Radius of curvature

वक्रता त्रिज्या का परिचय (Introduction to Radius of curvature):

Radius of curvature

• वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature):माना LM एक दिया हुआ वक्र है तथा इस पर एक बिन्दु P है साथ ही वक्र पर Q एक अन्य बिन्दु है।अब P तथा Q पर अभिलम्ब खींचे।माना यह दोनों अभिलम्ब बिन्दु N पर मिलते हैं।अब बिन्दु Q को बिन्दु बिन्दु P की ओर प्रवृत्त (approach) करते हैं।जैसे-जैसे बिन्दु Q बिन्दु P के समीप पहुँचेगा वैसे-वैसे बिन्दु N एक निश्चित बिन्दु C पर प्रवृत्त होगा।अतः सीमा में बिन्दु N बिन्दु C पर प्रवृत्त होता है।यहाँ हमने Q बिन्दु वक्र पर लिया है तथा इस पर कोई प्रतिबन्ध नहीं लगाया है कि वह P के दायें है या बायें।ऐसी स्थिति में बिन्दु C को बिन्दु P पर वक्र का वक्रता केन्द्र (Centre of curvature) कहते हैं तथा दूरी CP को बिन्दु P पर वक्रता त्रिज्या कहते हैं।
  
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वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature):

Radius of curvature

• माना कि वक्र APQ पर P एक दिया हुआ बिन्दु है तथा यह भी माना कि Q,P का कोई निकटवर्ती (neighbouring) बिन्दु है।माना वक्र पर स्थिर बिन्दु A है तथा A से P तक नापे गए चाप की लम्बाई (Length of the arc) s है एवं A से Q तक नापे गए चाप की लम्बाई s+\delta{s} है।
• माना कि P तथा Q पर खींची गई वक्र की स्पर्श रेखाएँ PT,QT’ किसी रेखा (जिस x-अक्ष लिया जा सकता है) के साथ \psi{\text{ तथा }}\psi+\delta{\psi} कोण बनाती है तथा एक दूसरे को बिन्दु R पर मिलती है।यह भी माना कि P तथा Q पर खींची गई वक्र की अभिलम्ब रेखाएँ (normals) एक-दूसरे को N पर मिलते हैं।अतः \angle{PNQ}=\delta{\psi}.अब जैसे ही बिन्दु Q बिन्दु P की ओर प्रवृत्त होता है वैस ही बिन्दु N एक निश्चित बिन्दु C पर प्रवृत्त होगा।PQ को मिलाओ

Radius of curvature

• अब \triangle{PNQ} के लिए ज्या-सूत्र (sine formula) से
  \frac{PQ}{\text{जीवा PQ }}=\frac{\sin{NQP}}{\sin{PNQ}}=\frac{\sin{NQP}}{\sin{TRT'}}=\frac{\sin{NQP}}{\sin{\delta{\psi}}}
• साथ ही जब \delta{s}\rightarrow{0}\text{ तो }\delta{\psi}\rightarrow{0} जिससे
  PC=P \text{ पर वक्रता त्रिज्या } (\rho)=\lim_{\delta{s}\rightarrow{0}}PN
  \lim_{\delta{\psi}}\rightarrow{0}\frac{(जीवा PQ)}{\delta{s}}.\frac{\delta{s}}{\delta{\psi}}.\frac{\delta{\psi}}{\sin{\delta{\psi}}}.\sin{NQP}
  किन्तु जब \delta{\psi}\rightarrow{0} हो,तो \frac{(जीवा PQ)}{\delta{s}}\rightarrow{1},\frac{\delta{\psi}}{\sin{\delta{\psi}}}\rightarrow{1},\frac{\delta{s}}{\delta{\psi}}=\frac{ds}{d\psi}
  एवं \angle{NPQ}\rightarrow{0}\frac{\pi}{2} क्योंकि \angle{NPQ}=\frac{\pi}{2}-\angle{PQT'} तथा \angle{PQT'}\rightarrow{0}
  \therefore PC=1.\frac{ds}{d\psi}.1.\sin{\frac{\pi}{2}}
  अतः \rho=\frac{ds}{d\psi}
• उपर्युक्त आर्टिकल में वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature) के बारे में बताया गया है।