1.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reducible Exact Differential Equation),यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equation Reducible to an Exact Differential Equation)-

यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reducible Exact Differential Equation) के लिए समाकलन-गुणक (Integrating Factor) की विधि प्रयोग की जाती है।जो समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण नहीं होते हैं उन्हें साधारणतः x तथा y के विशेष फलनों द्वारा गुणा करके यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण बनाया जा सकता है। ऐसे विशेष फलनों को समाकलन-गुणक (Integrating Factor) कहते हैं।
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Also Read This Article:-Integrating Factor of Homogeneous Equation

2.के रूप के समीकरण का समाकलन-गुणक (Integrating Factor) ज्ञात करना-

यदि अवकल समीकरण Mdx+Ndy=0 का रूप y f_{1}(x,y) dx+x f_{2}(x,y) dy=0 हो तो समाकलन-गुणक (I.F.)[Integrating Factor]  \frac{1}{Mx-Ny} होता है,जबकि M x-N y \neq 0
टिप्पणी:जब Mx-Ny=0 तो \frac{M}{N}=\frac{y}{x}
अतः समीकरण Mdx+My=0 को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

\Rightarrow \int \frac{d x}{x}+\int \frac{d y}{y}=\log c \\ \Rightarrow \log x+\log y=\log c \\ \Rightarrow \log (x y)=\log c \\ \Rightarrow x y=c
जो कि अभीष्ट हल है।

3.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reducible Exact Differential Equation Examples),यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equation Reducible to an Exact Differential Equation Examples)-

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example-1.\left(x^{2} y^{2}+x y+1\right) y d x+\left(x^{2} y^{2}-x y+1\right) x d y=0
Solution-\left(x^{2} y^{2}+x y+1\right) y d x+\left(x^{2} y^{2}-x y+1\right) x d y \\ M=\left(x^{2} y^{2}+x y+1\right) y ,N=\left(x^{2} y^{2}-x y+1\right) x
इसलिए M x-N y= x y\left(x^{2} y^{2}+x y+1\right)-x y\left(x^{2} y^{2}-x y+1\right) \\ =x y\left(x^{2} y^{2}+x y+1-x^{2} y^{2}+x y-1\right) \\ =2 x^{2} y^{2}
अतः समाकलन-गुणक (I.F.) \frac{1}{2 x^{2} y^{2}} होगा।
अब दिए हुए अवकल समीकरण को समाकलन-गुणक (I.F.) से गुणा करने पर-

\frac{\left(x^{2} y^{2}+x y+1\right) y}{2 x^{2} y^{2}} d x+\frac{\left(x^{2} y^{2}-x y+1\right) x}{2 x^{2} y^{2}} d y=0 \\ \Rightarrow\left(\frac{y}{2}+\frac{1}{2 x}+\frac{1}{2 x^{2} y}\right) d x+\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{2 y}+\frac{1}{2 x y^{2}}\right) d y=0 \\ M=\frac{y}{2}+\frac{1}{2 x}+\frac{1}{2 x^{2} y}, \quad N=\frac{x}{2}-\frac{1}{2 y}+\frac{1}{2 x y^{2}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2 x^{2} y^{2}}, \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2 x^{2} y^{2}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः अवकल समीकरण एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है।

(1) U(x, y)=\int M d x=\int\left(\frac{y}{2}+\frac{1}{2 x}+\frac{1}{2 x^{2} y}\right) d x \\ =\frac{x y}{2}+\frac{1}{2} \log x-\frac{1}{2 x y} \\ (2)\frac{\partial U}{\partial y}= \frac{x}{2}+\frac{1}{2 x y^{2}} \\ (3)N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right) =\frac{x}{2}-\frac{1}{2 y}+\frac{1}{2 x y^{2}}-\frac{x}{2}-\frac{1}{2 x y^{2}} \\ =-\frac{1}{2 y} \\(4) V(y)= \int\left(N-\frac{\partial u}{y}\right) d y=\int\left(-\frac{1}{2y} \right) d y \\ =-\frac{1}{2} \log y
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c_{1} \\ \Rightarrow \frac{x y}{2}+\frac{1}{2} \log x-\frac{1}{2 x y}-\frac{1}{2} \log y=c_{1} \\ \Rightarrow x y+\log \left(\frac{x}{y}\right)-\left(\frac{1}{x y}\right)=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reducible Exact Differential Equation),यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equation Reducible to an Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।
Example-2. \left(x^{2} y^{2}+2\right) y d x+\left(2-2 x^{2} y^{2}\right) x d y=0
Solution-\left(x^{2} y^{2}+2\right) y d x+\left(2-2 x^{2} y^{2}\right) x d y=0 \\ M=\left(x^{2} y^{2}+2\right) y , N=\left(2-2 x^{2} y^{2}\right) x
इसलिए M x-N y =x y\left(x^{2} y^{2}+2\right)-x y\left(2-2 x^{2} y^{2}\right) \\ =x y\left(x^{2} y^{2}+2-2+2 x^{2} y^{2}\right) \\=3 x^{3} y^{3}
अतः समाकलन-गुणक (I.F.) \frac{1}{3 x^{3} y^{3}} होगा।
अब दिए हुए अवकल समीकरण को समाकलन-गुणक (I.F.) से गुणा करने पर-

\frac{\left(x^{2} y^{2}+2\right) y}{3 x^{3} y^{3}} d x+\frac{\left(2-2 x^{2} y^{2}\right) x}{3 x^{3} y^{3}} d y=0 \\ \Rightarrow\left(\frac{1}{3 x}+\frac{2}{3 x^{3} y^{2}}\right) d x+\left(\frac{2}{3 x^{2} y^{3}}-\frac{2}{3 y}\right) d y=0 \\ M=\frac{1}{3 x}+\frac{2}{3 x^{3} y^{2}}, N=\frac{2}{3 x^{2} y^{3}}-\frac{2}{3 y} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{4}{3 x^{3} y^{3}}, \frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{4}{3 x^{3} y^{3}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x}
अतः अवकल समीकरण एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है।

(1.) U(x, y)=\int M d x=\int\left(\frac{1}{3 x}+\frac{2}{3 x^{3} y^{2}}\right) d x \\ =\frac{1}{3} \log x-\frac{1}{3 x^{2} y^{2}} \\ (2.) \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{2}{3 x^{2} y^{3}} \\ (3.) N -\frac{\partial U}{\partial y} =\frac{2}{3 x^{2} y^{3}}-\frac{2}{3 y}-\frac{2}{3 x^{2} y^{3}} \\ =-\frac{2}{3 y} \\ \text { (4.) } V(y) =\int\left(N-\frac{\partial y}{\partial y}\right) d y=\int\left(-\frac{2}{3 y}\right) d y \\ =-\frac{2}{2} \log y
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=\log C_{1} \\ \Rightarrow \frac{1}{3} \log x-\frac{1}{3 x^{2} y^{2}}-\frac{2}{3} \log y=\log C_{1} \\ \Rightarrow \log \left(\frac{x}{y^{2}}\right)-\frac{1}{x^{2} y^{2}}=\log C \\ \Rightarrow \log \left(\frac{x}{cy^{2}}\right)=\frac{1}{x^{2}y^{2}}\\ \Rightarrow x=c y^{2} e^{\left(\frac{1}{x^{2}y^{2}}\right)}

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reducible Exact Differential Equation),यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equation Reducible to an Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।
Example-3.\left(x^{4} y^{4}+x^{2} y^{2}+x y\right) y d x+\left(x^{4} y^{4}-x^{2} y^{2}+x y\right) x d y=0
Solution- \left(x^{4} y^{4}+x^{2} y^{2}+x y\right) y d x+\left(x^{4} y^{4}-x^{2} y^{2}+x y\right) x d y=0 \\ M=\left(x^{4} y^{4}+x^{2} y^{2}+x y\right) y, N=\left(x^{4} y^{4}-x^{2} y^{2}+x y\right) x
इसलिए M x-N y =x y\left(x^{4} y^{4}+x^{2} y^{2}+x y\right)-x y\left(x^{4} y^{4}-x^{2} y^{2}+x y\right) \\ =x y\left(x^{4} y^{4}+x^{2} y^{2}+x y-x^{4} y^{4}+x^{2} y^{2}-x y\right) \\ =x y\left(2 x^{2} y^{2}\right) \\=2 x^{3} y^{3}
अतः समाकलन-गुणक (I.F.) \frac{1}{2 x^{3} y^{3}} होगा।
अब दिए हुए अवकल समीकरण को समाकलन-गुणक (I.F.) से गुणा करने पर-

\frac{\left(x^{4} y^{4}+x^{2} y^{2}+x y\right) y}{2 x^{3} y^{3}} d x+\frac{\left(x^{4} y^{4}-x^{2} y^{2}+x y\right)}{2 x^{3} y^{2}} d y=0 \\ \Rightarrow \left(\frac{x y^{2}}{2}+\frac{1}{2 x}+\frac{1}{2 x^{2} y}\right) d x+\left(\frac{x^{2} y}{2}-\frac{1}{2 y}+\frac{1}{2 x y}\right)=0 \\ M=\frac{x y^{2}}{2}+\frac{1}{2 x}+\frac{1}{2 x^{2} y}, \quad N=\frac{x^{2} y}{2}-\frac{1}{2 y}+\frac{1}{2 x y^{2}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=x y-\frac{1}{2 x^{2} y^{2}} \quad \frac{\partial N}{\partial x}=x y=\frac{1}{2 x^{2} y^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः अवकल समीकरण एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है।

(1.) U(x, y)=\int M d x=\int\left(\frac{x y^{2}}{2}+\frac{1}{2 x}+\frac{1}{2 x^{2} y}\right) d x \\ =\left[\frac{x^{2} y^{2}}{4}+\frac{1}{2} \log x-\frac{1}{2 x y}\right] \\ (2.) \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{x^{2} y}{2}+\frac{1}{2 x y^{2}} \\ (3.) N-\frac{\partial U}{\partial y} =\frac{x^{2} y}{2}-\frac{1}{2 y}+\frac{1}{2 x y^{2}}-\frac{x^{2} y}{2}-\frac{1}{2 x y^{2}} \\ =-\frac{1}{2 y} \\(4) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial u}{x y}\right) d y=\int\left(-\frac{1}{2} y\right) d y \\ =-\frac{1}{2} \log y
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+v(y)=C_{1} \\ \frac{x^{2} y^{2}}{4}+\frac{1}{2} \log x-\frac{1}{2 x y}-\frac{1}{2} \log y=C_{1} \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(x^{2} y^{2}\right)+\log (x y)-\frac{1}{x y}=c
Example-4.\left(x^{2} y^{2}+5 x y+2\right) y d x+\left(x^{2} y^{2}+4 x y+2\right) x d y=0
Solution-\left(x^{2} y^{2}+5 x y+2\right) y d x+\left(x^{2} y^{2}+4 x y+2\right) x d y=0 \\ M=\left(x^{2} y^{2}+5 x y+2\right) y , N=\left(x^{2} y^{2}+4 x y+2\right) x
इसलिए M x-N y=x y\left(x^{2} y^{2}+5 x y+2\right)-x y\left(x^{2} y^{2}+4 x y+2\right) \\ =x y\left(x^{2} y^{2}+5 x y+2-x^{2} y^{2}-4 x y-2\right) =x y(x y) \\ =x^{2} y^{2}
अतः समाकलन-गुणक (I.F.) \frac{1}{x^{2} y^{2}} होगा।
अब दिए हुए अवकल समीकरण को समाकलन-गुणक (I.F.) से गुणा करने पर-

=\frac{\left(x^{2} y^{2}+5 x y+2\right) y d x}{x^{2} y^{2}}+\frac{\left(x^{2} y^{2}+4 x y+2\right) x d y}{x^{2} y^{2}}=0 \\ \Rightarrow \left(y+\frac{5}{x}+\frac{2}{x^{2} y} \right)d x+\left(x+\frac{y}{y}+\frac{2}{x y^{2}}\right) d y=5 \\ M= y+\frac{5}{x}+\frac{2}{x^{2 y}}, \quad N=x+\frac{y}{y}+\frac{2}{x y^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=1-\frac{2}{x^{2} y^{2}}, \frac{\partial N}{\partial x}=1-\frac{2}{x^{2} y^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः अवकल समीकरण एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है।

(1.) U(x, y)=\int M d x=\int\left(y+\frac{5}{x}+\frac{2}{x^{2} y}\right) d x \\ =x y+5 \log x-\frac{2}{x y} \\ (2) \frac{\partial u}{\partial y}=x+\frac{2}{x y^{2}} \\ (3.) N-\frac{\partial U}{\partial y} =x+\frac{4}{y}+\frac{2}{x y^{2}}-x-\frac{2}{x y^{2}} \\ =\frac{4}{y} \\ (4) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int \frac{4}{y} d y=4 \log y
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=\log c \\ x y+5 \log x-\frac{2}{x y}+4 \log y=\log c \\ \Rightarrow \log \left(\frac{x^{5} y^{4}}{x}\right)=\left(\frac{2}{x y}\right)-x y \\ \Rightarrow x^{5} y^{4}=c e^{\left(\frac{2}{xy}\right)-x y}

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reducible Exact Differential Equation),यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equation Reducible to an Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।
Example-5. (x y \sin x y+\cos x y) y d x+(x y \sin x y-\cos x y) x d y=0
Solution-(x y \sin x y+\cos x y) y d x+(x y \sin x y-\cos x y) x d y=0 \\ M=(x y \sin x y+\cos x y) y , N=(x y \sin x y-\cos x y) x
इसलिए M x-N y=x y(x y \sin x y+\cos x y)-x y(x y \sin x y-\cos x y) \\ =x y(x y \sin x y+\cos x y-x y \sin x y+\cos x y) \\ =2 x y \cos x y
अतः समाकलन-गुणक (I.F.) \frac{1}{2 x y \cos x y} होगा।
अब दिए हुए अवकल समीकरण को समाकलन-गुणक (I.F.) से गुणा करने पर-

\frac{(x y \sin x y+\cos x y) y}{2 x y \cos x y} d x+\frac{(x y \sin x y-\cos x y) x d y}{2 x y \cos x y}=0 \\ \Rightarrow \left(y+\cos x y+\frac{1}{2 x}\right) d x+\left(\frac{x}{2} \tan x y-\frac{1}{2 y}\right) d y=0 \\ M=\frac{y}{2} \tan x y+\frac{1}{2 x}, \quad N=\frac{x}{2} \tan x y-\frac{1}{x y} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y} =\frac{1}{2} \tan x y+\frac{x y}{2} \sec ^{2} x y, \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{2} \tan x y+\frac{x y}{2} \sec ^{2} x y \\\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial N}{\partial x}
अतः अवकल समीकरण एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है।

(1) U(x, y)=\int M d x =\int\left(\frac{y}{2} \tan x y+\frac{1}{2 x}\right) d x \\ =\frac{1}{2} \log \sec (x y)+\frac{1}{2} \log x \\ \text { (2.) } \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{x}{2} \tan (x y) \\ (3 .) N-\frac{\partial U}{\partial y} =\frac{x}{2} \tan x y-\frac{1}{2 y}-\frac{x}{2} \tan (x y) \\ =-\frac{1}{2 y} \\(4) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int\left(-\frac{1}{2 y}\right) d y \\ =-\frac{1}{2} \log y
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा-

U\left(x, y\right)+V(y)=\frac{1}{2} \log c \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \log \sec (x y)+\frac{1}{2} \log x-\frac{1}{2} \log y=\frac{1}{2} \log c \\ \Rightarrow x \sec (x y)=c y
Example-6.\left(x y^{2}+2 x^{2} y^{3}\right) d x+\left(x^{2} y-x^{3} y^{2}\right) d y=0
Solution-\left(x y^{2}+2 x^{2} y^{3}\right) d x+\left(x^{2} y-x^{3} y^{2}\right) d y=0 \\ M=x y^{2}+2 x^{2} y^{3} , N=x^{2} y-x^{3} y^{2}
इसलिए M x-N y =x^{2} y^{2}+2 x^{3} y^{3}-x^{2} y^{2}+x^{3} y^{3} \\ =3 x^{3} y^{3}
अतः समाकलन-गुणक (I.F.) \frac{1}{3 x^{3} y^{3}} होगा।
अब दिए हुए अवकल समीकरण को समाकलन-गुणक (I.F.) \frac{1}{3 x^{3} y^{3}} से गुणा करने पर-

\left(\frac{x y^{2}+2 x^{2} y^{3}}{3 x^{3} y^{3}}\right) d x+\left(\frac{x^{2} y-x^{3} y^{2}}{3 x^{3} y^{3}}\right) d y=0 \\ \left(\frac{1}{3 x^{2} y}+\frac{2}{3 x}\right) d x+\left(\frac{1}{3 x y^{2}}-\frac{1}{3 y}\right) d y=0 \\ M=\frac{1}{3 x^{2} y}+\frac{2}{3 x}, N=\frac{1}{3 x y^{2}}-\frac{1}{3 y} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{1}{3 x^{2} y^{2}}, \frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{1}{3 x^{2} y 2} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः अवकल समीकरण एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है।

(1.) U(x,y)=\int M d x=\int\left(\frac{1}{3 x^{2} y}+\frac{2}{3 x}\right) d x \\ =-\frac{1}{3 x y}+\frac{2}{3} \log x \\ (2.) \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{1}{3 x y^{2}} \\ (3) N-\frac{\partial U}{\partial y} =\frac{1}{3 x y^{2}}-\frac{1}{3 y}-\frac{1}{3 x y^{2}} \\ =-\frac{1}{3 y} \\ \text { (4.) } V(y)= \int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int\left(-\frac{1}{3 y}\right) d y \\ =-\frac{1}{3} \log y
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c_{1} \\ \Rightarrow \frac{1}{3 x y}+\frac{2}{3} \log x-\frac{1}{3} \log y=c_{1} \\ \Rightarrow \log \left(\frac{x^{2}}{y}\right)-\left(\frac{1}{x y}\right)=c
Example-7.(1+x y) y d x+(1-x y) x d y=0
Solution-(1+x y) y d x+(1-x y) x d y=0 \\ M=(1+x y) y , N=(1-x y) x
इसलिए Mx-N y= x y(1+x y)-x y(1-x y) \\ =x y(1+x y-1+x y) \\ =2 x^{2} y^{2}
अतः समाकलन-गुणक (I.F.) \frac{1}{2 x^{2} y^{2}} होगा।
अब दिए हुए अवकल समीकरण को समाकलन-गुणक (I.F.) \frac{1}{2 x^{2} y^{2}} से गुणा करने पर-

\frac{(1+x y) y}{2 x^{2} y^{2}} d x+\frac{(1-x y) x}{2 x^{2} y^{2}} d y=0 \\ \Rightarrow\left(\frac{1}{2 x^{2} y}+\frac{1}{2 x}\right) d x+\left(\frac{1}{2 x y^{2}}-\frac{1}{2 y}\right) d y=0 \\ M=\frac{1}{2 x^{2} y}+\frac{1}{2 x}, N=\frac{1}{2 x y^{2}}-\frac{1}{2 y} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{1}{2 x^{2} y^{2}}, \frac{\partial N}{\partial y}=-\frac{1}{2 x^{2} y^{2}}
अतः अवकल समीकरण एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है।

(1.)U(x, y)=\int M d x=\int\left(\frac{1}{2 x^{2} y}+\frac{1}{2 x}\right) d x \\ =-\frac{1}{2 x y}+\frac{1}{2} \log x \\ (2.) \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{1}{2 x y^{2}} \\ (3.) N-\frac{\partial U}{\partial y} =+\frac{1}{2 x^{2} y^{2}}-\frac{1}{2 y}-\frac{1}{2 x y^{2}} \\ =-\frac{1}{2 y} \\ \text { (4) } V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int\left(-\frac{1}{2 y}\right) d y \\ =-\frac{1}{2} \log y
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c_{1} \\ \Rightarrow -\frac{1}{2 x y}+\frac{1}{2} \log x-\frac{1}{2} \log y=c_{1} \\ \Rightarrow \log \left(\frac{x}{y}\right)-\left(\frac{1}{x y}\right)=c
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reducible Exact Differential Equation),यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equation Reducible to an Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।

4.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण की समस्याएं (Reducible Exact Differential Equation Problems),यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण की समस्याएं (Equation Reducible to an Exact Differential Equation Problems)-

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) \left(x y+2 x^{2} y^{2}\right) y d x+\left(x y-x^{2} y^{2}\right) x d y=0 \\ (2) (1-x y) y d x=x(1+x y) d y \\ (3) \left(2 y+3 x y^{2}\right) d x+\left(x+2 x^{2} y\right) d y=0 \\ (4) y(2 x y+1) d x+x\left(1+2 x y-x^{3} y^{3}\right) d y=0
उत्तर (Answers):

(1.) x^{2}=c y e^{\frac{1}{x y}} \\ (2.) \log \left(\frac{x}{y}\right)-x y=c \\ (3.) x^{2} y(1+x y)=c \\ (4.) \frac{1}{x^{2} y^{2}}+\frac{1}{3 x^{3} y^{3}}+\log y=c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reducible Exact Differential Equation),यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equation Reducible to an Exact Differential Equation) को ठीक से समझा जा सकता है।

5.आप अवकल समीकरण का यथातथ (यथार्थ) हल कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the exact solution of a differential equation?)-

पहले यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि अवकल समीकरण यथातथ (यथार्थ) के लिए परीक्षण का उपयोग करके यथातथ (यथार्थ) है: ∂Q/∂x = ∂P/∂y।फिर हम दो अवकल समीकरणों की प्रणाली लिखते हैं जो फ़ंक्शन u (x, y) को परिभाषित करते हैं: ∂u/∂x = P(x, y) ,∂u/∂y = Q(x, y)।

6.अवकल समीकरण के यथातथ (यथार्थ) होने का क्या अर्थ है? (What does it mean for a differential equation to be exact?)-

एक प्रथम क्रम अवकल समीकरण (एक चर का) को यथातथ (यथार्थ), या एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण कहा जाता है, अगर यह एक साधारण अवकलनीय का परिणाम है।समीकरण P (x, y)y’+ Q(x, y) = 0, या समकक्ष वैकल्पिक संकेतन P(x, y)dy+ Q(x, y) dx = 0 में, यतातथ (यथार्थ) है यदि Px(x, y) = Qy(x, y)।

7.आप गैर यथातथ अयथार्थ) अवकल समीकरणों को कैसे हल करते हैं? (How do you solve non exact differential equations?)-

यदि फॉर्म का एक अवकल समीकरण लिखित रूप में यथातथ (यथार्थ) नहीं है, तो एक फ़ंक्शन μ (x, y) मौजूद है जैसे … समाकलन गुणक यथातथ (यथार्थ) द्वारा अयथातथ (अयथार्थ) में परिवर्तित करते हैं।पूर्व में वर्णित यथातथ अवकल समीकरण विधि द्वारा इस यथातथ (यथार्थ) समीकरण को हल करना करते हैं।

8.आप एक गैर सटीक समीकरण का समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the integrating factor of a non exact equation?)-

अवकल समीकरण लिखित रूप में यथातथ (यथार्थ) नहीं है, फिर एक फ़ंक्शन μ(x, y) मौजूद है जैसे कि μ द्वारा ( 1 ) के दोनों पक्षों को गुणा करके प्राप्त किया गया समकक्ष समीकरण यतातथ (यथार्थ) है।

9.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण को कैसेहल करते है? (How to solve exact differential equation?)–

यथार्थ (यथार्थ) अवकल समीकरण समाकलन गुणक यदि अवकलनीय समीकरण P(x, y)dx + Q (x, y)dy = 0 यथातथ नहीं है, तो एक संबंधित गुणक u(x, y) का उपयोग करके गुणा करके इसे यतातथ (यथार्थ) बनाना संभव है, जिसे समाकलन गुणक के रूप में जाना जाता है। दिए गए अवकल समीकरण के लिए। एक उदाहरण पर विचार करें, 2ydx + xdy= 0।

10.यथातथ (यथार्थ) समीकरण क्या है? (What is exact differential equation?)-

एक प्रथम क्रम अवकलनीय समीकरण (एक चर का) को यथातथ, या एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण कहा जाता है, अगर यह एक साधारण अवकलनीय का परिणाम है। … समीकरण P (x, y) y’+ Q (x, y) = 0, या समकक्ष वैकल्पिक संकेतन P (x, y)dy + Q (x, y) dx = 0 में, यथातथ (यथार्थ) है यदि Px(x, y) = Qy(x, y)।

11.गैर सटीक अवकल समीकरण (Non exact differential equation)-

अवकल समीकरण लिखित रूप में यथातथ (यथार्थ) नहीं है, फिर एक फ़ंक्शन μ (x, y) मौजूद है जैसे कि समीकरण ( 1 ) के दोनों पक्षों को μ से गुणा करके प्राप्त किया गया समीकरण, … ऐसे फ़ंक्शन μ को एक समाकलन गुणक कहा जाता है मूल समीकरण और अस्तित्व की गारंटी है यदि दिए गए अवकल समीकरण वास्तव में एक हल है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर, उदाहरणों तथा सवालों को हल करके यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reducible Exact Differential Equation),यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equation Reducible to an Exact Differential Equation) को भली-भांति समझ सकते हैं।

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