1.गणित में राशियों के परिवर्तन की दर (Rate of Change of Qualities in Maths),अवकलज के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Application of Derivatives  Class 12):

Rate of Change of Qualities in Maths

गणित में राशियों के परिवर्तन की दर (Rate of Change of Qualities in Maths) को समझने के लिए अवकलज को पुनः स्मरण कीजिए।अवकलज भी राशियों के परिवर्तन की दर को ही दर्शाता है।अवकलज \frac{d s}{d t} से हमारा तात्पर्य समय अन्तराल t के सापेक्ष दूरी s के परिवर्तन की दर से है।इसी प्रकार यदि एक राशि y एक दूसरी राशि x के सापेक्ष किसी नियम y=f(x) को सन्तुष्ट करते हुए परिवर्तित होती हो तो \frac{d y}{d x} (या f'(x)),x के सापेक्ष y के परिवर्तन को प्रदर्शित करता है और \left. \frac{d y}{d x} \right ]_{x=x_{0}}  (या f'(x_{0})) x=x_{0} पर x के सापेक्ष y की परिवर्तन की दर को प्रदर्शित करता है। इसके अतिरिक्त यदि दो राशियाँ x और y, t के सापेक्ष परिवर्तित हो रही हो अर्थात x=f(t) और y=g(t) है तब श्रृंखला नियम से:
\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} यदि \frac{d x}{d t} \neq 0 प्राप्त होता है।
इस प्रकार x के सापेक्ष y के परिवर्तन की दर का परिकलन t के सापेक्ष y और x के परिवर्तन की दर का प्रयोग करके किया जा सकता है।
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2.गणित में राशियों के परिवर्तन की दर पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Rate of Change of Qualities in Maths):

Example:1.वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या r के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि
1(a).r=3cm है।
Solution:r=3cm
वृत्त का क्षेत्रफल A=\pi r^{2} \\ \frac{d A}{d r}=2 \pi r \\ \Rightarrow \frac{d A}{d r}=2 \pi \times 3 \\ \Rightarrow \frac{d A}{dr}=6 \pi \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{cm}
1(b).r=4cm है।
Solution:1(b).r=4cm
वृत्त का क्षेत्रफल A=\pi r^{2} \\ \frac{d A}{d r} =2 \pi r \\ =2 \pi \times 4 \\ \Rightarrow \frac{d A}{d r} =8 \pi \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{cm}
Example:2.एक घन का आयतन 8 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s} की दर से बढ़ रहा है।पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लम्बाई 12cm है।
Solution:घन के आयतन की दर \frac{d V}{d t}=8 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s} \\ v=x^{3} \\ \Rightarrow \frac{d}{d t}\left(x^{3}\right)=8 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s} \\ \Rightarrow 3 x^{2} \frac{d x}{d t}=8 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t}=\frac{8}{3 x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t}=\frac{8}{3 \times 12 \times 12}=\frac{1}{54}
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल A=6 x^{2} \\ \frac{d A}{d t} =12 x \frac{d x}{d t} \\ =12 x \times \frac{1}{54} \\ =12 \times 12 \times \frac{1}{54} \\ \Rightarrow \frac{d A}{d t} =\frac{8}{3} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}
Example:3.एक वृत्त की त्रिज्या समान रूप से 3cm/s की दर से बढ़ रही है।ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10cm है।
Solution: \frac{d r}{d t}=3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}
वृत्त का क्षेत्रफल A=\pi r^{2} \\ \frac{d A}{d t} =2 \pi r \frac{d r}{d t} \\ =2 \pi \times 10 \times 3 \\ \Rightarrow \frac{d A}{d t} =60 \pi \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}
Example:4.एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3cm/s की दर से बढ़ रहा है।घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10cm लम्बा है?
Solution: \frac{d x}{d t}=3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}

x=10 cm
घन का आयतन V=x^{3} \\ \frac{d V}{d t}=3 x^{2} \frac{d x}{d t} \\ =3 \times 10 \times 10 \times 3 \\ \Rightarrow \frac{d V}{d t} =900 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s}
Example:5.एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 5cm/s की गति से चलती है। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8cm है तो उस क्षण,घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?
Solution: \frac{d r}{d t}=5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}

r=8 cm
वृत्ताकार तरंग का क्षेत्रफल A=\pi r^{2} \\ \frac{d A}{d t} =2 \pi r \frac{d r}{d t} \\ =2 \pi \times 8 \times 5 \\ \Rightarrow \frac{d A}{d t} =80 \pi \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}
Example:6.एक वृत्त की त्रिज्या 0.7cm/s की दर से बढ़ रही है।इसकी परिधि की दर क्या है जब r=4.9cm है?
Solution: \frac{dr}{d t}=0.7 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}
वृत्त की परिधि C=2 \pi r \\ \frac{d C}{d t}=2 \pi \frac{d r}{d t} \\ =2 \pi \times 0.7 \\ \Rightarrow \frac{d C}{d t} = 1.4 \pi \mathrm{cm} / \mathrm{s}
Example:7.एक आयत की लम्बाई x,5cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई y, 4cm/min की दर से बढ़ रही है।जब x=8cm और y=6cm है तब आयत के (a)परिमाप (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
Solution: \frac{d x}{d t}=-5 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} \\ \frac{d x}{d t}=4 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}
(a)आयत का परिमाप P=2(x+y)

\frac{d p}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right) \\ =2(-5+4) \\ =2(-1) \\ \Rightarrow \frac{d p}{d t}=-2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}
(b) आयत का क्षेत्रफल A=xy

\Rightarrow \frac{d A}{d t}=x \frac{dy}{d t}+y \frac{dx}{d t} \\ \Rightarrow \frac{d A}{d t}=8 \times 4+6 \times(-5) \\ =32-30 \\ \Rightarrow \frac{d A}{d t}=2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}
Example:8.एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पम्प द्वारा 900 घन सेमी गैस प्रति सेकण्ड भरकर फुलाया जाता है।गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 15cm है।
Solution: \frac{d V}{d t}=900 \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s} \\ \Rightarrow \quad V =\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ \Rightarrow \frac{d}{d t}\left(\frac{4}{3} \pi r^{3}\right)=900 \\ \Rightarrow 4 \pi r^{2} \frac{d r}{d t}=900 \\ \Rightarrow \frac{d r}{d t} =\frac{900}{4 \pi r^{2}} \\ =\frac{900}{4 \pi \times 15 \times 15} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d t} =\frac{1}{\pi} \mathrm{cm} / \mathrm{s}

Rate of Change of Qualities in Maths

Example:9.एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, की त्रिज्या परिवर्तनशील है। त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 10cm है।
Solution:गुब्बारे का आयतन V=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ \frac{d v}{d r} =\frac{4}{3} \pi \times 3 r^{2} \\ =4 \pi r^{2} \\ =4 \pi \times 10 \times 10 \\ \Rightarrow \frac{d V}{d r} =400 \pi \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{cm}
Example:10.एक 5m लम्बी सीढ़ी दीवार के सहारे झुकी है।सीढ़ी का नीचे का सिरा,जमीन के अनुदिश, दीवार से दूर 2cm/s की दर से खींचा जाता है।दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से 4m दूर है?
Solution:माना सीढ़ी के नीचे के सिरे की दीवार से दूरी=x
दीवार की ऊँचाई=y

x^{2}+y^{2}=(5)^{2} \\ \Rightarrow y^{2}=25-x^{2} \\ \Rightarrow y=\sqrt{25-x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d t}=\frac{1}{2 \sqrt{25-x^{2}}} \cdot(-2 x) \frac{d x}{d t} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t}= 2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}, x=4 \mathrm{~m}=400 \mathrm{~cm} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d t}=-\frac{400}{\sqrt{2500-(400)^{2}}} \times 2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d t}=-\frac{800}{\sqrt{2500-1600}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d t}=-\frac{800}{\sqrt{900}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d t}=-\frac{800}{300} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d t}=-\frac{8}{3} \mathrm{~cm} / \mathrm{s}
Example:11.एक कण वक्र के अनुगत गति कर रहा है।वक्र पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि x-निर्देशांक की तुलना में y-निर्देशांक 8 गुना तीव्रता से बदल रहा है।
Solution: \frac{d y}{d t}=8 \frac{d x}{d t} \\ 6 y=x^{3}+2 \\ 6 \frac{d y}{d t}=3 x^{2} \frac{d x}{d t} \\ \Rightarrow 8 \frac{d x}{d t} \times 6=3 x^{2} \frac{d x}{d t} \\ \Rightarrow 3 x^{2}=48 \\ \Rightarrow x^{2}=\frac{48}{3} \\ \Rightarrow x^{2}=16 \\ \Rightarrow x=\pm \sqrt{16} \\ \Rightarrow x=\pm 4 \\ \Rightarrow \text { जब } x=4 \\ \text { तो } 6 y=x^{3}+2 \\ \Rightarrow 6 y=(4)^{3}+2 \\ \Rightarrow 6 y=64+2 \\ \Rightarrow 6 y=66 \\ y=\frac{66}{6} \\ \Rightarrow y=11 \\ \text { जब } x=-4 \\ 6 y=(-4)^{3}+2 \\ \Rightarrow 6 y=-64+2 \\ \Rightarrow 6 y=-62 \\ \Rightarrow y=-\frac{62}{6} \\ \Rightarrow y=-\frac{31}{3}
वक्र पर बिन्दु के निर्देशांक (4,11) ; \left(4,-\frac{31}{3}\right)
Example:12.हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या \frac{1}{2} \mathrm{~cm}/ \mathrm{s} की दर से बढ़ रही है।बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1cm है?
Solution: \frac{d r}{d t}=\frac{1}{2} \mathrm{~cm}/ \mathrm{s}
बुलबुले का आयतन V=\frac{4}{3} \pi r^{3}\\ \frac{d V}{d t}=\frac{4}{3} \pi \times 3 r^{2} \frac{dr}{d t}\\ \Rightarrow \frac{d V}{d t}= 4 \pi \times 1^{2} \times \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \frac{d V}{d t}=2 \pi \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}
Example:13.एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है,का परिवर्तनशील व्यास \frac{3}{2}(2 x+1) है।x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
Solution: r=\frac{3}{4}(2 x+1)
गोलाकार गुब्बारे का आयतन V=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ \Rightarrow V =\frac{4}{3} \pi \times\left\{\frac{3}{4}(2 x+1)\right\}^{3^{3}} \\ =\frac{4}{3} \pi \times \frac{27}{64} \times(2 x+1)^{3} \\ =\frac{9 \pi}{16}(2 x+1)^{3} \\ \frac{d V}{d x} =\frac{9 \pi}{16} \times 3(2 x+1)^{2} \cdot 2 \\ \Rightarrow \frac{d V}{d x} =\frac{27}{8} \pi(2 x+1)^{2}
Example:14.एक पाइप से रेत 12 घनसेमी/सेकण्ड की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है।रेत से बने शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई 4cm है?
Solution: \frac{d V}{d t}=12 \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}, h=\frac{1}{6} r,4 \mathrm{~cm}
शंकु का आयतन V=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\ =\frac{1}{3} \pi(6 h)^{2} h \\ =\frac{1}{3} \pi \times 36 h^{3} \\ \Rightarrow V =12 \pi h^{3} \\ \frac{d}{d t}\left(12 \pi h^{3}\right) =12 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s} \\ \Rightarrow 36 \pi h^{2} \frac{dh}{dt}=12 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s} \\ \Rightarrow \frac{d h}{d t}=\frac{12}{36 \pi h^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d h}{d t}=\frac{12}{36 \pi \times 4^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d h}{d t}=\frac{1}{48 \pi} \mathrm{cm} / \mathrm{s}
Example:15.एक वस्तु की x इकाईयों के उत्पादन से सम्बन्ध लागत C(x) (रुपए में) C(x)=0.007 x^{2}-0.003 x^{2}+15 x+4000 से प्रदत्त है।सीमान्त लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है।
Solution:  C(x)=0.007 x^{2}-0.003 x^{2}+15 x+4000 \\ \frac{d C(x)}{d x} =0.021 x^{2}-0.006 x+15 \\ x=17 \\ = 0.021 \times 17^{2}-0.006 \times 12+15 \\ =6.069-0.072+15 \\ \Rightarrow \frac{d C(x)}{d x} =20.997 \mathrm{Rs.}
Example:16.किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) रुपयों में R(x)=13x^{2}+26x+15 से प्रदत्त है।सीमान्त लागत ज्ञात कीजिए जब x=7 है।

Solution: R(x)=13x^{2}+26x+15 \\ \frac{d R(x)}{d x}=26 x+26 \\ x =7 \\ =26 \times 7+26 \\ =182+26 \\ =208 \\ \frac{d R(x)}{d x} =Rs. 208
Example:17.एक वृत्त की त्रिज्या r=6cm पर r के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है:
Solution:वृत्त का क्षेत्रफल A=\pi r^{2} \\ \frac{d A}{dr} =2 \pi r \\ =2 \pi \times 6 \\ =12 \pi \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{cm}
Example:18.एक उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपयों में R(x)=3 x^{2}+36 x+5 से प्रदत्त है।जब x=15 है तो सीमान्त आय है?
Solution: R(x) =3 x^{2}+36 x+5 \\ \frac{d R(x)}{d x} =6 x+36 \\ =6 \times 15+36 \\ =90+36 \\ \Rightarrow \frac{d R(x)}{d x} =126
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा गणित में राशियों के परिवर्तन की दर (Rate of Change of Qualities in Maths),अवकलज के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Application of Derivatives  Class 12) को समझ सकते हैं।

3.गणित में राशियों के परिवर्तन की दर पर आधारित सवाल (Questions Based on Rate of Change of Qualities in Maths):

Rate of Change of Qualities in Maths

(1.)एक कण सरल रेखा में इस प्रकार गतिमान है कि t समय पर इसकी एक स्थिर बिन्दु से दूरी s, t^{n} के समानुपाती है।यदि t समय पर इसका वेग v तथा त्वरण a हो तो सिद्ध कीजिए v^{2}=\frac{n a s}{(n-1)}
(2.)एक सरल रेखा में गतिमान कण की मूल बिन्दु से s दूरी पर वेग \frac{1}{s^{2}} \sqrt{b^{2}-s^{2}} है तो त्वरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers): (2)\frac{1}{S^{3}}-\frac{2 b^{2}}{S^{5}} 
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गणित में राशियों के परिवर्तन की दर (Rate of Change of Qualities in Maths),अवकलज के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Application of Derivatives  Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गणित में राशियों के परिवर्तन की दर (Rate of Change of Qualities in Maths),अवकलज के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Application of Derivatives  Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गणित में राशियों के परिवर्तन की दर (Rate of Change of Qualities in Maths) को समझने
के लिए अवकलज को पुनः स्मरण कीजिए।अवकलज भी राशियों के परिवर्तन की दर को ही दर्शाता है।