1.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में व्यापक समीकरण का समानयन (Reduction of General Equation in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में द्विघात के व्यापक समीकरण का समानयन (Reduction of General Equation of Second Degree in 3D):

Reduction of General Equation in 3D

त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में व्यापक समीकरण का समानयन (Reduction of General Equation in 3D) का अध्ययन करने से पूर्व हम मूलबिन्दु का स्थानांतरण का अध्ययन करेंगे।
मूलबिन्दु का स्थानांतरण (Transfer of Origin):
माना शांकवज का समीकरण है:

F(x , y, z) \equiv a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2fyz+2 g z x+2 h x y+2u x+2 v y+2 w z+d=0 \cdots(1)
यदि इसका केन्द्र (\alpha, \beta, \gamma) हो तो मूलबिन्दु को केन्द्र पर स्थानांतरित करने पर समीकरण (1) का स्वरूप

f(x, y,z)+F(\alpha, \beta, \gamma)=0 \ldots(2)
हो जाएगा, जहाँ

f(x, y, z) \equiv a x^{2}+b y^{2}+cz^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y \cdots(3)
तथा F(\alpha, \beta, \gamma)=a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}+2 f \beta \gamma+2 g \gamma \alpha+2 h \alpha \beta+2 u \alpha+2 v \beta+2 w \gamma+d \\ =\alpha(a \alpha+h \beta+g \gamma+u)+\beta(h \alpha+b \beta+f \gamma+v)+\gamma(g \alpha+f \beta+c \gamma+w)+(u \alpha+v \beta+w \gamma)d=u \alpha+v \beta+w \gamma+d \cdots(4) ,चूँकि अन्य कोष्ठक शून्य हैं।
हम जानते हैं कि केन्द्र के निर्देशांक

\alpha=-\frac{(A u+H v+G w)}{D}, \beta=\frac{-(H u+Bv+F w)}{D} \\ \gamma=-\frac{(H u+F v+G w)}{D}, D \neq 0
होते हैं।अतः

F(\alpha, \beta, \gamma)=-\frac{1}{D}\left[A u^{2}+B v^{2}+C w^{2}+2 G v w+ 2 Gwu+2 \mu uv-dD\right] \cdots(5) \\ \Rightarrow F\left(\alpha,\beta,\gamma\right)=\frac{S}{D}
जहाँ S=\left|\begin{array}{llll} a & h & g & u \\ h & b & f & v \\ g & f & c & w \\ u & v & w & d \end{array}\right|
तथा D=\left|\begin{array}{lll} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{array}\right|
इसलिए मूलबिन्दु को केन्द्र पर स्थानांतरित करने पर शांकवज का रूपान्तरित समीकरण होगा

f(x, y , z)+(u \alpha+v \beta+w \gamma+d)=0 \ldots(6) \\ \Rightarrow f(x, y, z)+\frac{s}{D}=0, D \neq 0 \ldots(7)
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2.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में व्यापक समीकरण का समानयन के साधित उदाहरण (Reduction of General Equation in 3D Solved Examples):

Example:1. 3 x^{2}+7 y^{2}+3 z^{2}+10 y z-2 z x+10 x y+4 x-12 y-4 z+1=0
Solution: F(x , y, z) \equiv 3 x^{2}+7 y^{2}+3 z^{2}+10 y z-2 z x +10 x y+4 x-12 y-4 z+1=0 \\ a=3, b=7, c=3, f=5, g=-1, h=5, u=2,v=-6, w=-2, d=1 \\ A=b c-f^{2}=7 \times 3-5^{2}=21-25=-4 \\ B=c a-g^{2}=3 \times 3-(-1)^{2}=9-1=8 \\ C=a b-h^{2}=3 \times 7-(5)^{2}=21-25=-4 \\ D=a b c+2 f g h-a f^{2}-b g^{2}-c h^{2} \\ =3 \times 7 \times 3+2 \times 5 \times-1 \times 5-3 \times 5^{2}-7 \times(-1)^{2}-3 \times 5^{2} \\ =63-50-75-7-75=-144
चूँकि A,B,C तीनों शून्य नहीं है इसलिए द्विघाती पद पूर्ण वर्ग नहीं बनाते हैं।
अतः विविक्तिकर त्रिघाती:

\lambda^{2}-\lambda^{2}(a+b+c)+\lambda(A+B+C)-D=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-\lambda^{2}(3+7+3)+\lambda(-4+8-4)+144=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-13 \lambda^{2}+144=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-4 \lambda^{2}-9 \lambda^{2}+144=0 \\ \Rightarrow \lambda^{2}(\lambda-4)-9 \left(\lambda^{2}-16\right)=0 \\ \Rightarrow \lambda^{2}(\lambda-4)-9(\lambda-4)(\lambda+4)=0 \\ \Rightarrow (\lambda-4)\left[\lambda^{2}-9(\lambda+4)\right]=0 \\ \Rightarrow(\lambda-4)\left(\lambda^{2}-9 \lambda-36\right)=0 \\ \Rightarrow(\lambda-4)\left(\lambda^{2}-12 \lambda+3 \lambda-36\right)=0 \\ \Rightarrow(\lambda-4)[\lambda(\lambda-12)+3(\lambda-12)]=0 \\ \Rightarrow(\lambda-4)(\lambda+3)(\lambda-12)=0 \\ \lambda=-3,4,12 \Rightarrow \lambda_{1}=-3, \lambda_{2}=4, \lambda_{3}=12
केन्द्र के निर्देशांक (\alpha, \beta, \gamma) ज्ञात करने के लिए:

\frac{\partial f}{\partial x} \equiv 6 x-2 z+10 y+4=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} \equiv 14 y+10 z+10 x-12=0 \\ \frac{\partial f}{\partial z} \equiv 6 z+10 y-2 x-4=0
उपर्युक्त समीकरणों को हल करने पर:

x=\frac{1}{3}, y=-\frac{1}{3} , z=\frac{4}{3}
अतः केन्द्र के निर्देशांक

(\alpha, \beta, \gamma)=\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{4}{3}\right) \\ u \alpha+v \beta+w \gamma+d \equiv 2\left(\frac{1}{3}\right)-6 \times-\frac{1}{3}-2 \times \frac{4}{3}+1 \\ \Rightarrow u \alpha+v \beta+w \gamma +d \equiv1
अब मूलबिन्दु को केन्द्र पर स्थानांतरित करने तथा निर्देशाक्षों को मुख्य दिशाओं के अनुदिश घुमाने पर पृष्ठ का समीकरण निम्न रूप में प्राप्त होता है:

\lambda_{1} X^{2}+\lambda_{2} Y^{2}+\lambda_{3} Z^{2}+(u \alpha+v \beta+w \gamma+d)=0 \\ -3 X^{2}+4 Y^{2}+12 Z^{2}+1=0 \\ \Rightarrow 3 X^{2}-4 Y^{2}-12 Z^{2}=1
जो कि एक द्विपृष्ठी अतिपरवलयज (Hyperboloid of two sheets) प्रदर्शित करता है।
Example:2. 3 x^{2}+6 y z-y^{2}-z^{2}-6 x+6 y-2 z-2=0
Solution: F(x , y, z) \equiv 3 x^{2}+6 y z-y^{2}-z^{2}-6 x+6 y-2 z-2=0 \\ \Rightarrow 3 x^{2}-y^{2}-z^{2}+6 y z-6 x+6 y-2 z-2=0 \\ a=3, b=-1, c=-1, f=3, g=0, h=0, u=-3, v=3,w=-1, d=-2 \\ A=b c-f^{2}=(-1)(-1)-3^{2}=1-9=-8 \\ B=ca-g^{2}=-1 \times 3-(0)^{2}=-3 \\ C=a b-h^{2}=3 \times-1-(0)^{2}=-3 \\ D= a b c+2 f g h-a f^{2}-b g^{2}-c h^{2} \\ =(3)(-1)(-1)+2 \times 3 \times 0 \times 0-3 \times(3)^{2}-(-1)(0)^{2} -(-1)(0)^{2}=3-27=-24
चूँकि A,B,C तीनों शून्य नहीं है इसलिए द्विघाती पद पूर्ण वर्ग नहीं बनाते हैं।
अतः विविक्तिकर त्रिघाती:

\lambda^{3}-\lambda^{2}(a+b+c)+\lambda(A+B+C)-D=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-\lambda^{2}(3-1-1)+\lambda(-8-3-3)+24=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-\lambda^{2}-14 \lambda+24=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-2 \lambda^{2}+\lambda^{2}-2 \lambda-12 \lambda+24=0 \\ \Rightarrow \lambda^{2}(\lambda-2)+\lambda(\lambda-2)-12(\lambda-2)=0 \\ \Rightarrow (\lambda-2)\left[\lambda^{2}+\lambda-12\right]=0 \\ \Rightarrow (\lambda-2)\left[\lambda^{2}+4 \lambda-3 \lambda-12\right]=0 \\ \Rightarrow (\lambda-2)[\lambda(\lambda+4)-3(\lambda+4)]=0 \\ \Rightarrow (\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda+4)=0 \\ \lambda=2,3,-4 \\ \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=3, \lambda_{3}=-4
केन्द्र के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए:

\frac{\partial F}{\partial x} \equiv 6 x-6=0 \\ \frac{\partial F}{\partial y} \equiv-2 y+6 z+6=0 \\ \frac{\partial F}{\partial z} \equiv-2 z+6 y-2=0
उपर्युक्त समीकरणों को हल करने पर:

x=1,y=0,z=-1
अतः केन्द्र के निर्देशांक

(\alpha, \beta, \gamma)=(1,0,-1) \\ u \alpha+v \beta+w \gamma+d=(-3)(1)+3(0)-1(-1)-2 \\ \Rightarrow u \alpha+v \beta+w \gamma+d=-4
अब मूलबिन्दु को केन्द्र पर स्थानांतरित करने तथा निर्देशाक्षों को मुख्य दिशाओं के अनुदिश घुमाने पर पृष्ठ का समीकरण निम्न रूप में प्राप्त होता है:

\lambda_{1} X^{2}+\lambda_{2} Y^{2}+\lambda_{3} Z^{2}+(u \alpha+v \beta+w \gamma+d)=0 \\ 2 X^{2}+3 Y^{2}-4 Z^{2}-4=0 \\ \Rightarrow 2 X^{2}+3 Y^{2}-4 Z^{2}=4
जो कि एक पृष्ठी अतिपरवलयज (Hyperbolic of one Sheet) को प्रदर्शित करता है।
Example:3. x^{2}-y^{2}+4 y z+4 z x-3=0
Solution:- F(x, y, z) \equiv x^{2}-y^{2}+4 y z+4 z x-3=0 \\ a=1, b=-1, c=0, f=2, g=2, h=0, u=0, v=0, w=0, d=-3 \\ A=b c-f^{2}=(-1)(0)-2^{2}=-4 \\ B=c a-g^{2}=0(1)-(2)^{2}=-4 \\ C=a b-h^{2}=1(-1)-0^{2} =-1 \\ D=a b c+2 f g h-a f^{2}-b g^{2}-c h^{2} \\ =(1)(-1)(0)+2 \times 2 \times 2 \times 0-1 \times 2^{2}-(-1) \times 2^{2} -(0) \times 0^{2}=-4+4=0 \\ \Rightarrow D=0
चूँकि A,B,C तीनों शून्य नहीं है इसलिए द्विघाती पद पूर्ण वर्ग नहीं बनाते हैं।
अतः विविक्तिकर त्रिघाती:

\lambda^{3}-\lambda^{2}(a+b+c)+\lambda(A+B+C)-D=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-\lambda^{2}(1-1+0)+\lambda(-4-4-1)-0=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-9 \lambda=0 \\ \Rightarrow \lambda \left(\lambda^{2}-4\right)=0 \\ \Rightarrow \lambda(\lambda-3)(\lambda+8)=0 \\ \Rightarrow \lambda=0,3,-3 \\ \lambda_{1}=3, \lambda_{2}=-3, \lambda_{3}=0 \\ \lambda_{3}=0 के संगत मुख्य दिशा ज्ञात करने के लिए:
f\left(l_{3}, m_{3}, n_{3}\right)=l_{3}^{2}-m_{3}^{2}+4 m_{3} n_{3}+4 m_{3} l_{3} \\ \frac{\partial f}{\partial l_{3}}=\frac{\partial f}{\partial m_{3}}=\frac{\partial f}{\partial n_{3}}=0 से 

2 l_{3}+4 n_{3}=0 \Rightarrow 2 l_{3}+0 m_{3}+4 n_{3}=0 \\ -2 m_{3}+4 n_{3}=0 \Rightarrow 0 l_{3}+2 m_{3}+4 n_{3}=0 \\ 4 m_{3}+4 l_{3}=0 \Rightarrow 0 l_{3}+4 m_{3}+4 l_{3}=0
प्रथम दो को हल करने पर:

\frac{l_{3}}{0+8} =\frac{m_{3}}{0-8}=\frac{n_{3}}{-4-0} \\ \Rightarrow \frac{l_{3}}{2} =\frac{m_{3}}{-2}=\frac{n_{3}}{-1} \\ \Rightarrow \frac{l_{3}}{-2} =\frac{m_{3}}{2}=\frac{n_{3}}{1}=\frac{1}{3}
अब r =u l_{3}+v m_{3}+w n_{3} \\ =0\left(\frac{-2}{3}\right)+0\left(\frac{2}{3}\right)+0\left(\frac{1}{3}\right)=0
चूँकि r=0 इसलिए पृष्ठ की एक केन्द्र रेखा जो निम्नलिखित समीकरणों में से किन्हीं दो से ज्ञात की जा सकती है:

\frac{\partial F}{\partial x}=2 x+4 z=0 \\ \frac{\partial F}{\partial y}=-2 y+4 z=0 \\ \frac{\partial F}{\partial z}=4 y+4 x=0
उपर्युक्त रेखा पर कोई भी बिन्दु केन्द्र लिया जा सकता है।सरलीकरण के लिए केन्द्र का y निर्देशांक शून्य लेने पर।अतः जब y=0
x=0,z=0
इसलिए केन्द्र (0,0,0) पर लिया जा सकता है।
अब u \alpha+v \beta+h \gamma+d=0(0)+0(0)+0(0)-3 \\ =-3
अतः मूलबिन्दु को केन्द्र पर स्थानांतरित करने तथा निर्देशाक्षों को मुख्य दिशाओं की ओर घुमाने पर पृष्ठ का मानक समीकरण निम्न रूप में प्राप्त होगा:

\lambda_{1} X^{2}+\lambda_{2} Y^{2}+(u \alpha+v \beta+w \gamma+d)=0 \\ 3 X^{2}-3 Y^{2}-3=0 \\ \Rightarrow X^{2}-Y^{2}=1
जो कि अतिपरवलयिक बेलन (Hyperbolic Cylinder) को प्रदर्शित करता है।

Reduction of General Equation in 3D

Example:4. 13 x^{2}+20 y^{2}+5 z^{2}-12 y z+14 z x-4 x y-336=0
Solution:F(x, y, z) \equiv 13 x^{2}+20 y^{2}+5 z^{2}-12 y z+14 z x-4 x y-336=0 \\ a=13, b=20, c=5, f=-6, g=7, h=-2, u=v=w=0, d=-336 \\ A=b c-f^{2}=20 \times 5-(-6)^{2}=100-36=6 \\ B=ca-g^{2}=5 \times 13-7^{2}=65-49=16 \\ C =a b-h^{2}=13 \times 20-(-2)^{2} \\=260-4=256 \\ D= a b c+2 f g h-a f^{2}-b g^{2}-c h^{2} \\ = 13 \times 20 \times 5+2 \times(-6) \times 7 \times(-2)- 13 \times(-6)^{2}-20 \times 7^{2}-5 \times(-2)^{2} \\ =1300+168-468-980-20 \\ \Rightarrow D =0
चूँकि A,B,C तीनों शून्य नहीं है इसलिए द्विघाती पद पूर्ण वर्ग नहीं बनाते हैं।
अतः विविक्तिकर त्रिघाती:

\lambda^{3}-\lambda^{2}(a+b+c)+\lambda(A+B+C)-D=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-\lambda^{2}(13+20+5)+\lambda(64+16+256)-0=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-\lambda^{2} \times 38+336 \lambda=0 \\ \Rightarrow \lambda\left(\lambda^{2}-38 \lambda+336\right)=0 \\ \Rightarrow \lambda\left(\lambda^{2}-24 \lambda-14 \lambda+336\right)=0 \\ \Rightarrow \lambda [\lambda (\lambda-24)-14(\lambda-24)]=0 \\ \Rightarrow \lambda(\lambda-14)(\lambda-24)=0 \\ \Rightarrow \lambda=0,14,24 \\ \lambda_{1}=14, \lambda_{2}=24, \lambda_{3}=0 \\ \lambda_{3}=0 के संगत मुख्य दिशा ज्ञात करने के लिए:
l_{3}, m_{3}, n_{3}

f\left(l_{3}, m_{3}, n_{3}\right)=13 l_{3}^{2}+20 m_{3}^{2}+5 n_{3}^{2}- 12 m_{3} n_{3}+14 m_{3} l_{3}-4 l_{3} m_{3} \\ \frac{\partial f}{\partial l_{3}}=\frac{\partial f}{\partial m_{3}}=\frac{\partial f}{\partial n_{3}}=0 से:

26 l_{3}+14 n_{3}-4 m_{3}=0 \Rightarrow 13 l_{3}-2m_{3}+7n_{3}=0\\ 40 m_{3}-12 n_{3}-4 l_{3}=0 \Rightarrow 20 m_{3}-6 m_{3}-2 l_{3}=0 \\ 10 n_{3}-12 m_{3}+14 l_{3}=0 \Rightarrow 5 n_{3}-6 m_{3}+2 l_{3}=0
प्रथम दो को हल करने पर:

13 l_{3}-2 m_{3}+7 n_{3}=0 \\ -2 l_{3}+20 m_{3}-6 n_{3}=0 \\ \frac{l_{3}}{+12-140}=\frac{m_{3}}{-14+78}=\frac{n_{3}}{260-4} \\ \Rightarrow \frac{l_{3}}{-128}=\frac{m_{3}}{+64}=\frac{n_{3}}{256} \\ \frac{l_{3}}{-2} =\frac{m_{3}}{1}=\frac{n_{3}}{4}=\frac{1}{\sqrt{21}}
अब r =u l_{3}+v m_{3}+w n_{3} \\ =0\left(\frac{-2}{\sqrt{21}}\right)+0\left(\frac{1}{\sqrt{21}}\right) +0\left(\frac{1}{\sqrt{21}}\right)=0 \\ \Rightarrow r =0
चूँकि r=0 इसलिए पृष्ठ की एक केन्द्र रेखा जो निम्नलिखित समीकरणों में से किन्हीं दो से ज्ञात की जा सकती है:

\frac{\partial F}{\partial x}=26 x+14 z-4 y=0 \\ \frac{\partial F}{\partial y}=40 y-20 z-4 x=0 \\ \frac{\partial F}{\partial z}=10 z-12 y+14 x=0
उपर्युक्त रेखा पर कोई भी बिन्दु केन्द्र लिया जा सकता है।सरलीकरण के लिए केन्द्र का z निर्देशांक शून्य लेने पर।अतः जब z=0

26x-4y=0

-4x+40y=0
x=0,y=0, z=0 प्राप्त होता है।
इसलिए केन्द्र (0,0,0) पर लिया जा सकता है।
अब u \alpha+v \beta+w \gamma+d=0(0)+(0)(0)+(0)(0)-336\\ =-336
अतः मूलबिन्दु को केन्द्र पर स्थानांतरित करने तथा निर्देशाक्षों को मुख्य दिशाओं की ओर घुमाने पर पृष्ठ का मानक समीकरण निम्न रूप में प्राप्त होगा:

\lambda_{1} X^{2}+\lambda_{2} Y^{2}+(u \alpha+v \beta+w \gamma+d)=0 \\ \Rightarrow 14 X^{2}+24 Y^{2}-336=0 \\ \Rightarrow 14 X^{2}+24 Y^{2}=336 \\ \Rightarrow \frac{14 X^{2}}{336}+\frac{24 Y^{2}}{336}=1 \\ \Rightarrow \frac{X^{2}}{24}+\frac{Y^{2}}{14}=1
जो कि दीर्घवृतीय बेलन (Elliptic Cylinder) को प्रदर्शित करता है।
Example:5.सिद्ध कीजिए कि समीकरण x^{2}+6 y^{2}-z^{2}-y z+5 x y+2 x+5 y=0 अतिपरवलयज बेलन प्रदर्शित करता है।इसका अक्ष भी ज्ञात कीजिए।
(Prove that the equation x^{2}+6 y^{2}-z^{2}-y z+5 x y+2 x+5 y=0 represents a hyperbolic cylinder. Find its axis.)
Solution: F(x, y z)=x^{2}+6 y^{2}-z^{2}-y z+5 x y+2 x+5 y \\ a=1, b=6, c=-1, f=-\frac{1}{2}, g=0, h=\frac{5}{2},u=1, v=\frac{5}{2}, w=0, d=0 \\ A=b c-f^{2}=6 x-1-(-\frac{1}{2})^{2}=-6-1=-\frac{25}{4} \\ B=c a-g^{2}=-1 \times 1-(0)^{2}=-1 \\ C=a b-h^{2}=1 \times 6-\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=6-\frac{25}{4}=-\frac{1}{4} \\ D=a b c+2 f g h-a f^{2}-b g^{2}-c h^{2} \\ =1 \times 6 \times-1+2 \times-\frac{1}{2} \times 0 \times \frac{5}{2}-1 \times(-\frac{1}{2})^{2}-6 \times(0)^{2}-(-1) \times\left(\frac{5}{2}\right)^{2} \\ =\frac{-6}{1}-\frac{1}{4}+\frac{25}{4}=0
चूँकि A,B,C तीनों शून्य नहीं है इसलिए द्विघाती पद पूर्ण वर्ग नहीं बनाते हैं।
अतः विविक्तिकर त्रिघाती:

\lambda^{3}-\lambda^{2}(a+b+c)+\lambda^{2}(A+B+C)-D=0 \\ \lambda^{3}-\lambda^{2}(1+6-1)+\lambda^{2}\left(-\frac{25}{4}-1-\frac{1}{4}\right)-0=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-6 \lambda^{2}-\frac{15}{2} \lambda=0 \\ \Rightarrow \lambda\left(2 \lambda^{2}-12 \lambda-15\right)=0 \\ \Rightarrow \lambda=0, \lambda=\frac{12 \pm \sqrt{(-12)^{2}-4 \times 2 \times -15}}{4} \\ \lambda^{2}=\frac{12 \pm \sqrt{144+120}}{4} \\ =\frac{12 \pm \sqrt{264}}{4} \\ \Rightarrow \lambda=\frac{12 \pm 2 \sqrt{66}}{4} \\ \Rightarrow \lambda=0,3+\frac{1}{2} \sqrt{66}, 3-\frac{1}{2} \sqrt{66} \\ \lambda=3+\frac{1}{2} \sqrt{66}, \lambda_{2}=3-\frac{1}{2} \sqrt{66}, \lambda_{3}=0 \\ \lambda_{3}=0 के संगत मुख्य दिशा ज्ञात करने के लिए:
f\left(l_{3}, m_{3}, n_{3}\right)=l_{3}^{2}+6 m_{3}^{2}-n_{3}^{2}-m_{3} n_{3}+5 l_{3} m_{3} \\ \frac{\partial f}{\partial l_{3}}=\frac{\partial f}{\partial m_{3}}=\frac{\partial f}{\partial n_{3}}=0 से:

2 l_{3}+5 m_{3}=0 \Rightarrow 2 l_{3}+5 m_{3}+0 n_{3}=0 \\ 12 m_{3}-n_{3}+5 l_{3}=0 \Rightarrow 5 l_{3}+12 m_{3}-n_{3}=0 \\-2 n_{3}-m_{3}=0 \Rightarrow 0 l_{3}-2 n_{3}-2 n_{3}=0
प्रथम दो को हल करने पर:

\frac{l_{3}}{-5-0}=\frac{m_{3} }{0+2}=\frac{n_{3}}{24-25} \Rightarrow \frac{l_{3}}{-5}=\frac{m_{3}}{2}=\frac{n_{3}}{-1}\\ \Rightarrow \frac{l_{3}}{5}=\frac{m_{3}}{-2}=\frac{n_{3}}{1}=\frac{1}{\sqrt{30}}
अब r=u l_{3}+v m_{3}+w n_{3}\\ =1 \times \frac{5}{\sqrt{30}}+\frac{5}{2} \times-\frac{2}{\sqrt{30}}+10 \times \frac{1}{\sqrt{30}}=0
चूँकि r=0 इसलिए पृष्ठ की एक केन्द्र रेखा जो निम्नलिखित समीकरणों में से किन्हीं दो से ज्ञात की जा सकती है:

\frac{\partial F}{\partial x}=2 x+5 y+2=0 \\ \frac{\partial F}{\partial y}=12 y-z+5 x+5=0 \\ \frac{\partial F}{\partial z}=-2 z-y=0
उपर्युक्त रेखा पर कोई भी बिन्दु केन्द्र लिया जा सकता है।सरलीकरण के लिए केन्द्र का z निर्देशांक शून्य लेने पर।अतः जब z=0
2x+5y+2=0
5x+12y+5=0
हल करने पर:x=-1,y=0,z=0 प्राप्त होता है।
इसलिए केन्द्र (-1,0,0) पर लिया जा सकता है।
अब u \alpha +v \beta+w \gamma+d=1 \times -1+\frac{5}{2} \times 0+0 \times 0+0=-1
अतः मूलबिन्दु को केन्द्र पर स्थानांतरित करने तथा निर्देशाक्षों को मुख्य दिशाओं की ओर घुमाने पर पृष्ठ का मानक समीकरण निम्न रूप में प्राप्त होगा:

\lambda_{1} X^{2}+\lambda_{2} Y^{2}+\left(u \alpha+v \beta+w \gamma+d\right)=0 \\ \Rightarrow \left(3+\frac{1}{2} \sqrt{66}\right) X^{2}+\left(3-\frac{1}{2} \sqrt{66}\right) Y^{2}=1
जो कि अतिपरवलयिक बेलन (Hyperbolic Cylinder) को प्रदर्शित करता है।
इस बेलन का अक्ष (axis) चूँकि केन्द्र से होकर जाएगा तथा इसकी दिशा केन्द्र रेखा की दिशा होगी। अतः अक्ष के समीकरण होंगे:

\frac{x+1}{5}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{1}
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में व्यापक समीकरण का समानयन (Reduction of General Equation in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में द्विघात के व्यापक समीकरण का समानयन (Reduction of General Equation of Second Degree in 3D) को समझ सकते हैं।

3.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में व्यापक समीकरण का समानयन पर आधारित सवाल (Questions Based on Reduction of General Equation in 3D):

Reduction of General Equation in 3D

(1.)समीकरण 36 x^{2}+14 y^{2}+z^{2}-4 y z-12 z x +24 x y+4 x+16 y-26 z-3=0  का मानक रूप में समानयन कीजिए तथा इसके द्वारा प्रदर्शित पृष्ठ बताइए।
(Reduce the equation 36 x^{2}+14 y^{2}+z^{2}-4 y z-12 z x +24 x y+4 x+16 y-26 z-3=0  to the standard form and state the nature of the surface.)
(2.)समीकरण x^{2}+4 y^{2}+z^{2}-4 y z+2 z x-4 x y-2 x+4 y-2 z-3=0 से प्रदर्शित पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
(Find the surface represented by the equation x^{2}+4 y^{2}+z^{2}-4 y z+2 z x-4 x y-2 x+4 y-2 z-3=0.)
उत्तर (Answers):(1.) X^{2}=\frac{28}{41} Y परवलयिक बेलन (Parabolic Cylinder)
(2.)x-2 y+2-1=\pm 2  समान्तर समतल युग्म
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में व्यापक समीकरण का समानयन (Reduction of General Equation in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में द्विघात के व्यापक समीकरण का समानयन (Reduction of General Equation of Second Degree in 3D) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में व्यापक समीकरण का समानयन (Reduction of General Equation in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में द्विघात के व्यापक समीकरण का समानयन (Reduction of General Equation of Second Degree in 3D) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में व्यापक समीकरण का समानयन (Reduction of General
Equation in 3D) का अध्ययन करने से पूर्व हम मूलबिन्दु का स्थानांतरण का अध्ययन करेंगे।