1.सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन (Sampling of Variables in Statistics),सांख्यिकी में गुणात्मक प्रतिचयन (Sampling of Attributes in Statistics):

Sampling of Variables in Statistics

सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन (Sampling of Variables in Statistics) के इस आर्टिकल में चरों का प्रतिचयन व गुणात्मक प्रतिचयन से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सांख्यिकी में गुणात्मक प्रतिचयन के साधित उदाहरण (Sampling of Attributes in Statistics Solved Illustrations):

Illustration:10.एक फैक्ट्री में दो हजार पंखों में से 2 प्रतिशत दोषपूर्ण पाये गये और दूसरी फैक्ट्री में तीन हजार उसी प्रकार के पंखों में से 2 \frac{1}{2} प्रतिशत दोषपूर्ण पाये गये।क्या आप दूसरी फैक्ट्री के पंखों को पहली फैक्ट्री के पंखों की तुलना में सार्थकतापूर्ण न्यून स्तर के पाते हैं?
(Two thousand fans of a factory are found to be 2% defective and three thousand similar fans of another factory are found to be 2 \frac{1}{2}% defective.Do you consider that the fans of the second factory are significantly inferior to that of the first?)
Solution:दो फैक्ट्रियों में पंखों के लिए गये प्रतिदर्शों में दोषपूर्ण पंखों के अनुपातः
p_1=\frac{40}{2000}=0.02, p_2=\frac{75}{3000}=0.025
अनुपातों का अवलोकित अन्तरः
=|p_{1}-p_{2}|=|0.02-0.025|=0.005
दोनों फैक्ट्रियों में खराब पंखों का सम्मिलित अनुपात:
p_0=\frac{p_1 n_1+p_2 n_2}{n_1+n_2} \\ =\frac{0.02 \times 2000+(.025) \times 3000}{2000+3000} \\ =\frac{40+75}{5000}=\frac{115}{5000} \\ \Rightarrow p_0 =0.023, q_0=1-0.023=0.977
अन्तर की प्रमाप त्रुटि
\sigma_{p_1-p_2}=\sqrt{p_0 q_0\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)} \\ =\sqrt{0.023 \times 0.977\left(\frac{1}{2000}+\frac{1}{3000}\right)} \\ =\sqrt{\frac{0.023 \times 0.977 \times 5}{6000}} \\ =\sqrt{0.0000187258} \\ \Rightarrow \sigma_{\sigma_1-p_2}=0.004327 \\ \frac{\text { Difference }}{\text { Standard Error }} \frac{p_1-p_2}{\sigma_{p_1-p_2}} \\ \approx \frac{0.005}{0.004327} \\ =1.155<3 \left(\sigma_{p_1-p_2}\right)
अतः दोनों फैक्ट्रियों के पंखों में सार्थक अन्तर नहीं है।
Illustration:12(i).दो बड़े समग्रों में क्रमशः 25% व 20% सफेद बालों वाले व्यक्ति हैं।क्या इस अन्तर के दोनों समग्रों से लिए गए 1500 और 1000 के साधारण प्रतिदर्शों द्वारा व्यक्त होने की सम्भावना है?
(In two large univers there are respectively 25% and 20% of fair-haired people. In this difference likely to be manifested through simple samples of 1500 and 1000 taken from the two universes?)
Solution:पहले समग्र में सफेद बालों वाले व्यक्ति का अनुपात p_1=0.25
दूसरे समग्र में सफेद बालों वाले व्यक्ति का अनुपात p_2=0.20
दोनों अनुपातों का अवलोकित अन्तर
\left|p_1-p_2\right|=|0.25-0.20|=0.05
दोनों समग्रों का सम्मिलित अनुपात
p_0=\frac{p_1 n_1+p_2 n_2}{n_1+n_2} \\ = \frac{0.25 \times 1500+0.20 \times 1000}{1500+1000} \\ =\frac{375+200}{2500} \\ =\frac{575}{2500} \\ \Rightarrow p_0 =0.23 \\ q_0=1-p_0=1-0.23=0.77
अन्तर की प्रमाप त्रुटि
\sigma_{p_1-p_2}=\sqrt{p_0 q_0 \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)} \\ =\sqrt{0.23 \times 0.77\left( \frac{1}{1500} +\frac{1}{1000}\right)} \\ =\sqrt{0.23 \times 0.7) \times\left(\frac{2+3}{3000}\right)} \\ =\sqrt{\frac{0.23 \times 0.77 \times 5}{3000}} \\ =\sqrt{\frac{0.8855}{3000}} \\ \approx \sqrt{0.000295166} \\ \Rightarrow \sigma_{p_1-p_2} \approx 0.01718 \\ \frac{\text{अन्तर}}{\text{प्रमाप त्रुटि}} =\frac{0.05}{0.01718} \approx 2.91< (3 \sigma_{p_1-p_2})
अतः अन्तर के दोनों समग्रों के साधारण प्रतिदर्शों द्वारा व्यक्त होने की सम्भावना नहीं है।
Illustration:12(ii).किसी विश्वविद्यालय में 40,000 विद्यार्थी हैं जिनमें से 2,000 विद्यार्थी प्राइवेट ट्यूशन पढ़ते हैं।विश्वविद्यालय से सम्बद्ध एक काॅलेज के 2000 विद्यार्थियों में से 400 ट्यूशन पढ़ते हैं।क्या प्राइवेट ट्यूशन के सम्बन्ध में विश्वविद्यालय तथा सम्बद्ध काॅलेज के अनुपातों में सार्थक अन्तर है?
(A university has 40,000 students of whom 2,000 engage private tuitions.out of 2,000 students of a college affiliated to the university, 400 have private tuitions. Is there any significant difference in the university and the college in respect of the proportions of students engaging private tuitions?)
Solution: n_1=40,000, n_2=2,000
विश्वविद्यालय के प्राइवेट ट्यूशन पढ़ने वाले विद्यार्थियों का अनुपात
p_1=\frac{2000}{40000} \\ \Rightarrow p_1=0.05
सम्बद्ध काॅलेज के प्राइवेट ट्यूशन पढ़ने वाले छात्रों का अनुपात
p_2=\frac{400}{2000} \\ \Rightarrow p_2=0.2
दोनों प्रतिदर्शों के अनुपात
p_0=\frac{p_1 n_1+p_2 n_2}{n_1+n_2} \\ =\frac{40000 \times 0.05+0.2 \times 2000}{40000+2000} \\ =\frac{2000+400}{42000} \\ =\frac{2400}{42000} \\ \Rightarrow p_0 \approx 0.0571 \\ q_0=1-0.0571=0.9429
दोनों प्रतिदर्शों में अनुपातों का अन्तर=|p_{1}-p_{2}| \\ =|0.05-0.2|=0.15
अन्तर की प्रमाप त्रुटि
\sigma_{p_1-p_2}=\sqrt{p_0 q_0 \times \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)} \\ =\sqrt{0.0571 \times 0.9429\left(\frac{1}{40000}+\frac{1}{2000}\right)} \\ =\sqrt{\frac{0.05383959 \times 21}{40000}} \\ =\frac{\sqrt{1.13063139}}{200} \approx \frac{1.0633}{200} \\ \Rightarrow \sigma_{p_1-p_2} \approx 0.00531 \\ \frac{\text{अन्तर}}{\text{प्रमाप त्रुटि}} \\ =\frac{p_1-p_2}{\sigma_{p_1-p_2}}=\frac{0.15}{0.00531} \approx 28.24 > (3 \sigma_{p_1-p_2})
अतः उच्च सार्थक है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन (Sampling of Variables in Statistics),सांख्यिकी में गुणात्मक प्रतिचयन (Sampling of Attributes in Statistics) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन के साधित उदाहरण (Sampling of Variables in Statistics Solved Illustrations):

Illustration:13(i).1600 इकाइयों के एक प्रतिदर्श में समान्तर माध्य 3.4 से०मी० पाया गया।क्या इसे एक वृहत् समग्र से लिया गया सरल प्रतिदर्श सविवेक माना जा सकता है जिसका समान्तर माध्य 3.2 से०मी० एवं प्रमाप विचलन 2.3 से०मी० है?
(A sample of 1600 units is found to have a mean of 3.4 cms.Can it be reasonably regarded as a sample from a large population with mean 3.2 cms. and standard deviation 2.3 cms?)
Solution: n=1600 ; \overline{X}=3.2 ; \mu=3.4 ; \sigma_{p}=2.3
माध्य की प्रमाप त्रुटि
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma_p}{\sqrt{n}}=\frac{2.3}{\sqrt{1600}}=\frac{2.3}{40} \\ \Rightarrow \sigma_{\overline{X}}=0.0575 \\ \frac{\text { अन्तर }}{\text { प्रमाप त्रुटि }}=\frac{|\overline{X}-\mu|}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{|3.2-3.4|}{0.0575} \\ =\frac{0.2}{0.0575} \approx 3.48>3
अन्तर सार्थक है,अतः नहीं।
Illustration:13(ii).एक बड़े समग्र में से 100 विद्यार्थियों का प्रतिदर्श लिया गया।इन विद्यार्थियों की माध्य लम्बाई 64″ और प्रमाप विचलन 4″ है।क्या यह कहना उचित होगा कि समग्र में माध्य लम्बाई 66″ है?
(A sample of 100 students is taken from a large population. The mean height of these students is 64 inches and the standard deviation 4 inches. Can it reasonably be regarded that in the population, the mean height is 66 inches?)
Solution: n=100, \overline{X}=64^{\prime \prime}, \mu=66^{\prime \prime} ; \sigma_0=4^{\prime \prime}
माध्य की प्रमाप त्रुटि
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma_{p}}{\sqrt{n}} \\ =\frac{4}{\sqrt{100}}=\frac{4}{10} \\ \Rightarrow \sigma_{\overline{X}}=0.4 \\ \frac{\text { अन्तर }}{\text { प्रमाप त्रुटि }}=\frac{|\overline{X}-\mu|}{\sigma_{\overline{X}}} =\frac{|64-66|}{0.4}=\frac{2}{0.4}=573
अन्तर सार्थक है,अतः उपर्युक्त कथन कहना उचित नहीं है।

Sampling of Variables in Statistics

Illustration:14.उत्तर प्रदेश में सभी दस-वर्षीय लड़कों का माध्य भार ज्ञात करने के लिए 225 का एक प्रतिदर्श लिया गया।प्रतिदर्श का माध्य भार 67 पौण्ड और प्रमाप विचलन 12 पौण्ड परिगणित किया गया।क्या आप समग्र के मध्यक भार के सम्बन्ध में कोई निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
(To know the mean weight of all 10-year old boys in Utter Pradesh, a sample of 225 is taken. The mean weight of the sample is 67 pounds with a standard deviation of 12 pounds. Can you draw any inference about the mean weight of the universe?)
Solution: n=225, \overline{X}=67, \sigma_{p}=12
माध्य की प्रमाप त्रुटि
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma_p}{\sqrt{n}}=\frac{12}{\sqrt{225}}=\frac{12}{15}=0.8
सीमाएँः
\overline{X} \pm 3 \sigma_{\overline{X}}=67 \pm 3(0.8)
निम्नतम मध्यक भार=67-3×0.8=64.6″
उच्चतम मध्यक भार=67+3×0.8=69.4″
Illustration:15(i).900 व्यक्तियों के एक प्रतिदर्श में माध्य ऊँचाई 162.5 से०मी० है।यदि यह प्रतिदर्श एक ऐसे प्रसामान्य समष्टि से लिया गया हो जिसका प्रमाप विचलन 5.1 से०मी० है,तो समग्र में व्यक्तियों की ऊँचाई के माध्य की (क)98%;(ख)99% विश्वास्यता सीमाएँ ज्ञात कीजिए।
(In a sample of 900 persons, mean height is 162.5 cms.If this sample had been drawn from a normal population having a standard deviation of 5.1 cms., determine the (a)98% and (b)99% fiducial limits of mean height of people in the universe.)
Solution: n=500, \overline{X}=162.5 से०मी०, \sigma_p=5.1 से०मी० 
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma_p}{\sqrt{n}}=\frac{5.1}{\sqrt{900}}=\frac{5.1}{30}=0.17
98% विश्वास्यता सीमाएँः
\overline{X} \pm 2.327 \sigma_{\overline{X}}=162.5 \pm 2.327 \times 0.17 \\ =162.5 \pm 0.39559 \approx 162.5 \pm 0.40
162.5-0.4 तथा 162.5+0.4
162.1 तथा 162.9
99% विश्वास्यता सीमाएँः
\overline{X} \pm 2.5758 \sigma_{\overline{X}}=162.5 \pm 2.5758 \times 0.17 \\ =162.5 \pm 0.44
=162.5-0.44 तथा 162.5+0.44
162.06 तथा 162.94
Illustration:15(ii).एक प्रसामान्य रूप से बंटित समष्टि में से 5000 इकाइयों का प्रतिदर्श चुना गया।यदि इस प्रतिदर्श का प्रमाप विचलन 2.5 हो तो वे सीमाएँ ज्ञात कीजिए जिनमें समष्टि प्रमाप विचलन के पाए जाने की प्रत्याशा हो।
(From a normally distributed population, a random sample of 5000 units was drawn. If the standard deviation of this sample is 2.5,find the limits within which population standard deviation is expected to lie.)
Solution: x=5000, \sigma=2.5
प्रमाप-विचलन की प्रमाप त्रुटि
\sigma_\sigma =\frac{\sigma}{\sqrt{2 n}}=\frac{2.5}{\sqrt{2 \times 5000}} \\ =\frac{2.5}{100} \\ \Rightarrow \sigma_\sigma =0.025
समष्टि प्रमाप विचलन के पाए जाने की सीमाएँ
\sigma \pm 3 \sigma_{\sigma}=2.5 \pm 3 \times 0.025=2.5 \pm 0.075 \\ \Rightarrow 2.5-0.075=2.425
2.5+0.075=2.575
अतः सीमाएँ 2.425 तथा 2.575 है।
Illustration:16(i).एक विपणन अधिकारी स्थानीय दुकानों में एक विशिष्ट छाप की चाय की मासिक बिक्री का अनुमान लगाना चाहता है।वह निश्चय करता है कि अनुमान की समष्टि औसत के 10 प्रतिशत के भीतर रहने की संभावना .9545 (2 मानक त्रुटि) हो,तो उसे विश्वसनीय समझा जायेगा।उसे कितनी दुकानों के प्रतिदर्श की आवश्यकता है? यह मान लीजिए कि एक पिछली जाँच पर आधारित स्थानीय दुकानों में उस चाय की मासिक बिक्री का विचरण-गुणांक 30% है।
(A marketing executive wishes to estimate the average monthly sales of a particular brand of tea in local shops.He decides that an estimate, correct with 10 percent of the population average with a probability of 0.9545 is needed? Assume that, based on a previous enquiry, the coefficient of variation of monthly sales of tea in local shops is 30%.)
Solution:2×प्रमाप त्रुटि=10%
\Rightarrow 2 \times \frac{0.3}{\sqrt{n}}=0.1 \\ \Rightarrow \sqrt{n}=\frac{2 \times 0.3}{0.1} \\ \Rightarrow \sqrt{n}=6 \\ \Rightarrow n=36
Illustration:16(ii).एक समग्र की समान्तर माध्य 67.8″ और प्रमाप विचलन 3.2″ है।माध्य की प्रमाप त्रुटि 0.5″ से कम करने के लिए कितने बड़े प्रतिदर्श-आकार की आवश्यकता होगी?
(A population has a mean of 67.8″ with a standard deviation of 3.2″.How large a sample would be necessary to make the standard error of mean less than 0.5″?)
Solution: \sigma=3.2^{\prime \prime}, \sigma_{\overline{X}}=0.5^{\prime \prime}
माध्य की प्रमाप त्रुटि
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\sigma_{\overline{X}} \\ \Rightarrow \frac{3.2^{\prime \prime}}{\sqrt{n}}=0.5^{\prime \prime} \\ \Rightarrow \sqrt{n}=\frac{3.2}{0.5}=6.4 \\ \Rightarrow n=6.4^2=40.96 \\ \Rightarrow n \approx 41
Illustration:17.यदि किसी प्रतिदर्श का एक सदस्य चुनने की लागत 1 रुपये हो, तो समान्तर माध्य=100 और प्रमाप विचलन=10 वाले समग्र में से एक ऐसे आकार के प्रतिदर्श का चयन करने की क्या लागत होगी जिसके माध्य की वास्तविक माध्य के 0.01 प्रतिशत के अन्तर्गत होने का 5 प्रतिशत सार्थकता स्तर (95% विश्वास्यता स्तर) हो।इस सुतथ्यता को दो गुना करने के लिए आवश्यक अतिरिक्त लागत कितनी होगी?
(If it costs a rupee to draw one member of a sample, how much would it cost in sampling from a universe with mean 100 and standard deviation 10 to take sufficient number so as to ensure that the mean of the sample would in a 5 percent probability (95% confidence level) be within 0.01 percent of the true value? Find the extra cost necessary to double this precision.)
Solution:वास्तविक माध्य (100) और प्रतिदर्श-माध्य का अन्तर समष्टि माध्य के 0.01 प्रतिशत अर्थात् 0.01 के अन्तर्गत होना चाहिए।अर्थात्
1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=0.01 [95% विश्वास्यता स्तर]
\Rightarrow 1.96 \times \frac{10}{\sqrt{n}}=0.01 \\ \Rightarrow \sqrt{n}=\frac{1.96 \times 10}{0.01}=1960 \\ \Rightarrow n=(1960)^2=3,841,600
अतः चयन करने की लागत=3841600×1
=3841600 रुपये
इस सुतथ्यता को दुगुना करने परः
1.96 \times \frac{10}{\sqrt{n}}=\frac{0.01}{2} \\ \Rightarrow \sqrt{n}=\frac{1.96 \times 10 \times 2}{0.01} \\ \Rightarrow \sqrt{n}=3920 \\ \Rightarrow n=(3920)^2=15366400
अतिरिक्त लागत=15366400-3841600
=11524800 रुपये
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन (Sampling of Variables in Statistics),सांख्यिकी में गुणात्मक प्रतिचयन (Sampling of Attributes in Statistics) को समझ सकते हैं।

4.सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Sampling of Variables in Statistics):

Sampling of Variables in Statistics

(1.)किसी अपरिमित समष्टि में से चुने गए 200 मापों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श में माध्य-मूल्य 50 और प्रमाप विचलन 9 है।समग्र के माध्य के लिए 95% विश्वास-अन्तराल निर्धारित कीजिए।
(2.)एक विश्वविद्यालय के 10,000 विद्यार्थियों में से 400 का एक प्रतिदर्श लिया गया।इन 400 विद्यार्थियों का औसत मासिक व्यय 75 रुपये और प्रमाप विचलन 2.50 रुपये पाया गया। उन सीमाओं को निर्धारित कीजिए जिनमें अतिरिक्त प्रतिदर्शों के माध्य होंगे।
उत्तर (Answers):(1.)48.746 तथा 51.254 (2.)74.625 और 75.375 रुपये
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन (Sampling of Variables in Statistics),सांख्यिकी में गुणात्मक प्रतिचयन (Sampling of Attributes in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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5.सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन (Frequently Asked Questions Related to Sampling of Variables in Statistics),सांख्यिकी में गुणात्मक प्रतिचयन (Sampling of Attributes in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन (Sampling of Variables in Statistics) के इस आर्टिकल में चरों
का प्रतिचयन व गुणात्मक प्रतिचयन से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।