1.परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (SA of Solids of Revolution),परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solid of Revolution):

SA of Solids of Revolution

• परिक्रमण ठोसों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (SA of Solids of Revolution) किसी चाप अथवा वक्र द्वारा अक्षों के परित: अतवा किसी रेखा के सापेक्ष परिक्रमण से जनित होता है।यहाँ पृष्ठीय क्षेत्रफल से तात्पर्य घेरे गए पृष्ठीय क्षेत्रफल से है क्योंकि किसी चाप द्वारा पृष्ठ ही जनित होता है।
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2.परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल के साधित उदाहरण (SA of Solids of Revolution Solved Examples):

Example:1.प्रदर्शित कीजिए कि साइक्लाॅइड x=a\left({\theta}-\sin{\theta}\right),y=a\left(1-\cos{\theta}\right) को रेखा y=0 के सापेक्ष घुमाने से जनित पृष्ठ क्षेत्रफल है।
(Show that the area of the surface generated by the revolution of the cycloid x=a\left({\theta}-\sin{\theta}\right),y=a\left(1-\cos{\theta}\right) about the line y=0 is.)

SA of Solids of Revolution (Cycloid)

Solution:साइक्लाॅइड का समीकरण:x=a\left({\theta}-\sin{\theta}\right),y=a\left(1-\cos{\theta}\right)
{\theta} के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{d\theta}=a\left(1-\cos{\theta}\right)
\frac{dy}{d\theta}=a\sin{\theta}
\frac{ds}{d\theta}=\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^{2}}
=\sqrt{a^{2}\left(1-\cos{\theta}\right)^{2}+\left(a\sin{\theta}\right)^{2}}
=\sqrt{a^{2}\left(1-2\cos{\theta}+\cos^{2}{\theta}\right)+a^{2}\sin^{2}{\theta}}
=a\sqrt{1-2\cos{\theta}+cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}}
=a\sqrt{1+1-2\cos{\theta}}
=a\sqrt{2-2\cos{\theta}}
\sqrt{2}a\sqrt{1-\cos{\theta}}
अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल=
=2 × \int_{{\theta}=0}^{\pi}2{\pi}y ds
=4{\pi}\int_{0}^{\pi}y\left(\frac{ds}{d\theta}\right).{d\theta}
=4{\pi}\int_{0}^{\pi}a\left(1-\cos{\theta}\right).\sqrt{2}a\sqrt{1-\cos{\theta}}{d\theta}
=4\sqrt{2}{\pi}a^{2}\int_{0}^{\pi}\left(2\sin^{2}{\frac{\theta}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}{d\theta}
=16{\pi}a^{2}\int_{0}^{\pi}\sin^{3}{\frac{\theta}{2}}{d\theta}
\text{ Put }{\frac{\theta}{2}}={\phi}
\Rightarrow{d\theta}=2{d\phi}
\text{ जब }{\theta}=0 \text{ तो }{\phi}=0
\text{ जब }{\theta}={\pi} \text{ तो }{\phi}={\frac{\pi}{2}}
=16{\pi}a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{3}{\phi}.{2d\phi}
=32{\pi}a^{2}\frac{\Gamma{\left(\frac{3+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{1}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{3+0+2}{2}\right)}}
=32{\pi}a^{2}\frac{\sqrt{\pi}}{2.\frac{3}{2}.\frac{1}{2}\sqrt{\pi}}
\frac{64}{3}{\pi}a^{2}
Example:2.कार्डिआइड r=a\left(1-\cos{\theta}\right) को प्रारम्भिक रेखा के सापेक्ष घुमाने से बने ठोस का पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
(Find the surface of the solid obtained by revolving the cardiod r=a\left(1-\cos{\theta}\right) about its initial line.)
Solution:कार्डिआइड की समीकरण:r=a\left(1-\cos{\theta}\right)
{\theta} के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dr}{d\theta}=a\sin{\theta}
\frac{ds}{d\theta}=\sqrt{r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}
=\sqrt{a^{2}\left(1-\cos{\theta}\right)^{2}+a^{2}\sin^{2}{\theta}}
=a\sqrt{1-2\cos{\theta}+\cos^{2}{\theta}+sin^{2}{\theta}}
=a\sqrt{2-2\cos{\theta}}
=\sqrt{2}a\sqrt{1-\cos{\theta}}
अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल=\int_{\alpha}^{\beta}2{\pi}r\sin{\theta} ds
=\int_{0}^{\pi}2{\pi}r\sin{\theta}\frac{ds}{d\theta}{d\theta}
=2{\pi}\int_{0}^{\pi}a\left(1-\cos{\theta}\right)\sin{\theta}.\sqrt{2}a\sqrt{1-\cos{\theta}}{d\theta}
=2\sqrt{2}{\pi}a^{2}\int_{0}^{\pi}\left(1-\cos{\theta}\right)^{\frac{3}{2}}\sin{\theta}{d\theta}
=2\sqrt{2}{\pi}a^{2}\int_{0}^{\pi}\left(2\sin^{2}{\theta}\right)^{\frac{3}{2}}2\sin{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}{d\theta}
=2\sqrt{2}{\pi}a^{2}\int_{0}^{\pi}2\sqrt{2}\sin^{3}{\frac{\theta}{2}}2\sin{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}{d\theta}
=16{\pi}a^{2}\int_{0}^{\pi}\sin^{4}{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}{d\theta}
\text{ Put }{\frac{\theta}{2}}={\phi}
\Rightarrow{d\theta}=2{d\phi}
\text{ जब }{\theta}=0 \text{ तो }{\phi}=0
\text{ जब }{\theta}={\pi} \text{ तो }{\phi}={\frac{\pi}{2}}
=32{\pi}a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{4}{\phi}\cos{\phi}
=32{\pi}a^{2}\frac{\Gamma{\left(\frac{4+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{1+2}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{4+1+2}{2}\right)}}
=32{\pi}a^{2}\frac{\frac{3}{2}\frac{1}{2}\sqrt{\pi}}{2 × \frac{5}{2}.\frac{3}{2}.\frac{1}{2}.\sqrt{\pi}}
=\frac{32}{5}{\pi}a^{2}
Example:3.वक्र r=2a\cos{\theta} को प्रारम्भिक रेखा के सापेक्ष घुमाने से जनित ठोस के पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(Find the area of the surface generated by revolving the curve r=2a\cos{\theta} about the initial line.)
Solution:वक्र का समीकरण:r=2a\cos{\theta}
{\theta} के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dr}{d\theta}=-2a\sin{\theta}
\frac{ds}{d\theta}=\sqrt{r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}
=\sqrt{\left(2a\cos{\theta}\right)^{2}+\left(-2a\sin{\theta}\right)^{2}}
=\sqrt{4a^{2}\cos^{2}{\theta}+4a^{2}\sin^{2}{\theta}}
=\sqrt{4a^{2}\left(\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}\right)}
\Rightarrow \frac{ds}{d\theta}=2a
अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल=\int_{\alpha}^{\beta}2{\pi}r\sin{\theta} ds
=
=\int_{\alpha}^{\beta}2{\pi}r\sin{\theta}\frac{ds}{d\theta}{d\theta}
=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2{\pi}.2a\cos{\theta}.\sin{\theta}.2a{d\theta}
=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}8{\pi}.a^{2}\cos{\theta}\sin{\theta}{d\theta}
=8{\pi}.a^{2}\left[\frac{\sin^{2}{\theta}}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}

=4{\pi}.a^{2}

Example:4.लैमनिस्केट r^{2}=a^{2}\cos{2\theta} को प्रारम्भिक रेखा के सापेक्ष घुमाने से बने ठोस का पृष्ठ ज्ञात कीजिए। (Find the surface of the solid formed by the revolution of the lemniscate r^{2}=a^{2}\cos{2\theta} about the initial line.)

SA of Solids of Revolution (Lemniscate)

Solution:लैमनिस्केट का समीकरण:[kayex]r^{2}=a^{2}\cos{2\theta}[/katex]

{\theta} के सापेक्ष अवकलन करने पर:

2r\frac{dr}{d\theta}=-2a^{2}\sin{2\theta}\\

\Rightarrow \frac{dr}{d\theta}=-\frac{a^{2}\sin{2\theta}}{r}\\

\frac{ds}{d\theta}=\sqrt{r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}

=\sqrt{r^{2}+\left(-\frac{a^{2}\sin{2\theta}}{r}\right)^{2}}

=\sqrt{r^{2}+\frac{a^{4}sin^{2}{2\theta}}{r^{2}}}

=\sqrt{a^{2}\cos{2\theta}+\frac{a^{2}sin^{2}{2\theta}}{\cos{2\theta}}}\\ =a\sqrt{\frac{\cos^{2}{2\theta}+\sin^{2}{2\theta}}{\cos{2\theta}}}

=a\sqrt{\frac{1}{\cos{2\theta}}}

=\frac{a}{\sqrt{\cos{2\theta}}}

अभीष्ट वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=

=2 × \int_{\alpha}^{\beta}2{\pi}r\sin{\theta} ds

=2 × \int_{\alpha}^{\beta}2{\pi}r\sin{\theta}\frac{ds}{d\theta}{d\theta}
4{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}r\sin{\theta}.\frac{a}{\sqrt{\cos{2\theta}}}{d\theta}
[\because y=r\sin{\theta}]
4{\pi}a\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}a\sqrt{\cos{2\theta}}\sin{\theta}.\frac{1}{\sqrt{\cos{2\theta}}}{d\theta}
=4{\pi}a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin{\theta}{d\theta}
=4{\pi}a^{2}\left[-\cos{\theta}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}

=4{\pi}a^{2}\left[-\cos{\frac{\pi}{4}}+\cos{0}\right]

=4{\pi}a^{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)

Example:5.-\frac{1}{2}{\pi}\leq {\theta}\leq{\frac{1}{2}} के अन्तर्गत कार्डिआइड r=a\left(1+\cos{\theta}\right) के चाप को रेखा {\theta}=\frac{1}{2}{\pi} के सापेक्ष घुमाया जाता है।इस प्रकार जनित पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (The arc of the cardioid

SA of Solids of Revolution (Cardioid)

r=a\left(1+\cos{\theta}\right) included between -\frac{1}{2}{\pi}\leq {\theta}\leq{\frac{1}{2}} is rotated about the line {\theta}=\frac{1}{2}{\pi}.Find the area of the surface generated.) Solution:कार्डिआइड की समीकरण:r=a\left(1+\cos{\theta}\right)

{\theta} के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{dr}{d\theta}=-a\sin{\theta}

\frac{ds}{d\theta}=\sqrt{r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}

=\sqrt{a^{2}\left(1+\cos{\theta}\right)^{2}+a^{2}\sin^{2}{\theta}}

=a\sqrt{1+2\cos{\theta}+\cos^{2}{\theta}+sin^{2}{\theta}}

=a\sqrt{2+2\cos{\theta}} =\sqrt{2}a\sqrt{1+\cos{\theta}}

अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल=

\int_{\alpha}^{\beta}2{\pi}y ds

\int_{\alpha}^{\beta}2{\pi}r\sin{\theta} ds
=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r\sin{\theta}\frac{ds}{d\theta}{d\theta}
=2{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\left(1+\cos{\theta}\right)\sin{\theta}.\sqrt{2}a\sqrt{1+\cos{\theta}}{d\theta}
=2\sqrt{2}{\pi}a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos{\theta}\right)^{\frac{3}{2}}\sin{\theta}{d\theta}
\text{ Put }1+\cos{\theta}=t
\Rightarrow -\sin{\theta}{d\theta}=dt
\text{ जब }{\theta}=0 \text{ तो }t=2
\text{ जब }{\theta}=\frac{\pi}{2} \text{ तो }t=1
=2\sqrt{2}{\pi}a^{2}\int_{2}^{1}\left(-t^{\frac{3}{2}}\right)dt
=2\sqrt{2}{\pi}a^{2}\int_{1}^{2}\left(t^{\frac{3}{2}}\right)dt
=2\sqrt{2}{\pi}a^{2}\left[\frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}}\right]_{1}^{2}

=2\sqrt{2}{\pi}a^{2}\left[\frac{2}{5}2^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{5}\right] =\frac{4\sqrt{2}{\pi}a^{2}}{5}\left[2^{\frac{5}{2}}-1\right]

=\frac{4\sqrt{2}{\pi}a^{2}}{5}\left[4\sqrt{2}-1\right]

=\frac{4{\pi}a^{2}}{5}\left[8-\sqrt{2}\right]

Example:6.समकोणीय अतिपरवलय x^{2}-y^{2}=a^{2} के शीर्ष से नाभिलम्ब के एक सिरे तक चाप को x-अक्ष के सापेक्ष चार समकोण घुमाने से बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (Find the area of the surface swept out by the arc of the rectangle hyperbola x^{2}-y^{2}=a^{2}, extending from the vertex to the end of the latus rectum, when roated through four right angles about the axis of x.)

SA of Solids of Revolution (Hyperbola)

Solution:अतिपरवलय \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 के लिए A(a,0) तथा L\left(ae,\frac{b^{2}}{a}\right) है। तथा b^{2}=a^{2}\left(e^{1}-1\right) दिए हुए अतिपरवलय में b=a

a^{2}=a^{2}\left(e^{1}-1\right)

\Rightarrow e^{2}=2

\Rightarrow e=\pm{\sqrt{2}}

अतः L\left(\sqrt{2}a,a\right) है।

अतिपरवलय की समीकरण:x^{2}-y^{2}=a^{2}

x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

2x-2y\frac{dy}{dx}=0\\

\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\\

\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}

=\sqrt{1+\frac{x^{2}}{y^{2}}}

=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}}}

=\frac{\sqrt{x^{2}+x^{2}-a^{2}}}{y} =\frac{\sqrt{2x^{2}-a^{2}}}{y}

\frac{\sqrt{2}\sqrt{x^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}}{y}

अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल=

\int_{a}^{\sqrt{2}a}2{\pi}y\frac{ds}{dx}.dx

=\int_{a}^{\sqrt{2}a}2{\pi}y\frac{\sqrt{2}\sqrt{x^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}}{y} dx
=2\sqrt{2}{\pi}\int_{a}^{\sqrt{2}a}\sqrt{x^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}} dx
=2\sqrt{2}{\pi}[\frac{x}{2}\sqrt{\left(x^{2}-\frac{a^{2}}{2}\right)}-\frac{a^{2}}{4}\log{\left\{x+\sqrt{x^{2}-\frac{a^{2}}{2}}\right\}]_{a}^{\sqrt{2}a}}

=2\sqrt{2}{\pi}[\frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{3}{2}}a-\frac{a^{2}}{4}\log{\left\{\sqrt{2}a+\sqrt{\frac{3}{2}}a\right\}}\\-\frac{a}{2}\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{2}}+\frac{a^{2}}{4}\log{\left\{a+\frac{1}{\sqrt{2}a}\right\}}]

=2\sqrt{2}{\pi}[\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}-\frac{a^{2}}{2\sqrt{2}}+\frac{a^{2}}{4}\log{\left\{\frac{a+\frac{1}{\sqrt{2}}a}{\sqrt{2}a+\sqrt{\frac{3}{2}}a}\right\}}]

=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}{\pi}a^{2}[\sqrt{6}-1+\frac{1}{\sqrt{2}}\log{\left(\frac{\sqrt{2}+1}{2+\sqrt{3}}\right)}]

={\pi}a^{2}[\sqrt{6}-1+\frac{1}{\sqrt{2}}\log{\left(\frac{\sqrt{2}+1}{2+\sqrt{3}}\right)}]

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (SA of Solids of Revolution),परिक्रमण ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solid of Revolution) को समझ सकते हैं।

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3.परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA of Solids og Revolution),परिक्रमण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solid of Revolution) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

SA of Solids of Revolution

• उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा परिक्रमण ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (SA of Solids of Revolution),परिक्रमण ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Solid of Revolution) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

परिक्रमण ठोसों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (SA of Solids of Revolution) किसी चाप अथवा वक्र द्वारा अक्षों के
परित: अतवा किसी रेखा के सापेक्ष परिक्रमण से जनित होता है।यहाँ पृष्ठीय क्षेत्रफल से
तात्पर्य घेरे गए पृष्ठीय क्षेत्रफल से है क्योंकि किसी चाप द्वारा पृष्ठ ही जनित होता है।