Section Formula Class 11
1.विभाजन सूत्र कक्षा 11 (Section Formula Class 11),कक्षा 11 में विभाजन सूत्र (Section Formula in Class 11):
विभाजन सूत्र कक्षा 11 (Section Formula Class 11) के इस आर्टिकल में किस प्रकार समकोणिक कार्तीय निकाय में रेखाखण्ड को दिए अनुपात में अन्तःविभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात करते हैं।
विभाजन सूत्र (Section Formula):
मान लीजिए अन्तरिक्ष में दो बिन्दु P\left(x_1, y_1, z_1\right) व Q \left(x_2, y_2, z_2\right) हैं।माना R(x,y, z) रेखाखण्ड PQ को m:n अनुपात में अन्तःविभाजित करता है।XY-तल पर PL,QM और RN लम्ब खींचिए।स्पष्टतः PL \| QM \| RN हैं तथा इन तीन लम्बों के पाद XY-तल में स्थित बिन्दु हैं बिन्दु L,M और N उस रेखा पर स्थित हैं जो उस तल और XY-तल के प्रतिच्छेदन से बनती है।बिन्दु R से रेखा LM के समान्तर रेखा ST खींचिए।ST रेखा खींचे गए लम्ब के तल में स्थित है तथा रेखा LP (विस्तारित) को S और MQ को T पर प्रतिच्छेदित करती है।जैसा आकृति में प्रदर्शित है।
स्पष्टतः चतुर्भुज LNRS और NMTR समान्तर चतुर्भुज हैं।त्रिभुजों PSR और QTR स्पष्टतः समरूप हैं।इसलिए
\frac{m}{n}=\frac{P R}{Q R}=\frac{S P}{Q T}=\frac{S L-P L}{Q M-T M}=\frac{N R-P L}{QM-NR}= \frac{z-z_1}{z_2-z_1}इस प्रकार z=\frac{m z_2+n z_1}{m+n}
ठीक इसी प्रकार XZ-तल और YZ-तल पर लम्ब खींचने पर हमें प्राप्त होता है,
y=\frac{m y_2+n y_1}{m+n} और x=\frac{m x_2+n x_1}{m+n}
अतः बिन्दु R जो बिन्दु P\left(x_1, y_1, z_1\right) और Q\left(x_2, y_2, z_2\right) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को m:n के अनुपात में अन्तःविभाजित करता है,के निर्देशांक हैं,
\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}, \frac{m z_2+n z_1}{m+n}\right)
यदि बिन्दु R, रेखाखण्ड PQ को m:n अनुपात में बाह्य विभाजित करता हो तो इसके निर्देशांक उपर्युक्त सूत्र में n को -n से विस्थापित करके प्राप्त किए जाते हैं।इस प्रकार R के निर्देशांक होंगेः
\left(\frac{m x_2-n x_1}{m-n}, \frac{m y_2-n y_1}{m-n}, \frac{m z_2-n z_1}{m-n}\right)
स्थितिःI.मध्यबिन्दु के निर्देशांक यदि R, रेखाखण्ड PQ का मध्यबिन्दु है तो m:n=1:1 रखने पर
x=\frac{x_1+x_2}{2}, y=\frac{y_1+y_2}{2} \text { और } z=\frac{z_1+z_2}{2}
ये P\left(x_1, y_1, z_1\right) \text { और } Q\left(x_2, y_2, z_2\right) को मिलाने वाली रेखाखण्ड के मध्यबिन्दु के निर्देशांक हैं,
स्थितिःII.रेखाखण्ड PQ को k:1 के अनुपात में अन्तःविभाजित करने वाले बिन्दु R के निर्देशांक k=\frac{m}{n} रखने पर प्राप्त किए जा सकते हैंः
\left(\frac{k x_2+x_1}{1+k}, \frac{k y_2+y_1}{1+k}, \frac{k z_2+z_1}{1+k}\right)
यह परिणाम प्रायः दो बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा पर व्यापक बिन्दु सम्बन्धी प्रश्नों के हल करने में प्रयुक्त होता है।
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2.विभाजन सूत्र कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Section Formula Class 11 Solved Examples):
Example:1.बिन्दुओं (-2,3,5) और (1,-4,6) को मिलाने से बने रेखाखण्ड को अनुपात (i)2:3 में अन्तः (ii)2:3 में बाह्यतः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Solution:माना P\left(x_1, y_1, z_1\right)=(-2,3,5) तथा Q \left(x_2, y_2, z_2\right)=(1,-4,6)
(i)m:n=2:3अन्तःविभाजन
x=\frac{m x_2+n x_1}{m+n} \\ =\frac{2(1)+3(-2)}{2+3}=\frac{2-6}{5} \\ \Rightarrow x =-\frac{4}{5} \\ y=\frac{m y_2+n y_1}{m+n} \\ =\frac{2(-4)+3(3)}{2+3}=\frac{-8+9}{5} \\ \Rightarrow y=\frac{1}{5} \\ z=\frac{m z_2+n z_1}{m+n}=\frac{2(6)+3(5)}{2+3} \\=\frac{12+15}{5} \\ \Rightarrow z =\frac{27}{5}
अतः अभीष्ट बिन्दु \left(-\frac{4}{5}, \frac{1}{5}, \frac{27}{5}\right) है।
(ii)m:n=2:3 बाह्य विभाजन
x=\frac{m x_2-n x_1}{m-n} \\ =\frac{2(1)-3(-2)}{2-3}=\frac{2+6}{-1} \\ \Rightarrow x =-8 \\ y =\frac{m y_2-n y_1}{m-n} \\ =\frac{2(-4)-3(3)}{2-3} \\ =\frac{-8-9}{-1} \\ \Rightarrow y =17 \\ z=\frac{m z_2-n z_1}{m-n} \\ =\frac{2(6)-3(5)}{2-3}=\frac{12-15}{-1} \\ \Rightarrow z=3
अतः अभीष्ट बिन्दु (-8,17,3) है।
Example:2.दिया गया है कि बिन्दु P(3,2,-4),Q(5,4,-6) और R(9,8,-10) संरेख हैं।वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें Q,PR को विभाजित करता है।
Solution:P(3,2,-4),Q(5,4,-6) और R(9,8,-10),m:n=?
Example:3.बिन्दुओं (-2,4,7) और (3,-5,8) को मिलाने वाली रेखाखण्ड,YZ-तल द्वारा जिस अनुपात में विभक्त होता है,उसे ज्ञात कीजिए।
Solution: \left(x_1, y, y, 1\right)=(-2,4,7) तथा \left(x_2, y_2, z_2\right)=(3,-5,8)
YZ-तल में x=0
x=\frac{m^{x_2}+n_1}{m+n} \\ \Rightarrow 0=\frac{m(3)+n(-2)}{m+n} \\ \Rightarrow 3 m-2 n=0 \\ \Rightarrow 3 m=2 n \\ \Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{3} \\ \Rightarrow m : n=2: 3
Example:4.विभाजन सूत्र का प्रयोग करके दिखाइए कि A(2,-3,4),B(-1,2,1) तथा C\left(0, \frac{1}{3}, 2\right) संरेख हैं।
Solution:दिए हुए बिन्दु A(2,-3,4),B(-1,2,1) और C\left(0, \frac{1}{3}, 2\right) हैं।मान लीजिए बिन्दु P,AB को m:n में विभाजित करता है तो P के निर्देशांक हैंः
\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}, \frac{m z_2+n z_1}{m+n}\right) \\ \Rightarrow\left(\frac{m(-1)+n(2)}{m+n}, \frac{m(2)+n(-3)}{m+n}, \frac{m(1)+n(4)}{m+n}\right) \\ \Rightarrow\left(\frac{-m+2 n}{m+n}, \frac{2 m-3 n}{m+n}, \frac{m+4 n}{m+n}\right) \\ \frac{-m+2 n}{m+n}=0 रखने पर प्राप्त होता हैः
\Rightarrow-m+2 n=0 \\ \Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{1} \Rightarrow m=n=2=1 \\ \Rightarrow m : n=2: 1
जब m:n=2:1 तो \frac{2 m-3 n}{m+n}=\frac{2 \times 2-3 \times 1}{2+1} \\ =\frac{4-3}{3}=\frac{1}{3}
और \frac{m+4n}{m+n}=\frac{2 +4 \times 1}{2+1} \\ =\frac{2+4}{3}=\frac{6}{3}=2
इसलिए C\left(0, \frac{1}{3}, 2\right) वह बिन्दु है जो AB को 2:1 अनुपात में अन्तःविभाजन करता है और वही P है।अतः A,B व C संरेख है।
Example:5.P(4,2,-6) और Q(10,-16,6) को मिलाने वाली रेखाखण्ड PQ को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Solution:माना \left(x_1, y_1, z_1\right)=P(4,2,-6), \left(x_2, y_2, z_2\right)=Q(10,-16,6),m:n=1:2 \\ x= \frac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2}=\frac{1 \times 10+2 \times 4}{1+2}=\frac{10+8}{3} \\ =\frac{18}{3} \\ \Rightarrow x=6 \\ y=\frac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m+n} \\ =\frac{1 \times-16+2 \times 2}{1+2} =\frac{-16+4}{3} \\ =-\frac{12}{3}\\ y=-4 \\ z=\frac{m z_2+n z_1}{m+n}=\frac{m(6)+2(-6)}{1+2}=\frac{6-12}{3} \\ =-\frac{6}{3}=-2
(6,-4,-2)
मध्यबिन्दु के निर्देशांक \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right) \\ \left(\frac{4+10}{2} , \frac{2-16}{2}, \frac{-6+6}{2}\right)=(7,-7,0)
जब m=2,n=1, x=\frac{2 \times 10+1}{2+1}=\frac{2 a+4}{3}=\frac{24}{3}=8 \\ \Rightarrow y=\frac{2 \times-16+1 \times 2}{2+1}=\frac{-32+2}{3}=\frac{-30}{3} \Rightarrow y=-10 \\ \Rightarrow z=\frac{2 \times 6+1 \times -6}{2+1}=\frac{12-6}{3}=\frac{6}{3} \Rightarrow z=2
(8,-10,2)
अतः अभीष्ट बिन्दुओं के निर्देशांकः
(6,-4,-2),(7,-7,0),(8,-10,2)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विभाजन सूत्र कक्षा 11 (Section Formula Class 11),कक्षा 11 में विभाजन सूत्र (Section Formula in Class 11) को समझ सकते हैं।
3.विभाजन सूत्र कक्षा 11 पर आधारित सवाल (Questions Based on Section Formula Class 11):
(1.)बिन्दुओं (1,-2,3) और (3,4,-5) को मिलाने से बने रेखाखण्ड को अनुपात 2:3 में (i)अन्तः (ii)बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(2.)बिन्दु R रेखाखण्ड P(3,4,5),Q(2,5,4) को किस अनुपात में विभाजित करेगा,यदि यह yz समतल हो।R के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
Ans:(1.) \left(\frac{9}{2}, \frac{2}{5}, \frac{-1}{5}\right),(-3,-14,19)
(2.)(0,7,2)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विभाजन सूत्र कक्षा 11 (Section Formula Class 11),कक्षा 11 में विभाजन सूत्र (Section Formula in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.विभाजन सूत्र कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Section Formula Class 11),कक्षा 11 में विभाजन सूत्र (Section Formula in Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः
प्रश्न:1.ई टी बेल के अनुसार गणित की परिभाषा क्या है? (What is the Definition of Mathematics According E T Bell?):
उत्तर:गणित सभी विज्ञानों की रानी और हस्त-कन्या दोनों है।(Mathematics is both the queen and the hand-maiden of all sciences.)
प्रश्न:2.चतुष्फलक के केन्द्र के निर्देशांक लिखिए। (Write the Coordinates of Centre of Tetrahedral):
उत्तरः \left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)
प्रश्न:3.त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक लिखिए। (Write the Coordinates of Centroid of Triangle):
उत्तरः \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा विभाजन सूत्र कक्षा 11 (Section Formula Class 11),कक्षा 11 में विभाजन सूत्र (Section Formula in Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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समकोणिक कार्तीय निकाय में रेखाखण्ड को दिए अनुपात में अन्तःविभाजित करने वाले बिन्दु के
निर्देशांक ज्ञात करते हैं।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
