1.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में द्विघात समीकरण का समानयन (Reduction of 2nd Degree Equation in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में द्विघात के व्यापक समीकरण का समानयन (Reduction of General Equation of Second Degree in 3D):

Reduction of 2nd Degree Equation in 3D

त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में द्विघात समीकरण का समानयन (Reduction of 2nd Degree Equation in 3D) से सम्बन्धित आर्टिकल पूर्व में भी पोस्ट कर चुके हैं।अतः इस आर्टिकल को पढ़ने से पूर्व उन आर्टिकल का भी अध्ययन करना चाहिए जिससे इसकी थ्योरी समझ में आ जाएगी।
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2.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में द्विघात समीकरण का समानयन के साधित उदाहरण (Reduction of 2nd Degree Equation in 3D Solved Examples):

Example:1.पृष्ठ 7 x^{2}+y^{2}+z^{2}+16 y z+8 z x-8 x y+2 x+4 y-40 z-14=0 का केन्द्र एवं स्वरूप ज्ञात कीजिए।
(Find the centre and the nature of the surface 7 x^{2}+y^{2}+z^{2}+16 y z+8 z x-8 x y+2 x+4 y-40 z-14=0.)
Solution: F(x, y, z) \equiv 7 x^{2}+y^{2}+z^{2}+16 y z+8 z x-8 x y+2 x+4 y-40 z-14=0 \\ a=7, b=1, c=1, f=8, g=4, h=-4, u=1, v=2, w=-20, d=-14 \\ A=b c-f^{2}=1 \times 1-8^{2}=1-64=-63 \\ B=c a-g^{2}=1 \times 7-4^{2}=7-16=-9 \\ C=a b-h^{2}=7 \times 1-(-4)^{2}=7-16=-9 \\ D=a b c+2 f g h-a f^{2}-b g^{2}-c h^{2} \\ =7 \times 1 \times 1+2 \times 8 \times 4 \times-4-7 \times 8^{2}-1 \times 4^{2}-1 \times(-4)^{2} \\ =7-256-448-16-16 \\ D =-729
चूँकि A,B,C तीनों शून्य नहीं है इसलिए द्विघातीय पद पूर्ण वर्ग नहीं बनाते।
अतः विविक्तिकर त्रिघाती

\lambda^{3}-\lambda^{2}(a+b+c)+\lambda(A+B+C)-D=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-\lambda^{2}(7+1+1)+\lambda(-63-9-9)+729=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-9 \lambda^{2}-81 \lambda+729=0 \\ \Rightarrow \lambda^{2}(\lambda-9)-81(\lambda-9)=0 \\ \Rightarrow (\lambda-9)\left(\lambda^{2}-81 \right)=0 \\ \Rightarrow (\lambda-9)(\lambda+9)(\lambda-9)=0 \\ \Rightarrow (\lambda-9)(\lambda-9)(\lambda+9)=0 \\ \Rightarrow \lambda=9,9,-9 \\ \lambda_{1}=9, \lambda_{2}=9, \lambda_{3}=-9
(ii)केन्द्र के निर्देशांक (\alpha, \beta, \gamma) ज्ञात करने के लिए

\frac{\partial F}{\partial x} \equiv 14 x+8 z-8 y+2=0 \cdots(1) \\ \frac{\partial F}{\partial y} \equiv 2 y+16 z-8 x+4=0 \cdots(2) \\ \frac{\partial F}{\partial z} \equiv 2 z+16 y+8 x-40=0 \cdots(3)
समीकरण (1),(2),(3) को हल करने पर:
x=1,y=2,z=0
अतः केन्द्र के निर्देशांक (\alpha, \beta, \gamma)=(1,2,0)
(iii)यहाँ u \alpha+v \beta+w \gamma +d \equiv 1 \times 1+2 \times 2-20 \times 0-14 \equiv -9
अतः मूलबिन्दु को केन्द्र पर स्थानान्तरित करने तथा निर्देशांक्षों को मुख्य दिशाओं के अनुदिश घुमाने पर पृष्ठ का समीकरण निम्न रूप में प्राप्त होता है:

\lambda_{1} X^{2}+\lambda_{2} Y^{2}+\lambda_{3} Z^{2}+\left(u \alpha+v \beta+w \gamma+ d\right)=0 \\ 9 X^{2}+9 Y^{2}-9 Z^{2}-9=0 \\ \Rightarrow X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=1
जो कि एक पृष्ठीय अतिपरवलयज (Hyperboloid of one sheet) प्रदर्शित करता है।
Example:2.सिद्ध कीजिए कि समीकरण x^{2}+y^{2}+z^{2}+y z+z x+x y=1 एक दीर्घवृत्तज प्रदर्शित करता है जिसके अर्द्धाक्षों के वर्ग 2,2,\frac{1}{2} है।यह भी प्रदर्शित कीजिए कि इसके अक्ष का समीकरण x=y=z है।
(Prove that the equation x^{2}+y^{2}+z^{2}+y z+z x+x y=1 represents an ellipsoid and square of whose axis are 2,2,\frac{1}{2} .Also show that its equation is x=y=z.)
Solution: F(x,y,z) \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+y z+z x+x y-1=0 \\ a=1, b=1, c=1, f=\frac{1}{2}, g=\frac{1}{2}, h=\frac{1}{2}, \quad u=v=w=0,d=-1\\ A=b c-f^{2}=1 \times 1-(\frac{1}{2})^{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\\ B=c a-g^{2}=1 \times 1-(\frac{1}{2})^{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\\ C=a b-h^{2}=1 \times 1-(\frac{1}{2})^{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\\ D=a b c+2 f g h-a f^{2}-b g^{2}-c h^{2}\\ =1 \times 1 \times 1+2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}-1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\\ \Rightarrow D=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}
चूँकि A,B,C तीनों शून्य नहीं है इसलिए द्विघातीय पद पूर्ण वर्ग नहीं बनाते।
अतः विविक्तिकर त्रिघाती

(i)\lambda^{3}-\lambda^{2}(a+b+c)+\lambda(A+B+C)-D=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}- \lambda^{2}(1+1+1)+ \lambda \left(\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{2}=0\\ \Rightarrow \lambda^{3}-3 \lambda^{2}+\frac{9}{4} \lambda-\frac{1}{2}=0 \\ \Rightarrow 4 \lambda^{2}-12 \lambda^{2}+9 \lambda-2=0 \\ \Rightarrow 4 \lambda^{3}-8 \lambda^{2}-4 \lambda^{2}+8 \lambda+\lambda-2=0 \\ \Rightarrow 4 \lambda^{2}(\lambda-2)-4 \lambda(\lambda-2)+1(\lambda-2)=0 \\ \Rightarrow (\lambda-2)\left(4 \lambda^{2}-4 \lambda+1\right)=0 \\ \Rightarrow (\lambda-2)(2 \lambda-1)^{2}=0 \\ \Rightarrow \lambda=2, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \\ \lambda_{1}=\frac{1}{2}, \lambda_{2}=\frac{1}{2}, \lambda_{3}=2
(ii)केन्द्र के निर्देशांक (\alpha, \beta, \gamma) ज्ञात करने के लिए

\frac{\partial F}{\partial x} \equiv 2 x+z+y=0 \cdots(1) \\ \frac{\partial F}{\partial y} \equiv 2 y+z+x=0 \cdots(2) \\ \frac{\partial F}{\partial z} \equiv 2 z+y+x=0 \cdots(3)
समीकरण (1),(2),(3) को हल करने पर:
x=y=z=0
अतः केन्द्र के निर्देशांक (\alpha, \beta, \gamma)=(0,0,0) होंगे।
(iii)यहाँ u \alpha+v \beta+w \gamma+d=0 \times 0+0 \times 0+0 \times 0-1=-1
अतः मूलबिन्दु को केन्द्र पर स्थानान्तरित करने तथा निर्देशांक्षों को मुख्य दिशाओं के अनुदिश घुमाने पर पृष्ठ का समीकरण निम्न रूप में प्राप्त होता है:

\lambda_{1} X^{2}+\lambda_{2} Y^{2}+\lambda_{3} Z^{2}+(u \alpha+v \beta+w \gamma+d)=0 \\ \frac{1}{2} X^{2}+\frac{1}{2} Y^{2}+2 Z^{2}-1=0 \\ \Rightarrow \frac{X^{2}}{2}+\frac{Y^{2}}{2}+\frac{Z^{2}}{\frac{1}{2}}=1
जो कि एक दीर्घवृत्तज (Ellipsoid) प्रदर्शित करता है जिसके अर्द्धांक्षों के वर्ग 2,2, \frac{1}{2} हैं।
(iv)मुख्य दिशाएं ज्ञात करने के लिए यहाँ

f(l, m, n)=l^{2}+m^{2}+n^{2}+m n+nl+lm 
तथा \frac{\frac{\partial f}{\partial l}}{2l}=\frac{\frac{\partial f}{\partial m}}{2m}=\frac{\frac{\partial f}{\partial n}}{2n}=\lambda
यहाँ विविक्तिकर त्रिघाती के दो मूल बराबर हैं \left(\lambda_{1}=\lambda_{2}\right) इसलिए अद्वितीय मुख्य दिशा के दिक्अनुपात हमको तीसरे मूल \lambda_{3} से प्राप्त होंगे।अतः

\frac{2 l+m+n}{2 l}=\frac{l+2 m+n}{2 m}=\frac{l+m+2 n}{2 n}=2 \\ \Rightarrow-2l+m+n=0,l-2 m+n=0, l+m-2 n=0
किन्हीं दो को हल करने पर:
l=m=n
अब चूँकि मुख्य अक्ष केन्द्र से होकर जाता है इसलिए इसका अभीष्ट समीकरण होगा:
x=y=z

Reduction of 2nd Degree Equation in 3D

Example:3.प्रदर्शित कीजिए कि समीकरण 2 y^{2}+4z x+2 x-4 y+6 z+5=0 एक वृत्तीय शंकु को प्रदर्शित करता है।यह भी प्रदर्शित कीजिए कि शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण है तथा इसकी अक्ष x+z+2=0,y=1 द्वारा दी जाती है।
(Show that the equation 2 y^{2}+4z x+2 x-4 y+6 z+5=0 represents a circular cone.Also show that the semi-vertical angle of this cone is and its axis is given by x+z+2=0,y=1.)
Solution: F(x, y, z)=2 y^{2}+4 z x+2 x-4 y+6z+5=0 \\ a=0, b=2, c=0, f=0, g=2, h=0, u=1, v=-2, W=3, d=5 \\ A=b c-f^{2}=2 \times 0-0^{2}=0 \\ B=c a-g^{2}=0 \times 0-(2)^{2}=-4 \\ C=a b-h^{2}=0 \times 2-0^{2}=0 \\ D=a b c+2fgh-a f^{2}-b g^{2}-c h^{2} \\ =0 \times 2 \times 0+2 \times 0 \times 2 \times 0-0 \times 0^{2}-2 \times 2^{2}-0 \times 0^{2}=-8
चूँकि A,B,C तीनों शून्य नहीं है इसलिए द्विघातीय पद पूर्ण वर्ग नहीं बनाते।
अतः विविक्तिकर त्रिघाती

(i)\lambda^{3}-\lambda^{2}(a+b+c)+\lambda(A+B+C)-D=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-\lambda^{2}(0+2+0)+\lambda(0-4+0)+8=0 \\ \Rightarrow \lambda^{3}-2 \lambda^{2}-4 \lambda+8=0 \\ \Rightarrow \lambda^{2}(\lambda-2)-4(\lambda-2)=0 \\ \Rightarrow (\lambda-2)\left(\lambda^{2}- 4\right) =0 \\ \Rightarrow (\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda+2)=0 \\ \Rightarrow \lambda=2,2,-2 \\ \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=-2
(ii)केन्द्र के निर्देशांक (\alpha, \beta, \gamma) ज्ञात करने के लिए

\frac{\partial F}{\partial x} \equiv 4 z+2=0 \cdots(1) \\ \frac{\partial F}{\partial y} \equiv 4 y-4=0 \cdots(2) \\ \frac{\partial F}{\partial z} \equiv 4 x+6=0 \cdots(3)
समीकरण (1),(2),(3) को हल करने पर:

x=-\frac{3}{2}, y=1, z=-\frac{1}{2}
अतः केन्द्र के निर्देशांक (\alpha, \beta, \gamma)=\left( -\frac{3}{2},1,-\frac{1}{2} \right)
(iii)यहाँ u \alpha+v \beta+w \gamma+d=1 \times -\frac{3}{2}-2 \times 1+3 \times -\frac{1}{2}+5 \\ =-\frac{3}{2}-\frac{2}{1}-\frac{3}{2}+\frac{5}{1}=0 \\ u \alpha+v \beta+w \gamma+d=0
अतः मूलबिन्दु को केन्द्र पर स्थानान्तरित करने तथा निर्देशांक्षों को मुख्य दिशाओं के अनुदिश घुमाने पर पृष्ठ का समीकरण निम्न रूप में प्राप्त होता है:

\lambda_{1} X^{2}+\lambda_{2} Y^{2}+\lambda_{3} Z^{2}+(u \alpha+v \beta+w \gamma+d)=0 \\ \Rightarrow 2 X^{2}+2 Y^{2}-2 Z^{2}+0=0 \\ \Rightarrow X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=0 \\ \Rightarrow X^{2}+Y^{2}=Z^{2} \tan 45^{\circ}
जो कि एक वृत्तीय शंकु को प्रदर्शित करता है जिसका अर्द्धशीर्ष कोण \frac{\pi}{4} है।
(iv)मुख्य दिशाएं ज्ञात करने के लिए यहाँ 

f(l, m, n)=2 m^{2}+4 l n
तथा \frac{\partial f}{\frac{\partial l}{2 l}}=\frac{\partial f}{\frac{\partial m}{2 m}}=\frac{\partial f}{\frac{\partial n}{2 n}}=\lambda
यहाँ विविक्तिकर त्रिघाती के दो मूल बराबर हैं \left(\lambda_{1}=\lambda_{2}\right) इसलिए अद्वितीय मुख्य दिशा के दिक्अनुपात हमको तीसरे मूल \lambda_{3} से प्राप्त होंगे।अतः
\frac{4 n}{2 l}=\frac{4 m}{2 m}=\frac{4 l}{2 n}=-2 \\ \Rightarrow n =-l, m=0 \\ \Rightarrow \frac{l}{1}=\frac{m}{0}=\frac{n}{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}
अब चूँकि मुख्य अक्ष केन्द्र से होकर जाता है इसलिए इसका अभीष्ट समीकरण होगा:
\frac{x-(-\frac{3}{2})}{1}=\frac{y-1}{0}=\frac{z-(-\frac{1}{2})}{-1} \\ \Rightarrow \frac{x+\frac{3}{2}}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+\frac{1}{2}}{-1} \\ \Rightarrow x+z+2=0, y=1
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में द्विघात समीकरण का समानयन (Reduction of 2nd Degree Equation in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में द्विघात के व्यापक समीकरण का समानयन (Reduction of General Equation of Second Degree in 3D) को समझ सकते हैं।

3.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में द्विघात समीकरण का समानयन के सवाल (Reduction of 2nd Degree Equation in 3D Questions):

Reduction of 2nd Degree Equation in 3D

(1.)सिद्ध करो कि समीकरण 2 x^{2}+5 y^{2}+z^{2}-4 x y-8 x+14 y+3=0 परिक्रमण पृष्ठ है।इसके मुख्य अक्ष की समीकरण भी ज्ञात करो।
(Prove that the equation 2 x^{2}+5 y^{2}+z^{2}-4 x y-8 x+14 y+3=0 is a surface of revolution.Also find the equations of its principal axis.)
(2.)पृष्ठ x^{2}-y^{2}+2 y z-2 z x-x-y+z=0 की समानयन समीकरण ज्ञात करो।इसका अक्ष भी ज्ञात करो।
(Find the reduced equation of surface x^{2}-y^{2}+2 y z-2 z x-x-y+z=0 .Also find its axis.)
उत्तर (Answers):(1.)Reduced equation x^{2}+y^{2}+6 z^{2}=8,अक्ष की समीकरण 2x+y-1=0=z

(2.) 3\left(x^{2}-y^{2}\right)=z, x-\frac{1}{3}=y+\left ( \frac{1}{3} \right )=z
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में द्विघात समीकरण का समानयन (Reduction of 2nd Degree Equation in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में द्विघात के व्यापक समीकरण का समानयन (Reduction of General Equation of Second Degree in 3D) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में द्विघात समीकरण का समानयन (Reduction of 2nd Degree Equation in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में द्विघात के व्यापक समीकरण का समानयन (Reduction of General Equation of Second Degree in 3D) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में द्विघात समीकरण का समानयन (Reduction of 2nd Degree
Equation in 3D) से सम्बन्धित आर्टिकल पूर्व में भी पोस्ट कर चुके हैं।