Reducible to Homogeneous Linear Form
1.समघात रैखिक रूप में समानयन (Reducible to Homogeneous Linear Form),समघात रूप में बदले जाने वाले अवकल समीकरण (Differential Equations Reducible to Homogeneous Linear Form):
समघात रैखिक रूप में समानयन (Reducible to Homogeneous Linear Form) के बाद अवकल समीकरण समघाती रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित हो जाता है।फिर परिवर्तित चर को z में परिवर्तित करके हल ज्ञात कर लिया जाता है।
एक अवकल समीकरण जिसका निम्नलिखित रूप हो:
(a+b x)^{n} \frac{d^{n} y}{d x^{n}}+a_{1}(a+b x)^{n-1} \frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}(a+b x) \frac{d y}{d x}+a_{n} y=Q(x)
जहाँ गुणांक a_{1}, a_{2},\ldots, a_{n} तथा a और b अचर हो तथा Q केवल x का कोई फलन हो,अचर गुणांकों वाले समघात रैखिक अवकल समीकरण में बदला जा सकता है।इसके लिए हमको a+bx के स्थान पर नया स्वतन्त्र चर v प्रतिस्थापित करना होगा।
अतः यदि v=a+b x \Rightarrow \frac{d v}{d x}=b
तथा \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d v} \cdot \frac{d v}{d x}=b\left(\frac{d y}{d v}\right) \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=b^{2} \frac{d^{2} y}{d v^{2}}, \ldots, \frac{d^{n}y}{d x^{n}}=b^{n} \frac{d^{n} y}{d v^{n}}
इसलिए दिए हुए समीकरण का नया रूप होगा:
b^{n} v^{n} \frac{d^{n} y}{d v^{n}}+a_{1} b^{n-1} v^{n-1} \frac{d^{n-1} y}{d v^{n-1}}+\ldots+ a_{n-1} b v \frac{d v}{d x}+a_{n} y=Q\left(\frac{v-a}{b}\right) \\ \Rightarrow v^{n} \frac{d^{n} y}{d v^{n}}+ \left(\frac{a_{1}}{b}\right) v^{n-1} \frac{d^{n-1} y}{d v^{n-1}}+\cdots+\left(\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}\right) v \frac{d y}{d v}+\left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right) y=\frac{1}{b^{n}} Q\left(\frac{v-a}{b}\right)
जो कि समघात रैखिक अवकल समीकरण के रूप का है।
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2.समघात रैखिक रूप में समानयन के साधित उदाहरण (Reducible to Homogeneous Linear Form Solved Examples):
निम्नलिखित रैखिक अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:1. (x+a)^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4(x+a) \frac{d y}{d x}+6 y=x
Solution: (x+a)^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4(x+a) \frac{d y}{d x}+6 y=x
माना (x+a)=V \Rightarrow d x=dv
अतः दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिख सकते हैं:
v^{2} \frac{d^{2} y}{d v^{2}}+4v \frac{d y}{d v}+6 y=v-a
यह एक समघात रैखिक अवकल समीकरण है:
माना कि z=\log v \Rightarrow v=e^{z}
अतः समीकरण का नया रूप होगा:
[D(D-1)-4 D+6] y=e^{z}-a \\ \Rightarrow\left(D^{2}-D-4D+6\right) y=e^{z}-a \\ \Rightarrow \left(D^{2}-5 D+6\right) y=e^{z}-a
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:
m^{2}-5 m+6=0 \\ \Rightarrow m^{2}-3 m-2 m+6=0 \\ \Rightarrow m(m-3)-2(m-3)=0 \\ \Rightarrow (m-2)(m-3)=0 \\ \Rightarrow m=2,3 \\ \text{C.F.}=C_{1} e^{2 z}+C_{2} e^{3 z} \\ = C_{1} v^{2}+C_{2} v^{3} \\ \Rightarrow \text{C.F.}=C_{1}(x+a)^{2}+C_{2}(x+a)^{3} \\ \text{P.I.}=\frac{1}{D^{2}-5 D+6}\left(e^{z}-a\right)\\ =\frac{1}{D^{2}-5 D+6} e^{z}-\frac{1}{D^{2}-5 D+6} a\\ =\frac{e^{z} \cdot 1}{1^{2}-5 \times 1+6}-\frac{1}{0^{2}-5 \times 0+6} a\\ =\frac{1}{2} e^{z}-\frac{1}{6} a\\ =\frac{1}{2} v-\frac{1}{6} a\\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{2}(x+a)-\frac{1}{6} a
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.
\Rightarrow y=C_{1}(x+a)^{2}+C_{2}(x+a)^{3}+\frac{1}{2}(x+a)-\frac{1}{6} a
Example:2. \left[(3 x+2)^{2} D^{2}+3(3 x+2) D-36\right]y=3 x^{2}+4 x+1
Solution: \left[(3 x+2)^{2} D^{2}+3(3 x+2) D-36\right]y=3 x^{2}+4 x+1
माना 3 x+2=v \Rightarrow 3 dx=d v \\ \left[3^{2} v^{2} D^{2}+3 \times 3 v D-36\right] y=\left( \frac{v-2}{3}\right)^{2} \times 3+4\left(\frac{v-2}{3}\right)+1 \\ \left[9 v^{2} D^{2}+9 v D-36\right] y=\frac{v^{2}-4 v+4}{3} +\frac{4 v-8}{3}+1 \\ \Rightarrow \left(9 v^{2} D^{2}+9 v D-36\right) y=\frac{v^{2} -4 v+4+4 v-8+3}{3} \\ \Rightarrow\left(v^{2} D^{2}+v D-4\right) y=\frac{v^{2}-1}{27}
अतः दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिख सकते हैं:
यह एक समघात रैखिक अवकल समीकरण है:
माना कि z=\log v \Rightarrow v=e^{z}
अतः समीकरण का नया रूप होगा:
[D(D-1)+D-4] y=\frac{1}{27} e^{2 z}-\frac{1}{27} \\ \Rightarrow \left(D^{2}-D+D-4\right) y=\frac{1}{27} e^{2 z}-\frac{1}{27} \\ \Rightarrow \left(D^{2}-4\right) y=\frac{1}{27} e^{2 z}-\frac{1}{27}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:
m^{2}-4 =0 \Rightarrow m=\pm 2 \\ \text{C.F.} =C_{1} e^{2 z}+C_{2} e^{-2 z} \\ =C_{1} v^{2}+C_{2} v^{-2} \\ \Rightarrow \text{C.F.} =C_{1}(3 x+2)+C_{2} (3 x+2)^{-2} \\ \text{P.I.}=\frac{1}{D^{2}-4} \left(\frac{1}{27} e^{2 z}-\frac{1}{27}\right) \\ =\frac{1}{27}\left(\frac{1}{D^{2}-4} e^{2 z}\right)-\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{D^{2}-4} e^{0 . z} \\ =\frac{1}{27} \frac{1}{(D-2)(D+2)} e^{2 z}-\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\left(D^{2}-4 \right)} \\ =\frac{1}{27} \frac{1}{(2+2)} \frac{1}{(D-2)} e^{2 z}+\frac{1}{108} \\ =\frac{1}{108} \times \frac{z}{1 !} e^{2 z}+\frac{1}{108} \\ =\frac{1}{108}(\log v) \cdot v^{2}+\frac{1}{108 } \\ \Rightarrow \text{P.I.} =\frac{1}{108}(3 x+2)^{2} \log (3 x+2)+\frac{1}{108}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.
\Rightarrow y=C_{1}(3 x+2)^{2}+C_{2}(3 x+2)^{-2}+\frac{1}{108}\left[(3 x+2)^{2} \log (3 x+2)+1 \right]
Example:3. \left[(3 x+2)^{2} D^{2}+5(3 x+2) D-3\right] y=x^{2}+x+1
Solution: \left[(3 x+2)^{2} D^{2}+5(3 x+2) D-3\right] y=x^{2}+x+1
माना 3 x+2=v \Rightarrow 3 d x=d v \\ \left[3^{2} v^{2} D^{2}+5 \times 3 v D-3\right] y=\left(\frac{v-2}{3}\right)^{2}+\frac{v-2}{3}+1 \\ \Rightarrow\left(9 v^{2} D^{2}+15vd D-3\right) y=\frac{v^{2}-4 v+4}{9}+\frac{v-2}{3}+1 \\ 3\left(3 v^{2} D^{2}+5 v D-1\right) y=\frac{v^{2}-u v+4+3 v-6+9}{9} \\ \Rightarrow \left(3 v^{2} D^{2}+5 v D-1\right) y=\frac{1}{27}\left(v^{2}-v+7\right)
अतः दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिख सकते हैं:
यह एक समघात रैखिक अवकल समीकरण है:
माना कि z=\log v \Rightarrow v=e^{z}
अतः समीकरण का नया रूप होगा:
[3 D(D-1)+5 D-1] y=\frac{1}{27}\left(e^{2 z}-e^{z}+7\right) \\ \Rightarrow \left(3 D^{2}-3 D+5 D-1\right) y=\frac{1}{27}\left(e^{2 z} -e^{z}+7\right) \\ \Rightarrow \left(3 D^{2}+2 D-1\right) y=\frac{1}{27}\left(e^{2 z}-e^{z}+7\right)
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:
3 m^{2}+2 m-1=0 \\ \Rightarrow 3 m^{2}+3 m-m-1=0 \\ \Rightarrow 3 m(m+1)-1(m+1)=0 \\ \Rightarrow (3 m-1)(m+1)=0 \\ \Rightarrow m=\frac{1}{3},-1 \\ \text{C.F.}=C_{1} e^{\frac{z}{3}}+C_{2} e^{-z} \\ = C_{1} v^{\frac{1}{3}}+C_{2} v^{-1} \\ \Rightarrow \text{C.F.}=C_{1}(3 x+2)^{\frac{1}{3}}+C_{2}(3 x+2)^{-1} \\ \text{P.I.}=\frac{1}{3 D^{2}+2 D-1} \cdot \frac{1}{27}\left(e^{2 z} -e^{z}+7\right) \\ =\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{3 D^{2}+2 D-1} e^{2 z}-\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{3 D^{2}+2 D-1} e^{z}+\frac{7}{27} \cdot \frac{1}{3 D^{2}+2 D-1} e^{0 \cdot z} \\ =\frac{1}{27} \cdot e^{2z} \cdot \frac{1}{3(2)^{2}+2 \times 2-1}-\frac{1}{27} e^{z} \cdot \frac{1}{3 \times(1)^{2}+2 \times 1-1}+\frac{7}{27} \cdot \frac{1}{3(0)^{2}+2 \times 0-1} \\ =\frac{1}{27} \cdot e^{2z} \frac{1}{12+4-1}-\frac{1}{27} \cdot e^{z} \cdot \frac{1}{3+2-1}+\frac{7}{27}\left(\frac{1}{-1}\right) \\ =\frac{1}{405} e^{2 z}-\frac{1}{108} e^{z}-\frac{7}{27} \\ =\frac{1}{405} v^{2}-\frac{1}{108} v-\frac{7}{27}\\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{405}(3 x+2)^{2}-\frac{1}{108}(3 x+2)-\frac{7}{27}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.
y=C_{1}(3 x+2)^{\frac{1}{3}}+C_{2}(3 x+2)^{-1}+\frac{1}{405}(3 x+2)^{2}-\frac{1}{108}(3 x+2)-\frac{7}{27}
Example:4. (x+1)^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3(x+1) \frac{d y}{d x}+4 y=x^{2}
Solution: (x+1)^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3(x+1) \frac{d y}{d x}+4 y=x^{2}
माना x+1=v \quad \Rightarrow d x=d v
अतः दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिख सकते हैं:
v^{2} \frac{d^{2} y}{d v^{2}}-3 v \frac{d y}{d v}+4 y=\left(v-1\right)^{2} \\ \Rightarrow\left(v^{2} D^{2}-3 v D+4\right) y= v^{2}-2 v+1
यह एक समघात रैखिक अवकल समीकरण है:
माना कि z=\log v \Rightarrow v=e^{z}
अतः समीकरण का नया रूप होगा:
[D(D-1)-3 D+4] y=e^{2 z}-2 e^{z}+1 \\ \Rightarrow \left(D^{2}-D-3 D+4\right) y=e^{2 z}-2 e^{z}+1 \\ \Rightarrow \left(D^{2}-4 D+4\right) y=e^{2 z}-2 e^{z}+1
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:
m^{2}-4 m+4=0\\ \Rightarrow(m-2)^{2}=0 \Rightarrow m=2,2 \\ \text{C.F.}= \left(C_{1}+ C_{2}z\right) e^{2 z}\\ =\left(C_{1}+C_{2} \log v\right) v^{2}\\ \Rightarrow \text{C.F.}=\left(C_{1}+C_{2} \log (x+1)\right)(x+1)^{2}\\ \text{P.I.}=\frac{1}{D^{2}-4 D+4} e^{2 z}-2 e^{z}+1\\ =\frac{1}{(D-2)^{2}} e^{2 z}-2 \frac{1}{D^{2}-4 D+4} e^{z}+\frac{1}{D^{2}-4 D+4} e^{0 \cdot z} \\ = \frac{z^{2}}{2 !} e^{2 z}-\frac{2 e^{z}}{1^{2}-4 \times 1+4}+\frac{1}{0^{2}-4 \times 0+4} \\ = \frac{1}{2}(\log v)^{2} v^{2}-2 v+\frac{1}{4} \\ \Rightarrow \text{P.I.} =\frac{1}{2} \left\{ \log (x+1)\right\}^{2}(x+1)^{2}-2(x+1)+\frac{1}{4}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.
Example:5. (x+1)^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(x+1) \frac{d y}{d x}=(2 x+3)(2 x+4)
Solution: (x+1)^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(x+1) \frac{d y}{d x}=4 x^{2}+14 x+12
माना x+1=v \Rightarrow d x=dv
अतः दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिख सकते हैं:
v^{2} \frac{d^{2} y}{d v^{2}}+v \frac{d y}{d v}=4(v-1)^{2}+14(v-1)+12 \\ \Rightarrow \left[v^{2} D^{2}+v D\right] y=4\left(v^{2}-2 v+1\right)+14 v-14+12 \\ \Rightarrow \left[v^{2} D^{2}+v D\right] y=4 v^{2}+6 v+2
यह एक समघात रैखिक अवकल समीकरण है:
माना कि z=\log r \Rightarrow v=e^{z}
अतः समीकरण का नया रूप होगा:
[D(D-1)+D] y=4 e^{2 z}+6 e^{z}+2 \\ \left( D^{2}-D+D\right) y=4 e^{2 z}+6 e^{z}+2 \\ \Rightarrow D^{2} y=4 e^{2 z}+6 e^{z}+2
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:
m^{2}=0 \Rightarrow m=0,0\\ \text{C.F.}=\left(C_{1}+C_{2} z\right) e^{0 \cdot z}\\ =C_{1}+C_{2} \log v\\ \Rightarrow \text{C.F.}=C_{1}+C_{2} \log (x+1)\\ \text { P.I. }=\frac{1}{D^{2}}\left(4 e^{2 z}+6 e^{z}+2\right) \\ =4 \frac{1}{D^{2}} e^{2 z}+6 \frac{1}{D^{2}} e^{z}+\frac{1}{D^{2}}\\ =4 \cdot \frac{e^{2 z}}{4}+6 e^{z}+2 \frac{z^{2}}{2}\\ =e^{2 z}+6 e^{z}+z^{2}\\=v^{2}+6 v+(\log v)^{2} \\ \Rightarrow \text{P.I.}=(x+1)^{2} +6(x+1)+[\log (x+1)]^{2}\\ =x^{2}+2 x+1+6 x+6+\left[\log (x+1)\right]^{2}\\ \Rightarrow \text{P.I.} =x^{2}+8 x+\left[\log (x+1)\right]^{2}+7
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.
\Rightarrow y=C_{1}+C_{2} \log (x+1)+x^{2}+8 x+[\log (x+1)]^{2}
Example:6. 16(x+1)^{4} \frac{d^{4 y}}{d x^{4}} +96(x+1)^{3} \frac{d^{3}y}{dx^{3}}+104(x+1)^{2} \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+8(x+1) \frac{d y}{d x}+y=x^{2}+4 x+3
Solution: 16(x+1)^{4} \frac{d^{4 y}}{d x^{4}} +96(x+1)^{3} \frac{d^{3}y}{dx^{3}}+104(x+1)^{2} \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+8(x+1) \frac{d y}{d x}+y=x^{2}+4 x+3
माना x+1=V \Rightarrow d x=d v
अतः दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिख सकते हैं:
16 v^{4} \cdot \frac{d^{4} y}{d v^{4}}+96 v^{3} \frac{d^{3} y}{d v^{3}}+104 v^{2} \frac{d^{2} y}{d v^{2}}+8 v \frac{d y}{d v}+y =(v-1)^{2}+4(v-1)+3 \\ \Rightarrow\left[16 v^{4} D^{4}+96 v^{3} D^{3}+104 v^{2} D^{2}+8 v D+1\right] y =v^{2}-2 v+1+4 v-4+3 \\ \Rightarrow \left[16 v^{4} D^{4}+96 v^{3} D^{3}+104 v^{2} D^{2}+8 v D+1\right] y=v^{2}+2 v
यह एक समघात रैखिक अवकल समीकरण है:
माना कि z=\log v \Rightarrow v=e^{z}
अतः समीकरण का नया रूप होगा:
[16 D(D-1)(D-2)(D-3)+96 D(D-1)(D-2)+104 D(D-1)+8 D+1]=e^{2 z}+2 e^{z} \\ \Rightarrow\left(16 D^{4}-96 D^{3}+176 D^{2}-96 D+96 D^{3}-288 D^{2}+192 D+104 D^{2}-104 D+8 D+1\right) y=e^{2 z}+2 e^{z} \\ \Rightarrow\left(16 D^{4}-8 D^{2}+1\right) y=e^{2 z}+2 e^{z}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:
16 m^{4}-8 m^{2}+1=0\\ \Rightarrow\left(4 m^{2}-1\right)^{2}=0\\ \Rightarrow(2 m-1)^{2}(2 m+1)^{2}=0\\ \Rightarrow m=\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\\ \text{C.F.}=\left(C_{1}+C_{2} z\right) e^{\frac{z}{2}}+\left(C_{3}+C_{4} z\right) e^{-\frac{z}{2}}\\ =\left(C_{1}+C_{2} \log v\right) v^{\frac{1}{2}}+\left(C_{3}+c_{4} \log v\right) e^{-\frac{v}{2}}\\ \text{P.I.}=\frac{1}{16 D^{2}-8 D^{2}+1} \left(e^{2 z}+2 e^{z}\right)\\ =\frac{1}{16 D^{4}-8 D^{2}+1} e^{2 z}+2 \frac{1}{16 D^{4}-8 D^{2}+1} e^{z} \\ =\frac{e^{2 z}}{16 \times 2^{4}-8 \times 2^{2}+1}+\frac{2 e^{z}}{16 \times 1-8 \times 1^{2}+1} \\ =\frac{1}{225} e^{2 z}+\frac{2}{9} e^{z} \\ =\frac{1}{225} v^{2}+\frac{2}{9} v \\ \Rightarrow \text{P.I.}= \frac{1}{225}(x+1)^{2}+\frac{2}{9}(x+1)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.
\Rightarrow y=\left[C_{1}+C_{2} \log (1+x)\right](1+x)^{\frac{1}{2}}+\left[C_{3}+C_{4} \log (x+1)\right] (1+x)^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{225}(x+1)^{2}+\frac{2}{9}(x+1)
Example:7. (1+2 x)^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-6(1+2 x) \frac{d y}{d x} +16 y=8(1+2x)^{2}
Solution: (1+2 x)^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-6(1+2 x) \frac{d y}{d x} +16 y=8(1+2x)^{2}
माना 1+2x=v \Rightarrow 2 dx=dv
अतः दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिख सकते हैं:
2^{2} v^{2} \frac{d^{2} y}{d v^{2}}-6 \times 2 v \frac{d y}{d v}+16 y=8\left[1+\frac{2(v-1)}{2}\right]^{2} \\ \Rightarrow \left[4 v^{2} D^{2}-12 vD+6\right] y=8 v^{2} \\ \Rightarrow \left(v^{2} D^{2}-3 v D+4\right) y=2 v^{2}
यह एक समघात रैखिक अवकल समीकरण है:
माना कि z=\log v \Rightarrow v=e^{z}
अतः समीकरण का नया रूप होगा:
[D(D-1)-3 D+4] y=2 e^{2 z} \\ \Rightarrow\left(D^{2}-D-3 D+4\right) y=2 e^{2 z} \\ \Rightarrow \left(D^{2}-4 D+4\right) y=2 e^{2 z}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:
m^{2}-4 m+4=0 \Rightarrow(m-2)^{2}=0 \\ \Rightarrow m =2,2 \\ \text{C.F.}=\left(C_{1}+C_{2} z\right) e^{2 z} \\ =\left[C_{1}+C_{2} \log v \right] v^{2}\\ \Rightarrow \text{C.F.}=\left[C_{1}+C_{2} \log (2 x+1)\right](1+2 x)^{2} \\ \text{P.I.} =\frac{1}{(D-2)^{2}} 2 e^{2 z} \\ =2 \cdot \frac{z^{2}}{2 !} e^{2 z} \\ =z^{2} e^{2 z} \\ =(\log v)^{2}\left(v^{2}\right) \\ \Rightarrow \text{P.I.} =\left[\log (1+2 x)\right]^{2}(1+2 x)^{2}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.
y=\left[C_{1}+C_{2} \log (2 x+1)\right](1+2 x)^{2}+(1+2 x)^{2} \left [ \log (1+2 x) \right ]^{2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समघात रैखिक रूप में समानयन (Reducible to Homogeneous Linear Form),समघात रूप में बदले जाने वाले अवकल समीकरण (Differential Equations Reducible to Homogeneous Linear Form) को समझ सकते हैं।
3.समघात रैखिक रूप में समानयन पर आधारित सवाल (Questions Based on Reducible to Homogeneous Linear Form):
निम्नलिखित रैखिक अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
(1.) (1+x)^{2} \frac{d^{2}y}{d x^{2}}+(1+x) \frac{d y}{d x}+y=4 \cos \log (1+x)
(2.) (5+2 x)^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+6(5+2 x) \frac{d y}{d x}+8 y=0
उत्तर (Answers):(1.) y=C_{1} \cos \{\log (1+x)\}+C_{2} \sin \{\log (1+x)\}+2 \log (1+x) \text { sin }\{\log (1+x)\}
(2.) y=\left[C_{1}\left(5+2 x\right)^{\sqrt{2}} +C_{2}(5+2 x)^{-\sqrt{2}}\right]
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समघात रैखिक रूप में समानयन (Reducible to Homogeneous Linear Form),समघात रूप में बदले जाने वाले अवकल समीकरण (Differential Equations Reducible to Homogeneous Linear Form) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.समघात रैखिक रूप में समानयन (Reducible to Homogeneous Linear Form),समघात रूप में बदले जाने वाले अवकल समीकरण (Differential Equations Reducible to Homogeneous Linear Form) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.समघात रैखिक अवकल समीकरण के अधिकल्पित मूल की दो बार पुनरावृत्ति हुई हो तो सहायक समीकरण कैसे ज्ञात करते हैं? (How do auxiliary equation find if the imaginary roots of homogenous linear differential equation has been repeated twice?):
उत्तर:अधिकल्पित मूल \alpha \pm i \beta की दो बार पुनरावृत्ति हो तो इसके संगत:
\text{C.F.}=e^{\alpha z}\left[\left(C_{1}+C_{2} z\right) \cos \beta z+\left(C_{3} +C_{4} z\right) \sin \beta z\right]\\ \Rightarrow \text{C.F.}= x^{\alpha}[ \left(C_{1} +C_{2} \log x\right) \cos (\beta \log x)+ \left(C_{3}+C_{4} \log x\right) \sin (\beta \log x)]
प्रश्न:2.समघात रैखिक अवकल समीकरण में वैकल्पिक रीति के बजाय मुख्य विधि ही क्यों प्रयोग करना चाहिए? (Why should you use the main method instead of alternative method in homogenous linear differential equation?):
उत्तर:यद्यपि वैकल्पिक विधि देखने में सरल है क्योंकि को x के फलनों पर सीधा प्रयुक्त किया जाता है जबकि मुख्य विधि में D का प्रयोग करने के लिए पहले x के फलनों को z के पदों में परिवर्तित करना होता है।फिर भी मुख्य विधि का प्रयोग पिछले अभ्यास के कारण सरल होगा। इसलिए प्रश्नों को हल करते समय मुख्य विधि ही प्रयोग करना चाहिए।
प्रश्न:3.अवकल समीकरण किसे कहते हैं? (What is a differential equation?):
उत्तर:एक समीकरण जो स्वतन्त्र चर अथवा चरों (Independent Variable or Variables) आश्रित चर (परतन्त्र) चर (dependent variable) तथा आश्रित चर के अवकल गुणांक (differential coefficient of the dependent variable) के बीच सम्बन्धित हो अवकल समीकरण (differential equation) कहलाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समघात रैखिक रूप में समानयन (Reducible to Homogeneous Linear Form),समघात रूप में बदले जाने वाले अवकल समीकरण (Differential Equations Reducible to Homogeneous Linear Form) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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समघात रैखिक रूप में समानयन
(Reducible to Homogeneous Linear Form)
Reducible to Homogeneous Linear Form
समघात रैखिक रूप में समानयन (Reducible to Homogeneous Linear Form) के बाद
अवकल समीकरण समघाती रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित हो जाता है।
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Satyam
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