1.द्वितीय कोटि का अवकलज कक्षा (Second Order Derivative Class 12),द्वितीय कोटि का अवकलज (Second Order Derivative):

Second Order Derivative Class 12

द्वितीय कोटि का अवकलज कक्षा (Second Order Derivative Class 12):मान लीजिए y=f(x) है तो

$\frac{d y}{d x}=f^{\prime}(x) \cdots(1)$
यदि f'(x) अवकलनीय है तो हम x के सापेक्ष (1) का पुनः अवकलन कर सकते हैं।इस प्रकार बाँया पक्ष हो जाता है:

$\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right) \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$
इसे द्वितीय कोटि का अवकलज (Second Order Derivative) कहते हैं और से निरूपित करते हैं।f(x) के द्वितीय कोटि के अवकलज को f”(x) से निरूपित करते हैं।यदि y=f(x) हो तो इसे $D^{2}(y)$ या y” या $y_{2}$ से भी निरूपित करते हैं।उच्च क्रम के अवकलज भी इसी प्रकार किए जाते हैं।

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2.द्वितीय कोटि का अवकलज कक्षा पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Second Order Derivative Class 12):

प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए:
Example:1. $x^{2}+3 x+2$
Solution: $x^{2}+3 x+2$
माना $y=x^{2}+3 x+2 \cdots(1)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d y}{d x}=2 x+3 \cdots(2)$
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2$
Example:2. $x^{20}$
Solution: $x^{20}$
माना $y=x^{20}$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d y}{d x}=20 x^{19} \cdots(2)$
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=380 x^{18}$
Example:3. $x \cos x$
Solution: $x \cos x$
माना $y=x \cos x \ldots(1)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d y}{d x}=\cos x-x \sin x \cdots(2)$
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\sin x-\sin x-x \cos x \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-2 \sin x-x \cos x$
Example:4. $\log x$
Solution: $\log x$
माना $y=\log x$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x} \cdots(2)$
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\frac{1}{x^{2}}$
Example:5. $x^{3} \log x$
Solution: $x^{3} \log x$
माना $y=x^{3} \log x \ldots(1)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d y}{d x}=3 x^{2} \log x+x^{3} \cdot \frac{1}{x} \\ \frac{d y}{d x}=3 x^{2} \log x+x^{2} \ldots(2)$
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x \log x+3 x^{2} \times \frac{1}{x}+2 x \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 x \log x+5 x$
Example:6. $e^{x} \sin 5 x$
Solution: $e^{x} \sin 5 x$
माना $y=e^{x} \sin 5 x \ldots(1)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d y}{d x}=e^{x} \sin 5 x+5 e^{x} \cos 5 x \cdots(2)$
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=e^{x} \sin 5 x+5 e^{x} \cos 5 x+5 e^{x} \cos 5 x-25 e^{x} \sin 5 x \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=10 e^{x} \cos 5 x-24 e^{x} \sin 5 x \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=2 e^{x}(5 \cos 5 x-12 \sin 5 x)$
Example:7. $e^{6 x} \cos 3 x$
Solution: $e^{6 x} \cos 3 x$
माना $y=e^{6 x} \cos 3 x$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d y}{d x}=6 e^{6 x} \cos 3 x-3 e^{6 x} \sin 3 x \cdots(2)$
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} =36 e^{6 x} \cos 3 x-18 e^{6 x} \sin 3 x -18 e^{6 x} \sin 3 x-9 e^{6 x} \cos 3 x \\ = 27 e^{6 x} \cos 3 x-36 e^{6 x} \sin 3 x \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{dx^{2}}= 9 e^{6 x}(3 \cos 3 x-4 \sin 3 x)$
Example:8. $\log (\log x)$
Solution: $\log (\log x)$
माना $y=\log (\log x)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{x \log x} \cdots(2)$
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

Example:9. $\tan ^{-1} x$
Solution: $\tan ^{-1} x$
माना $y=\tan ^{-1} x \cdots(1)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+x^{2}} \cdots(2)$
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\frac{2 x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$
Example:10. $\sin (\log x)$
Solution: $\sin (\log x)$
माना $y=\sin (\log x) \cdots(1)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d y}{d x} =\cos (\log x) \cdot \frac{d}{d x}(\log x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{\cos (\log x)}{x} \cdots(2)$
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{x \frac{d}{d x} \cos (\log x)-\cos (\log x) \frac{d}{d x}(x)}{x^{2}}\\ =\frac{x(-\sin (\log x)) \frac{d}{d x}(\log x)-\cos x \log x)}{x^{2}} \\=\frac{-x \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}-\cos (\log x)}{x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d^{2}y}{d x^{2}}=-\frac{(\sin (\log x)+\cos (\log x))}{x^{2}}$
Example:11.यदि $y=5 \cos x-3 \sin x$ है तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{d^{2} y}{dx^{2}}+y=0$
Solution: $y=5 \cos x-3 \sin x$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d y}{d x}=-5 \sin x-3 \cos x \cdots(2)$
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} =-5 \cos x+3 \sin x \\ =-(5 \cos x-3 \sin x) \\ =-y \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$
Example:12.यदि $y=\cos ^{-1} x$ है तो $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।
Solution: $y=\cos ^{-1} x \cdots(1) \\ x=\cos y \cdots(2)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdots(3)$
पुनः समीकरण (3) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} =-\frac{d}{d x}\left(1-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} \\ =\frac{1}{2}\left(1-x^{2}\right)^{-\frac{3}{2}} \frac{d}{d x}\left(1-x^{2}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}(-2 x) \\ =\frac{-x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$
समीकरण (2) से x का मान रखने पर:

$\frac{d^{2}y}{d x^{2}}=-\frac{\cos y}{\left(1-\cos ^{2} y\right)^{\frac{3}{2}}} \\ \Rightarrow \quad =\frac{-\cos y}{(\sin y)^{\frac{3}{2}} } \\ =\frac{-\cos y}{\sin ^{3} y} \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}} =-\cot y \operatorname{cosec}^{2} y$
Example:13.यदि $y=3 \cos (\log x)+4 \sin (\log x)$ है तो दर्शाइए कि $x^{2} y_{2}+x y_{1}+y=0$
Solution: $y=3 \cos (\log x)+4 \sin (\log x)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$y_{1}=-3 \sin (\log x) \cdot \frac{d}{d x}(\log x) +4 \cos (\log x) \frac{d}{d x}(\log x) \\ =-\frac{3 \sin (\log x)}{x} +\frac{4 \cos (\log x)}{x} \\ y_{1}= \frac{-3 \sin (\log x)+4 \cos (\log x)}{x} \\ x y_{1}=-3 \sin (\log x)+4 \cos (\log x) \cdots(2)$
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$x y_{2}+y_{1} =-3 \cos (\log x) \frac{d}{d x}(\log x) -4 \sin (\log x) \frac{d}{d x}(\log x) \\ =-\frac{3 \cos (\log x)}{x}-\frac{4 \sin (\log x)}{x} \\ \Rightarrow x^{2} y_{2}=-3 \cos (\log x)-4 \sin (\log x) + x y_{1} \\ \Rightarrow x^{2} y_{2}+x y_{1}=-[3 \cos (\log x+4 \sin (\log x)]\\ \Rightarrow x^{2} y_{2}+x y_{1}=-y \\ \Rightarrow x^{2} y_{2}+x y_{1}+y=0$
Example:14.यदि $y=A e^{m x}+B e^{nx}$ है तो दर्शाइए कि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-(m+n) \frac{d y}{d x}+m n y=0$
Solution: $y=A e^{m x}+B e^{nx} \cdots(1)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d y}{d x}=A m e^{m x}+B n e^{n x} \cdots(2)$
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=A m^{2} e^{m x}+B n^{2} e^{n x} \cdots (3)$
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को mn से गुणा करने पर:

$m n y=A m n e^{m x}+B m n e^{2 m} \cdots(4)$
समीकरण (2) के दोनों पक्षों को (m+n) से गुणा करने पर:

$(m+n) \frac{d y}{d x} =A m(m+n) e^{m x} +B n(m+n) e^{m x} \\=A m^{2} e^{m x}+A m n e^{m x} +B m n e^{m x}+B n^{2} e^{n x} \\ =\left(A m^{2} e^{m x}+B n^{2} e^{n x}\right)+\left(A m n e^{m x}+B m n e^{n x}\right) \cdots(5)$
समीकरण (3) व (4) से समीकरण (5) में मान रखने पर:

$(m+n) \frac{d y}{d x}=\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+m n y \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-(m+n) \frac{d y}{d x}+m n y=0$
Example:15.यदि $y=500 e^{7 x}+600 e^{-7 x}$ है तो दर्शाइए कि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=49 y$ है।
Solution: $y=500 e^{7 x}+600 e^{-7 x} \cdots(1)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d y}{d x}=3500 e^{7 x}-4200 e^{-7 x} \cdots(2)$
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=24500 e^{7x}+29400 e^{-7} x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=49\left(500 e^{7x}+600 e^{-7 x}\right) \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=49 y$ [(1) से]
Example:16.यदि $e^{y}(x+1)=1$ है तो दर्शाइए कि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$ है।
Solution: $e^{y}(x+1)=1 \cdots(1)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$e^{y}(x+1) \frac{d y}{d x}+e^{y}=0 \\ \Rightarrow e^{y}\left[(x+1) \frac{d y}{d x}+1\right]=0 \\ \Rightarrow(x+1) \frac{d y}{d x}+1=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{1+x} \cdots(2)$
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{(x+1)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left[-\frac{1}{1+x}\right]^{2} \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$[(2) से]
Example:17.यदि $y=\left(\tan ^{-1} x\right)^{2}$ है तो दर्शाइए कि $\left(x^{2}+1\right)^{2} y_{2}+2 x\left(x^{2}+1\right) y_{1}=2$ है।
Solution: $y=\left(\tan ^{-1} x\right)^{2} \cdots(1)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$y_{1}=2\left(\tan ^{-1} x\right) \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right) \\ \Rightarrow y_{1} =2 \tan ^{-1} x \cdot \frac{1}{1+x^{2}} \\ \Rightarrow y_{1} =\frac{2 \tan ^{-1} x}{1+x^{2}} \\ \left(1+x^{2}\right) y_{1}=2 \tan ^{-1} x \cdots(2)$
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\left(1+x^{2}\right) y_{2}+2 x y_{1}=\frac{2}{1+x^{2}} \\ \Rightarrow\left(1+x^{2}\right)^{2} y_{2}+2 x\left(1+x^{2}\right) y_{1}=2$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्वितीय कोटि का अवकलज कक्षा (Second Order Derivative Class 12),द्वितीय कोटि का अवकलज (Second Order Derivative) को समझ सकते हैं।

3.द्वितीय कोटि का अवकलज कक्षा पर आधारित सवाल (Questions Based on Second Order Derivative Class 12):

Second Order Derivative Class 12

(1.)यदि $y^{3}+3 a x^{2}+x^{3}=0$ तो सिद्ध कीजिए कि: $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{2 a^{2} x^{2}}{y^{5}}=0$
(2.)यदि $p^{2}=a^{2} \cos ^{2} \theta +b^{2} \sin ^{2} \theta$ तो सिद्ध कीजिए कि: $p+\frac{d^{2} p}{d \theta^{2}}=\frac{a^{2} b^{2}}{p^{3}}$
(3.)यदि $x=a \cos ^{3} \theta ; y=a \sin ^{3} \theta$ तो $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ का $\theta=\frac{\pi}{4}$  पर मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answer): $\frac{4 \sqrt{2}}{3 a}$

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्वितीय कोटि का अवकलज कक्षा (Second Order Derivative Class 12),द्वितीय कोटि का अवकलज (Second Order Derivative) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.द्वितीय कोटि का अवकलज कक्षा (Second Order Derivative Class 12),द्वितीय कोटि का अवकलज (Second Order Derivative) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

द्वितीय कोटि का अवकलज कक्षा (Second Order Derivative Class 12):मान लीजिए y=f(x) है तो