1.शेषफल प्रमेय कक्षा 9 (Remainder Theorem Class 9),गणित में शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem in Mathematics):

Introduction to Trigonometry Class 10

शेषफल प्रमेय कक्षा 9 (Remainder Theorem Class 9) किसी बहुपद का शेषफल व गुणनखण्ड ज्ञात करने की प्रक्रिया है।जब एक बहुपद में दूसरे बहुपद का भाग दिया जाता है तब या तो भाग पूरा-पूरा चला जाता है या कुछ शेष भी बच सकता है। जब कोई व्यंजक शेष बच जाता है तो निश्चित ही वह भाज्य से कम घात का व्यंजक होगा।
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2.शेषफल प्रमेय कक्षा 9 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Remainder Theorem Class 9):

Example:1. x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए:
1(i).x+1
Solution:1(i).x+1
भागफल विधि से:

\begin{array}{c|c} & x^{2}+2 x+1 \\ \hline x+1 & x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ & x^{3}+x^{2} \\ & - \quad \quad - \\ \hline & 2 x^{2}+3 x+1 \\ & 2 x^{2}+2 x \\ & - \quad \quad - \\ \hline & x+1 \\ & x+1 \\ \hline & 0\end{array}
शेषफल=0
शेषफल प्रमेय द्वारा:

x+1 =0 \Rightarrow x=-1 \\ p(x) =x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ p(-1) =(-1)^{3}+3(-1)^{2}+3(-1)+1 \\ =-1+3-3+1 \\ p(-1) =0
अतः शेषफल=0
1(ii). x-\frac{1}{2}
Solution:1(ii). x-\frac{1}{2}
भागफल विधि:

\begin{array}{c|c} & x^{2}+\frac{7}{2} x+\frac{19}{4} \\ \hline x-\frac{1}{2} & x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ & x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}\\ & - \quad \quad + \\ \hline & \frac{7}{2} x^{2}+3 x+1 \\ & \frac{7}{2} x^{2}-\frac{7}{4} \\ & - \quad \quad + \\ \hline & \frac{19}{4}x+1 \\ & \frac{19}{4}x-\frac{19}{8} \\& - \quad \quad + \\ \hline & \frac{27}{8}\end{array}
शेषफल प्रमेय द्वारा:

x-\frac{1}{2} =0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \\ p(x) =x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ p(\frac{1}{2}) =\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+3\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3 \times \frac{1}{2}+1 \\ =\frac{1}{8}+\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+1 \\ =\frac{1+6+12+8}{8} \\ P(\frac{1}{2}) =\frac{27}{8}
अतः शेषफल=\frac{27}{8}
1(iii). x
Solution:1(iii).x
भागफल विधि:

\begin{array}{c|c} & x^{2}+3 x+3  \\ \hline x & x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ & x^{3}\\ & - \quad \quad \\ \hline & 3 x^{2}+3 x+1 \\ & 3 x^{2} \\ & - \quad \quad \\ \hline & 3 x+1 \\ & 3x \\& - \quad \quad \\ \hline & 1\end{array}
शेषफल=1
शेषफल प्रमेय द्वारा:

P(x)=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ P(0)=0^{3}+3(0)^{2}+3(0)+1 \\ \Rightarrow P(0)=1
शेषफल=1
1(iv). x+\pi
Solution:1(iv). x+\pi
भागफल विधि:

\begin{array}{c|c} & x^{2}+(3-\pi) x+\left(\pi^{2}-3 \pi+3\right) \\ \hline x & x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ & x^{3}+\pi x^{2} \\ & - \quad \quad - \\ \hline & (3-\pi) x^{2}+3 x+1 \\ & (3-\pi) x^{2}+(3-\pi)\pi x \\ & - \quad \quad \quad \quad \quad - \\ \hline & \left(\pi^{2}-3 \pi+3\right) x+1 \\ & \left(\pi^{2}-3 \pi+3\right) x+\pi^{3}-3 \pi^{2}+3 \pi \\& - \quad \quad \quad \quad \quad - \quad \quad + \quad \quad - \\ \hline & -\pi^{3}+3 \pi^{2}-3 \pi+1 \end{array}
शेषफल=-\pi^{3}+3 \pi^{2}-3 \pi+1
शेषफल प्रमेय द्वारा:

x+\pi=0 \quad \Rightarrow x=-\pi \\ P(x)=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ P(-\pi)=(-\pi)^{3}+3(-\pi)^{2}+3(-\pi)+1 \\ \Rightarrow P(-\pi)=-\pi^{3}+3 \pi^{2}-3 \pi+1
शेषफल=-\pi^{3}+3 \pi^{2}-3 \pi+1
1(v).5+2x
Solution:1(v). 5+2x
भागफल विधि:

\begin{array}{c|c} & \frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{4} x+\frac{7}{8} \\ \hline 2x+5 & x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ & x^{3}+\frac{5}{2} x^{2} \\ & - \quad \quad - \\ \hline & \frac{1}{2} x^{2}+3 x+1 \\ & \frac{1}{2} x^{2} +\frac{5}{4} x \\ & - \quad \quad \quad - \\ \hline & \frac{7}{4} x+1 \\ & \frac{7}{4} x+\frac{35}{8} \\& - \quad \quad \quad -\\ \hline & \frac{-27}{8} \end{array}
शेषफल=-\frac{27}{8}
शेषफल प्रमेय द्वारा:

5+2 x=0 \\ 2x=-5 \\ x=-\frac{5}{2} \\ P(x)=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1\\ P(-\frac{5}{2})=\left(-\frac{5}{2}\right)^{3}+3\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}+3\left(-\frac{5}{2}\right)+1\\ =-\frac{125}{8}+\frac{75}{4}-\frac{15}{2}+1\\ =\frac{-125+150-60+8}{8}\\ \Rightarrow P\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{-27}{8}
शेषफल=-\frac{27}{8}

Introduction to Trigonometry Class 10

Example:2. x^{3}-a x^{2}+6 x-a को x-a से भाग देने पर शेष ज्ञात कीजिए।
Solution: x-a=0 \quad \therefore x=a \\ P(x) =x^{3}-a x^{2}+6 x-a \\ P(a) =a^{3}-a(a)^{2}+6 a-a \\ =a^{3}-a^{3}+6 a-a \\ \Rightarrow P(a) =5 a
शेषफल=5a
Example:3.जाँच कीजिए कि 7+3x, 3 x^{2}+7 x का एक गुणनखण्ड है या नहीं।
Solution: p(x)=3 x^{2}+7 x \\ 7+3 x =0 \Rightarrow 3 x=-7 \Rightarrow x=-\frac{7}{3} \\ P(-\frac{7}{3}) =3(-\frac{7}{3})+7(-\frac{7}{3}) \\ =-\frac{343}{9}-\frac{49}{3} \\ =\frac{-343-147}{9} \\ P(-\frac{7}{3}) =-\frac{490}{9}
शेषफल शून्य नहीं है अतः 7+3x दिए गए बहुपद का गुणनखण्ड नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा शेषफल प्रमेय कक्षा 9 (Remainder Theorem Class 9),गणित में शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem in Mathematics) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

3.शेषफल प्रमेय कक्षा 9 पर आधारित सवाल (Questions Based on Remainder Theorem Class 9):

Introduction to Trigonometry Class 10

(1.)यदि x-3 निम्नलिखित बहुपद का गुणनखण्ड हो तो प्रत्येक के लिए a का मान ज्ञात कीजिए:

(i) x^{3}-3 x^{2}+5  (ii) x^{3}+2 a x^{2}-a x+2

(2.)a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिससे कि बहुपद x^{3}+12 x^{2}+3 a x+b व्यंजकों (x-2) तथा x+3 से पूर्णतः विभाजित हो जाए।
उत्तर (Answers):1.(i) \frac{32}{27} (ii) -\frac{29}{15}

(2.) a=\frac{25}{12}, b=-\frac{249}{4}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर शेषफल प्रमेय कक्षा 9 (Remainder Theorem Class 9),गणित में शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem in Mathematics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.शेषफल प्रमेय कक्षा 9 (Remainder Theorem Class 9),गणित में शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem in Mathematics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

शेषफल प्रमेय कक्षा 9 (Remainder Theorem Class 9) किसी बहुपद का शेषफल व गुणनखण्ड
ज्ञात करने की प्रक्रिया है।जब एक बहुपद में दूसरे बहुपद का भाग दिया जाता है