Residue in Complex Analysis

1.आप सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेषों की गणना कैसे करते हैं? (How Do You Calculate Residue in Complex Analysis?)-

Residue in Complex Analysis

सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेषों (Residue in Complex Analysis) की गणना करने में अवशेष प्रमेय, बीजगणित का मूल प्रमेय,कोणांक नियम,रूशे प्रमेय तथा समीकरण सिद्धान्त में उसके अनुप्रयोग आदि का विवेचन किया जाएगा।

(1.)विचित्र बिन्दु पर अवशेष (Residue at a Singularity)-

परिभाषा (Definition):मान लें कि z=a फलन f(z) की वियुक्त विचित्रता है।फलन f(z) का लौरां प्रसार किया जा सकता है।

f(z)=\begin{matrix} \infty \\ \sum \\ n=0\end{matrix}a_{n}(z-a) ^{n}+\begin{matrix} \infty \\ \sum \\ n=1\end{matrix} b_{n}(z-a)^{-n} \cdots(1)
में पद \frac{1}{z-a} का गुणांकb_{1},फलन f(z) का z=a पर अवशेष कहलाता है तथा इसका मान सूत्र

b_{1}=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma} f(z) d z......(2)
द्वारा प्राप्त होता। यहां पर वक्र \Gamma वह वृत्त है जिसका केन्द्र z=a है। वृत्त में z=a के अतिरिक्त कोई विचित्रता नहीं है।यदि z=a साधारण अनन्तक अर्थात् कोटि 1 का अनन्तक है तो

b_{1}=\begin{matrix} \lim \\ z \rightarrow a \end{matrix} (z-a) f(z).......(3)
फलन f(z) का z=a पर अवशेष है।
बिन्दु z=a पर फलन f(z) के अवशेष की व्यापक परिभाषा जिसमें लौरां प्रसार आवश्यक नहीं है निम्न प्रकार से है:
परिभाषा (Definition):यदि फलन f(z) बिन्दु z=a जो कि वियुक्त विचित्रता है,के अतिरिक्त संवृत्त परिरेखा (Contour) C के अन्तर्गत विश्लेषिक है तथा यदि

\frac{1}{2 \pi i} \int_{c} f(z) d z
का एक मान है तो यह फलन f(z) का z=a पर अवशेष कहलाता है (C को वामावर्त दिशा में लिया गया है।) 
अनन्त बिन्दु (z= ∞) की विशेष स्थिति है तथा अनन्त पर अवशेष की गणना निम्न प्रकार से की जाती है:
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके ।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए ।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-cauchy Integral formula

(2.)अनन्त बिन्दु पर अवशेष (Residue at Infinity)-

Residue in Complex Analysis

परिभाषा (Definition):यदि f(z),F(z), z=∞ पर विश्लेषिक है या अनन्त बिन्दु f(z) की वियुक्त विचित्रता है तथा यदि सम्मिश्र तल के परिमित अंश पर स्थित समस्त विचित्रताओं को परिबद्ध करते हुए C कोई संवृत्त परिरेखा (कन्टूर) है तो अनन्त पर अवशेष समाकल

\frac{1}{2 \pi i} \cdot \int_{c} f(z) d z....(4)
द्वारा परिभाषित किया जाता है यदि समाकल का मान परिमित है तथा मूलबिन्दु के सापेक्ष वृत्त C पर समाकल दक्षिणावर्त दिशा में लिया गया है।
उपर्युक्त परिभाषा में वर्णित संवृत्त परिरेखा C को वृत्त C : |Z|=r भी लिया जा सकता है जिसमें r का चयन इस प्रकार किया जाता है कि z=∞ के अतिरिक्त f(z) के सभी विचित्र बिन्दु C के अन्दर स्थित है।यदि हम z को \frac{1}{\omega} से प्रतिस्थापित करें तो परिवर्तित समाकल

\frac{1}{2 \pi i} \int_{c_{1}}\left\{-f\left(\frac{1}{\omega}\right)\right\} \frac{d w}{w^{2}}
प्राप्त होता है, यहां पर c_{1} मूलबिन्दु पर केन्द्रित सूक्ष्म त्रिज्या का वृत्त है तथा c_{1} पर समाकल धनात्मक दिशा (वामावर्त) में किया गया है।

(3.)अवशेष की गणना (Calculation of Residue)-

(i) साधारण अनन्तक z=a पर अवशेष (Residue at Simple Pole z=a)-
मान लें कि z=a फलन f(z) का कोटि एक का अनन्तक है साधारणतया z=a पर अवशेष की गणना समीकरण (3) के अनुसार की जाती है परन्तु यदि f(z)=\frac{\phi(z)}{\psi(z)} के रूप का है जहां \phi(a) \neq 0 तथा z=a फलन \psi(z) का साधारण शून्य है। अतः \psi(a) =0 परन्तु \psi^{\prime}(a) \neq 0 समीकरण (3) के अनुसार z=a पर f(z) का अवशेष है।

\begin{matrix} \lim \\ z \rightarrow a \end{matrix}(z-a) \cdot \frac{\phi(z)}{\psi(z)}=\begin{matrix} \lim \\ z \rightarrow a \end{matrix} \frac{\frac {\psi(z)}{\psi(z)-\psi(a)}}{Z-a} \\ \Rightarrow \lim _{z \rightarrow a}(z-a) \cdot \frac{\phi(z)}{\psi(z)}=\frac{\phi(a)}{\psi^{\prime}(a)} \cdots \cdot(5)
(ii)जब f(z) के लिए बिन्दु z=a कोटि m का अनन्तक है
(When f(z) has a pole of order m at z=1):
मान लें बिन्दु z=a फलन f(z) का कोटि m (m>1) का अनन्तक है। यदि इस f(z) को \frac{\phi(z)}{(z-a)^{m}} रूप में लिख सकें तो \phi(z) विश्लेषिक फलन है। अतः इस स्थिति में

b_{1} =\frac{1}{2 \pi i} \int_{c} f(z) d z \\ =\frac{1}{2 \pi i} \int_{c} \frac{\phi(z)}{(z-a)^{m}} d z \\ =\frac{\phi^{(m-1)}(a)}{(m-1) !} (कोशी समाकल सूत्र द्वारा)
इसलिए यदि f(z) का रूप प्रकार का है तथा बिन्दु z=a फलन f(z) का m कोटि का अनन्तक है तब फलन f(z) के अवशेष का मान \frac{\phi^{(m-1)}(a)}{(m-1) !} है।
वैकल्पिक विधि:लौरां प्रमेय के अनुसार z=a पर f(z) का प्रसार है

f(z)=g(z)+\begin{matrix} m \\ \sum \\ n=1\end{matrix} b_{n}(z-a)^{-n}
यहां पर g(z)=\begin{matrix} \infty \\ \sum \\ n=0\end{matrix} a_{n}(z-a)^{n} बिन्दु z=a पर विश्लेषिक फलन है। इसलिए

f(z)=\frac{\phi(z)}{(z-a)^{m}}=g(z)+\begin{matrix} m \\ \sum \\ n=1\end{matrix} b_{n}(z-a)^{-n}
यहां पर \phi(z)=(z-a)^{m} g(z)+b_{1}(z-a)^{m-1}+b_{2}(z-a)^{m-2}+\cdots+b_{n}
दोनों पक्षों का z के सापेक्ष (m-1) बार अवकलन करने पर-

\Phi^{(m-1)} z =g^{m-1}(z)(z-a)^{m}+(m-1) g^{(m-2)}(z) \cdot m(z-a)^{m-1}+\cdot+g(z) \frac{m!}{1!} (z-a)+b_{1}(m-1)!
इसलिए \lim _{z \rightarrow a} \phi^{m-1}(z)=b_{1}(m-1) !
या b_{1}=\lim _{z \rightarrow a} \frac{1}{(m-1) !} \frac{d^{m-1}}{d z^{m-1}}\left\{(z-a)^{m} f(z)\right\}
जो कि अनन्तक z=a पर f(z) का अवशेष है।
(iii)अनन्त पर अवशेष (Residue at  ∞):
अनन्त बिन्दु z= ∞ पर के अवशेष का मान
\lim _{z \rightarrow \infty }[-zf(z)] हैं
या z=∞ के प्रतिवेश में f(z) के प्रसार में (\frac{1}{z}) का ऋणात्मक गुणांक z=∞ पर f(z) के अवशेष का मान होता है।

2.सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेषों के उदाहरण (Residue in Complex Analysis Examples),अवशेष प्रमेय समस्याएं और समाधान (Residue theorem problems and solutions),सम्मिश्र विश्लेषण अवशेषों के उदाहरण (Complex analysis residue examples)-

निम्नलिखित फलनों के अनन्तकों पर अवशेष प्राप्त कीजिए:
(Find the residues of the following functions at the poles):
Example-1.\frac{z^{2}}{z^{2}+a^{2}}
Solution-माना f(z)=\frac{z^{2}}{z^{2}+a^{2}}
f(z) के अनन्तक Z^{2}+a^{2}=0 \Rightarrow z=\pm a i हैं। यहां z=ai,z=-aiसाधारण अनन्तक हैं।
साधारण अनन्तक z=ai पर अवशेष

=\lim _{z \rightarrow a i}(z-a i) f(z) \\ =\lim _{z \rightarrow a i}(z-a i) \frac{z^{2}}{\left(z^{2}+a^{2}\right)} \\ =\lim _{z \rightarrow a i}(z-a i) \cdot \frac{z^{2}}{(z+ai)(z-a i)} \\ =\lim _{z \rightarrow a i}(z-a i) \cdot \frac{z^{2}}{(z+a i)(z-a i)} \\ =\lim _{z \rightarrow a i} \frac{z^{2}}{(z+a i)} \\ =\frac {(ai)^{2}} {a i+a i} \\ =\frac{a^{2} i^{2}}{2 a i} \\ =-\frac{a i}{2}
साधारण अनन्तक z=-ai पर अवशेष

=\lim _{z \rightarrow -a i}(z+a i) \cdot f(z) \\ =\lim _{z \rightarrow-a i}(z+a i) \cdot \frac{z^{2}}{\left(z^{2}+a^{2}\right)} \\ =\lim _{z \rightarrow -a i}(z+a i) \frac{z^{2}}{(z+a i)(z-a i)} \\ =\frac{(-a i)^{2}}{(-a i-ai)} \\ =\frac{a^{2} i^{2}}{-2 a i} \\ =\frac{a i}{2}
z = \pm a i पर अवशेष= \pm \frac{a i}{2}
Example-2.\frac{z^{2}}{(z-1)^{4}(z-2)(z-3)}
Solution-माना f(z)=\frac{z^{2}}{(z-1)^{4}(z-2)(z-3)}
f(z) के अनन्तक (z-1)^{4}(z-2)(z-3)=0 \Rightarrow z=1, z=2, z=3 हैं। यहां z=1 चार कोटि का अनन्तक तथा z=2,z=3 साधारण अनन्तक हैं।
चार कोटि के अनन्तक z=1 पर अवशेष

=\begin{matrix} \lim \\ z \rightarrow 1 \end{matrix}\frac{d^{4-1}}{dz^{4-1}} \frac{ (z-1)^{4}}{(4-1)!} \cdot f(z) \\ =\begin{matrix} \lim \\ z \rightarrow 1 \end{matrix} \frac{d^{3}}{dz^{3}} \frac{ (z-1)^{4}}{3!} \cdot \frac{z^{3}}{(z-1)^{4}(z-2)(z-3)} \\ =\frac{1}{6} \begin{matrix} \lim \\ z \rightarrow 1 \end{matrix} \frac{d^{3}}{d z^{3}} \frac{ z^{3}}{(z-2)(z-3)} \\ =\frac{1}{6} \begin{matrix} \lim \\ z \rightarrow 1 \end{matrix} \frac{d^{2}}{d z^{2}}\left[\frac{d}{d z} \frac{z^{3}}{z^{2}-5 z+6}\right] \\ =\frac{1}{6} \begin{matrix} \lim \\ z \rightarrow 1 \end{matrix} \frac{d^{2}}{dz^{2}}\left[\frac{\left(z^{2}-5 z+6\right) \cdot 3 z^{2}-z^{3}(2 z-5)}{\left(z^{2}-5 z+6\right)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{6} \begin{matrix} \lim \\ z \rightarrow 1 \end{matrix} \frac{d^{2}}{d z^{2}}\left[\frac{3 z^{4}-15 z^{3}+18 z^{2}-2 z^{4}+5 z^{3}}{\left(z^{2}-5 z+6\right)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{6} \begin{matrix} \lim \\ z \rightarrow 1 \end{matrix} \frac{d^{2}}{d z^{2}}\left[\frac{z^{4}-10 z^{3}+18 z^{2}}{\left(z^{2}-5 z+6\right)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{6} \begin{matrix} \lim \\ z \rightarrow 1 \end{matrix} \frac{d}{d z} [\frac{\begin{matrix} \left(z^{2}-5 z+6\right)^{2} \cdot\left(4 z^{3}-30 z^{2}+36 z\right)- \\ \left(z^{4}-10 z^{3}+18 z^{2}\right) \left(2 z^{2}-5 z+6\right)(2z-5) \end{matrix}}{\left(z^{2} -5 z+6\right)^{4}}] \\ =\frac{1}{6} \begin{matrix} \lim \\ z \rightarrow 1 \end{matrix} \frac{d}{d z} \left[\frac{\begin{matrix} \left(z^{2}-5 z+6\right)\left(4 z^{3}-30 z^{2}+36 z\right) \\ -(4 z-10)\left(z^{4}-10 z^{3}+18 z^{2}\right) \end{matrix}}{\left(z^{2}-5 z+6\right)^{4}}\right] \\ =\frac{1}{6} \begin{matrix} \lim \\ z \rightarrow 1 \end{matrix} \frac{d}{dz} \frac{\begin{matrix} [4 z^{5}-30 z^{4}+36 z^{3}-20 z^{4}+150 z^{3} \\ -180 z^{2}+24 z^{3}-180 z^{2}+216 z-4 z^{5} \\ + 40 z^{4}-72 z^{3}+10 z^{4}-10 z^{3}+180 z^{2}] \end{matrix}}{\left(z^{2}-5 z+6\right) ^{3}} \\ =\frac{1}{6} \begin{matrix} \lim \\ z \rightarrow 1 \end{matrix} \frac{d}{d z}\left[\frac{38 z^{3}-180 z^{2}+216 z}{\left(z^{2}-5 z+6\right)^{3}}\right] \\ =\frac{1}{6} \begin{matrix} \lim \\ z \rightarrow 1 \end{matrix} \left[\frac {\begin{matrix} \left(z^{2}-5 z+6 \right) ^{3}\left(114 z^{2}-360 z+216\right) \\ -3\left(z^{2}-5 z+6 \right) ^{2}(2z-5) \left(38 z^{3}-180 z^{2} +216z\right) \end{matrix}}{\left(z^{2}-5 z+6\right)^6}\right]\\ =\frac{1}{6} \begin{matrix} \text { lim } \\ z \rightarrow 1 \end{matrix} \frac{\begin{matrix}\left(z^{2}-5 z+6\right)\left(114 z^{2}-160 z+216 \right) \\- 3\left(38 z^{3}+180z^{2} +216z\right)(2 z-5) \end{matrix}}{\left(z^{2}-5 z+6\right)^{4}} \\ =\frac{1}{6} \frac {\left(1^{2}-5 \times 1+6\right)\left(114 (1)^{2}-360(1)+ 216\right) -3\left(38 (1)^{3} -180(1)^{2} +216(1)\right)(2-5)}{\left(1^{2}-5(1) +6\right) ^{4}} \\ =\frac{1}{6} \times \frac{(1-5+6)(114-360+216)-3(38-180+216)(-3)}{(1-5+6)^{4}} \\ =\frac{1}{6} \times \frac{(2)(-30)+9(74)}{(2)^{4}} \\=\frac{1}{6} \times \frac{-60+666}{16} \\ =\frac{1}{6} \times \frac{606}{16} \\ =\frac{101}{16}
साधारण अनन्तक z=2 पर अवशेष

=\lim _{z \rightarrow 2}(z-2) f(z) \\=\lim _{z \rightarrow 2}(z-2) \cdot \frac{z^{3}}{(z-1)^{4}(z-2)(z-3)} \\ =\lim _{z \rightarrow 2} \frac{z^{3}}{(z-1)^{4}(z-3)} \\ =\frac{2^{3}}{(2-1)^{4}(2-3)} \\=\frac{8}{(-1)}=-8
साधारण अनन्तक z=3 पर अवशेष

=\lim _{z \rightarrow 3}(z-3) f(z)\\ =\lim _{z \rightarrow 3}(z-3) \cdot \frac{z^{3}}{(z-1)^{4}(z-2)(z-3)} \\ =\lim _{z \rightarrow 3} \frac{z^{3}}{(z-1)^{4}(z-2)} \\ =\frac{3^{3}}{(3-1)^{4}(3-2)} \\ =\frac{27}{1} \\=27
अतः चार कोटि के अनन्तक z=1 पर अवशेष= \frac{101}{16} तथा साधारण अनन्तक z=2 पर अवशेष=-8 व z=3 पर अवशेष=\frac{27}{16}
Example-3.\frac{z^{4}}{\left(z^{2}+a^{2}\right)^{4}}
Solution-माना F(z)=\frac{z^{4}}{\left(z^{2}+a^{2}\right)^{4}}
f(z) के अनन्तक \left(z^{2}+a^{2}\right)^{4}=0 \Rightarrow z=\pm a i जो चार कोटि के अनन्तक हैं।
अतः कोटि चार के z=+ai पर अवशेष के लिए
z=t+ia रखने पर

=\frac{(t+ia)^{4}}{(t+ia-ia)^{4}(t+ia+ia)^{4}} \\ =\frac{(t+ia)^{4}}{t^{4}(t+2ia)^{4}} \\ =\frac{(t+ia)^{4}}{t^{4}(2ia)^{4}\left(1+\frac{t}{2ia}\right)^{4}} \\ f(z)=\frac{(t+ia)^{4}\left(1+\frac{t}{2ia}\right)^{-4}}{t^{4}\left(16 a^{4}\right)} \\ =\frac{1}{16 a^{4} t^{4}}\left(t^{4}+4ia t^{3}-6 a^{2} t^{2}-4ia^{3} t + a^{4}\right)(1-\frac{4 t}{2ia}+\frac{10}{(2ia)^{2}} t^{2}-\frac{20}{(2ia)^{3}}+\cdots)
f(z) में का गुणांक=\frac{1}{16 a^{4}} \left(4i a-12ia+10i a-\frac{5}{2}ia\right) \\ =-\frac{i}{32 a^{3}}
अतः कोटि चार के अनन्तक Z=\pm a i पर अवशेष =\frac{i}{32 a^{3}}

Residue in Complex Analysis

Example-4.सम्मिश्र तल के परिमित अंश में स्थित फलन f(z)=e^{z} \operatorname{cosec}^{2} z  के सभी अनन्तकों पर अवशेषों का योगफल ज्ञात कीजिए।
(Find the sum of residues of f(z)=e^{z} \operatorname{cosec}^{2} z at all poles in the finite plane.)
Solution-f(z)=e^{z} \operatorname{cosec}^{2} z \Rightarrow f(z)=\frac{e^{z}}{\sin ^{2} z}
f(z) के अनन्तक \sin ^{2} z=0 \\ \Rightarrow \sin ^{2} z=\sin ^{2} \theta \\ \Rightarrow z=m \pi, m \in I
f(z) के कोटि के अनन्तक z=m \pi
अनन्तक का सीमा बिन्दु z= ∞ जो कि अवियुक्त अनिवार्य विचित्रता है।
f(z) में z= m \pi+t रखने पर-

f(m \pi+t) =\frac{e^{m \pi+t}}{\sin ^{2}(m \pi+t)} \\ =e^{m \pi} \cdot e^{t} \cdot \frac{1}{\sin ^{2}(m \pi+t)} \\ =\frac{e^{m \pi}\left(1+t+\frac{t^{2}}{2 !}+\frac{t^{3}+\cdots}{3 !}+\cdots\right)}{\left(t-\frac{1}{3 t} t^{3}+\frac{1}{5}+5^{5}-\cdots\right)^{2}} \\ =\frac{e^{m \pi} \cdot\left(1+t+\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{3}}{3 !}+\cdots\right)}{t^{2}\left(1-\frac{1}{3 !} t^{2}+\frac{1}{5 !} t^{4}\cdots\right)^{2}} \\ =\frac{e^{m \pi}}{t^{2}}\left(1+t+\frac{t^{2}}{2 !}+\frac{t^{3}}{3}+\cdots\right)\left[1-\left(\frac{t^{2}}{3 !}-\frac{t^{4}}{5 !}+......\right)\right]^{-2} \\ =e^{m \pi} \cdot \frac{1}{z^{2}} \left(1+t+ \frac {t^{2}}{2 !}+\frac{t^{3}}{3!}+......\right) [1+2\left(\frac{t^{2}}{3 !}-\frac {t^{4}}{5 !}+\cdots\right)+3\left(\frac{t^{2}}{3 !}-\frac{t^{4}}{5!} \right)^{2} +........]
अब f(z) का z=m \pi पर अवशेष=उपर्युक्त विस्तार का \frac {1}{t} का गुणांक

=e^{m \pi}
निम्न फलनों के दिए गए अनन्तकों पर अवशेष ज्ञात कीजिए।
(Find the residues of the following functions at the given poles):

Example-5.f(z)=\frac{\cot z \operatorname{coth} z}{z^{3}}

Solution-f(z) =\frac{\cot z \cos t h z}{z^{3}} \\ \Rightarrow f(z) =\frac{1}{z^{3}(\tan z \tanh z)} \\=\frac{1}{z^{3}\left(z+\frac{z^{3}}{3}+\frac{2 z^{5}}{15}+......\right)\left(z-\frac{z^{3}}{3}+\frac{2 z^{5}}{15}........\right)} \\ =\frac{1}{z^{5}\left(1+\frac{z^{2}}{3}+\frac{2 z^{4}}{15}+......\right)\left(1-\frac{z^{2}}{3}+\frac{2 z^{4}}{15}-\cdots\right)} \\ =\frac{1}{z^{5} \left(1 +\frac{7}{45} z^{4}+\cdots\right)} \\ =\frac{1}{z^{5}}\left(1+\frac{7}{45} z^{4}+......\right)^{-1} \\ =\frac{1}{z^{5}}\left[1-\left(\frac{7}{45} z^{4} +\cdots\right)+\cdots\right]
f(z) का \frac {1}{z} पर गुणांक=-\frac{7}{45}
अतः तीन कोटि के अनन्तक पर f(z) का अवशेष=-\frac{7}{45}
Example-6.\frac{1}{\left(z^{2}+1\right)^{3}},z=iपर
Solution-f(z)=\frac{1}{\left(z^{2}+1\right)^{3}} \\ \Rightarrow f(z) =\frac{1}{(z+i)^{3}(z-i)^{3}}
अतः f(z) का z=i,कोटि तीन का अनन्तक है।
अतः कोटि तीन का z=i अनन्तक पर अवशेष

=\lim _{z \rightarrow i}\frac{1}{(3-1) !} \frac{d^{3-1}}{d z^{3-1}}(z-i)^{3} f(z) \\ =\lim _{z \rightarrow i}\left(\frac{1}{2}\right) \frac{d^{2}}{d z^{2}}(z-i)^{3} \cdot \frac{1}{(z+i)^{3}(z-i)^{3}} \\ =\frac{1}{2} \lim _{z \rightarrow i} \frac{d^{2}}{d z^{2}} \cdot \frac{1}{(z+i)^{3}} \\ =\frac{1}{2} \lim _{z \rightarrow i} \frac{d}{d z}\left[-\frac{3}{(z+i)^{4}}\right] \\ =\frac{1}{2} \lim _{z \rightarrow i} \frac{12}{(z+i)^{5}} \\ =\frac{1}{2} \cdot \frac{12}{(i+i)^{5}} \\ =\frac{6}{32 i^{5}} \\ =-\frac{3 i}{16}

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेषों (Residue in Complex Analysis) को समझ सकते हैं

3.सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेषों की समस्याएं (Residue in Complex Analysis Problems)-

(1.)सम्मिश्र तल के परिमित भाग में \frac{z^{2}-2 z}{(z+1)^{2} \left(z^{2}+4\right)} के समस्त अनन्तकों पर अवशेष ज्ञात कीजिए।
(Find the residue of \frac{z^{2}-2 z}{(z+1)^{2}\left(z^{2}+4\right)} at all its poles in the finite plane.)
(2.) फलन f(z)=\frac{\cot \pi z}{(z-a)^{2}} के अनन्तकों पर अवशेष ज्ञात कीजिए।
(Find the residue at the poles of f(z)=\frac{\cot \pi z}{(z-a)^{2}} .)
(3.)z= ∞ पर \frac{z^{3}}{z^{2}-1} का अवशेष ज्ञात कीजिए।
(Find the residue of \frac{z^{3}}{z^{2}-1} at z= ∞ .)
(4.)फलन f(z)=\frac{e^{z}}{z \sin z} का z=0 पर अवशेष ज्ञात कीजिए।
(Find the residue of f(z)=\frac{e^{z}}{z \sin z} at z=0.)
उत्तर (Answers):

(1) \text { at } z=2 i \text { residue }=\frac{7+i}{25} \\ \text { at } z=-2 i \text { residye }=\frac{7-i}{25} \\ \text { at } z=-1, \text { residue }=-\frac{14}{25} \\ (2)\text { at } z=n, \text { residue }=\frac{1}{\pi(n-a)^{2}} \\  (3.)-1 \\ (4) \frac {1} {m}

उपर्युक्त सवालों को हल करके सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेषों (Residue in Complex Analysis) को समझ सकते हैं

4.अनन्तक और अवशेष क्या है? (What is pole and residue?)-

Residue in Complex Analysis

गणित में, अधिक विशेष रूप से सम्मिश्र विश्लेषण,अवशेष एक सम्मिश्र संख्या है जो समसामयिक फ़ंक्शन के कन्टूर समाकल अंग के साथ आनुपातिक है, जिसमें एक विलक्षणता है।(आम तौर पर,अवशेषों की गणना किसी भी फलन के लिए की जा सकती है कि होलोमोर्फिक को छोड़कर असतत बिंदु ,भले ही उनमें से कुछ आवश्यक विचित्रताएं हैं।)अवशेषों को काफी आसानी से गणना की जा सकती है और, एक बार ज्ञात होने पर, अवशेषों के प्रमेय के माध्यम से सामान्य कन्टूर समाकल के निर्धारण की अनुमति देते हैं।

5.आप एक सम्मिश्र फ़ंक्शन के अवशेषों को कैसे ढूंढते हैं? (How do you find the residue of a complex function?)-

मान लीजिए एक छिद्रित डिस्क D = {z: 0 <| z – c | सम्मिश्र तल में <R} दिया गया है और f, D पर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन परिभाषित (कम से कम) है।c पर f का रेसिड्यू Rec(f, c) गुणांक 1 (z - c) ^{−1} है C के चारों ओर f की लॉरेंट श्रृंखला का विस्तार।इस मान की गणना के लिए विभिन्न विधियाँ मौजूद हैं, और किस विधि का उपयोग करना है यह प्रश्न में फलन पर निर्भर करता है, और विचित्रता की प्रकृति पर।
अवशेष प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है:
जहां Y एक वामावर्त तरीके से c के चारों ओर एक चक्र का पता लगाता है।हम c के चारों ओर त्रिज्या γ का एक वृत्त होने के लिए पथ चुन सकते हैं, जहाँ ε हमारी इच्छानुसार छोटा है।इसका उपयोग उन मामलों में गणना के लिए किया जा सकता है जहां समाकल को सीधे गणना की जा सकती है, लेकिन यह आमतौर पर मामला है कि अवशेषों को समाकल की गणना को सरल बनाने के लिए उपयोग किया जाता है, न कि दूसरे तरीके से।

6.अवशेष समाकलन क्या है? (What is residue integration?)-

Residue in Complex Analysis

सम्मिश्र विश्लेषण में, गणित के भीतर एक अनुशासन, अवशेष प्रमेय, जिसे कभी-कभी कॉची के अवशेष प्रमेय कहा जाता है, बंद वक्रों पर विश्लेषणात्मक फलनों के लाइन इंटीग्रल्स का मूल्यांकन करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है; इसका उपयोग वास्तविक समाकल और अनंत श्रृंखला की गणना करने के लिए भी किया जा सकता है।

उपर्युक्त उदाहरणों, सवालों को हल करके तथा प्रश्नों के उत्तर द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेषों (Residue in Complex Analysis) को ठीक से समझा जा सकता है।

Also Read This Article:-power series expansion by Taylor theorem