Radius of Curvature

वक्रता त्रिज्या का परिचय (Introduction to Radius of curvature):

Radius of curvature

• वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature):माना LM एक दिया हुआ वक्र है तथा इस पर एक बिन्दु P है साथ ही वक्र पर Q एक अन्य बिन्दु है।अब P तथा Q पर अभिलम्ब खींचे।माना यह दोनों अभिलम्ब बिन्दु N पर मिलते हैं।अब बिन्दु Q को बिन्दु बिन्दु P की ओर प्रवृत्त (approach) करते हैं।जैसे-जैसे बिन्दु Q बिन्दु P के समीप पहुँचेगा वैसे-वैसे बिन्दु N एक निश्चित बिन्दु C पर प्रवृत्त होगा।अतः सीमा में बिन्दु N बिन्दु C पर प्रवृत्त होता है।यहाँ हमने Q बिन्दु वक्र पर लिया है तथा इस पर कोई प्रतिबन्ध नहीं लगाया है कि वह P के दायें है या बायें।ऐसी स्थिति में बिन्दु C को बिन्दु P पर वक्र का वक्रता केन्द्र (Centre of curvature) कहते हैं तथा दूरी CP को बिन्दु P पर वक्रता त्रिज्या कहते हैं।
  
• आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:Radius of curvature

वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature):

Radius of curvature

• माना कि वक्र APQ पर P एक दिया हुआ बिन्दु है तथा यह भी माना कि Q,P का कोई निकटवर्ती (neighbouring) बिन्दु है।माना वक्र पर स्थिर बिन्दु A है तथा A से P तक नापे गए चाप की लम्बाई (Length of the arc) s है एवं A से Q तक नापे गए चाप की लम्बाई s+\delta{s} है।
• माना कि P तथा Q पर खींची गई वक्र की स्पर्श रेखाएँ PT,QT’ किसी रेखा (जिस x-अक्ष लिया जा सकता है) के साथ \psi{\text{ तथा }}\psi+\delta{\psi} कोण बनाती है तथा एक दूसरे को बिन्दु R पर मिलती है।यह भी माना कि P तथा Q पर खींची गई वक्र की अभिलम्ब रेखाएँ (normals) एक-दूसरे को N पर मिलते हैं।अतः \angle{PNQ}=\delta{\psi}.अब जैसे ही बिन्दु Q बिन्दु P की ओर प्रवृत्त होता है वैस ही बिन्दु N एक निश्चित बिन्दु C पर प्रवृत्त होगा।PQ को मिलाओ
• अब \triangle{PNQ} के लिए ज्या-सूत्र (sine formula) से
  \frac{PQ}{\text{जीवा PQ }}=\frac{\sin{NQP}}{\sin{PNQ}}=\frac{\sin{NQP}}{\sin{TRT'}}=\frac{\sin{NQP}}{\sin{\delta{\psi}}}
• साथ ही जब \delta{s}\rightarrow{0}\text{ तो }\delta{\psi}\rightarrow{0} जिससे
  PC=P \text{ पर वक्रता त्रिज्या } (\rho)=\lim_{\delta{s}\rightarrow{0}}PN
  \lim_{\delta{\psi}}\rightarrow{0}\frac{(जीवा PQ)}{\delta{s}}.\frac{\delta{s}}{\delta{\psi}}.\frac{\delta{\psi}}{\sin{\delta{\psi}}}.\sin{NQP}
• किन्तु जब \delta{\psi}\rightarrow{0} हो,तो \frac{(जीवा PQ)}{\delta{s}}\rightarrow{1},\frac{\delta{\psi}}{\sin{\delta{\psi}}}\rightarrow{1},\frac{\delta{s}}{\delta{\psi}}=\frac{ds}{d\psi}
  एवं \angle{NPQ}\rightarrow{0}\frac{\pi}{2} क्योंकि \angle{NPQ}=\frac{\pi}{2}-\angle{PQT'} तथा \angle{PQT'}\rightarrow{0}
  \therefore PC=1.\frac{ds}{d\psi}.1.\sin{\frac{\pi}{2}}
  अतः \rho=\frac{ds}{d\psi}

Radius of curvature

• उपर्युक्त आर्टिकल में वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature) के बारे में बताया गया है।