1.अवकलन गणित में वक्रता त्रिज्या (Radius of Curvature in Calculus),वक्रता त्रिज्या (Radius of Curvature):

Radius of Curvature in Calculus

अवकलन गणित में वक्रता त्रिज्या (Radius of Curvature in Calculus) के इस आर्टिकल में वक्रता-जीवा की लम्बाई,वक्रता-केन्द्र के निर्देशांक,वक्रता-वृत्त इत्यादि पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.अवकलन गणित में वक्रता त्रिज्या के साधित उदाहरण (Radius of Curvature in Calculus Solved Examples):

Example:12.यदि दीर्घवृत्त के एक लघु अक्ष के छोर पर वक्रता-केन्द्र इसके दूसरे छोर पर हो,तो सिद्ध कीजिए की दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता \frac{1}{\sqrt{2}} होगी।
(If the centre of curvature of an ellipse at one end of minor axis lies at the other end, show that the eccentricity of the ellipse is \frac{1}{\sqrt{2}}.)
Solution:दीर्घवृत्त की प्राचलिक समीकरण है:

x=a \cos \theta, y=b \sin \theta
जहाँ \theta प्राचल (parameter) है।
माना कि (\bar{x}, \bar{y}) दिए गए वक्र का बिन्दु \theta पर वक्रता केन्द्र है।
अब \frac{dx}{d \theta}=-a \sin \theta, \frac{d y}{d \theta}=b \cos \theta \\ \therefore y_1=\frac{d y}{d x}=-\frac{b}{a} \cot \theta \\ y_2=\frac{d^2 y}{d x^2}=-\frac{b}{a}\left(-\operatorname{cosec}^2 \theta\right) \frac{d \theta}{d x} \\=\frac{b}{a} \operatorname{cosec}^2 \theta \times \frac{1}{-a \sin \theta} \\ \Rightarrow y_2=-\frac{b}{a^2} \operatorname{cosec}^2 \theta \\ \bar{x}=-x-\frac{y_1\left(1+ y_1^2\right)}{y_2} \\ =a \cos \theta-\frac{\left(-\frac{b}{a} \cot \theta\right)}{\left(-\frac{b}{a^2} \operatorname{cosec}^3 \theta\right)}\left(1+\frac{b}{a^2} \cot ^2 \theta\right) \\ =a \cos \theta-\frac{\cos \theta}{a}\left(a^2 \sin ^2 \theta+b^2 \cos ^2 \theta\right) \\ \Rightarrow \bar{x} =\frac{a^2-b^2}{a} \cos \theta \cdots(1) \\ \bar{y} =y+\frac{\left(1+y_1^2\right)}{y_2} \\ =b \sin \theta+\frac{1+ \left(\frac{b^2}{a^2}\right) \cot ^2 \theta}{-\left(\frac{b}{y^2}\right) \operatorname{cosec}^3 \theta} \\ =b \sin \theta-\frac{1}{b}\left(a^2 \sin ^2 \theta+b^2 \cos ^2 \theta\right) \sin \theta \\ \Rightarrow \bar{y}=\frac{b^2-a^2}{b} \sin ^2 \theta \cdots(2)
(1) व (2) से \theta का विलोपन करने पर:
(a \bar{x})^{\frac{2}{3}}+(b \bar{y})^{\frac{2}{3}}=\left(a^2-b^2\right)^{\frac{2}{3}}\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right) \\ \Rightarrow(a \bar{x})^{\frac{2}{3}}+(b \bar{y})^{\frac{2}{3}}=\left(a^2-b^2\right)^{\frac{2}{3}} \cdots(3) \\ \bar{x}=0  तथा  \bar{y}=b रखने पर:

(a \times 0)^{\frac{2}{3}}+(b \times b)^{\frac{2}{3}}=\left(a^2-b^2\right)^{\frac{2}{3}} \\ \Rightarrow \left(b^2\right)^{\frac{2}{3}}=\left(a^2-b^2\right)^{\frac{2}{3}} \\ \Rightarrow b^2=a^2-b^2 \\ \Rightarrow a^2=2 b^2-\cdots(4) \\ b^2=a^2\left(1-c^2\right) \ldots(5)
(4) व (5) से:

b^2=2 b^2\left(1-e^2\right) \\ \Rightarrow 1=2\left(1-e^2\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{2}=1-e^2 \\ \Rightarrow e^2=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow e=\frac{1}{\sqrt{2}}
Example:13.सिद्ध कीजिए कि परवलय की वक्रता-जीवा जो नाभि से होकर जाती है, वह उस बिन्दु की नाभीय दूरी की चार गुणा होती है तथा वक्रता-जीवा जो अक्ष के समान्तर है,उसकी भी वही लम्बाई होती है।
(Show that the chord of curvature through the focus of a parabola is four times the focal distance of the point and the chord of curvature parallel to the axis has the same length):
Solution:परवलय का समीकरण

\frac{2 a}{r}=1+\cos \theta \cdots(1)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:

\log 2 a+\log r=\log (1+\cos \theta)
अवकलन करने पर:
0-\frac{1}{r} \frac{d r}{d \theta}=\frac{1}{1+\cos \theta (-\sin \theta)} \\ \Rightarrow \frac{1}{r} \frac{d r}{d \theta}=\frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{1+2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}-1} \\ \Rightarrow \frac{1}{r} \frac{d r}{d \theta}=\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} \\ \Rightarrow \frac{1}{r} \frac{d r}{d \theta}=\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \phi=r\left(\frac{d \theta}{d r}\right) \\ =r\left(\frac{1}{r \tan \frac{\theta}{2}}\right) \\ =\cot \frac{\theta}{2} \\ \Rightarrow \tan \phi=\tan \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right) \\ \Rightarrow \phi=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2} \\ \sin \phi=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right) \\ \Rightarrow \sin \phi=\cos \frac{\theta}{2} \\ =\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}} \\ =\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(1+\cos \theta)} \\ =\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{2 a}{r}} [(1) से]

\Rightarrow \sin \phi=\sqrt{\frac{a}{r}} \cdots(2)
दिए हुए वक्र के पदिक समीकरण से:

P=r-\sin \phi \\ \Rightarrow p=r \sqrt{\frac{a}{r}}=\sqrt{a r} \\ \Rightarrow p^2=a r \ldots(3)
अवकलन करने पर:
2 p \frac{d p}{d r}=a \\ \frac{d r}{d p}=\frac{2 p}{a} \\ \rho=r \frac{d r}{d p} \\ =r \cdot \frac{2 p}{a} \\ =\frac{2 r}{a} \sqrt{a r} [(3) से]

\therefore \rho=\frac{2 r^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a}} \cdots(4)
ध्रुव से होकर जाने वाली वक्रता-जीवा
=2 \rho \sin \phi \\ =\frac{4 r^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a}} \sqrt{\frac{a}{r}} [(2) तथा (4) से]
=4 r \\ =4 (बिन्दु से नाभीय दूरी)
पुन: किसी भी वक्र के बिन्दु (r,\theta) पर:

\psi=\theta+\phi \\ =\pi-2 \phi+\phi\left[\because \phi=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right] \\ \Rightarrow \psi=\pi-\phi \\ \Rightarrow \sin \psi =\sin (\pi-\phi) \\ \Rightarrow \sin \psi =\sin \phi \\ \Rightarrow \sin \psi=\sqrt{\frac{a}{r}} [(2) से]
x-अक्ष के समान्तर वक्रता-जीवा
=2 \rho \sin \psi \\ =2\left(\frac{2 r^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a}}\right) \sqrt{\frac{a}{r}} \\ =4 r \quad Hence proved

Radius of Curvature in Calculus

Example:15.सिद्ध कीजिए कि वक्र के बिन्दु (0,0) पर y-अक्ष के समान्तर वक्रता-जीवा है।
(Prove that the chord of curvature parallel to y-axis at (0,0) for the curve y=m x+\left(\frac{x^2}{a}\right) is a\left(1+m^2\right).)
Solution: y=m x+\left(\frac{x^2}{a}\right)
अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=m+\frac{2 x}{a} \cdots(1) \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(0,0)}=m
पुन: समीकरण (1) का अवकलन करने पर:

\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{2}{a} \\ \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)_{(0,0)}=\frac{2}{a} \\ \rho= \frac{\left[1 +\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^2 y}{d x^2}} \\ =\frac{\left(1+ m^2 \right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{2}{a}} \\ \Rightarrow \rho=\frac{a\left(1+m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{2} \\ \left(\frac{d s}{d x}\right) =\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2} \\ =\sqrt{1+m^2} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d s} =\frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \\ \cos \psi =\frac{d x}{d s}=\frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \\ \Rightarrow \cos \psi =\frac{1}{\sqrt{1+m^2}} 
y-अक्ष के समान्तर वक्रता-जीवा की लम्बाई

=2 \rho \cos \psi \\ =\frac{2a\left(1+m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \\ =\left(1+m^2\right)
Example:16.सिद्ध कीजिए कि r=f(\theta) के,वे बिन्दु जिन पर खींचे गए वक्रता-वृत्त मूलबिन्दु से होकर जाते हैं,समीकरण f(\theta)+f^{\prime \prime}(\theta)=0 द्वारा दिए जाते हैं।
(Prove that the points on the curve, the circle of curvature at which pass through the origin,are given by the equation f(\theta)+f^{\prime \prime}(\theta)=0.)
Solution:माना दिए हुए वक्र पर P(r,\theta) बिन्दु है,वक्रता-वृत्त (केन्द्र C) मूलबिन्दु से गुजरता है।

Radius of Curvature in Calculus

माना वक्रता-केन्द्र C है।OP को मिलाया तथा माना PC को बढ़ाने पर वक्रता-वृत्त बिन्दु D पर मिलता है

\angle OPT=\phi=\angle PDO
OP=r तथा PD= 2 \rho \\ \triangle POD में
\sin \phi=\frac{O P}{P D} \\ \Rightarrow O P=P D \sin \phi \\ \Rightarrow \theta=2 \rho \sin \phi \cdots(1) \\ \tan \phi=r \frac{d \theta}{d r}=\frac{r}{\left(\frac{d r}{d \theta}\right)} \\ \therefore \sin \phi= \frac{r}{\sqrt{r^2+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2}} \cdots(2) \\ \rho=\frac{\left[r^2+\left(\frac{dr}{d \theta} \right) \right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+2\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2-r\left(\frac{d^2 r}{d \theta^2} \right)} \cdots(3)
(1),(2) व (3) से:

r=\frac{2\left[r^2+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+2\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2-r\left(\frac{d^2 r}{d \theta^2}\right)} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2+\left(\frac{d r}{d \theta} \right)^2}} \\ \Rightarrow r^2+2\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2-r\left(\frac{d^2 r}{d \theta^2}\right) =2\left[r^2+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2\right] \\ \Rightarrow 2 r^2-r^2+2\left(\frac{d r}{d \theta} \right)^2-2\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2+r\left(\frac{d^2 r}{d \theta^2}\right)=0 \\ \Rightarrow r^2+r\left(\frac{d^2 r}{d \theta}\right)=0 \\ \Rightarrow r+\left(\frac{d^2 r}{d \theta^2}\right)=0 \cdots(4) \\ r=f(\theta) \cdots(5) \\ \frac{d r}{d \theta}=f^{\prime}(\theta) \\ \frac{d^2 r}{d \theta^2} =f^{\prime \prime}(\theta) \cdots(6)
(4),(5) व (6) से:

f(\theta)+f^{\prime \prime}(\theta)=0
Example:18.कार्डियोइड r=a(1+\cos \theta) के ध्रुव से गुजरने वाली वक्रता-जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
(Find the length of chord of curvature through the pole of the cardioid r=a(1+\cos \theta).)
Solution: r=a(1+\cos \theta) \\ \frac{d r}{d \theta}=-a \sin \theta \\ \frac{d^2 r}{d \theta^2}=-a \cos \theta \\ \rho=\frac{\left[r^2+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+2\left(\frac{d r}{d \theta} \right)^2-r\left(\frac{d^2 r}{d \theta^2}\right)} \\ =\frac{\left[r^2+a^2 \sin ^2 \theta \right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+2 a^2 \sin ^2 \theta-r(-a \cos \theta)} \\ =\frac{\left[r^2+a^2\left(1-\cos ^2 \theta\right) \right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+2 a^2\left(1-\cos ^2 \theta\right)+a r \cos \theta} \\ =\frac{\left[r^2+a^2\left(1-\left(\frac{r}{a}-1\right)^2\right)\right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+2 a^2\left(1-\left(\frac{r}{a}-1\right)^2\right) +ar\left(\frac{r}{a}-1\right)} \\ =\frac{\left[r^2+a^2\left(1-\frac{r^2}{a^2}+\frac{2 r}{a}-1\right) \right]^{\frac{3}{2}}}{r^2+2 a^2\left(1-\frac{r^2}{a^2}+\frac{2 r}{a}-1\right) +r^2-a r} \\ =\frac{\left(r^2-r^2+2 a r\right)^{\frac{3}{2}}}{r^2-2 r^2+4 a r+r^2-a r} \\ =\frac{2 \sqrt{2} a^{\frac{3}{2}} r^{\frac{3}{2}}}{3 a r} \\ \Rightarrow \rho=\frac{2}{3} \sqrt{2 a r}  \\ \tan \phi=r\left(\frac{d \theta}{d r}\right) \\ =a(1+\cos \theta) \times \frac{1}{-a \sin \theta} \\ =\frac{-(1+\cos \theta)}{\sin \theta} \\=\frac{-2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} \\ =-\cot \frac{\theta}{2} \\ \Rightarrow \tan \phi =\tan \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\theta}{2}\right) \\ \Rightarrow \phi =\frac{\pi}{2}+\frac{\theta}{2} \\ \sin \phi =\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\theta}{2}\right) \\ =\cos \frac{\theta}{2} \\ =\sqrt{\left(\frac{1+\cos \theta}{2}\right)} \\ \sin \phi =\sqrt{\frac{r}{2a}}
ध्रुव से गुजरने वाली वक्रता-जीवा की लम्बाई=2 \rho \sin \phi \\ =2 \times \frac{2}{3} \sqrt{2 a r} \times \sqrt{\frac{r}{2 a}} \\ =\frac{4}{3} r
Example:19.सिद्ध कीजिए कि मूलबिन्दु पर परवलय y=m x+\left(\frac{x^2}{a}\right) का वक्रता-वृत्त x^2+y^2=a\left(1+m^2\right)(y-m x) है।
(Show that the circle of curvature at the origin of the parabola y=m x+\left(\frac{x^2}{a}\right) is x^2+y^2=a\left(1+m^2\right)(y-m x))
Solution: y=m x+\left(\frac{x^2}{a}\right)
अवकलन करने पर:

y_1=\frac{d y}{d x}=m+\frac{2 x}{a} \\ y_{1_{(0,0)}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(0,0)}=m
पुन: अवकलन करने पर:

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अवकलन गणित में वक्रता त्रिज्या (Radius of Curvature in Calculus),वक्रता त्रिज्या (Radius of Curvature) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

3.अवकलन गणित में वक्रता त्रिज्या की समस्याएँ (Radius of Curvature in Calculus Problems):

Radius of Curvature in Calculus

निम्न वक्रों की ध्रुव से जाने वाली वक्रता-जीवा ज्ञात कीजिए:
(Find the chord of curvature through the pole of the following curves):

(1 .) r^2 \cos 2 \theta=a^2
(2.) r^n=a^n \sin n \theta
उत्तर (Answers):(1.)2 r
(2.) \frac{2 r}{n+1}

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अवकलन गणित में वक्रता त्रिज्या (Radius of Curvature in Calculus),वक्रता त्रिज्या (Radius of Curvature) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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4.अवकलन गणित में वक्रता त्रिज्या (Frequently Asked Questions Related to Radius of Curvature in Calculus),वक्रता त्रिज्या (Radius of Curvature) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकलन गणित में वक्रता त्रिज्या (Radius of Curvature in Calculus) के इस आर्टिकल में
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