1.सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष प्रमेय (Residue Theorem in Complex Analysis),सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष (Residue in Complex Analysis):

Residue Theorem in Complex Analysis

सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष प्रमेय (Residue Theorem in Complex Analysis),बीजगणित का मूल प्रमेय,कोणांक नियम,रूशे प्रमेय तथा समीकरण सिद्धान्त में उसके अनुप्रयोग आदि का विवेचन इस आर्टिकल का मुख्य भाग है।
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2.सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष प्रमेय पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Residue Theorem in Complex Analysis):

Example:2. \frac{1}{\left(z^2+b^2\right)^{n+1}} के z=i b बिन्दु पर अवशेष ज्ञात कीजिए।
(Find the residue of \frac{1}{\left(z^2+b^2\right)^{n+1}} at z=i b)
Solution: \frac{1}{\left(z^2+b^2\right)^{n+1}}
z=i b पर अवशेष D^n(z-ib) f(z)=\frac{D^n(z-ib)}{\left(z^2+b^2\right)^{n+1}} \\ =\frac{1}{n !} \left[D^n \frac{1}{(z+i b)^{n+1}}\right]_{z=i b} \\ =\frac{1}{n !}\left[\frac{(-n-1)(-n-2) \cdots+\{-(n+1)-n+1\}}{(z+i b)^{2 n+1}}\right]_{z=i b} \\ =\frac{1}{n !} \frac{(-1)^n(n+1)(n+2) \ldots 2 n}{(2 i b)^{2 n+1}} \\ =-\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots n(n+1)(n+2) \ldots 2 n}{(2 b)^{2 n+1} n ! n !} \cdot i\\ =-\frac{(2 n) !}{(2 b)^{2 n+1}(n !)^2} \cdot i \\ =-\frac{(2 n) ! i}{(n !)^2(2 b)^{2 n+1}}
Example:5.परिरेखा वृत्त C :|Z|=3 पर समाकल \frac{1}{2 \pi i} \int_c \frac{e^{z t}}{z^2\left(z^2+2 z+z\right)} d z का मान ज्ञात कीजिए।
(Evaluate the integral \frac{1}{2 \pi i} \int_c \frac{e^{z t}}{z^2\left(z^2+2 z+z\right)} d z around the circle C :|Z|=3 )
Solution: \frac{1}{2 \pi i} \int_C \frac{e^{z t}}{z^2\left(z^2+2 z+2\right)} d z
माना कि f(z)=\frac{1}{2 \pi i} \frac{e^{z t}}{z^2\left(z^2+2 z+2\right)}
समाकल के अनन्तक z^2\left(z^2+2 z+2\right)=0
z=0 तथा z=\frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2-4 \times 1 \times 2}}{2} \\ =\frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2} \\ =\frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} \\ =\frac{-2 \pm 2 i}{2} \\ \Rightarrow z =-1 \pm i
z=0 पर द्विक अनन्तक तथा z=-1 \pm i साधारण अनन्तक हैं।
द्विक अनन्तक z=0 पर अवशेष=2 \pi i \frac{d}{dz} z^2f(z) \\ =\underset{z \rightarrow 0}{\lim} 2 \pi i \frac{d\left(z^2\right)}{d z} \frac{1}{2 \pi i} \frac{e^{t z}}{z^2\left(z^2+2 z+2\right)} \\ =\left[\frac{d}{d z} \frac{e^{t z}}{\left(z^2+2 z+2\right)}\right]_{z=0} \\ =\left[\frac{\left(z^2+2 z+2\right) t e^{t z}-e^{t z}(2 z+2)}{\left(z^2+2 z+2\right)^2}\right]_{z=0} \\ =\frac{2 t e^0-e^0(2)}{(2)^2} \\ =\frac{t-2}{2}
साधारण अनन्तक z=-1+i पर अवशेष=\underset{z \rightarrow -1+i}{\lim} 2 \pi i(z+1-i) f(z) \\ =\underset{z \rightarrow (-1+i)}{\lim} (2 \pi i) \frac{(z+1-i)}{2 \pi i } \frac{e^{tz}}{z^2(z+1-i)(z+1+i)}\\ =\underset{z \rightarrow (-1+i)}{\lim} \frac{e^{tz}}{z^2(z+1+i)} \\ =\frac{e^{(-1+i) t}}{(-1+i)^2(-1+i+1+i)} \\ =\frac{e^{(-1+i)t} }{\left(-1-2 i+i^2\right)(2 i)} \\ =\frac{e^{(-1+i) t}}{(-2 i)(2 i)} \\ =\frac{e^{(-1+i) t}}{-4 i^2} \\ =\frac{e^{(-1+i) t}}{4} 

साधारण अनन्तक z=-1-i पर अवशेष
=\underset{z \rightarrow (-1+i)}{\lim} (2 \pi i)(z+1+i) \cdot \frac{e^{zt}}{2 \pi i z^2(z+1-i)(z+1+i)} \\ =\underset{z \rightarrow (-1+i)}{\lim} \frac{e^{z t}}{z^2(z+1-i)} \\ =\frac{e^{(-1-i) t}}{(-1-i)^2(-1-i+1-i)} \\ =\frac{e^{-(1+i) t}}{\left(1+2 i+i^2\right)(-2 i)} \\ =\frac{e^{-(1+i) t}}{-4 i^2} \\ =\frac{e^{-(1+i) t}}{4} \\ \frac{1}{2 \pi i} \int_c \frac{e^{z t}}{z^2\left(z^2+2 z+2\right)} d z=अवशेषों का योग

=\frac{t-2}{2}+\frac{e^{(-1+i) t}}{4}+\frac{e^{-(1+i) t}}{4} \\ =\frac{t-2}{2}+\frac{e^{-t} \cdot e^{i t}}{4}+\frac{e^{-t} \cdot e^{-i t}}{4} \\ =\frac{t-2}{2}+\frac{e^{-t}}{2}\left(\frac{e^{i t}+e^{-i t}}{2}\right) \\ =\frac{t-2}{2}+\frac{e^{-t}}{2} \cos t \\ \Rightarrow \frac{1}{2 \pi i} \int_c \frac{e^{z t}}{z^2\left(z^2+2 z+2\right)} d z=\frac{t-2}{2}+\frac{e^{-t}}{2} \cos t

Residue Theorem in Complex Analysis

Example:9.फलन \frac{z^3}{z^2-1} का अनन्त पर अवशेष ज्ञात करिए।
(Find the residue at infinity of the function \frac{z^3}{z^2-1}.)
Solution:माना f(z)=\frac{z^3}{z^2-1}
तो f\left(\frac{1}{w}\right)=\frac{1}{w\left(1-w^2\right)}
स्पष्टतया w=0 फलन का साधारण अनन्तक है इसलिए z=\infty फलन f(z) का अनन्तक है।

f(z)=\frac{z^3}{z^2}\left(1-\frac{1}{z^2}\right)^{-1} \\ {\left[\because\left|\frac{1}{z^2}\right|<1 \Rightarrow|z|>1\right]} \\ =z\left(1+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^4}+\cdots\right) \\ =z+\frac{1}{2}+\frac{1}{z^3}+\cdots
अतः f(z) का z=\infty पर अवशेष उपर्युक्त व्यंजक में -\frac{1}{z} का गुणांक, जो कि (-1) है।अतः f(z) का z=\infty पर अवशेष (-1) है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष प्रमेय (Residue Theorem in Complex Analysis),सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष (Residue in Complex Analysis) को समझ सकते हैं।

3.सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष प्रमेय की समस्याएँ (Residue Theorem in Complex Analysis Problems):

Residue Theorem in Complex Analysis

(1.)वृत्त C: |z+1+i|=2 पर समाकल \int \frac{(z-3) d z}{z^2+2 z+5}  का मान ज्ञात कीजिए।
(Evaluate \int \frac{(z-3) d z}{z^2+2 z+5}  where C is the circle |z+1+i|=2)
(2.) z=\infty पर \frac{z^2}{(z-a)(z-b)(z-c)} का अवशेष ज्ञात कीजिए।
(Find the residue of  \frac{z^2}{(z-a)(z-b)(z-c)} at infinity)
उत्तर (Answers): (1.) \pi(2+i)  (2.)-1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष प्रमेय (Residue Theorem in Complex Analysis),सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष (Residue in Complex Analysis) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष प्रमेय (Frequently Asked Questions Related to Residue Theorem in Complex Analysis),सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष (Residue in Complex Analysis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.अनन्तक पर अवशेष की गणना कैसे करते हैं? (How to Calculate the Residue at Pole?):

उत्तर:(i)साधारण अनन्तक z=a पर अवशेष (Residue at simple pole z=a):
मान लें कि z=a फलन f(z) का कोटि एक का अनन्तक है।साधारणतया z=a पर अवशेष की गणना सूत्र b_1=\underset{z \rightarrow a}{\lim} (z-a) f(z) के अनुसार की जाती है परन्तु f(z)=\frac{\phi(z)}{\psi(z)} के रूप का है जहाँ \phi(a) \neq 0 तथा z=a फलन \psi(z) का साधारण शून्य है।अतः \psi(a)=0 परन्तु \phi^{\prime}(a) \neq 0 उपर्युक्त सूत्र के अनुसार z=a पर f(z) का अवशेष
\underset{z \rightarrow a}{\lim} (z-a) \frac{\phi(z)}{\varphi(z)}=\underset{z \rightarrow a}{\lim} \frac{\phi(z)}{\frac{\phi(z)-\psi(a)}{z-a}}=\frac{\phi(a)}{\phi^{\prime}(a)}
(ii)जब f(z) के लिये बिन्दु z=a कोटि m का अनन्तक है
(where f(z) has a pole of order m at z=1)
मान लें बिन्दु z=a फलन f(z) का कोटि m (m>1) का अनन्तक है।यदि हम f(z) को \frac{\phi z}{(z-a)^{m}} रूप में लिख सकें तो विश्लेषिक फलन है।इस स्थिति में
b_1=\frac{1}{2 \pi i} \int_c f(z) d z \\ =\frac{1}{2 \pi c} \cdot \int_c \frac{\phi(z)}{(z-a)^m} d z \\ =\frac{\phi(m-1) q}{(m-1) !} (कोशी समाकल सूत्र द्वारा)
इसलिए यदि f(z) का रूप \frac{\phi z}{(z-\phi)^m} प्रकार का है तथा बिन्दु z=a फलन f(z) का m कोटि का अनन्तक है तब फलन f(z) के अवशेष का मान \frac{\phi^{m-1}(a)}{(m-1) !} है।

प्रश्न:2.कोशी अवशेष प्रमेय को स्थापित करो। (Establish Cauchy Residue Theorem):

उत्तर:प्रमेय (Theorem):मान लें कि f(z) परिरेखा C में अन्दर स्थित परिमित वियुक्त विचित्र बिन्दुओं z_1, z_2, \ldots, z_{n} पर f(z) के अवशेष क्रमशः R_1, R_{2},\ldots ,R_3 \ldots, R_n हैं तो \int_c f(z) d z= 2 \pi i\left[R_1+R_2+ R_3+ \cdots+R_n\right]
(Suppose f(z) is analytic inside and a closed contour C except at a finite number of isolated singularities z_1, z_2, \cdots z_n at inside C.Let the residues z_1, z_2, \cdots z_n at R_1, R_{2},\ldots ,R_3 \ldots, R_n be respectively.Then \int_c f(z) d z= 2 \pi i\left[R_1+R_2+R_3+\cdots+R_n\right])
उपपत्ति (Proof):हम विचित्रताओं z_1, z_2, \cdots z_n को इन बिन्दुओं पर केन्द्रित त्रिज्या के असंयुक्त वृत्तों c_1, c_2, \ldots ,c_n द्वारा क्रमशः इस प्रकार परिबद्ध कर लेते हैं कि ये यह सभी वृत्त C के अन्दर स्थित हैं,चित्र तो फलन f(z) पर, C के अन्दर तथा वृत्तों के बाहर के क्षेत्र में काॅशी प्रमेय के अनुप्रयोग से हम प्राप्त करते हैं कि
\int_{c} f(z) d z=\int_{c_{1}} f(z) d z+\int_{c_2} f(z) d z+\ldots +\int_{c_n} f(z) d z
यहाँ प्रत्येक अन्तः परिरेखा C_i, i=1,2,3 \ldots n पर समाकल वामावर्त दिशा में लिया गया है।
हम जानते हैं कि प्रत्येकi=1,2,3……..n के लिए
\frac{1}{2 \pi i} \cdot \int_{c i} f(z) d z=R_i
इसलिए \frac{1}{2 \pi i} \cdot \int_C f(z) d z=R_1+R_2+\ldots +R_{n}=\Sigma R_n \\ \Rightarrow \int_C f(z) d z=2 \pi i\left(R_1+R_2+\cdots+R_n\right)

प्रश्न:3.अनन्त बिन्दु पर अवशेष की परिभाषा लिखो। (Write the Definition Residue at Infinity):

उत्तर:यदि f(z), z=\infty पर विश्लेषिक है या अनन्त बिन्दु f(z) की वियुक्त विचित्रता है तथा यदि सम्मिश्र तल के परिमित अंश पर स्थित समस्त विचित्रताओं को परिबद्ध करते हुए C कोई संवृत्त परिरेखा (कन्टूर) है तो अनन्त पर अवशेष,निम्न समाकल
\frac{1}{2 \pi i} \int_c f(z) d z
द्वारा परिभाषित किया जाता है यदि समाकल का मान परिमित है तथा मूलबिन्दु के सापेक्ष वृत्त C पर समाकल दक्षिणावर्त दिशा में लिया गया है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष प्रमेय (Residue Theorem in Complex Analysis),सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष (Residue in Complex Analysis) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष प्रमेय (Residue Theorem in Complex Analysis),बीजगणित
का मूल प्रमेय,कोणांक नियम,रूशे प्रमेय तथा समीकरण सिद्धान्त में उसके अनुप्रयोग
आदि का विवेचन इस आर्टिकल का मुख्य भाग है।