1.सम्बन्ध कक्षा 11 (Relation Class 11),गणित में सम्बन्ध (Relation in Mathematics):

Relation Class 11

सम्बन्ध कक्षा 11 (Relation Class 11) में सम्बन्ध को हम दैनिक जीवन में प्रयोग करते हैं। गणित का अधिकांश भाग पैटर्न अर्थात् परिवर्तनशील राशियों के बीच अभिज्ञेय (पहचान योग्य) कड़ियों को ज्ञात करने में है। हमारे दैनिक जीवन में हम सम्बन्धों को चित्रित करने वाले पैटर्नो के बारे में जानते हैं, जैसे भाई और बहन, पिता और पुत्र, अध्यापक और विद्यार्थी इत्यादि। गणित में बहुत से सम्बन्ध मिलते हैं जैसे:’संख्या m, संख्या n से छोटी है’, ‘रेखा l, रेखा m, के समान्तर है’, ‘समुच्चय A समुच्चय B का उपसमुच्चय है’। इन सभी को हम देखते हैं कि किसी सम्बन्ध में ऐसे युग्म सम्मिलित हैं जिनके घटक एक निश्चित क्रम में होते हैं।
परिभाषा :कथन (Statement):कथन एक अर्थपूर्ण वाक्य है जो सत्य अथवा असत्य कथन को व्यक्त करता है। उदाहरणार्थ:
(i) सूर्य पूर्व दिशा में उदय होता है।
(ii) अमेरिका की राजधानी लन्दन है।
(iii) 7 का वर्ग 49 है।
(iv) 90° के कोण को समकोण कहते हैं।
उपर्युक्त सभी वाक्य में (i), (ii) तथा (v) सत्य हैं तथा (ii) असत्य है।
खुला वाक्य (Open Sentence):ऐसा कथन जिसके सत्य अथवा असत्य होने का फैसला तब तक नहीं हो सकता जब तक इनके सम्बन्ध में कोई अतिरिक्त जानकारी उपलब्ध न हो, खुले वाक्य कहलाते हैं। उदाहरणार्थ:
(i) x+5=20 (ii) -5<x<3 (iii)x,भारत का एक शहर हैं 
(iv)x^{2}+y^{2}=10 (V) x>2y+3
खुले वाक्य में जिस चर राशि का चयन किया जाता है उसे प्रतिस्थापित समुच्चय (Replacement set) तथा चर के जिन मानों के लिए खुला वाक्य सत्य होता है उसे समुच्चय को हल समुच्चय कहते हैं।
क्रमित युग्म (Ordered pair):साधारणत: समुच्चयों के अवयवों में क्रम का कोई महत्त्व नहीं होता है। उदाहरणार्थ यदि A={a,b,c,d} तथा B={d,a,c,b} तो A और B में कोई अन्तर नहीं है अर्थात् A=B.अत:स्पष्ट है कि किसी समुच्चय में क्रम का भी महत्त्व हो तो ऐसे समुच्चय क्रमित समुच्चय (Ordered Set) कहते हैं। उदाहरणार्थ : 235 \neq 523
जबकि दोनों में अंकों 2,3 तथा 5 का ही प्रयोग किया गया है। अर्थात् अंकों का क्रम महत्त्वपूर्ण है।
दो अंकों के क्रमित समुच्चय को क्रमित समुच्चय युग्म (Ordered pair) कहते हैं। इसे (a, b), (x, y) इत्यादि से निरूपित किया जाता है।स्पष्टतः (a,b) \neq (b,a) तथा (a,b)=(c, d) \Leftrightarrow a=c, b=d क्रमित युग्म (a, b) में a को प्रथम अवयव तथा b को द्वितीय अवयव कहा जाता है। क्रमित युग्म के दोनों अवयव भिन्न अथवा समान भी हो सकते हैं।
क्रमित युग्म परिभाषा (Ordered Pair Definition):दो अरिक्त समुच्चयों P तथा Q का कार्तीय गुणन P×Q उन सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय है जिनका प्रथम घटक P से तथा द्वितीय घटक Q से लेकर बनाया जा सकता है।अतः P \times Q=\{(p, q): p \in P, q \in Q\}
यदि P तथा Q में से कोई भी रिक्त समुच्चय है तो उनका कार्तीय गुणन भी रिक्त समुच्चय होता है अर्थात् P \times Q=\phi
टिप्पणी:(1.) दो क्रमित युग्म समान होते हैं यदि और केवल यदि उनके संगत प्रथम घटक समान हों और संगत द्वितीय घटक समान हो।
(2.)यदि A में p तथा B में q अवयव हैं तो A×B में pq अवयव होते हैं अर्थात् n(A)=p तथा n(B)=q तो n(A×B)=pq
(3.)यदि A तथा B अरिक्त समुच्चय है और A या B में कोई अपरिमित है तो A×B भी अपरिमित समुच्चय होता है।
(4.)A×A×A={(a,b,c):a,b,c \in A} यहाँ (a,b,c) एक क्रमिक त्रिक कहलाता है।
सम्बन्ध (Relation):माना कि A और B दो अरिक्त समुच्चय हैं। समुच्चय A से B में सम्बन्ध एक खुले वाक्य P(x,y) जहाँ x \in A,y \in B द्वारा परिभाषित किया जाता है अर्थात् R=\left\{(x, y) : x \in A, y \in B,P(x, y) \right\} \mid x, y  के किन्हीं मानों के लिए यदि
(i) P(a,b) सत्य है तब हम कहते हैं कि सम्बन्ध R के अधीन समुच्चय A के अवयव a का सम्बन्ध समुच्चय B के अवयव b से है। इसे हम इस प्रकार व्यक्त करते हैं:aRb या (a, b) \in R
(2.)P(a,b) असत्य है तो इसे a \not R b अथवा (a, b) \notin R से व्यक्त किया जाता है।
टिप्पणी:(1.) यह आवश्यक नहीं है कि A के प्रत्येक अवयव का सम्बन्ध B के किसी न किसी अवयव से हो। अर्थात् A में ऐसे अवयव हों सकते हैं जो B के किसी अवयव से सम्बन्धित न हो।
(2.)A के किसी अवयव का सम्बन्ध B के एक या अधिक अवयवों से हो सकता है।
(3.)A के एक से अधिक अवयवों का सम्बन्ध B के एक अवयव से हो सकता है।
क्रमित युग्मों के समूह के रूप में सम्बन्ध (Relation as a Set of Ordered pairs):
खुले वाक्य की सहायता से समुच्चय A से समुच्चय B में सम्बन्ध परिभाषित करते समय हमने देखा है कि यदि P(a,b) जहाँ a \in A,b \in B यदि सत्य है तब (a,b) \in R अर्थात् सम्बन्ध में जितने भी अवयव होंगे वे सभी A×B के अवयव होंगे। अतः स्पष्ट है कि R \subseteq A \times B
विलोमत:A×B का कोई भी उपसमुच्चय (a,b) जैसे क्रमित युग्मों का समुच्चय होगा। अतः A से B में सम्बन्ध परिभाषित करेगा। अतः समुच्चय A से समुच्चय B में कोई सम्बन्ध निम्न प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:
परिभाषा:समुच्चय A से समुच्चय B में परिभाषित कोई सम्बन्ध R, A×B का एक उपसमुच्चय है अर्थात् R \subseteq A \times B
टिप्पणी:यदि A और B में अवयवों की संख्या क्रमशः m तथा n हो तो A×B में अवयवों की संख्या m×n होगी। अतः इसके अरिक्त उपसमुच्चयों की संख्या 2^{m n}-1 होगी। अर्थात् A से B में परिभाषित होने वाले अरिक्त सम्बन्धों की संख्या 2^{m n}-1 होगी।
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2.सम्बन्ध कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Relation Class 11 Solved Examples):

Example:1.यदि \left(\frac{x}{3}+1, y-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right) तो x तथा y ज्ञात कीजिए।
Solution: \left(\frac{x}{3}+1, y-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right) \\ \Rightarrow \frac{x}{3}+1=\frac{5}{3} \\ \Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{5}{3}-1 \\ \Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{2}{3} \\ \Rightarrow x=2 \\ y-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow y=\frac{2}{3}+\frac{2}{3} \\ \Rightarrow y=\frac{3}{3} \\ \Rightarrow y=1 \\ \Rightarrow x=2,y=1
Example:2.यदि समुच्चय A में 3 अवयव हैं तथा समुच्चय B={3,4,5} तो (A×B) में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:A में अवयवों की संख्या=3
B में अवयवों की संख्या=3
अत: n(A×B)=3×3=9
Example:3.यदि G={7,8} और H={5,4,2} तो G×H और H×G ज्ञात कीजिए।
Solution:G={7,8},H={5,4,2}
G×H={(7,8),(7,4),(7,2),(8,5),(8,4),(8,2)}
H×G={(5,7),(5,8),(4,7),(4,8),(2,7),(2,8)}
Example:4.बतलाइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है अथवा असत्य है। यदि कथन असत्य है तो दिए गए कथन को सही बनाकर लिखिए।
(i) P={m,n} और Q={n,m} तो P×Q={(m,n), (n,m)}
Solution:असत्य है।
सही कथन:P×Q={(m,n),(m,m),(n,n),(n,m)}
(ii) यदि A और B अरिक्त समुच्चय हैं तो A×B क्रमित युग्मों (x,y) का एक अरिक्त समुच्चय है, इस प्रकार x \in A तथा y \in B
Solution:सत्य है। 
(iii) यदि A={1,2},B={3,4} तो
A \times(B \cap \phi)=\phi
Solution:A={1,2},B={3,4}

B \cap \phi=\phi \\ A \times(B \cap \phi)=\phi
सत्य है।
Example:5.A={-1,1} तो A×A×A ज्ञात कीजिए ।
Solution:A={-1,1}
A×A×A={(-1,-1,-1),(-1,-1,1),(-1,1,-1),(-1,1,1),(1,-1,-1),(1,-1,1),(1,1,-1),(1,1,1)}

Relation Class 11

Example:6.यदि A×B={(a,x),(a,y),(b,x),(b,y)} तो A तथा B ज्ञात कीजिए।
Solution:A×B={(a,x),(a,y),(b,x),(b,y)}
A=प्रथम घटक का समुच्चय={a,b}
B=द्वितीय घटक का समुच्चय={x,y}
Example:7.मान लीजिए कि A={1,2},B={1,2,3,4},C={5,6} तथा D={5,6,7,8} सत्यापित कीजिए कि

(i) A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C)
(ii) A×C, B×D का एक उपसमुच्चय है।
Solution:(i) A={1,2},B={1,2,3,4},C={5,6}

B \cap C=\phi \\ A \times (B \cap C)=\phi \cdots(1) 
A×B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}
A×C={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)}

(A \times B) \cap(A \times C)=\phi \cdots(2)
(1) व (2) से:

A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C)
(ii)A={1,2},B={1,2,3,4},C={5,6}, D={5,6,7,8}
A×C={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)}
B×D={(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8)}
A \times C \subset B \times D  है।
Example:8.मान लीजिए कि A={1,2} और B={3,4},A×B लिखिए।A×B के कितने उपसमुच्चय होंगे? उनकी सूची बनाइए।
Solution: A={1,2}, B={3,4}

A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
A×B के उपसमुच्चयों की संख्या=2^{m n} \\ =2^{2 \times 2}=2^{4}=16
A×B के उपसमुच्चयों की सूची
={\phi ,{(1,3),(1,4)},{(1,3),(2,3)},{(1,3),(2,4)},{(1,4),(2,3)},{(1,4),(2,4)},{(2,3),(2,4)},{(1,3),(1,4),(2,3)},{(1,3),(1,4),(2,4)},{(1,3),(2,3),(2,4)},{(1,3)},{(1,4)},{(2,3)},{(2,4)},{(1,4),(2,3),(2,4)},{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}}
Example:9.मान लीजिए कि A और B दो समुच्चय हैं जहाँ n(A)=3 और n(B)=2 यदि (x,1), (y,2), (z,1) A×B में हैं तो A और B ज्ञात कीजिए जहाँ x, y और z भिन्न-भिन्न अवयव हैं।
Solution:A×B={(x,1),(y,2),(z,1),(x, 2),(y,1),(z,2)}
A=प्रथम घटक का समुच्चय={x,y,z}
B=द्वितीय घटक का समुच्चय={1,2}
Example:10.कार्तीय गुणन A×A में 9 अवयव हैं जिनमें (-1,0) तथा (0,1) भी है। समुच्चय A ज्ञात कीजिए तथा A×A के शेष अवयव भी ज्ञात कीजिए।
Solution:A×A={(-1,0),(0,1),(0,0),(0,-1),(-1,-1),(1,-1),(1,0),(1,1)}
A={-1,0,1}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्बन्ध कक्षा 11 (Relation Class 11),गणित में सम्बन्ध (Relation in Mathematics) को समझ सकते हैं।

3.सम्बन्ध कक्षा 11 के सवाल (Relation Class 11 Questions):

Relation Class 11

(i) R_{1}, समुच्चय A={1,2,3,4,5,6} से समुच्चय B={1,2,3} में “x=2y” से परिभाषित सम्बन्ध है।
(ii)R_{2} समुच्चय A={8,9,10,11} से समुच्चय B={5,6,7,8} में “y=x-2” से परिभाषित है।
(2.)निम्न में प्रत्येक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए :
(i) R={(2,3)(2,4),(3,3),(3,2),(4,2)}
(ii) R=\{(x, y) \mid x, y \in N; x<y\}
उत्तर (Answers) :(1) (i) R_{1}={(2,1)(4,2),(6,3)}
(ii) R_{2}={(8,6)(9,7),(10,8)}
(2)(i)R^{-1}={(3,2),(4,2),(3,3),(2,3),(2,4)}
(ii)R^{-1}=\{(x, y) \mid x, y \in N; x>y\}

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सम्बन्ध कक्षा 11 (Relation Class 11),गणित में सम्बन्ध (Relation in Mathematics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सम्बन्ध कक्षा 11 (Relation Class 11),गणित में सम्बन्ध (Relation in Mathematics) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सम्बन्ध कक्षा 11 (Relation Class 11) में सम्बन्ध को हम दैनिक जीवन में प्रयोग करते हैं।
गणित का अधिकांशभाग पैटर्न अर्थात् परिवर्तनशील राशियों के बीच अभिज्ञेय (पहचान योग्य)
कड़ियों को ज्ञात करने में है।