Reduction to Normal Form 2nd Order DE
1.द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप में समानयन (Reduction to Normal Form 2nd Order DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के प्रथम अवकलज को हटाना या परतन्त्र चर का परिवर्तन (Removal of First Derivative or Change of Dependent Variable of Linear Differential Equations of Second Order):
द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप में समानयन (Reduction to Normal Form 2nd Order DE) को पूर्व के आर्टिकल में कुछ उदाहरणों के द्वारा समझ चुके हैं।अब कुछ ओर विशिष्ट उदाहरणों द्वारा इसको समझने का प्रयास करेंगे।
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2.द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप में समानयन के उदाहरण (Reduction to Normal Form 2nd Order DE Examples):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिएः
(Solve the following differential equations):
Example:1. \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \tan x \frac{d y}{d x}+5 y=e^x \sec x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \tan x \frac{d y}{d x}+5 y=e^x \sec x \ldots(1)
यहाँ P=-2 \tan x, Q=5 \text { तथा } R=e^x \sec x
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int p d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int(-2 \tan x) d x\right\} \\ =\exp \left\{\int \tan x d x\right\} \\ =e^{\log \sec x} \\ \Rightarrow u =\sec x
अब (1) में y=vu रखने पर यह निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S \quad \ldots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} \\ =5-\frac{1}{4} \times 4 \tan ^2 x-\frac{1}{2}\left(-2 \sec ^2 x\right) \\ =5-\tan ^2 x+\sec ^2 x \\ =5+1 \\ \Rightarrow I=6
तथा S=\frac{R}{u}=\frac{e^x \sec x}{\sec x} \\ \Rightarrow S=e^x
अतः (2) सेः \frac{d^2 v}{d x^2}+6 v=e^x \quad \cdots(3)
जो कि अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण है।
अब (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः
\left(D^2+6\right) v=e^x
इसका सहायक समीकरण (C.F.) निम्न हैः
m^2+6=0 \Rightarrow m=\pm \sqrt{6} i \\ \therefore C.F.=C_{1} \cos (\sqrt{6} x)+C_{2} \sin (\sqrt{6} x)
पुनः \text{P.I.}=\frac{1}{D^2+6} e^x \\ =\left(\frac{1}{1^2+6}\right) e^x \\ \Rightarrow P.I.=\frac{1}{7} e^x
v=C.F.+P.I.
v=C_1 \cos (\sqrt{6} x)+C_{2} \sin (\sqrt{6} x)+\frac{1}{7} e^x
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu
\Rightarrow y=\sec x\left[C_{1} \cos (\sqrt{6} x)+C_{2} \sin (\sqrt{6} x)+\frac{1}{7} e^x\right]
Example:2. \frac{d^2 y}{d x^2}-2 x \frac{d y}{d x}+\left(x^2+2\right) y=e^{\frac{\left(x^2+2 x\right)}{2}}
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-2 x \frac{d y}{d x}+\left(x^2+2\right) y=e^{\frac{\left(x^2+2 x\right)}{2}} \ldots(1)
यहाँ P=-2 x, Q=x^2+2 \text { तथा } R=e^{\frac{\left(x^2+2 x\right)}{2}}
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int p d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int(-2 x) d x\right\} \\ =\exp \left\{\int x d x\right\} \\ \Rightarrow u=e^{\frac{x^2}{2}}
अब (1) में y=vu रखने पर यह निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S \quad \ldots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} \\ =x^2+2-\frac{1}{4} \times 4 x^2-\frac{1}{2}(-2) \\ =x^2+2-x^2+1 \\ \Rightarrow I=3
तथा S=\frac{R}{u}=\frac{e^{\frac{\left(x^2+2 x\right)}{2}}}{e^{\frac{x^2}{2}}}=e^x \\ \Rightarrow S=e^x
अतः (2) सेः \frac{d^2 v}{d x^2}+3 v=e^x \cdots(3)
जो कि अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण है।
अब (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः
\left(D^2+3\right) v=e^x
पुनः m^2+3=0 \Rightarrow m=\pm \sqrt{3} i \\ \Rightarrow C.F.=C_{1} \cos (\sqrt{3} x)+C_{2} \sin (\sqrt{3} x) \\ \text{P.I.}=\frac{1}{D^2+3} e^x=\frac{1}{1^{2}+3} e^x \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{4} e^x
इसका सहायक समीकरण (C.F.) निम्न हैः
v=C.F.+P.I.
v=C_1 \cos (\sqrt{3} x)+C_2 \sin (\sqrt{3} x)+\frac{1}{4} e^x
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu
\Rightarrow y=e^{\frac{x^2}{2}}\left[C_{1} \cos (\sqrt{3} x)+C_{2} \sin (\sqrt{3} x)+\frac{1}{4} e^x\right]
Example:3. \frac{d^2 y}{d x^2}-4 x \frac{d y}{d x}+\left(4 x^2-3\right) y=e^{x^2}
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-4 x \frac{d y}{d x}+\left(4 x^2-3\right) y=e^{x^2} \ldots(1)
यहाँ P=-4 x, Q=4 x^2-3 \text { तथा } R=e^{x^2}
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int p d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int(-4 x) d x\right\} \\ =\exp \left\{\int 2 x d x\right\} \\ \Rightarrow u=e^{x^2}
अब (1) में y=vu रखने पर यह निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S \ldots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} \\ =4 x^2-3-\frac{1}{4} \times 16 x^2-\frac{1}{2} \times(-4) \\ =4 x^2-3-4 x^2+2 \\ \Rightarrow I=-1
तथा S=\frac{R}{u}=\frac{e^{x^2}}{e^{x^2}}=1
अतः (2) सेः \frac{d^2 v}{d x^2}-v=1 \ldots(3)
जो कि अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण है।
अब (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः
\left(D^2-D\right)=1
इसका सहायक समीकरण (C.F.) निम्न हैः
m^2-1=0 \Rightarrow m=\pm 1 \\ \text{C.F.}=C_1 e^x+C_2 e^{-x} \\ \text{P.I.}=\frac{1}{D^2-1}(1) \\ =\frac{1}{D^2-1} e^{0 \cdot x} \cdot 1 \\ =\frac{1}{0^2-1}(1) \\ \Rightarrow \text{P.I.}=-1
v=C.F.+P.I.
v=C_{1} \cdot e^x+C_{2} e^{-x}-1
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu
\Rightarrow y=e^{x^2}\left(C_{1} e^x+C_{2} e^{-x}-1\right)
Example:4. \frac{d^2 y}{d x^2}+2 x \frac{d y}{d x}+\left(x^2-8\right) y=x^2 e^{-\frac{x^{2}}{2}}
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+2 x \frac{d y}{d x}+\left(x^2-8\right) y=x^2 e^{-\frac{x^{2}}{2}} \ldots(1)
यहाँ P=2 x, Q=x^2-8 \text { तथा } R=x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int \rho d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int 2 x d x\right\} \\ =\exp \left\{-\int x d x\right\} \\ \Rightarrow u=e^{-\frac{x^2}{2}}
अब (1) में y=vu रखने पर यह निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S \ldots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} \\ =x^2-8-\frac{1}{4} \times 4 x^2-\frac{1}{2} \times 2 \\ =x^2-8-x^2-1 \\ \Rightarrow I=-9
तथा S=\frac{R}{u}=\frac{x^{2} e^{-\frac{x^2}{2}}}{e^{-\frac{x^2}{2}}}=1 \\ \Rightarrow S=x^{2}
अतः (2) सेः \frac{d^2 v}{d x^2}-9 v=x^2 \cdots(3)
जो कि अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण है।
अब (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः
\left(D^2-9\right)v=x^2
इसका सहायक समीकरण (C.F.) निम्न हैः
m^2-9=0 \Rightarrow m=\pm 3 \\ \text { C.F. }=C_{1} e^{3 x}+C_{2} e^{-3 x}
पुनः \text{P.I.}=-\frac{1}{D^2-9} x^2 \\ =-\frac{1}{9} \frac{1}{\left(1-\frac{D^2}{9}\right)^2} x^2 \\ =-\frac{1}{9}\left(1-\frac{D^2}{9}\right)^{-1} x^2 \\ =-\frac{1}{9}\left(1+\frac{D^2}{9}+\frac{D^4}{81}+\cdots \cdots\right) x^2 \\ \Rightarrow \text{P.I.}=-\frac{1}{9}\left(x^2+\frac{2}{9}\right)
v=C.F.+P.I.
v=C_{1} e^{3 x}+C_{2} e^{-3 x}-\frac{1}{9} x^2-\frac{2}{81}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu
Example:5. \frac{d^2 y}{d x^2}+2 \tan x \frac{d y}{d x}+y\left(1+2 \tan ^2 x\right)=\sec x \tan x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+2 \tan x \frac{d y}{d x}+y\left(1+2 \tan ^2 x\right)=\sec x \tan x \ldots(1)
यहाँ P=2 \tan x, Q=1+2 \tan x \text { तथा } \sec x \tan x
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int p d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int 2 \tan x d x\right\} \\ =e^{\log \cos x} \\ u=\cos x
अब (1) में y=vu रखने पर यह निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S \cdots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} \\ =1+2 \tan ^2 x-\frac{1}{4} \times 4 \tan ^2 x-\frac{1}{2} \times 2 \sec ^2 x\\ =1+2 \tan ^2 x-\tan ^2 x-\sec ^2 x \\ =1+\tan ^2 x-\sec ^2 x \\ =1-1 \\ \Rightarrow I=0
तथा S=\frac{R}{u}=\frac{\sec x \tan x}{\cos x} \\ S=\sec ^2 x \tan x
अतः (2) सेः
\frac{d^2 v}{d x^2}=\sec ^2 x \tan x
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
\int \frac{d^2 v}{d x^2} \cdot d x=\int \sec ^2 x \tan x dx \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{1}{2} \tan ^2 x+C_{1}
पुनः दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
\int d v=\int\left(\frac{1}{2} \tan^{2} x+y d x\right) \\ \Rightarrow v=\frac{1}{2} \int\left(\sec ^2 x-1\right) d x+C_1 \int d x \\ v=\frac{1}{2}(\tan x-x)+C_1 x+C_2
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu
\Rightarrow y=\cos x\left[\frac{1}{2}(\tan x-x)+C_{1} x+C_{2}\right]
Example:6. \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \tan x \frac{d y}{d x}-\left(a^2+1\right) y=\sec x \cdot e^x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-2 \tan x \frac{d y}{d x}-\left(a^2+1\right) y=\sec x \cdot e^x \cdots(1)
यहाँ P=-2 \tan x, Q=-\left(a^2+1\right) \text{ तथा } R=e^x \sec x
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int P d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int(-2 \tan x) d x\right\} \\ =\exp \left\{\int \tan x d x\right\} \\ =e^{\log \sec x }\\ \Rightarrow u=\sec x
अब (1) में y=vu रखने पर यह निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2}{d x^2}+I V=S \cdots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} \\ =-\left(a^2+1\right)-\frac{1}{4} \times 4 \tan ^2 x-\frac{1}{2} \times -2 \sec ^2 x \\ =-a^2-1-\tan ^2+\sec ^2 x \\ =-a^2-1+1 \\ \Rightarrow I=-a^2
तथा S=\frac{R}{u}=\frac{e^x \sec x}{\sec x} \\ \Rightarrow S=e^{x}
अतः (2) सेः \frac{d^2 v}{d x^2}-a^2 v=e^x \cdots(3)
जो कि अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण है।
अब (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः
\left(D^2-a^2\right) v=e^x
इसका सहायक समीकरण (C.F.) निम्न हैः
m^2=a^2=0 \Rightarrow m=\pm a \\ \text { C.F. }=C_{1} e^{a x}+C_{2} e^{a x}
पुनः \text{P.I.}=\frac{1}{D^2-a^2} e^x \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{1-a^2} e^x
v=C.F.+P.I.
\Rightarrow v=C_{1} e^{a x}+C_{2} e^{-a x}+\frac{1}{1-a^2} e^x
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu
\Rightarrow y=\sec x\left(C_1 e^{a x}+C_2 e^{-a x}+\frac{1}{1-a^2} e^x\right)
Example:7. x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}-2 k x \frac{d y}{d x}+\left(k^2+k+a^2 x^2\right) y=0
Solution: x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}-2 k x \frac{d y}{d x}+\left(k^2+k+a^2 x^2\right) y=0
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः
\frac{d^2 y}{d^2 x}-\frac{2 k}{x} \frac{d y}{d x}+\left(\frac{k^2+k+a^2 x^2}{x^2}\right) y=0 \ldots(1)
यहाँ P=-\frac{2 k}{x}, Q=\frac{k^2+k+a^2 x^2}{x^2} \text { तथा } R=0
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int p d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int\left(-\frac{2 k}{x}\right) d x\right\} \\ =\exp \left\{\int \frac{k}{x} d x\right\} \\ =e^{k \log x} \\ \Rightarrow u =x^k
अब (1) में y=vu रखने पर यह निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S \cdots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{dP}{d x} \\ =\frac{k^2+k+a^2 x^2}{x^2}-\frac{1}{4} \times \frac{4 k^2}{x^2}-\frac{1}{2} \times \frac{2 k}{x^2} \\ =\frac{k^2+k+a^2 x^2-k^2-k}{x^2} \\ \Rightarrow I=a^2
तथा S=\frac{R}{u}=\frac{0}{u}=0
अतः (2) सेः \frac{d^2 v}{d x^2}+a^2 v=0 \\ \Rightarrow \left(D^2+a^2\right) v=0
जो कि अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण है।
अब (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः
m^2+a^2=0 \quad \Rightarrow m=\pm a i
इसका सहायक समीकरण (C.F.) निम्न हैः
v=C.F.
v=C_1 \cos a x+C_2 \sin a x
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu
y=x^k\left(C_{1} \cos ax+C_2 \sin a x\right)
Example:8. \left(\frac{d^2 y}{dx^2}+y\right) \cot x+2\left(\frac{d y}{d x}+y \tan x \right)=\sec x
Solution: \left(\frac{d^2 y}{dx^2}+y\right) \cot x+2\left(\frac{d y}{d x}+y \tan x \right)=\sec x
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः
\frac{d^2 y}{d x^2}+2 \tan x \frac{d y}{d x}+\left(2 \tan ^2 x+1\right) y=\sec x \tan x \cdots(1)
यहाँ P=2 \tan x, Q=2 \tan ^2 x+1 \text { तथा } R=\sec x \tan x
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int p d x\right\} \\ =\exp \left\{ -\frac{1}{2} \int 2 \tan x d x\right\} \\ =\exp \left\{-\int \tan x d x\right\} \\ =e^{\log \cos x} \\ u=\cos x
अब (1) में y=vu रखने पर यह निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S \ldots \text { (2) }
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} \\ =2 \tan ^2 x+1-\frac{1}{4} \times 4 \tan ^2 x-\frac{1}{2} \times 2 \sec ^2 x \\ =2 \tan ^2 x+1-\tan ^2 x-\sec ^2 x \\ =1+\tan ^2 x-\sec ^2 x \\ =1-1 \\ \Rightarrow I=0
तथा S=\frac{R}{u}=\frac{\sec x \tan x}{\cos x} \\ S=\sec^2 x \tan x
अतः (2) सेः \frac{d^2 v}{d x^2}=\sec ^2 x \tan x
इसका समाकलन करने परः
\int \frac{d^2 v}{d x^2} d x=\int \sec ^2 x \tan x d x \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{1}{2} \tan ^2 x+C_{1}
पुनः समाकलन करने परः
\int dv=\frac{1}{2} \int \tan ^2 x d x+C_{1} \int d x \\ \Rightarrow v =\frac{1}{2} \int\left(\sec ^2 x-1\right) d x+C_1 x \\ \Rightarrow v=\frac{1}{2}(\tan x-x)+C_1 x+C_2
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu
y=\cos x \left[\frac{1}{2}(\tan x-x)+C_{1} x+C_2\right]
Example:9. x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}-2 x(3 x-2) \frac{d y}{d x}+3 x(3 x-4) y=e^{3 x}
Solution: x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}-2 x(3 x-2) \frac{d y}{d x}+3 x(3 x-4) y=e^{3 x}
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः
\frac{d^2 y}{d x}+\left(-6+\frac{4}{x}\right) \frac{d y}{d x}+\left(9-\frac{12}{x}\right) y=e^{3 x} x^{-2} \cdots(1)
यहाँ P=-6+\frac{4}{x}, Q=9-\frac{12}{x} \text { तथा } R=e^{3 x} x^{-2}
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int p d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int\left(-6+\frac{4}{x}\right) d x\right\} \\ =\exp \left\{\int\left(3-\frac{2}{x}\right) d x\right\} \\ =e^{3 x-2 \log x} \\ \Rightarrow u =\frac{e^{3 x}}{x^2}
अब (1) में y=vu रखने पर यह निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S \cdots \text { (2) }
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} \\ =9-\frac{12}{x}-\frac{1}{4}\left(-6+\frac{4}{x}\right)^2-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{x^2}\right) \\ =9-\frac{12}{x}-\frac{1}{4}\left(36-\frac{48}{x}+\frac{16}{x^2}\right)+\frac{2}{x^2} \\ =9-\frac{12}{x}-9+\frac{12}{x}-\frac{4}{x^2}+\frac{2}{x^2} \\ \Rightarrow I=\frac{-2}{x^2}
तथा S=\frac{R}{u}=\frac{e^{3 x} x^{-2}}{\frac{e^{3 x}}{x^2}} \\ \Rightarrow S=1
अतः (2) सेः \frac{d^2 v}{d x^2}-\frac{2}{x^2}v=1 \\ \Rightarrow x^2 \frac{d^2 v}{d x^2}-2 v=x^2
यह एक समघाती रैखिक अवकल समीकरण है।अतः इसमें z=\log_{e} xअर्थात् x=e^{z} रखने परः
[D(D-1)-2] v=e^{2 z} \\ \left(D^2-D-2\right) v=e^{2 z}
इसका सहायक समीकरण (C.F.) निम्न हैः
m^2-m-2=0 \\ \Rightarrow m^2-2 m+m-2=0 \\ \Rightarrow m(m-2)+1(m-2)=0 \\ \Rightarrow(m+1)(m-2)=0 \Rightarrow m=-1,2 \\ \text{ C.F.}=C_1 e^{-z}+C_2 e^{2 z} \\ \text{ C.F.}=C_1 x^{-1}+C_2 x^2
पुनः \text{P.I.}=\frac{1}{D^2-D-2} e^{2z} \\ =\frac{1}{(D+1)(D-2)} e^{2 z} \\ =\frac{1}{(2+1)(D-2)} e^{2 z} \\ =\frac{1}{3} \frac{e^{2 z}}{(D-2)} \\ =\frac{1}{3} \frac{z}{1 !} e^{2 z} \\ \text{P.I.}=\frac{1}{3} x^2 \log _e x
v=C.F.+P.I.
v=C_1 x^{-1}+C_2 x^2+\frac{1}{3} x^2 \log _e x
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu
\Rightarrow y=e^{3 x} x^{-2}\left(C_{1} x^{-1}+C_{2} x^2+\frac{1}{3} x^2 \log _e x\right) \\ \Rightarrow y=e^{3 x}\left(C_{1} x^{-3}+C_2+\frac{1}{3} \log _e x\right)
Example:10. \frac{d^2 y}{d x^2}+2 x \frac{d y}{d x}+\left(x^2+1\right) y=x\left( x^2+3\right)
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+2 x \frac{d y}{d x}+\left(x^2+1\right) y=x\left( x^2+3\right) \cdots(1)
यहाँ P=2 x, Q=x^2+1 \text { तथा } R=x^3+3 x
अब सामान्य रूप (Normal Form) में रखने के लिए u इस प्रकार चुनें कि
u=\exp \left\{-\frac{1}{2} \int p d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{1}{2} \int 2 x d x\right\} \\ \Rightarrow u =e^{-\frac{x^2}{2}}
अब (1) में y=vu रखने पर यह निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
\frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S \cdots(2)
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x} \\ =x^2+1-\frac{1}{4} \times 4 x^2-\frac{1}{2} \times 2 \\ =x^2+1-x^2-1 \\ \Rightarrow I=0
तथा S=\frac{R}{u}=\frac{x^3+3 x}{e^{-\frac{x^2}{2}}} \\ \Rightarrow S=(x^{3}+3 x) e^{\frac{x^2}{2}}
अतः (2) सेः \frac{d^2 v}{d x^2}=\left(x^3+3 x\right) e^{\frac{x^2}{2}}
समाकलन करने परः
\int \frac{d^2 v}{d x^2} d x=\int x^3 e^{\frac{x^2}{2}} d x+3 \int x e^{\frac{x^2}{2}} d x \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}= \int(x) x^2 e^{\frac{x^2}{2}} d x+3 e^{\frac{x^2}{2}}+C_{1} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=x^2 e^{\frac{x^2}{2}} -2 e^{\frac{x^2}{2}} +e^{\frac{x^2}{2}} +C_{1} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=x^2 e^{\frac{x^2}{2}} +e^{\frac{x^2}{2}}+C_{1}
पुनः समाकलन करने परः
\int d v=x \int x e^{\frac{x^2}{2}} d x-\int\left[ \frac{d}{d x}(x) \int x e^{\frac{x}{2} } d x\right] d x \\ +\int e^{\frac{x^2}{2}} d x+\int C_1 d x \\ \Rightarrow v=x e^{\frac{x^2}{2}} -\int e^{\frac{x^2}{2}} dx+\int e^{\frac{x^2}{2}} d x+C_1 x+C_2 \\ \Rightarrow v=x e^{\frac{x^2}{2}}+C_1 x+C_2
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल निम्न हैः
y=vu
\Rightarrow y =e^{\frac{x^2}{2}}\left(x e^{\frac{x^2}{2}}+C_{1} x+C_{2}\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप में समानयन (Reduction to Normal Form 2nd Order DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के प्रथम अवकलज को हटाना या परतन्त्र चर का परिवर्तन (Removal of First Derivative or Change of Dependent Variable of Linear Differential Equations of Second Order) को समझ सकते हैं।
3.द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप में समानयन पर आधारित सवाल (Questions Based on Reduction to Normal Form 2nd Order DE):
(1.)निम्नलिखित अवकल समीकरण का सामान्य रूप में समानयन करके हल करेंः
(Reduce the following differential equation to the normal form and hence solve):
\left(y_2+y\right) \cot x+2\left(y_1+y \tan x\right)=\sec x
(2.)हल करें (Solve): x^2(\log u)^2 y_2-2 x(\log x) y_1+[2+(\log x)-2(\log x)^{2}] y=x^2(\log x)^2
(3.)हल करें (Solve): x^2 y_2-2\left(x^2+x\right) y_1+\left(x^2+2 x+2\right) y=0
Answer:- (1.) y=C_2 \cos x+C_{1} x \cos x+\frac{1}{2} \sin x
(2.) y=\left(C_{1} x^{-1}+ C_2 x^2+\frac{1}{3} x^2 \log x\right) \log x
(3.) y=\left(C_1 x+C_2\right) x e^x
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप में समानयन (Reduction to Normal Form 2nd Order DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के प्रथम अवकलज को हटाना या परतन्त्र चर का परिवर्तन (Removal of First Derivative or Change of Dependent Variable of Linear Differential Equations of Second Order) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप में समानयन (Frequently Asked Questions Related to Reduction to Normal Form 2nd Order DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के प्रथम अवकलज को हटाना या परतन्त्र चर का परिवर्तन (Removal of First Derivative or Change of Dependent Variable of Linear Differential Equations of Second Order) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः
प्रश्नः1.द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण में प्रथम अवकलज को हटाने में विद्यार्थियों को क्या ध्यान रखना चाहिए? (What Should Take Care of in Removing the First Derivative in Linear Differential Equations of Second Order?):
उत्तरःविद्यार्थियों को ध्यान रखना चाहिए कि I तथा S के मान स्मरण कर लें जिससे \frac{d^2 y}{d x^2}+P \frac{d y}{d x}+Q y=R का परिवर्तित रूप \frac{d^2 v}{d x^2}+I V=S सीधा लिखा जा सके।
जहाँ I=Q-\frac{1}{4} P^2-\frac{1}{2} \frac{d P}{d x}
तथा S=R \exp \left\{ \frac{1}{2} \int p d x\right\}=\frac{R}{u}
प्रश्न:2.अवकल समीकरण का मानक रूप से क्या तात्पर्य है? (What Does the Differential Equation Mean by Standard Form?):
उत्तरःअवकल समीकरण का मानक रूप हैः
\frac{d^2 y}{d x^2}+P \frac{d y}{d x}+Q y=R
अर्थात् द्वितीय अवकलज का गुणांक एक होना चाहिए।यदि द्वितीय अवकलज का गुणांक एक नहीं है तो उसे भाग देकर या गुणा करके गुणांक एक में परिवर्तित कर लेना चाहिए।
प्रश्नः3.अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण से क्या तात्पर्य है? (What is Meant by Linear Differential Equation with Constant Coefficients?):
उत्तरःरैखिक अवकल समीकरण वे समीकरण हैं जिनमें आश्रित चर (Dependent variable) तथा उसके अवकलज (Derivatives) केवल प्रथम घात (first degree) में ही आते हों और आपस में गुणित (multiplied) नहीं होते।
अतः nवीं कोटि (nth order) के रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक रूप निम्नलिखित होता हैः
\frac{d^n y}{d x^n}+P_1 \frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1} }+P_2 \frac{d^{n-2}y}{dx^{n-2}}+\cdots+P_n y=Q\left(x\right) \ldots(A)
जहाँ P_1, P_2, \ldots, P_n तथा Q(x) या तो x के फलन हैं या अचर हैं।
यदि P_1, P_2, \ldots, P_n अचर राशियां हों तो हम अवकल समीकरण (A) को अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations With Constant Coefficients) कहते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप में समानयन (Reduction to Normal Form 2nd Order DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के प्रथम अवकलज को हटाना या परतन्त्र चर का परिवर्तन (Removal of First Derivative or Change of Dependent Variable of Linear Differential Equations of Second Order) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Reduction to Normal Form of 2nd Order DE
द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप में समानयन
(Reduction to Normal Form of 2nd Order DE)
Reduction to Normal Form of 2nd Order DE
द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप में समानयन (Reduction to
Normal Form of 2nd Order DE) को पूर्व के आर्टिकल में कुछ उदाहरणों के द्वारा
समझ चुके हैं।
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Satyam
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