1.सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन (Sampling of Variable in Statistics),सांख्यिकी में गुणात्मक प्रतिचयन (Sampling of Attributes in Statistics):

Sampling of Variable in Statistics

सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन (Sampling of Variable in Statistics) के इस आर्टिकल में प्रतीपगमन गुणांक,प्रतीपगमन गुणांक की प्रमाप त्रुटि,सहसम्बन्ध गुणांक तथा उसकी प्रमाप त्रुटि,प्रतीपगमन आकलन की प्रमाप त्रुटि आदि पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन के साधित उदाहरण (Sampling of Variable in Statistics Solved Illustrations):

Illustration:18.दो समाश्रयण रेखाएँ निम्नांकित हैं।परिकलित कीजिए-(अ) r व \sigma_y^2 , (ब)दोनों प्रतीपगमन-गुणांकों की प्रमाप-त्रुटियाँ,(स)X=3 के अनुरूप Y का सर्वोत्तम अनुमान और उसकी प्रमाप-त्रुटि-
(Two regression equations are given below.Cakculate-(a) r and \sigma_y^2 , (b)standard errors of both regression coefficients. (c)most likely estimate of y corresponding to X=3 and its standard error):
x+2y-5=0,2x+3y-8=0, \sigma_x^2=12 and N=144.
Solution:(अ)प्रतीपगमन गुणांकः
X का Y पर:
2 x+3 y-8=0 \Rightarrow x=-\frac{3}{2} y+4 \\ \Rightarrow b_{xy}=-\frac{3}{2}
Y का X पर:
x+2 y-5=0 \Rightarrow y=-\frac{1}{2} x+\frac{5}{2} \\ \Rightarrow b_{yx}=-\frac{1}{2}
सहसम्बन्ध गुणांक:
r=\sqrt{b_{xy} \times b_{yx}}=\sqrt{-\frac{3}{2} \times- \frac{1}{2}} \\ \Rightarrow r=0.8660 \Rightarrow r \approx 0.86
y का प्रमाप विचलन (\sigma_y) :
b_{yx}=r \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \\ \Rightarrow \frac{-1}{2}=0.86 \times \frac{\sigma_y}{\sqrt{12}} \\ \Rightarrow \sigma_y^2=\frac{1}{4} \times \frac{12}{(0.86)^2} \\ =\frac{3}{0.7396} \\ \Rightarrow \sigma_y^2 \approx 4.056
b_{xy} की प्रमाप त्रुटि:
\sigma_{b_{xy}}=\frac{\sigma_x \sqrt{1-r^2}}{\sigma_y \sqrt{n}} \\ =\frac{\sqrt{12} \sqrt{1-(0.86)^2}}{\sqrt{4.056} \times \sqrt{144} } \\ \approx \frac{3.464 \times \sqrt{1-0.7396}}{2.01395 \times 12} \\ \approx \frac{3.464 \times \sqrt{0.2604}}{24.1674} \\ \approx \frac{3.464 \times 0.51029}{24.1674} \\ \approx \frac{1.767644}{24.1674} \\ \Rightarrow \sigma_{b_{xy}} \approx 0.073
b_{yx} की प्रमाप त्रुटि:
\sigma_{b_{y x}}=\frac{\sigma_y \sqrt{1-r^2}}{\sigma_x \sqrt{n}} \\=\frac{\sqrt{4.056} \sqrt{1-(0.86)^2}}{\sqrt{12} \sqrt{144}} \\ \approx \frac{2.01395 \times \sqrt{1-0.7396}}{3.464 \times 12} \\ \approx 2.01395 \times \sqrt{0.2604} \\ \approx 1.568 \\ \approx \frac{2.01395 \times 0.51025}{41.568} \\ \approx \frac{1.027698}{41.568} \\ \Rightarrow b_{y x} \approx 0.024
(स)x=3
y=-\frac{1}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{2} \times 3+\frac{5}{2} \\ y=\frac{2}{2}=1
y का x पर प्रतीपगमन आकलन की प्रमाप त्रुटि
\sigma_{yx}=\sigma_y \sqrt{1-r^2} \\ =\sqrt{4.056} \sqrt{1-(0.86)^2} \\ \approx 2.01395 \sqrt{1-0.7396} \\ \approx 2.01395 \sqrt{0.2604} \\ \approx 2.01395 \times 051029 \\ \approx 1.027 \\ \Rightarrow \sigma_{y x} \approx 1
Illustration:19.आगरा जिले के 500 गाँव के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श की समान्तर माध्य जनसंख्या 480 और उसका प्रमाप विचलन 15 पाया गया।मथुरा जिले के अन्य 600 गाँवों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श की समान्तर जनसंख्या 475 तथा उसका प्रमाप विचलन 18 पाया गया।इन दोनों माध्यों का अन्तर क्या सांख्यिकीय दृष्टि से सार्थक है?
(The mean population of a random sample of 500 villages of Agra district is 480 with a s.d. of 15.The mean population of sample of 600 villages of Mathura district is 475 with s.d. of 18.Is the difference between the two sample means statistically significant?)
Solution:आगरा जिले का प्रथम प्रतिदर्श:
n_1=500, \bar{x}_1=480, \sigma_1=15
मथुरा जिले का द्वितीय प्रतिदर्शः
n_2=600, \overline{x_2}=475, \sigma_2=18
प्रतिदर्श माध्यों का अन्तर=\left|\bar{x}_1-\bar{x}_2\right|=|480-475|=5 \\ \sigma_{\overline{x_1}-\overline{x}_2} =\sqrt{\left(\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}\right)} \\ =\sqrt{\frac{(15)^2}{500}+ \frac{(18)^2} {600}} \\ =\sqrt{\frac{225}{500}+\frac{324}{600}} \\ =\sqrt{0.45+0.54} \\ =\sqrt{10.99} \\ \Rightarrow \sigma_{\overline{x_1}-\overline{x}_2} \approx 0.0949 \\ \frac{\text { अन्तर }}{\text { प्रमाप त्रुटि } }=\frac{\left|\overline{x_1}-\bar{x}_2\right|}{\sigma_{\overline{x_1}-\overline{x}_2}}=\frac{5}{0.955} \approx 5.025\left(3 \sigma_{\overline{x_1}-\overline{x}_2}\right)
अतः माध्यों का अन्तर सार्थक है।
Illustration:20.एक जिले में 100 खेतों के प्रतिदर्श में गेहूँ की माध्य उपज 210 पौण्ड थी और प्रमाप विचलन 10 पौण्ड प्रति एकड़ था।दूसरे जिले के 150 खेतों के प्रतिदर्श में माध्य उपज 220 पौण्ड और प्रमाप विचलन 12 पौण्ड था।पूरे राज्य में गेहूँ की माध्य उपज 11 पौण्ड प्रति एकड़ मानकर यह जाँच कीजिए कि दोनों जिलों में फसलों की माध्य उपज में क्या कोई सार्थक अन्तर है?
(The mean yield of wheat from a district was 210 lbs. per acre with standard deviation of 10 lbs. from a sample of 100 plots. In another district, the mean yield was 220 lbs. with s.d.=12 lbs. from a sample of 150 plots. Assuming that the standard of yield in the entire state was 11 lbs., test whether there is any significant difference between the mean yield of crops in two district.)
Solution: n_1=100, \bar{x}_1=210, \sigma_1=10 \\ n_2=150, \bar{x}_2=220, \sigma_2=12 \\ \sigma_p=11
दोनों प्रतिदर्श माध्यों का अन्तर=\left|\overline{x_1}-\overline{x_2}\right| \\ =|210-220|=10
यदि यह अन्तर अर्थहीन हुआ तो यह माना जाएगा कि दोनों प्रतिदर्श एक ही समष्टि से लिए गए हैं जिनका प्रमाप विचलन \sigma_p=11
अन्तर की प्रमाप त्रुटि=\sigma_{\overline{x_1}-\overline{x_2}} =\sigma_{\text{prop.}} \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}} \\ =11\sqrt{\frac{1}{100}+\frac{1}{150}} \\ =11 \sqrt{\frac{3+2}{300}} \\ =11 \sqrt{\frac{1}{60}} \\ \approx 11 \times 0.129099 \\ \sigma_{\overline{x_1}-\overline{x_2}} \approx 1.42 \\ \frac{\text { अन्तर }}{\text { प्रमाप त्रुटि } }=\frac{\left|\overline{X_1}-\overline{X_2}\right|}{\sigma_{\overline{X_1} -\overline{X_2}}} =\frac{10}{1.42} \approx 7.042 \left( 3 \sigma_{\overline{X_1}-\overline{X_2}}\right)
अतः अन्तर सार्थक है।दोनों प्रतिदर्श एक ही समग्र से लिए गए हैं।
Illustration:21.प्रमाप विभ्रम से क्या तात्पर्य है? कुछ समय के लिए 50 बच्चों को विशेष भोजन दिया गया तथा दूसरे 50 बच्चों को सामान्य भोजन पर रखा गया।उसका औसत वजन इस प्रकार बढ़ा-विशेष भोजन 7.2 पौण्ड,सामान्य भोजन 5.7 पौण्ड।वजन बढ़ने का प्रमाप विचलन 2 पौण्ड है।क्या आप यह निष्कर्ष निकालेंगे कि विशेष भोजन से वजन अधिक बढ़ता है?
(What is standard error? 50 children are given normal meals. Their mean gains in weight are-special diet 7.2 pounds, Normal diet 5.7 pounds. The standard deviation for the weight gains is 2 pounds. Would you conclude that the special diet really promotes weight?):
Solution: n_1=50, \overline{X_1}=7.2, n_2=50, \overline{X_2}=5.7 , \sigma_p=2
दोनों प्रतिदर्श माध्यों का अन्तर=|\overline{X_1}-\overline{X_2}|=|7.2-5.7|=1.5
अन्तर की प्रमाप त्रुटि \sigma_{\overline{X_1}-\overline{X_2}}=\sigma_{\text{prop.}} \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}} \\ =2 \sqrt{\frac{1}{50}+\frac{1}{50}}=2 \sqrt{\frac{2}{50}}=2 \sqrt{\frac{1}{25}} \\ \Rightarrow \sigma_{\overline{X_1}-\overline{X_2}}=\frac{2}{5}=0.4 \\ \frac{\text { अन्तर }}{\text { प्रमाप त्रुटि } }=\frac{\left|\overline{X_1}-\overline{X_2}\right|}{\sigma_{\overline{X_1}-\overline{X_2}}}=\frac{1.5}{6.4}=3.75>3 \left( \sigma_{\overline{x_1}-\overline{x}_2}\right)
अन्तर सार्थक है।
गुणों के सरल प्रतिचयन के प्रमाप विचलन को सांख्यिक सफलताओं की संख्या की प्रमाप त्रुटि (S.E.) कहते हैं।

Sampling of Variable in Statistics

Illustration:22(i).एक फिल्म नगरी में 100 निवास मण्डपों के यादृच्छिक प्रतिदर्श में 500 व्यक्ति प्रति मण्डप की माध्य जनसंख्या पाई गई।उसी नगरी से लिए गए 150 निवास-मण्डपों के अन्य प्रतिदर्श में 504 प्रति मण्डप की औसत आबादी थी।नगर में सभी मण्डपों की माध्य जनसंख्या का प्रमाप विचलन 20 मानते हुए,यह ज्ञात कीजिए कि क्या पहले प्रतिदर्श का परिणाम दोनों प्रतिदर्शों के सामूहिक माध्य से संगत है।
(A random sample of 100 living booths in a film town shows the mean population of 500 persons per booth. Another sample of 150 living booths from the same town shows the mean at 504.Assuming the standard deviation of mean population of all booths in the town as 20, find out if the result of the first sample is consistent with the combined mean of the two sample taken together.)
Solution: n_1=100 ; \overline{X_1}=500 , n_2=150 ; \overline{X_2}=504, \sigma_{p}=20
पहले प्रतिदर्श की माध्य जनसंख्या और दोनों प्रतिदर्शों की सामूहिक माध्य जनसंख्या के अन्तर की सार्थकता परीक्षा करनी है।
सामूहिक माध्य \overline{X}_{1.2}=\frac{\overline{X}_1 n_1+\overline{X}_2 n_2}{n_1+n_2} \\ =\frac{500 \times 100+504 \times 150}{100+150} \\ =\frac{50,000+75,600}{250} \\ =\frac{125,600}{250} \\ \Rightarrow \overline{X}_{1.2}=502.4
माध्यों का अन्तर \left|\overline{X_1}-\overline{X_2}\right|=|500-502.4| \\ \Rightarrow \left|\overline{X_1}-\overline{X_2}\right|=2.4
अन्तर की प्रमाप त्रुटि
\sigma_{\overline{X_1}-\overline{X_2}}=\sigma_{\text{prop.}} \cdot \sqrt{\frac{n_2}{n_1\left(n_1 + n_2\right)}} \\ =20 \times \sqrt{\frac{150}{100(100+150)}} \\ =20 \sqrt{\frac{3}{2 \times 250}} \\ =20 \sqrt{\frac{3}{500}} \\ =20 \times \sqrt{0.006} \\ \approx 20 \times 0.077459 \\ \Rightarrow \sigma_{\overline{X_1}-\overline{X_2}} \approx 1.549 \\ \\ \frac{\text { अन्तर }}{\text { प्रमाप त्रुटि } }=\frac{\left|\overline{X_1}-\overline{X_2}\right|}{\sigma_{\overline{X_1}-\overline{X_2}}}=\frac{2.4}{1.549}=1.549<3
हाँ संगत है।
Illustration:22(ii).60 पिताओं और उनके 100 पुत्रों पर किए गए एक बौद्धिक-परीक्षण से निम्न परिणाम प्राप्त हुए।दोनों में सहसम्बन्ध गुणांक +0.75 मानकर दोनों माध्यों के अन्तरों की सार्थकता का परीक्षण कीजिए:
(In an intelligence test administered to 60 fathers and their 100 children the following results were obtained. Assuming the r between the two be +0.75, calculate the standard error of the difference of the two mean and state whether the difference is significant):
\begin{array}{|ccc|} \hline \text{पिताओं का माध्य प्राप्तांक} & 114 & \text{प्रमाप विचलन (S.D)}=13 \\ \text{(Father's mean score)} & & \\ \text{पुत्रों के माध्य प्राप्तांक} & 110 & \text{प्रमाप विचलन (S.D.)}=11 \\ \text{(Son's mean score)} & & \\ \hline \end{array}
Solution: n_1=60, \overline{X_1}=114, \sigma_1=13, n_2=100, \overline{X_2}=110, \sigma_2=11, \sigma_{1.2}=+0.75
अन्तर \left|\overline{X_1}-\overline{X_2}\right|=|114-110|=4
अन्तर की प्रमाप त्रुटि (जबकि r ज्ञात है)
\sigma_{\overline{X_1}-\overline{X_2}}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}-2 r \frac{\sigma_1 \times \sigma_2}{n_1 \times n_2}} \\ =\sqrt{\frac{13^2}{60}+\frac{11^2}{100}-2 \times 0.75 \times \frac{13 \times 11}{60 \times 100}} \\ =\sqrt{\frac{169}{60}+\frac{121}{100}-\frac{1.5 \times 143}{6000}} \\ =\sqrt{\frac{16900+7260-214.5}{6000}} \\ =\sqrt{\frac{23945.5}{6000}} \\ \approx \sqrt{3.990916} \\ \Rightarrow \sigma_{\overline{X_1}-\overline{X_2}} \approx 1.9977 \\ \frac{\text { अन्तर }}{\text { प्रमाप त्रुटि } }=\frac{\left|\overline{X_1}-\overline{X_2}\right|}{\sigma_{\overline{X_1}-\overline{X_2}}}=\frac{4}{1.9977}=2.002 < 3\left(\sigma_{\overline{X_1}-\overline{X_2}}\right)
अन्तर सार्थक नहीं है।
Illustration:23.उत्तरी भारत से लिए गए 100 व्यक्तियों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श में दैनिक मजदूरी का माध्य 2.50 रु. और प्रसरण 2.25 रु. है।पूर्वी भारत के लिए गए 1500 व्यक्तियों के एक अन्य प्रतिदर्श में माध्य दैनिक मजदूरी 2.68 रु. और प्रसरण 4 रु. है।क्या आप जानते हैं कि 5% सार्थकता स्तर पर दोनों क्षेत्रों में मजदूरी की औसत दरों में सार्थक अन्तर है?
(In a random sample of 1000 persons taken from North India the mean daily wages and variance are Rs. 2.50 and Rs. 2.25 respectively. In another sample of 1500 persons drawn from East India,mean daily wage and variance are found to be Rs. 2.68 and Rs. 4 respectively. Do you consider the difference between mean wages to be significant at 5% level of significance?)
Solution: n_1=1000, \overline{X_1}=2150, \sigma_1^2=2.25 , n_2=1500, \overline{X_2}=2.68, \sigma_2^2=4
प्रतिदर्श माध्यों का अन्तर \left|\overline{X_1}-\overline{X_2}\right|=|2.50-2.68| \\ \Rightarrow \left|\overline{X_1}-\overline{X_2}\right|=0.18
अन्तर की प्रमाप त्रुटि
\sigma_{\overline{X_1}-\overline{X_2}}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}\right)} \\ =\sqrt{\frac{2.25}{1000}+\frac{4}{1500}} \\ =\sqrt{\frac{6.75+8}{3000}} \\ =\sqrt{\frac{14.75}{3000}} \\ \Rightarrow \sigma_{\overline{X_1}-\overline{X_2}} \approx 0.0701 \\ \frac{\text { अन्तर }}{\text { प्रमाप त्रुटि } }=\frac{\left|\overline{X_1}-\overline{X_2}\right|}{\sigma_{\overline{X_1}-\overline{X_2}}} =\frac{0.18}{0.0701} \approx 2.57>\left(1.96 \sigma_{\overline{X_1}-\overline{X_2}}\right)
अन्तर सार्थक है।
Illustration:24.सूत्री वस्त्र उद्योग के 400 श्रमिकों की मजदूरी का प्रमाप विचलन 12.8 रु. है।600 अन्य श्रमिकों की मजदूरी का प्रमाप विचलन 15.7 है।यह परीक्षा कीजिए कि क्या पहले प्रतिदर्श के प्रमाप विचलन का दोनों प्रतिदर्शों के सामूहिक प्रमाप विचलन (14 रु.) से सार्थक अन्तर है?
(The standard deviation of a sample of 400 workers of textile industry is Rs. 12.8.The s.d. of 600 other workers is 15.7.Test whether the s.d. of first sample differs significantly from the combined standard deviation (Rs. 14) of both samples.)
Solution: n_1=400, \sigma_1=12.8 ,n_2=600, \sigma_2=15.7 , \sigma_p=14
अन्तर की प्रमाप त्रुटि \sigma_{\sigma_1-\sigma_2}=\sqrt{\frac{\sigma_p^2}{2}\frac{n_2}{n_1(n_1+n_2)}} \\ =\sqrt{\frac{14^2}{2} \frac{600}{400(400+600)}} \\ =\sqrt{\frac{196}{2} \cdot \frac{3}{2000}} \\ =\sqrt{98 \times \frac{3}{2000}} \\ \approx 0.38 \\ \Rightarrow \sigma_{\sigma_1-\sigma_2} \approx 0.38
प्रमाप विचलनों का अन्तर =\left|\sigma_1-\sigma_2\right| \\ =|12.8-14| \\ \Rightarrow \left|\sigma_1-\sigma_p\right|=1.2 \\ \frac{\text { अन्तर }}{\text { प्रमाप त्रुटि } }= \frac{|\sigma_{1}-\sigma_p|}{\sigma_{1}-\sigma_p} \\ =\frac{1.2}{0.38}\\ \approx 3.16 >3\left(\sigma_1-\sigma_p\right)
अतः अन्तर सार्थक है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन (Sampling of Variable in Statistics),सांख्यिकी में गुणात्मक प्रतिचयन (Sampling of Attributes in Statistics) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन पर आधारित सवाल (Questions Based on Sampling of Variable in Statistics):

Sampling of Variable in Statistics

(1.)3 रु. साप्ताहिक मजदूरी प्रमाप विचलन वाले एक श्रमिक-सभ्रम से दो दैव प्रतिदर्श निकाले गए।
प्रतिदर्श I: श्रमिक संख्या=80 माध्य साप्ताहिक आय=30 रु.
प्रतिदर्श II: श्रमिक संख्या=100 माध्य साप्ताहिक आय=40 रु.
यह ज्ञात कीजिए कि क्या प्रथम प्रतिदर्श की औसत आय का दोनों प्रतिदर्शों की सामूहिक आय से सार्थक अन्तर है?
(2.)60 पिता और उनके 100 पुत्रों पर किये गये बौद्धिक परीक्षण में निम्न परिणाम उपलब्ध हुए:
पिता: माध्य अंक=112 प्रमाप विचलन=13
पुत्र: माध्य विचलन=109 प्रमाप विचलन=11
दोनों में सहसम्बन्ध गुणांक +0.8 मानते हुए 140 सार्थकता स्तर पर अन्तर की सार्थकता का परीक्षण कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)\frac{5.66}{0.25}=22.273 > 3 , अन्तर अत्यधिक सार्थक है
(2.)\frac{3}{2}=1.5<2.58 (1% सार्थकता स्तर) अन्तर अर्थहीन है और केवल प्रतिचयन उच्चावचनों के कारण उत्पन्न हुआ है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन (Sampling of Variable in Statistics),सांख्यिकी में गुणात्मक प्रतिचयन (Sampling of Attributes in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन (Frequently Asked Questions Related to Sampling of Variable in Statistics),सांख्यिकी में गुणात्मक प्रतिचयन (Sampling of Attributes in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में चरों का प्रतिचयन (Sampling of Variable in Statistics) के इस आर्टिकल में
प्रतीपगमन गुणांक,प्रतीपगमन गुणांक की प्रमाप त्रुटि,सहसम्बन्ध गुणांक तथा उसकी प्रमाप
त्रुटि,प्रतीपगमन आकलन की प्रमाप त्रुटि आदि पर आधारित सवालों को हल करके समझने
का प्रयास करेंगे।