1.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation)-

Reduction Exact Differential Equation

यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) में जो समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण नहीं होते उन्हें साधारणतः x तथा y के विशेष फलनों द्वारा गुणा करके यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण बनाया जा सकता है।ऐसे विशेष फलनों को समाकलन गुणक (Integrating Factor) कहते हैं।
इससे पूर्व आर्टिकल्स में समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात करने की कुछ विधियों का वर्णन किया गया है।इस आर्टिकल में समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात करने की एक ओर विधि के बारे में अध्ययन करेंगे।
नियम (V):जब \frac{1}{M}\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial N}{\partial y}\right) केवल y का फलन या अचर हो तो समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात करना:
यदि अवकल समीकरण Mdx+Ndy=0 में

\frac{1}{M}\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial N}{\partial y}\right)=f(y)
हो अर्थात् केवल y का फलन हो (यह एक अचर भी हो सकता है) तो समीकरण का समाकलन गुणक (Integrating Factor) e^{\int f(y) d y} होगा।
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Also Read This Article:-Equations Reducible to Exact Differential Equation

2.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण के उदाहरण (Reduction Exact Differential Equation Examples),अयथातथ (अयथार्थ) अवकल समीकरण के सवाल और उत्तर (Non Exact Differential Equation Questions and Answers)-

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example-1.\left(3 x^{2} y^{4}+2 x y\right) d x+\left(2 x^{3} y^{3}-x^{2}\right) d y=0
Solution–\left(3 x^{2} y^{4}+2 x y\right) d x+\left(2 x^{3} y^{3}-x^{2}\right) d y=0 \\ M=3 x^{2} y^{4}+2 x y, N=2 x^{3} y^{2}-x^{2} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=12 x^{2} y^{3}+2 x, \frac{\partial N}{\partial x}=6 x^{2} y^{3}-2 x \\ \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{1}{3 x^{2} y^{4}+2 x y}\left(6 x^{2} y^{3}-2 x-12 x^{2} y^{3}-2 x\right) \\ =\frac{1}{3 x^{2} y^{4}+2 x y}\left(-6 x^{2} y^{2}-4 x\right) \\ =\frac{-2 \left( 3 x^{2} y^{3}+2 x\right)}{y\left(3 x^{2} y^{3}+2 x\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=-\frac{2}{y}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int-\frac{2}{y}} d y \\ =e^{-2 \log y}
समाकलन गुणक (I.F.)=\frac{1}{y^{2}}
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को हल करने पर-

\left(\frac{3 x^{2} y^{4}+2 x^{4}}{y^{2}}\right) d x+\left(\frac{2 x^{3} y^{3}}{y^{2}}-\frac{x^{2}}{y^{2}}\right) d y=0 \\ \Rightarrow\left(3 x^{2} y^{2}+\frac{2 x}{y}\right) d x+\left(2 x^{3} y-\frac{x^{2}}{y^{2}}\right) d y=0
यहां M=3 x^{2} y^{2}+\frac{2 x}{y}, N=2 x^{3} y-\frac{x^{2}}{y^{2}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=6 x^{2} y-\frac{2 x}{y^{2}}, \frac{\partial N}{\partial x}=6 x^{2} y-\frac{2 x}{y^{2}}
अतः \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः समीकरण यथातथ (यथार्थ) समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण के हल करने की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1)U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(3 x^{2} y^{2}+\frac{2 x}{y}\right) d x \\ \Rightarrow U(x,y) =x^{3} y^{2}+\frac{x^{2}}{y} \\(2) \frac{\partial U}{\partial y}=2 x^{3} y-\frac{x^{2}}{y^{2}} \\(3) N-\frac{\partial U}{\partial y}=2 x^{3} y-\frac{x^{2}}{y^{2}}-2 x^{3} y+\frac{x^{2}}{y^{2}} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y}=0 \\(4)V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int 0 d y \\ \Rightarrow V(y)=0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c \\ x^{3} y^{2}+\frac{x^{2}}{y}=c \\ \Rightarrow x^{3} y^{3}+x^{2}=c y

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।
Example-2.\left(y^{4}+2 y\right) d x+\left(x y^{3}+2 y^{4}-4 x\right) d y=0
Solution–\left(y^{4}+2 y\right) d x+\left(x y^{3}+2 y^{4}-4 x\right) d y=0 \\ M=y^{4}+2 y, N=x y^{3}+2 y^{4}-4 x \\ \frac{\partial M}{\partial y}=4 y^{2}+2, \frac{\partial N}{\partial x}=y^{3} -4 \\ \frac{1}{M}\left(\frac {\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{1}{y^{4}+2 y}\left(y^{3}-4-4 y^{3}-2\right) \\ =\frac{1}{y^{4}+2 y}\left(-3 y^{3}-6 \right) \\ =\frac{-3\left(y^{3} +2\right)}{y\left(y^{3}+2\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =-\frac{3}{y}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=\int e^{-\frac{3}{y}} d y \\ e^{-3 \log y}
समाकलन गुणक (I.F.)=\frac{1}{y^{3}}
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को हल करने पर-

\left(\frac{y^{4}+2 y}{y^{3}}\right) d x+\left(\frac{x y^{3}}{y^{3}}+\frac{2 y^{4}}{y^{3}}-\frac{y x}{y^{3}}\right) d x=0 \\ \Rightarrow\left(y+\frac{2}{y^{2}}\right) d x+\left(x+2 y-\frac{4 x}{y^{3}}\right) d x=0  
यहां M=y+\frac{2}{y^{2}}, N=x+2 y-\frac{4 x}{y^{3}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=1-\frac{y}{y^{3}}, \frac{\partial N}{\partial x}=1-\frac{4}{y^{3}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः
अतः समीकरण यथातथ (यथार्थ) समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण के हल करने की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1)U(x, y) =\int M d x \\ =\int \left(y+\frac{2}{y^{2}}\right) d x \\ U(x, y) =x y+\frac{2 x}{y^{2}} \\ (2) \frac{\partial U}{\partial y}= x- \frac{4 x}{y^{3}} \\ (3.) N-\frac{\partial U}{\partial y}=x-\frac{4 x}{y^{3}}+2 y-x+\frac{4 x}{y^{3}} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y}=2 y \\ (4) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int 2 y d y \\ \Rightarrow V(y) =y^{2}
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c \\ x y+\frac{2 x}{y^{2}}+y^{2}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।
Example-3.\left(2 x y^{4} e^{y}+2 x y^{3}+y\right) d x+\left(x^{2} y^{4} e^{y}-x^{2} y^{2}-3 x\right) d y=0
Solution–\left(2 x y^{4} e^{y}+2 x y^{3}+y\right) d x+\left(x^{2} y^{4} e^{y}-x^{2} y^{2}-3 x\right) d y=0 \\ M=2 x y^{4} e^{y}+2 x y^{3}+y, N=x^{2} y^{4} e^{y}-x^{2} y^{2}-3 x \\ \frac{\partial M}{\partial y}=8 x y^{3} e^{y}+2 x y^{4} e^{y}+6 x y^{2}+1, \frac{\partial N}{\partial x}=2 x y^{4} y-2 x y^{2}-3 \\ \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{1}{\left(2 x y^{4} e^{y}+2 x y^{3}+y\right)}\left[2 x y^{4} e^{y}-2 x y^{2}-3-8 x y^{3} e^{y}-2 x y^{4} e^{y}-6 x y^{2}-1\right] \\ =\frac{1}{\left(2 x y^{4} e^{y}+2 x y^{3}+y\right)}\left[-8 x y^{2}-8 x y^{3} e^{y}-4\right] \\ =\frac{-4\left(2 x y^{2}+2 x y^{3} e^{y}+1\right)}{y\left(2 x y^{3} e^{y}+2 x y^{2}+1\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=-\frac{4}{y}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int-\frac{4}{y} d y} \\ =e^{-4 \log y}
समाकलन गुणक (I.F.)=\frac{1}{y^{4}}
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को हल करने पर-

\frac{\left(2 x y^{4} e^{y}+2 x y^{3}+y\right)}{y^{4}} d x+\left(\frac{x^{2} y^{4} e^{y}-x^{2} y^{2}-3 x}{y^{4}}\right) d y=0 \\ \Rightarrow\left(2 x e^{y}+\frac{2 x}{y}+\frac{1}{y^{3}}\right) d x+\left(x^{2} e^{y}-\frac{x^{2}}{y^{2}}-\frac{3 x}{y^{4}}\right) d y=0
यहां M=2 x e^{y}+\frac{2 x}{y}+\frac{1}{y^{3}}, N=x^{2} e^{y}-\frac{x^{2}}{y^{2}}-\frac{3 x}{y^{4}} \\ \frac{\partial M }{\partial y}=2 x e^{y}-\frac{2 x}{y^{2}}-\frac{3}{y^{4}}, \frac{\partial N}{\partial x}=2 x e^{y}-\frac{2 x}{y^{2}}-\frac{3}{y^{4}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः
अतः समीकरण यथातथ (यथार्थ) समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण के हल करने की विधि द्वारा समाकलन करने पर-
(1) U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(2 x e^{y}+\frac{2 x}{y}+\frac{1}{y^{3}}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y) =x^{2} e^{y}+\frac{x^{2}}{y}+\frac{x}{y^{3}} \\ (2)\frac{\partial U}{\partial y}= x^{2} e^{y}-\frac{x^{2}}{y^{2}}-\frac{3 x}{y^{4}} \\ (3) N -\frac{\partial U}{\partial y} =x^{2} e^{y}-\frac{x^{2}}{y^{2}}-\frac{3 x}{y^{4}}-x^{2} e^{y}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+ \frac{3 x}{y^{4}} \\ =0 \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y} =0 \\ (4) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ V(y)=\int 0 d y \\ \Rightarrow V(y)=0

अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow x^{2} e^{y}+\frac{x^{2}}{y}+\frac{x}{y^{3}}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।

Example-4.\left(x y^{3}+y\right) d x+2\left(x^{2} y^{2}+x+y^{4}\right) d y=0
Solution–\left(x y^{3}+y\right) d x+2\left(x^{2} y^{2}+x+ y^{4}\right) d y=0 \\ M=x y^{3}+y, \quad N=2 x^{2} y^{2}+2 y^{4}+2 x \\ \frac{\partial M}{\partial y}=3 x y^{2}+1, \frac{\partial N}{\partial x}=4 x y^{2}+2 \\ \frac{1}{M}\left( \frac {\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{1}{x y^{3}+y} \quad\left(4 x y^{2}+2-3 x y^{2}-1 \right) \\ =\frac{1}{\left(x y^{3}+y\right)}\left(x y^{2}+1\right) \\ =\frac{\left(x y^{2}+1\right)}{y\left(x y^{2}+1\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{1}{y}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \frac{1}{y}dy} \\=e^{\log y}
समाकलन गुणक (I.F.)=y
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को हल करने पर-

y \left(x y^{3}+y\right) d x+y\left(2 x^{2} y^{2}+2 x+2 y^{4}\right) d y=0 \\ \Rightarrow \left(x y^{4}+y^{2}\right) d x+\left(2 x^{2} y^{3}+2 x y+2 y^{5}\right) d y=0
यहां M=x y^{4}+y^{2} ,\quad N=2 x^{2} y^{3}+2 x y+2 y^{5} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=4 x y^{3}+2 y, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=4 x y^{3}+2 y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः
अतः समीकरण यथातथ (यथार्थ) समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण के हल करने की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1) U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(x y^{4}+y^{2}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y) =\frac{x^{2} y^{4}}{2}+x y^{2} \\ (2) \frac{\partial U}{\partial y}=2 x^{2} y^{2}+2 x y \\ (3)N-\frac{\partial U}{\partial y}=2 x^{2} y^{3}+2 x y+2 y^{5}-2 x^{2} y^{3}-2 x y \\ \Rightarrow N-\frac{\partial u}{\partial y}=2 y^{5} \\ (4) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int 2 y^{5} d y \\ \Rightarrow V(y) =\frac{2}{6} y^{6}
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c_{1} \\ \Rightarrow \frac{x^{2} y^{4}}{2}+x y^{2}+\frac{2}{6} y^{6}=c_{1} \\ \Rightarrow 3 x^{2} y^{4}+6 x y^{2}+2 y^{5}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।

Reduction Exact Differential Equation

Example-5.(2 y d x+3 x d y)+\left(6 x y^{2} d x+\frac{15}{2}x^{2} y d y\right)=0
Solution–(2 y d x+3 x d y)+\left(6 x y^{2} d x+\frac{15}{2}x^{2} y d y\right)=0 \\ \Rightarrow\left(y+6 x y^{2}\right) d x+\left(3 x+\frac{25}{2} x^{2} y\right) d y=0 \\ M=2 y+6 x y^{2} \quad, N=3 x+\frac{15}{2} x^{2} y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2+12 x y \quad , \frac{\partial N}{\partial x}=3+15 x y \\ \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac {\partial M}{\partial y}\right)=\frac{1}{2 y+6 x y^{2}}(3+15 x y-2-12 x y) \\ =\frac{1}{2 y(1+3 x y)}(1+3 x y) \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{1}{2 y}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \frac{1}{2 y} d y} \\= e^{\frac{1}{2} \log y}
समाकलन गुणक (I.F.)=\sqrt{y}
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को हल करने पर-

\sqrt{y}\left(2 y+6 x y^{2}\right) d x+\sqrt{y} \left(3 x+\frac{15}{2} x^{2} y\right) d y=0 \\ \Rightarrow \left(2 y^{\frac{3}{2}}+6 x y^{\frac{5}{2}}\right) d x+\left(3 x \sqrt{y}+\frac{15}{2} x^{2} y^{\frac{3}{2}}\right) d y=0
यहां M=2 y^{\frac{3}{2}}+6 x y^{\frac{5}{2}}, N=3 x \sqrt{y}+\frac{15}{2} x^{2} y^{\frac{3}{2}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=3 y^{\frac{1}{2}}+15 x y^{\frac{3}{2}}, \frac{\partial N}{\partial x}=3 y^{\frac{1}{2}}+15 x y^{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः
अतः समीकरण यथातथ (यथार्थ) समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण के हल करने की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1)U(x, y) =\int M dx \\ = \int (2 y^{\frac{3}{2}}+3 x y^{\frac{5}{2}})dx\\ \Rightarrow U(x, y)=2 x y^{\frac{3}{2}}+3 x^{2} y^{\frac{5}{2}} \\ (2)\frac{\partial U}{\partial y}= 3 x y^{\frac{1}{2}}+\frac{15}{2} x^{2} y^{\frac{3}{2}} \\ (3) N-\frac{\partial U}{\partial y}=3 x y^{\frac{1}{2}}+\frac{15}{2} x^{2} y^{\frac{3}{2}}-3 x y^{\frac{1}{2}}-15 x^{2} y^{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{ \partial y}=0 \\ (4)V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int 0 d y \\ \Rightarrow V(y)=0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+ V(y)=c \\2 x y^{\frac{3}{2}}+3 x^{2} y^{\frac{5}{2}}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।
Example-6.x^{2} y^{2} d x+\left(x^{3} y-2\right) d y=0
Solution-x^{2} y^{2} d x+\left(x^{3} y-2\right) d y=0 \\ M=x^{2} y^{2}, x=x^{3} y-2 \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2 x^{2} y, \frac{\partial N}{\partial x}=3 x^{2} y \\ \frac{1}{M} \left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{1}{2 x^{2} y}\left(3 x^{2} y-2 x^{2} y\right) \\ =\frac{x^{2} y}{ x^{2} y^{2}} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{1}{y}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \frac{1}{y} d y}
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\log y}=y
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को हल करने पर-

x^{2} y^{3} d x+\left(x^{3} y^{2}-2 y\right) d y=0
यहां M=x^{2} y^{3} \quad,N=x^{3} y^{2}-2 y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=3 x^{2} y^{2} ,\frac{\partial N}{\partial y}=3 x^{2} y^{2} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः
अतः समीकरण यथातथ (यथार्थ) समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण के हल करने की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1) U\left(x, y\right) =\int M d x \\ =\int x^{2} y^{3} d x \\ \Rightarrow U(x, y) =\frac{x^{3} y^{3}}{3} \\ (2)\frac{\partial U}{\partial y}=x^{3} y^{2} \\ (3)  N-\frac{\partial U}{\partial y}=x^{3} y^{2}-2 y-x^{3} y^{2} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y} =-2 y \\ (4) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int(-2 y) d y \\ \Rightarrow V(y) =-y^{2}
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c_{1} \\ \Rightarrow \frac{x^{3} y^{3}}{3}-y^{2}=c_{1} \\ \Rightarrow x^{3} y^{2}-3 y^{2}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।
Example-7.\left(2 x^{2} y-3 y^{2}\right) d x+\left(2 x^{3}-12 x y+\log y\right) d y=0
Solution–(2 x^{2} y-3 y^{2})d x+\left(2 x^{3}-12 x y+\log y\right) d y=0 \\ M =2 x^{2} y-3 y^{2}, \quad N=2 x^{3}-12 x y+\log y \\ \frac{\partial M}{\partial y} =2 x^{2}-6 y, \frac{\partial N}{\partial x}=6 x^{2}-12 y \\\Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{1}{2 x^{2} y-3 y^{2}}\left(6 x^{2}-12 y-2 x^{2}+6 y\right) \\ =\frac{1}{y\left(2 x^{2}-2 y\right)}\left(4 x^{2}-6 y\right) \\ =\frac{2\left(2 x^{2}-3 y\right)}{y\left(2 x^{2}-3 y\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{2}{y}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \frac{2}{y} d y} \\ ={e}^{2 \log y} \\= y^{2}
समाकलन गुणक (I.F.)= y^{2}

समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को हल करने पर-

\left(2 x^{2} y^{3}-3 y^{4}\right) d x+\left(2 x^{3} y^{2}-12 x y^{3}+y^{2} \log y\right) d y=0
यहां M=2 x^{2} y^{3}-3 y^{4}, \quad N=2 x^{3} y^{2}-12 x y^{3}+y^{2} \log y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=6 x^{2} y^{2}-12 y^{3}, \frac {\partial N}{\partial x}=6 x^{2} y^{2}-12 y^{3} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः
अतः समीकरण यथातथ (यथार्थ) समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण के हल करने की विधि द्वारा समाकलन करने पर-
(1)U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(2 x^{2} y^{3}-3 y^{4}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y) =\frac{2 x^{3} y^{3}}{3}-3 x y^{4} \\ (2)\frac{\partial U}{\partial y} =2 x^{3} y^{2}-12 x y^{3} \\ (3) N-\frac{\partial U}{\partial y} =2 x^{3} y^{2}-12 x y^{3}+y^{2} \log y-2 x^{3} y^{2}+12 x y^{3} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y} =y^{2} \log y \\ (4)V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int\left(y^{2} \log y\right) d y \\ =\log y \int y^{2} d y-\int\left[\frac{d}{d y}(\log y) \int y^{2} d y\right] d y \\ =\frac{1}{3} y^{3} \log y -\frac{1}{9}y^{3} \\ \Rightarrow V(y) =\frac{1}{3} y^{3} \log y-\frac{1}{9} y^{3}

अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c_{1} \\ \frac{2}{3} x^{3} y^{3}-3 x y^{4}+\frac{1}{3} y^{2} \log y-\frac{1}{9} y^{3}=c_{1} \\ \Rightarrow 6 x^{3} y^{3}-27 x y^{4}+3 y^{3} \log y-y^{3}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।
Example-8.\left(y^{2} e^{x}+2 x y\right) d x-x^{2} d y=0
Solution-\left(y^{2} e^{x}+2 x y\right) d x-x^{2} d y=0 \\ M=y^{2} e^{x}+2 x y, N=-x^{2} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2 y e^{x}+2 x, \frac{\partial N}{\partial x}=-2 x \\ \frac{1}{M}\left(\frac {\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{1}{y^{2} e^{x}+2 x y}\left(-2 x-2 y e^{x}-2 x\right) \\ =\frac{\left(-2 y e^{x}-4 x\right)}{y\left(y e^{x}+2 x\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M} \left( \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{-2\left(y e^{x}+2 x\right)}{y\left(y e^{x}+2 x\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=-\frac{2}{y}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int-\frac{2}{y} d y} \\ = e^{-2 \log y}=\frac{1}{y^{2}}
समाकलन गुणक (I.F.)=\frac{1}{y^{2}}
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को हल करने पर-

\left(\frac{y^{2} e^{x}}{y^{2}}+\frac{2 x y}{y^{2}}\right) d x-\frac{x^{2}}{y^{2}} d y=0 \\ \Rightarrow \left(e^{x}+\frac{2 x}{y}\right) d x+\frac{x^{2}}{y^{2}} d y=0
यहां M=e^{x}+\frac{2 x}{y}, N=-\frac{x^{2}}{y^{2}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{2 x}{y^{2}}, \frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{2 x}{y^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः
अतः समीकरण यथातथ (यथार्थ) समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण के हल करने की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1) U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(e^{x}+\frac{2 x}{y}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y) =e^{x}+\frac{x^{2}}{y} \\ (2)\frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{x^{2}}{y^{2}} \\ (3)N-\frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}}=0 \\ (4)V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int 0 d y=0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c \\ e^{x}+\frac{x^{2}}{y}=c \\ \Rightarrow y e^{x}+x^{2}=c y
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।

3.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण की समस्याएं (Reduction Exact Differential Equation Examples),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण प्रश्न और उत्तर (Exact Differential Equation Questions and Answers)-

Reduction Exact Differential Equation

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1)\left(x y^{2}-x^{2}\right) d x+\left(3 x^{2} y^{2}+x^{2} y-2 x^{3}+y^{2}\right) d y=0 \\ (2)\left(y^{4}+2 y\right) d x+\left(x y^{3}+2 y^{4}-4 x\right) d x=0 \\ (3)\left(3 x^{2} y^{4}+2 x y\right) d x=\left(2 x^{3} y^{3}-x^{2}\right) d y
उत्तर (Answers):(1)e^{6y} \left(\frac{x^{2} y^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{6}-\frac{y}{18}+\frac{1}{108}\right)=c \\ (2) 3 x^{4} y^{4}+6 x y^{2}+2 y^{6}=c \\ (3)x^{3} y^{3}+x^{2}=cy 
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने प्रश्न-

Reduction Exact Differential Equation