1.समघात समीकरण में समानयन (Reducible to Homogeneous Equation),अवकल समीकरण में समघात समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Homogeneous Equation in Differential Equation):

Reducible to Homogeneous Equation

समघात समीकरण में समानयन (Reducible to Homogeneous Equation) वाले समीकरण के इस आर्टिकल में कुछ ऐसे अवकल समीकरणों का हल करने का अध्ययन करेंगे जिनको समघात समीकरण में परिवर्तित किया जा सके।
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2.समघात समीकरण में समानयन के साधित उदाहरण (Reducible to Homogeneous Equation Solved Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों का हल ज्ञात कीजिएः
(Solve the following differential equations):
Example:1. (2 x+3 y-5)\left(\frac{d y}{d x}\right)+(3 x+2 y-5)=0
Solution: \frac{d y}{d x}=-\frac{(3 x+2 y-5)}{2 x+3 y-5} \cdots(1)
यहाँ \frac{a}{A} \neq \frac{b}{B}\left(\frac{-3}{2} \neq \frac{-2}{3}\right)
इसलिए माना कि x=X+h, y=Y+k  … (2)
तो दिए हुए समीकरण का नया रूप होगा

\frac{d Y}{d X}=\frac{-3 X-3 h-2Y-2 k+5}{2X+2 h+3 Y+3 k-5} \\ \Rightarrow \frac{d Y}{dX}=\frac{-3X-2Y-3 h-2 k+5}{2X+3Y+2 h+3 k-5} \cdots(3)
अब h तथा k का मान ज्ञात करने के लिए हम मानते हैं कि
-3h-2k+5=0 तथा 2h+3k-5=0
हल करने परःh=1,k=1
अतः समीकरण (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{dY}{dX}=\frac{-3X-2Y}{2X+3Y} \cdots(5)
यह एक समघात अवकल समीकरण (homogeneous equation) है।इसलिए

Y=v X \Rightarrow \frac{dY}{dX}=v+X \frac{d v}{dX}
लेने पर समीकरण (5) का नया रूप होगा।

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{-3 x-2 v x}{2 x+3 v x} \\ \Rightarrow X \frac{d v}{dX}=\frac{X(-3-2 v)}{X(2+3 v)}-v \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d X}=\frac{-3-2 v-2 v-3 v^2}{2+3 v} \\ \Rightarrow X \frac{d v}{dX}= \frac{-3-4 v-3 v^2}{2+3 v} \\ \Rightarrow \int \frac{2(2+3 v)}{3+4 v+3 v^2} d v=-2 \int \frac{d X}{X} \\ \Rightarrow \log \left(3+4 v+3 v^2\right)=-2 \log X+\log c_{1} \\ \Rightarrow \log \left(3+\frac{4 Y}{X}+\frac{3 Y^2}{X^2}\right)=-\log X^2+\log c_{1} \\ \Rightarrow \log \left(3 X^2+4 X Y+3 Y^2\right)-\log X^2=-\log X^2+\log c_{1} \\ \Rightarrow 3 X^2+4 XY+3 Y^2=c_{1}
समीकरण (2) व (4) से X व Y का मान रखने परः

3(x-1)^2+4(x-1)(y-1)+3(y-1)^2=c_{1} \\ \Rightarrow \frac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+2 x y-5(x+y)= \frac{c_{1}}{2} \\ \Rightarrow \frac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+2 x y-5(x+y)=c\left[\because \frac{c_{1}}{2}=c\right]
Example:2. \frac{d y}{d x}=\frac{2 x-y+1}{x+2 y-3}
Solution: \frac{d y}{d x}=\frac{2 x-y+1}{x+2 y-3} \cdots(1)
यहाँ \frac{a}{A} \neq \frac{b}{B}\left(\frac{2}{1} \neq-\frac{1}{2}\right)
इसलिए माना कि x=X+h, y=Y+k  … (2)
तो दिए हुए समीकरण का नया रूप होगा

\frac{d Y}{d X}=\frac{2(X+k)-(Y+k)+1}{X+k+2(Y+k)-3}=\frac{2 X-Y+2 h-k+1}{X+2Y+h+2 k-3} \cdots(3)
अब h तथा k का मान ज्ञात करने के लिए हम मानते हैं कि
2h-k+1=0 तथा h+2k-3=0
हल करने परः h=\frac{1}{5}, k=\frac{7}{5} \cdots(4)
अतः समीकरण (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{2 X-Y}{X+2 Y} \ldots(5)
यह एक समघात अवकल समीकरण (homogeneous equation) है।इसलिए

Y=v X \Rightarrow \frac{d Y}{d X}=v+X \frac{d v}{d X}
लेने पर समीकरण (5) का नया रूप होगा।

V+X \frac{d v}{d X}=\frac{2 X-v X}{X+2 v X} \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d X}=\frac{X(2-v)}{X(1+2 v)}-v \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d X}=\frac{2-v-v-2 v^2}{1+2 v} \\ \Rightarrow-\int \frac{1+2 v}{\left(1-v-v^2 \right)} d v=-\int \frac{2 d X}{X} \\ \Rightarrow \log \left(1-v-v^2\right)=-\log X^2+\log c \\ \Rightarrow \log \left(1-\frac{Y}{X}-\frac{Y^2}{X^2}\right)=\log \frac{c}{X^2} \\ \Rightarrow X^2-X Y-Y^2=c
समीकरण (2) व (4) से X व Y का मान रखने परः

\left(x-\frac{1}{5}\right)^2-\left(x-\frac{1}{5}\right)\left(y-\frac{7}{5}\right)-\left(y-\frac{7}{5}\right)^2=c
Example:3. (6 x+2 y-10) \frac{d y}{d x}=2 x+9 y-20
Solution: (6 x+2 y-10) \frac{d y}{d x}=2 x+9 y-20 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 x+9 y-20}{6 x+2 y-10} \cdots(1)
यहाँ \left(\frac{a}{A} \neq \frac{b}{B}\right) \quad\left(\frac{2}{6} \neq \frac{9}{2}\right)
इसलिए माना कि x=X+h, y=Y+k  … (2)
तो दिए हुए समीकरण का नया रूप होगा

\frac{d Y}{d X}=\frac{2(X+h)+9(Y+k)-20}{6(X+h)+2(Y+k)-10}=\frac{2 X+9 Y+2 h+9 k-20}{6 X+2 Y+6 h+2 k-10} \cdots(3)
अब h तथा k का मान ज्ञात करने के लिए हम मानते हैं कि
2h+9k-20=0 तथा 6h+2k-10=0
हल करने परःh=1,k=2 ……(4)
अतः समीकरण (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d Y}{d X}=\frac{2 X+9 Y}{6 X+2 Y} \cdots(5)
यह एक समघात अवकल समीकरण (homogeneous equation) है।इसलिए

Y=v X \Rightarrow \frac{d Y}{d X}=v+X \frac{d v}{d X}
लेने पर समीकरण (5) का नया रूप होगा।

v+X \frac{d v}{d X}=\frac{2 X+9 v X}{6 X+2 v X} \\ \Rightarrow X \frac{dv}{dX}=\frac{X(2+9 v)}{X(6+2 v)}-v \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d X}=\frac{2+9 v-6 v-2 v^2}{(6+2 v)} \\ \Rightarrow \frac{(6+2 v) d v}{2+3 v-2 v^2}=\int \frac{d X}{X} \\ \Rightarrow \int \frac{(6+2 v) d v}{(1+2 v)(2-v)}=\int \frac{d X}{X} \\ \Rightarrow \int \frac{2}{1+2 v}dv+\int \frac{2 }{2-v} dv=\int \frac{d X}{X} \\ \Rightarrow \log (1+2 v)-2 \log (2-v)=\log X+\log C \\ \Rightarrow \log \frac{(1+2 v)}{(2-v)^2}=\log C X \\ \Rightarrow \frac{1+\frac{2 Y}{X}}{\left(2-\frac{Y}{X}\right)^2}=CX \\ \Rightarrow \frac{X(X+2 Y)}{(2 X-Y)^2}=CX \\ \Rightarrow X+2Y=C(2 X-Y)^2
समीकरण (2) व (4) से X व Y का मान रखने परः

x-1+2(y-2)=c[2(x-1)-(y-2)]^2 \\ \Rightarrow x+2y-5=c(2 x-y)^2
Example:4. (2x+3y-6)dy=(6x-2y-7)dx
Solution:(2x+3y-6)dy=(6x-2y-7)dx \\ \frac{d y}{d x}=\frac{6 x-2 y-7}{2 x+3 y-6} \cdots(1)
यहाँ \frac{a}{A} \neq \frac{b}{B}\left(\frac{6}{2} \neq-\frac{2}{3}\right)
इसलिए माना कि x=X+h, y=Y+k  … (2)
तो दिए हुए समीकरण का नया रूप होगा

\frac{d Y}{d X}=\frac{6(X+h)-2(Y+k)-7}{2(X+h)+3(Y+k)-6}=\frac{6 X-2 Y+6 h-2 k-7}{2 X+3 Y+2 h+3 k-6} \cdots(3)
अब h तथा k का मान ज्ञात करने के लिए हम मानते हैं कि
6h-2k-7=0 तथा 2h+3k-6=0
हल करने परः h=\frac{3}{2}, K=1 \ldots(4)
अतः समीकरण (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d Y}{d X}=\frac{6 X-2 Y}{2 X+3 Y} \cdots(5)
यह एक समघात अवकल समीकरण (homogeneous equation) है।इसलिए

Y=v X \Rightarrow \frac{d Y}{d X}=v+X \frac{d v}{d X}
लेने पर समीकरण (5) का नया रूप होगा।

v+X \frac{d v}{d X}=\frac{6 X-2 v X}{2 X+3 v X} \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d X}=\frac{X(6-2 v)}{X(2+3 v)}-v \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d X}=\frac{6-2 v-2 v-3 v^2}{(2+3 v)} \\ \Rightarrow -2 \int \frac{(3+2 v)}{6-4 v-3 v^2} d v=-2 \int \frac{d X}{X} \\ \Rightarrow \log \left(6-4 v-3 v^2\right)=-\log X^2+\log c \\ \Rightarrow 6-4 v-3 v^2=\frac{c}{X^2} \\ \Rightarrow 6-4 \frac{Y}{X}-\frac{3 Y^2}{X^2}=\frac{c}{X^2} \\ \Rightarrow 6 X^2-4 X Y-3 Y^2=c
समीकरण (2) व (4) से X व Y का मान रखने परः

\Rightarrow 6\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-4\left(x-\frac{3}{2}\right)(y-1)-3(y-1)^2=c \\ \Rightarrow 3 x^2-\frac{3}{2} y^2-2 x y-7 x+6 y=c_{1}
Example:5. \frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{2 x+y+3}
Solution: \frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{2 x+y+3}
यहाँ \frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{1}{2}
इसलिए माना कि

Reducible to Homogeneous Equation

Example:6. (x-y-2) d x=(2 x-2 y-3) d y
Solution: (x-y-2) d x=(2 x-2 y-3) d y \\ \frac{d y}{d x}=\frac{x-y-2}{2 x-2 y-3}
यहाँ \frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{1}{2}
इसलिए माना कि

x-y=w \\ \Rightarrow \frac{dw}{d x}=1-\frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{dw}{d x}+1 \\ 1-\frac{dw}{d x}=\frac{w-2}{2w-3} \\ \Rightarrow \frac{dw}{d x}=1-\frac{w-2}{2 w-3} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=\frac{2w-3-w+2}{2w-3} \\ \Rightarrow \frac{dw}{d x}=\frac{w-1}{2w-3} \\ \Rightarrow \int \frac{2w-3}{w-1} dw=\int d x \\ \Rightarrow \int\left[2-\frac{1}{w-1}\right] d w=\int d x \\ \Rightarrow 2 w-\log (w-1)=x+c \\ \Rightarrow \log (w-1)=2 w-x+c \\ \Rightarrow \log (x-y-1)=2 x-2 y-x+c \\ \Rightarrow \log (x-y-1)=x-2 y+c
Example:7. (2 x+4 y+3) \frac{d y}{d x}=2 y+x+1
Solution: (2 x+4 y+3) \frac{d y}{d x}=2 y+x+1 \\ \frac{d y}{d x}=\frac{2 y+x+1}{2 x+4 y+3}
यहाँ \frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{1}{2}
इसलिए माना कि

w=x+2 y \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=1+2 \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 \left(\frac{d w}{d x}-1\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{d w}{d x}-1\right)=\frac{w+1}{2 w+3} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}-1=\frac{2 w+2}{2 w+3} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=\frac{2 w+2}{2 w+3}+1 \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=\frac{2 w+2+2 w+3}{2 w+3} \\ \Rightarrow \int \frac{2 w+3}{4 w+5} d w=\int d x \\ \Rightarrow \int\left[1+\frac{1}{4 w+5}\right] dw=\frac{1}{2} \int d x \\ \Rightarrow w+\frac{1}{4} \log (4 w+5)=2 x+c_{1} \\ \Rightarrow \frac{1}{4} \log (4 w+5)=2 x-w+c_{1} \\ \Rightarrow \log (4 w+5)=8 x-4 w+4 c_1 \\ \Rightarrow \log (4 x+8 y+5)=8 x-4 x-8 y+\log c \\ \Rightarrow \frac{\log (4 x+8 y+5)}{c} =4(x-2 y) \quad\left[\because 4c_{1}=\log c\right] \\ \Rightarrow 4 x+8 y+5=c e^{4(x-2 y)}
Example:8. \frac{d y}{d x}=\frac{(x+y-1)^2}{4(x-2)^2}
Solution: \frac{d y}{d x}=\frac{(x+y-1)^2}{4(x-2)^2}
यहाँ \frac{a}{A} \neq \frac{b}{B}\left(1 \neq \frac{1}{0}\right)
इसलिए माना कि x=X+h, y=Y+k  … (2)
तो दिए हुए समीकरण का नया रूप होगा

\frac{dY}{dX}=\frac{(X+h+Y+k-1)^2}{4(X+h-2)^2}=\frac{(X+Y+h+k-1)^2}{4(X+h-2)^2} \cdots(3)
अब h तथा k का मान ज्ञात करने के लिए हम मानते हैं कि
h+k-1=0 तथा h-2=0
हल करने परःh=2,k=-1…..(4)
अतः समीकरण (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{dY}{dX}=\frac{(X+y)^2}{4 X^2} \cdots(5)
यह एक समघात अवकल समीकरण (homogeneous equation) है।इसलिए

Y=v X \Rightarrow \frac{dY}{dX}=v+X \frac{d v}{dX}
लेने पर समीकरण (5) का नया रूप होगा।

v+X \frac{d v}{dX}=\frac{(X+v X)^2}{4 X^2} \\ \Rightarrow X \frac{d v}{dX}=\frac{X^2(1+v)^2}{4X^{2}}v \\ \Rightarrow X \frac{d v}{dX}=\frac{1+2 v+v^2-4 v}{4} \\ \Rightarrow \int \frac{4 d v}{(1-v)^2}=\int \frac{d X}{X} \\ \Rightarrow \frac{4}{1-v}=\log X+\log c \\ \Rightarrow \frac{4}{1-\frac{Y}{X}}=\log cX \\ \Rightarrow \frac{4 X}{X-Y}=\log cX
समीकरण (2) व (4) से X व Y का मान रखने परः

\frac{4(x-2)}{x-2-(y+1)}=\log c(x-2) \\ \Rightarrow c(x-2)=\frac{4(x-2)}{e(x-y-3)}
Example:9. \frac{d y}{d x}=\frac{6 x-4 y+3}{3 x-2 y+1}
Solution: \frac{d y}{d x}=\frac{6 x-4 y+3}{3 x-2 y+1}
यहाँ \frac{a}{A}=\frac{b}{B}=2
इसलिए माना कि 3 x-2 y=w \Rightarrow \frac{d w}{d x}=3-2 \frac{d y}{d x} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2}\left(3-\frac{d w}{d x}\right) \\ \frac{1}{2}\left(3-\frac{d w}{d x}\right)=\frac{2 w+3}{w+1} \\ \Rightarrow 3-\frac{d w}{d x}=\frac{4 w+6}{w+1} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=3-\frac{4 w+6}{w+1} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=\frac{3 w+3-4 w-6}{w+1} \\ \Rightarrow \int \frac{w+1}{w+3} d w=-\int d x \\ \Rightarrow \int\left[1-\frac{2}{w+3}\right] d w=-x+c_{1} \\ \Rightarrow w-2 \log (w+3)=-x+c_{1} \\ \Rightarrow w+x=2 \log (w+3)+c_{1} \\ \Rightarrow 3 x-2 y+x=2 \log (3 x-2 y+3)+4 \\ \Rightarrow 2(2 x-y)=2 \log (3 x-2 y+3)+c_{1} \\ \Rightarrow(2 x-y)=\log (3 x-2 y+3)+c \left[ \because \frac{c_{1}}{2}=c\right]
Example:10. \frac{d y}{d x}=\frac{y-x+1}{y+x+5}
Solution: \frac{d y}{d x}=\frac{y-x+1}{y+x+5}
यहाँ \frac{a}{A} \neq \frac{b}{B}(1 \neq-1)
इसलिए माना कि x=X+h, y=Y+k  … (2)
तो दिए हुए समीकरण का नया रूप होगा

\frac{d Y}{d X}=\frac{Y+k-X-h+1}{Y+k+X+h+5}=\frac{Y-X+k-h+1}{Y+X+k+h+5} \cdots(3)
अब h तथा k का मान ज्ञात करने के लिए हम मानते हैं कि
k-h+1=0 तथा k+h+5=0
हल करने परःh=-2,k=-3 …..(4)
अतः समीकरण (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{dY}{dX}=\frac{Y-X}{Y+X} \cdots(5)
यह एक समघात अवकल समीकरण (homogeneous equation) है।इसलिए

Y=v X \Rightarrow \frac{d Y}{d X}=v+X \frac{d v}{d X}
लेने पर समीकरण (5) का नया रूप होगा।

v+X \frac{d v}{d X}=\frac{v X-X}{v X+X} \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d X}=\frac{X(v-1)}{X(v+1)}-v \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d X}=\frac{v-1-v^2-v}{v+1} \\ \Rightarrow \int \frac{(v+1)}{1+v^2} dv=-\int \frac{d X}{X} \\ \Rightarrow \int \frac{v}{1+v^2} d v+\int \frac{1}{1+v^2} d v=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \tan^{-1} v+\frac{1}{2} \log \left(1+v^2\right)=-\log X + c \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \log \left(1+\frac{Y^2}{X^2}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{Y}{X}\right)+\log X=c \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \log \left(X^2+Y^2 \right) -\log X+\tan ^{-1}\left(\frac{Y}{X}\right)+\log X=c \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \log \left(X^2+Y^2\right) +\tan ^{-1}\left(\frac{Y}{X}\right)=c
समीकरण (2) व (4) से X व Y का मान रखने परः

\frac{1}{2} \log \left\{(x+3)^2+(y+3)^2\right\}+\tan ^{-1}\left(\frac{y+3}{x+3}\right)=c
Example:11. \frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{x+y-1}
Solution: \frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{x+y-1}
यहाँ \frac{a}{A}=\frac{b}{B}=1
इसलिए माना कि

x+y=w \Rightarrow \frac{dw}{d x}=1+\frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{d w}{d x}-1 \\ \frac{d w}{d x}-1=\frac{w+1}{w-1} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=\frac{w+1}{w-1}+1 \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=\frac{w+1+w-1}{w-1} \\ \Rightarrow \int\left(\frac{w-1}{w}\right)dw=2 \int d x \\ \Rightarrow \left(1-\frac{1}{\omega}\right) d w=2 \int d x \\ \Rightarrow w-\log w=2 x \\ \Rightarrow x+y-\log (x+y)=2 x+c \\ \Rightarrow y-x-\log (x+y)=c
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समघात समीकरण में समानयन (Reducible to Homogeneous Equation),अवकल समीकरण में समघात समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Homogeneous Equation in Differential Equation) को समझ सकते हैं।

3.समघात समीकरण में समानयन पर आधारित सवाल (Questions Based on Reducible to Homogeneous Equation):

Reducible to Homogeneous Equation

निम्नलिखित अवकल समीकरणों का हल ज्ञात कीजिएः
(Solve the following differential equations):
(1.) (x+2 y-2) d x+(2 x-y+3) d y=0
(2.) \frac{d y}{d x}+\frac{x-y-2}{x-2 y-3}=0
(3.) (2 x-y+1) d x+(2 y-x-1) dy
उत्तर (Answers): (1.) x^2+4 x y-y^2-4 x+6 y+c=0
(2.) \left(x^2-2 y^2-2 x-4 y-1\right)=c^2\left[\frac{x+y \sqrt{2}+\sqrt{2}-1}{x-y \sqrt{2}-\sqrt{2}-1}\right]^{\frac{1}{\sqrt{2}}}
(3.) 3 x^2+3 y^2-3 x y-3 y+3 x+c=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समघात समीकरण में समानयन (Reducible to Homogeneous Equation),अवकल समीकरण में समघात समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Homogeneous Equation in Differential Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समघात समीकरण में समानयन (Frequently Asked Questions Related to Reducible to Homogeneous Equation),अवकल समीकरण में समघात समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Homogeneous Equation in Differential Equation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

समघात समीकरण में समानयन (Reducible to Homogeneous Equation) वाले समीकरण के
इस आर्टिकल में कुछ ऐसे अवकल समीकरणों का हल करने का अध्ययन करेंगे