example:6.समान्तर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य का प्रयोग करते हुए समंकों से 2003 को आधार मानकर 2004 के लिए मूल्य सूचकांक की रचना कीजिएः
(From the following data construct Index Number of prices for 2004 taking 2003 as base using arithmetic average and geometric average):
| Commodity | Price | Price |
| 2003 | 2004 | |
| A | 45 | 55 |
| B | 60 | 70 |
| C | 20 | 30 |
| D | 50 | 75 |
| E | 85 | 90 |
| F | 120 | 130 |
Solution:Construction of Fixed Base Index Nos.
| Price(Rs.) | Price Relatives | |||
| Commodity | 2003 | 2004 | 2003 | 2004 |
| A | 45 | 55 | 100 | 122.2 |
| B | 60 | 70 | 100 | 116.7 |
| C | 20 | 30 | 100 | 150 |
| D | 50 | 75 | 100 | 150 |
| E | 85 | 90 | 100 | 105.9 |
| F | 120 | 130 | 100 | 108.3 |
| Total of Price Relatives | 600 | 753.1 | ||
| Mean of Price Relatives | 100 | 125.5 | ||
| Geometric Mean of Price Relatives | 100 | 124.2 | ||
Example:7.निम्नलिखित समंकों से श्रृंखला आधार सूचकांक ज्ञात कीजिएः
(From the following data calculate Chain Base Index Numbers):
| Year | Prices in Rs. |
| 1993 | 20 |
| 1994 | 24 |
| 1995 | 30 |
| 1996 | 36 |
| 1997 | 54 |
| 1998 | 86.4 |
| 1999 | 129.6 |
Solution:Conversion from Fixed Base Index No. (with 1993=100)
| Year | Fixed base Index Numbers | Chain Base IndexNumbers |
| 1993 | 20 | 100 |
| 1994 | 24 | \frac{24 \times 100}{20}=120 |
| 1995 | 30 | \frac{30 \times 100}{24}=125 |
| 1996 | 36 | \frac{36 \times 100}{30}=120 |
| 1997 | 54 | \frac{54 \times 100}{36}=150 |
| 1998 | 86.4 | \frac{86.4 \times 100}{54}=160 |
| 1999 | 129.6 | \frac{129-6 \times 80}{86.4}=150 |
Example:8.निम्नलिखित स्थिर आधार सूचकांकों से श्रृंखला आधार (1995=100) सूचकांकों की रचना कीजिएः
(Construct chain Base Index Numbers (1995=100) from the following Fixed Base Index Numbers):
| Year | F.B. Indices | F.B. Indices |
| 1995 | 94 | 376 |
| 1996 | 98 | 392 |
| 1997 | 102 | 408 |
| 1998 | 95 | 380 |
| 1999 | 98 | 392 |
| 2000 | 100 | 400 |
Solution:(a)Conversion from Fixed Base Index Nos. to Chain Base Index No. (with 1995=100)
| Year | Fixed Base Index Number | Chain Base Index Numbers |
| 1995 | 94 | 100 |
| 1996 | 98 | \frac{98 \times 100}{94}=104.2 |
| 1997 | 102 | \frac{102 \times 100}{98}=104.1 |
| 1998 | 95 | \frac{95 \times 100}{102}=93.1 |
| 1999 | 98 | \frac{98 \times 100}{95}=103.2 |
| 2000 | 100 | \frac{100 \times 100}{98}=102 |
(b)
| Year | Fixed Base Index Number | chain Base Index Numbers |
| 1995 | 376 | 100 |
| 1996 | 392 | \frac{392 \times 100}{376}=104.2 |
| 1997 | 408 | \frac{408 \times 300}{392}=104.1 |
| 1998 | 380 | \frac{380 \times 100}{408}=93.1 |
| 1999 | 392 | \frac{392 \times 100}{380}=103.2 |
| 2000 | 400 | \frac{400 \times 100}{392}=102 |
Example:9.निम्नलिखित श्रृंखला आधार सूचकांकों की रचना कीजिएः
(From the Chain Base Index Numbers given below, construct the Fixed Index Numbers):
| Year | Chain Indices |
| 1995 | 90 |
| 1996 | 105 |
| 1997 | 102 |
| 1998 | 95 |
| 1999 | 99 |
Solution:Fixed Index Nos. from Chain Base Index Nos. (Chained with 1995)
| Year | Chain Base Index Nos. | Fixed Base Index Nos. (Chained with 1995) |
| 1995 | 90 | 90 |
| 1996 | 105 | \frac{9.0 \times 105}{100}=94.5 |
| 1997 | 102 | \frac{102 \times 94.5}{100}=96.4 |
| 1998 | 95 | \frac{95 \times 96.4}{100}=91.6 |
| 1999 | 99 | \frac{9 \times 91.6}{100}=90.7 |
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा साधारण सूचकांक (Simple Index Numbers),अभारित सूचकांक (Unweighted Index Numbers) के समझ सकते हैं।
3.साधारण सूचकांक की समस्याएं (Simple Index Numbers Problems):
(1) छः वर्षों के लिए गेहूं के मूल्य नीचे दिए गए हैं।मूल्यानुपात का परिकलन
(a)1963 को आधार मानकर
(b) छः वर्षों के लिए औसत को आधार मानकर कीजिएः
(Price of wheat for six years is given below.Calculate price relatives taking
(a) 1963 as base and
(b) average prices for six years as base):
| Year | Wheat per Qtl(Rs.) |
| 1963 | 40 |
| 1964 | 50 |
| 1965 | 47 |
| 1966 | 55 |
| 1967 | 65 |
| 1968 | 105 |
(2.)निम्न आंकड़ों सेे (i) सरल समूही रीति और (ii) मूल्यानुपात माध्य रीति द्वारा 1970 के आधार पर 1976 के साधारण सूचकांकों की रचना कीजिएः
(From the following data,contruct simple index numbers for 1976 taking 1970 as base year by (i) simple aggregative method and (ii)simple average of price relatives method):
| Item | 1970 Price(Rs.) | 1976 Price(Rs.) |
| A | 15 | 30 |
| B | 22 | 25 |
| C | 38 | 57 |
| D | 25 | 35 |
| E | 50 | 63 |
उत्तर (Answers):(1.) (a) 100,125,172.2,137.5,162.5,262.5,262.5 (b) 66.7,83.3,75,91.7,175
(2.)(i)140 (ii)145.9
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर साधारण सूचकांक (Simple Index Numbers),अभारित सूचकांक (Unweighted Index Numbers) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.साधारण सूचकांक (Simple Index Numbers),अभारित सूचकांक (Unweighted Index Numbers) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः
प्रश्न:1.सूचकांकों की रचना का श्रेय किसको जाता है? (The Credit of Construction of Index Numbers goes to whom?):
उत्तर:सूचकांक की तकनीक के सर्वप्रथम विकास का श्रेय इटली के सांख्यिक कार्ली (Carli) को दिया जाता है।कार्ली ने इटली में अनाज,शराब इत्यादि के मूल्यों पर अमेरिका की खोज का प्रभाव ज्ञात करने के लिए 1764 ईस्वी में सूचकांकों का प्रयास किया तथा 1750 ईस्वी में 1500 को आधार मानकर सूचकांक की रचना की। इसके पश्चात जैवन्स (Jevons), मार्शल (Marshall), इरविंग (Irving Fisher), एजवर्थ (Edgeworth),मिचेल (Mitchell) आदि विद्वानों ने सूचकांकों का प्रयोग मुद्रा की क्रय शक्ति मापने में किया।
प्रश्न:2.सूचकांक की परिभाषा दीजिए। (Define Index Number):
उत्तरःसूचकांक शब्द सूचक+अंक से मिलकर बना है।सूचक अंक के अभिप्राय ऐसे अंक से होता है जो दिशा-निर्देश प्रदान करता है या किसी बात के विषय में सूचना देता है। जैसा कि पुस्तकों के प्रारम्भ में विषय सूची (index) होता है जो सम्पूर्ण पुस्तक के विषय में सूचना प्रदान करती है, ठीक उसी प्रकार सूचकांक समंक श्रेणी के परिवर्तनों के विषय में सूचना प्रदान करते हैं।
प्रश्न:3.सूचकांकों की दो सीमाएं बताइए। (State any two limitations of Index Numbers):
उत्तर:सूचकांकों की दो सीमाएं निम्न हैंः
(1.)सामान्य रूप से सत्य (True on An Average):सूचकांक औसत प्रवृत्ति को बताते हैं।अतः ये सामान्य से सत्य होते हैं अर्थात् ये व्यक्तिगत इकाइयों को ध्यान में नहीं रखते हैं।उदाहरणार्थ यदि यह कहा जाय कि 1999 का मूल्य सूचकांक 1995 के मूल्य सूचकांक की अपेक्षा 40% मूल्य वृद्धि प्रदर्शित करता तो इसका तात्पर्य यह नहीं है कि 1999 में गेहूं,चीनी, चाय आदि सभी वस्तुओं के मूल्यों में 40% की वृद्धि हुई है,हो सकता है कि कुछ वस्तुओं में 40% से अधिक वृद्धि हुई हो, कुछ में 40% से कम वृद्धि हुई हो,कुछ कर भाव स्थिर रहे हों तथा अन्य वस्तुओं के भावों में कमी हुई हो।अतः सूचकांक केवल सामान्य रुप या औसत रूप से ही सत्य होते हैं।
(2.)सापेक्ष परिवर्तनों का माप (Measures Relative Changes only):सूचकांक केवल सापेक्ष परिवर्तनों को ही मापते हैं। इनकी सहायता से वास्तविक परिवर्तन की मात्रा का बोध नहीं होता है क्योंकि सूचकांक प्रतिशतों में व्यक्त तथा किसी आधार वर्तमान पर आधारित होते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा साधारण सूचकांक (Simple Index Numbers),अभारित सूचकांक (Unweighted Index Numbers) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
