1.ध्रुवी समीकरण के लिए वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature for polar equation)-

Radius of curvature for polar equation

ध्रुवी समीकरण के लिए वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature for polar equation) ज्ञात करने के लिए वक्रता त्रिज्या का ज्ञान होना आवश्यक है।वक्र के किसी बिन्दु पर खींचे गए वृत्त की त्रिज्या को वक्रता त्रिज्या कहते हैं।
इससे पूर्व प्राचलिक वक्रों की वक्रता त्रिज्या तथा वक्रता त्रिज्या के लिए कार्तीय सूत्र से सम्बन्धित आर्टिकल पोस्ट कर चुके हैं। अतः इनके बारे में जानने के लिए सम्बन्धित आर्टिकल पढ़ना चाहिए।
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2.ध्रुवीय समीकरण के लिए वक्रता त्रिज्या की सूत्र स्थापना (Formula installation of Radius of curvature for polar equation)-

माना ध्रुवी समीकरण r=f\left( \theta \right)
इस वक्र पर कोई बिन्दु p\left( r,\theta \right) है।
हम जानते हैं कि \frac { 1 }{ { P }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ { r }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { r }^{ 4 } } { \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 }......(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का r के सापेक्ष अवकलन करने पर-

-\frac { 2 }{ { p }^{ 3 } } =-\frac { 2 }{ { r }^{ 3 } } -\frac { 4 }{ { r }^{ 5 } } { \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { r }^{ 4 } } .2\left( \frac { dr }{ d\theta } \right) \left( \frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } \right) \frac { d\theta }{ dr } \\ \Rightarrow -\frac { 2 }{ { p }^{ 3 } } \left( \frac { dp }{ dr } \right) =-\frac { 2 }{ { r }^{ 3 } } -\frac { 4 }{ { r }^{ 5 } } { \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 }+\frac { 2 }{ { r }^{ 4 } } \left( \frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } \right) \\ \Rightarrow \frac { dp }{ dr } =\frac { { p }^{ 3 } }{ { r }^{ 5 } } \left\lfloor { r }^{ 2 }+2{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 }-\frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } \right\rfloor \\ \Rightarrow \rho =r\frac { dr }{ dp } \\ =r\frac { \left( \frac { { r }^{ 5 } }{ { p }^{ 3 } } \right) }{ { r }^{ 2 }+{ 2\left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 }-r\frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } } \\ =\frac { { r }^{ 6 }{ \left\lfloor \frac { 1 }{ { r }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { r }^{ 4 } } { \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 } \right\rfloor }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 }-r\frac { d^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } \\ } \\ =\frac { { \left\lfloor { r }^{ 2 }+{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 } \right\rfloor }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 }-r\frac { d^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } } \\ =\frac { { \left( { r }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ r }_{ 1 }^{ 2 }-r{ r }_{ 2 } } \\ { r }_{ 1 }=\frac { dr }{ d\theta } तथा { r }_{ 2 }=\frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } }

उपर्युक्त ध्रुवी समीकरण के लिए वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature for polar equation) के सूत्र को स्थापित किया |

3.ध्रुवी समीकरण के वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature for polar equation) पर आधारित सवाल-

Radius of curvature for polar equation

निम्न ध्रुवी समीकरण वाले वक्रों के किसी बिन्दु पर वक्रता त्रिज्या ज्ञात कीजिए:
(Find the radius of curvature at any point on the curves whose polar equation are the following)
Question-1. { r }^{ n }={ a }^{ n }\sin { n\theta }
Solution-{ r }^{ n }={ a }^{ n }\sin { n\theta } \\ n\log { r=n\log { a+\log { \left( \sin { n\theta } \right) } } }
\theta  
के सापेक्ष अवकलन करने पर-

n.\frac { 1 }{ r } \frac { dr }{ d\theta } =0+\frac { 1 }{ \sin { n\theta } } .n\cos { n\theta } \\ \Rightarrow \frac { dr }{ d\theta } =r\cot { n\theta } \\ \Rightarrow { r }_{ 1 }=r\cot { n\theta }

पुनः \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { dr }{ d\theta } \cot { n\theta -rn } { cosec }^{ 2 }n\theta \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =r\cot ^{ 2 }{ n\theta -rn } { cosec }^{ 2 }n\theta \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { r\left( \cos ^{ 2 }{ n\theta } \right) }{ \sin ^{ 2 }{ n\theta } } -\frac { rn }{ \sin ^{ 2 }{ n\theta } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { r\left( 1-\sin ^{ 2 }{ n\theta } \right) }{ \sin ^{ 2 }{ n\theta } } -\frac { rn }{ \sin ^{ 2 }{ n\theta } }

sinn\theta का मान रखने पर –

\Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { r\left( 1-\frac { { r }^{ 2n } }{ a^{ 2n } } \right) }{ \frac { { r }^{ 2n } }{ a^{ 2n } } } -\frac { { r }n }{ \frac { { r }^{ 2n } }{ a^{ 2n } } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { a^{ 2n }\left( \frac { a^{ 2n }-{ r }^{ 2n } }{ a^{ 2n } } \right) }{ { r }^{ 2n-1 } } -\frac { { na^{ 2n } } }{ { r }^{ 2n-1 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { a^{ 2n }-{ r }^{ 2n }-na^{ 2n } }{ { r }^{ 2n-1 } } \\ \rho =\frac { { \left\lfloor { r }^{ 2 }+{ { r }_{ 1 } }^{ 2 } \right\rfloor }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ { r }_{ 1 } }^{ 2 }-r{ r }_{ 2 } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { \left\lfloor { r }^{ 2 }+{ r }^{ 2 }\cot ^{ 2 }{ n\theta } \right\rfloor }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ r }^{ 2 }\cot ^{ 2 }{ n\theta -r.\left( \frac { { a }^{ 2n }-{ r }^{ 2n }-n{ a }^{ 2n } }{ { r }^{ 2n-1 } } \right) } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { \left\lfloor { r }^{ 2 }+{ r }^{ 2 }\frac { \cos ^{ 2 }{ n\theta } }{ \sin ^{ 2 }{ n\theta } } \right\rfloor }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ r }^{ 2 }\left( \frac { \cos ^{ 2 }{ n\theta } }{ \sin ^{ 2 }{ n\vartheta } } \right) -\left( \frac { { a }^{ 2n }-{ r }^{ 2n }-n{ a }^{ 2n } }{ { r }^{ 2n-2 } } \right) } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 3 }{ \left\lfloor 1+\frac { \cos ^{ 2 }{ n\theta } }{ \sin ^{ 2 }{ n\theta } } \right\rfloor }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ r }^{ 2 }\left( \frac { 1-\sin ^{ 2 }{ n\theta } }{ \sin ^{ 2 }{ n\theta } } \right) -\left( \frac { { a }^{ 2n }-{ r }^{ 2n }-n{ a }^{ 2n } }{ { r }^{ 2n-2 } } \right) } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 3 }{ \left\lfloor \sin ^{ 2 }{ n\theta +\cos ^{ 2 }{ n\theta } } \right\rfloor }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ r^{ 2 }+2{ r }^{ 2 }\left\lfloor \frac { 1-\frac { { r }^{ 2n } }{ { a }^{ 2n } } }{ \frac { { r }^{ 2n } }{ { a }^{ 2n } } } \right\rfloor -\left( \frac { { a }^{ 2n }-{ r }^{ 2n }-n{ a }^{ 2n } }{ { r }^{ 2n-2 } } \right) } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 3 } }{ \sin ^{ 3 }{ n\theta \left\lfloor r^{ 2 }+2{ r }^{ 2 }\frac { \left( { a }^{ 2n }-{ r }^{ 2n } \right) }{ { r }^{ 2n } } -\left( \frac { { a }^{ 2n }-{ r }^{ 2n }-n{ a }^{ 2n } }{ { r }^{ 2n-2 } } \right) \right\rfloor } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 3 } }{ \frac { { r }^{ 3n } }{ { a }^{ 3n } } \left\lfloor { r }^{ 2 }+\frac { \left( { 2a }^{ 2n }-2{ r }^{ 2n } \right) }{ { r }^{ 2n-2 } } -\left( \frac { { a }^{ 2n }-{ r }^{ 2n }-n{ a }^{ 2n } }{ { r }^{ 2n-2 } } \right) \right\rfloor } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 3 }.{ a }^{ 3n } }{ { r }^{ 3n }\left\lfloor { r }^{ 2 }+\frac { 2{ a }^{ 2n }-2{ r }^{ 2n }-{ a }^{ 2n }+{ r }^{ 2n }+n{ a }^{ 2n } }{ { r }^{ 2n-2 } } \right\rfloor } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ -\left( 3n-3 \right) }{ a }^{ 3n }.{ r }^{ 2n-2 } }{ { r }^{ 2n }+{ a }^{ 2n }-{ r }^{ 2n }+n{ a }^{ 2n } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ -3n+2n-2+3 }{ a }^{ 2n } }{ { a }^{ 2n }+n{ a }^{ 2n } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ -n+1 }{ a }^{ 3n } }{ \left( n+1 \right) { a }^{ 2n } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { a }^{ n } }{ \left( n+1 \right) { r }^{ n-1 } }

इस प्रकार उपर्युक्त सवाल के हल द्वारा ध्रुवी समीकरण के लिए वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature for polar equation) को समझा जा सकता है।

Question-2.\theta ={ a }^{ -1 }{ \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-\cos ^{ -1 }{ \frac { a }{ r } }
Solution-\theta ={ a }^{ -1 }{ \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-\cos ^{ -1 }{ \frac { a }{ r } }
\theta    के सापेक्ष अवकलन करने पर-

1=\frac { 2r{ a }^{ -1 } }{ 2\sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \frac { dr }{ d\theta } +\frac { 1 }{ \sqrt { 1-\frac { { a }^{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } } } \left( -\frac { a }{ { r }^{ 2 } } \right) \frac { dr }{ d\theta } \\ \Rightarrow 1=\left\lfloor \frac { r }{ a\sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } -\frac { a }{ r\sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \right\rfloor \frac { dr }{ d\theta } \\ \Rightarrow 1=\left( \frac { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } }{ ar\sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \right) \frac { dr }{ d\theta } \\ \Rightarrow 1=\frac { \sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } }{ ar } \frac { dr }{ d\theta } \\ \Rightarrow \frac { dr }{ d\theta } =\frac { ar }{ \sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \\ \Rightarrow { r }_{ 1= }\frac { ar }{ \sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } }

पुनः \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { \sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } a\frac { dr }{ d\theta } -ar.\frac { 2r }{ 2\sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \frac { dr }{ d\theta } }{ { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { \sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } a\left( \frac { ar }{ \sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \right) -\frac { a{ r }^{ 2 } }{ \sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } .\frac { ar }{ \sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } }{ { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { { a }^{ 2 }r-\frac { { a }^{ 2 }{ r }^{ 3 } }{ { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { { a }^{ 2 }{ r }^{ 3 }-{ a }^{ 4 }r-{ a }^{ 2 }{ r }^{ 3 } }{ { \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =-\frac { { a }^{ 4 }r }{ { \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ { r }_{ 2 }=-\frac { { a }^{ 4 }r }{ { \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ \rho =\frac { { \left\lfloor { r }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }^{ 2 } \right\rfloor }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ r }_{ 1 }^{ 2 }-r{ r }_{ 2 } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+\frac { { a }^{ 2 }{ r }^{ 2 } }{ { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2\left( \frac { { a }^{ 2 }{ r }^{ 2 } }{ { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right) -r\left[ \frac { -{ a }^{ 4 }r }{ { \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \right] } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { \left( \frac { { r }^{ 4 }-{ a }^{ 2 }{ r }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }{ r }^{ 2 } }{ { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+\frac { 2{ a }^{ 2 }{ r }^{ 2 } }{ { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } +\frac { { a }^{ 4 }{ r }^{ 2 } }{ { \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 6 }{ \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ { \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\left[ { r }^{ 2 }{ \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ 2 }+2{ a }^{ 2 }{ r }^{ 2 }\left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) +{ a }^{ 4 }{ r }^{ 2 } \right] } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 6 }{ \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ \left[ { r }^{ 2 }\left( { r }^{ 4 }-2{ a }^{ 2 }{ r }^{ 2 }+{ a }^{ 4 } \right) +2{ a }^{ 2 }{ r }^{ 4 }-2{ a }^{ 4 }{ r }^{ 2 }+{ a }^{ 4 }{ r }^{ 2 } \right] } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 6 }{ \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ { r }^{ 6 }-2{ a }^{ 2 }{ r }^{ 4 }+{ a }^{ 4 }{ r }^{ 2 }+2{ a }^{ 2 }{ r }^{ 4 }-2{ a }^{ 4 }{ r }^{ 2 }+{ a }^{ 4 }{ r }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 6 }{ \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ { r }^{ 6 } } \\ \rho ={ \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }

इस प्रकार उपर्युक्त सवाल के हल द्वारा ध्रुवी समीकरण के लिए वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature for polar equation) को समझा जा सकता है।

Question-3.सिद्ध कीजिए कि उन उभयनिष्ठ बिन्दुओं पर,जिन पर (आर्किमिडीज-सर्पिल) r=a\theta तथा (अतिपरवलय सर्पिल)r\theta =a एक दूसरे को काटेंगे,उनकी वक्रताओं का अनुपात 3:1 होगा
(Show that the curvature of the curves r=a\theta and r\theta =a at their common points are in the ratio 3:1)
Solution-r=a\theta ....(1)\\ r\theta =a.....(2)
समीकरण (1) से समीकरण (2) में मान रखने पर-

a{ \theta }^{ 2 }=a\\ { \theta }^{ 2 }=1\\ \theta =\pm 1
\theta का मान समीकरण (1) में रखने पर-

r=\pm a\\ \left( r,\theta \right) =\left( a,1 \right)
समीकरण (1) का \theta   के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dr }{ d\theta } =a\\ { \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }_{ \left( a,1 \right) }=a
पुनः \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } =0\\ \Rightarrow { \left( \frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } \right) }_{ \left( a,1 \right) }=0\\ { \rho }_{ 1 }=\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+{ { r }_{ 1 } }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ { r }_{ 1 } }^{ 2 }-r{ r }_{ 2 } } \\ { { \rho }_{ 1 } }_{ \left( a,1 \right) }=\frac { { \left[ { a }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { a }^{ 2 }+2{ a }^{ 2 }-r\left( 0 \right) } =\frac { { \left[ 2{ a }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ 3{ a }^{ 2 } } \\ =\frac { 2\sqrt { 2 } { a }^{ 3 } }{ 3{ a }^{ 2 } } =\frac { 2\sqrt { 2 } { a } }{ 3 }
समीकरण (2) का \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\theta \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) +r\left( 1 \right) =0\\ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) =-\frac { r }{ \theta } \\ \Rightarrow { \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }_{ \left( a,1 \right) }=-a

पुनः \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

{ \rho }_{ 2 }=\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+{ { r }_{ 1 } }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ { r }_{ 1 } }^{ 2 }-r{ r }_{ 2 } } \\ { { \rho }_{ 2 } }_{ \left( a,1 \right) }=\frac { { \left[ { a }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { a }^{ 2 }+2{ a }^{ 2 }-a\left( 2a \right) } =\frac { { \left[ 2{ a }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { a }^{ 2 } } \\ =\frac { 2\sqrt { 2 } { a }^{ 3 } }{ { a }^{ 2 } } =2\sqrt { 2 } { a }\\ \frac { 1 }{ { \rho }_{ 1 } } :\frac { 1 }{ { \rho }_{ 2 } } =\frac { 3 }{ 2\sqrt { 2 } { a } } :\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } { a } } \\ \frac { 1 }{ { \rho }_{ 1 } } :\frac { 1 }{ { \rho }_{ 2 } } =3:1

इस प्रकार उपर्युक्त सवाल के हल द्वारा ध्रुवी समीकरण के लिए वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature for polar equation) को समझा जा सकता है।

Question-4.वक्र \frac { 2a }{ r } =1+\cos { \theta } के लिए वक्रता-त्रिज्या ज्ञात कीजिए। अतः सिद्ध कीजिए कि वक्रता त्रिज्या का वर्ग,नाभि की दूरी से घन के अनुक्रमानुपात में बदलता है।
(Find the radius of curvature for the curve\frac { 2a }{ r } =1+\cos { \theta } .Hence show that the radius of curvature varies as the cube of the focus distance)
Solution-\frac { 2a }{ r } =1+\cos { \theta }
\theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

-\frac { 2a }{ { r }^{ 2 } } \frac { dr }{ d\theta } =-\sin { \theta } \\ \frac { dr }{ d\theta } =\frac { { r }^{ 2 }\sin { \theta } }{ 2a } \\ { r }_{ 1 }=\frac { { r }^{ 2 }\sin { \theta } }{ 2a }
पुनः \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2a } \left[ 2r\frac { dr }{ d\theta } \sin { \theta } +{ r }^{ 2 }\cos { \theta } \right] \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2a } \left[ 2r.\frac { { r }^{ 2 }\sin { \theta } }{ 2a } .\sin { \theta } +{ r }^{ 2 }\cos { \theta } \right] \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2a } \left[ \frac { { r }^{ 3 }\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 2{ a }^{ 2 } } +{ r }^{ 2 }\cos { \theta } \right] \\ \Rightarrow { r }_{ 2 }=\frac { { r }^{ 3 }\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 2a } +\frac { { r }^{ 2 }\cos { \theta } }{ 2a } \\ \rho =\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ r }_{ 1 }^{ 2 }-r{ r }_{ 2 } } \\ \rho =\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+\frac { { r }^{ 4 }\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 4a } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2.\frac { { r }^{ 4 }\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 4{ a }^{ 2 } } -r\left( \frac { { r }^{ 3 }\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 2{ a }^{ 2 } } +\frac { { r }^{ 2 }\cos { \theta } }{ 2a } \right) } \\ \rho =\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+\frac { { r }^{ 4 } }{ 4a } \left( 1-{ cos }^{ 2 }\theta \right) \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2.\frac { { r }^{ 4 }\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 4{ a }^{ 2 } } -\frac { { r }^{ 4 }\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 2{ a }^{ 2 } } -\frac { { r }^{ 3 }\cos { \theta } }{ 2a } } \\ \rho =\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+\frac { { r }^{ 4 } }{ 4a } \left\{ 1-{ \left( \frac { 2a }{ r } -1 \right) }^{ 2 } \right\} \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }-\frac { { r }^{ 3 } }{ 2a } { \left( \frac { 2a }{ r } -1 \right) } } \\ \rho =\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+\frac { { r }^{ 4 } }{ 4a } \left\{ 1-\frac { 4{ a }^{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } -1+\frac { 4a }{ r } \right\} \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }-{ r }^{ 2 }+\frac { { r }^{ 3 } }{ 2a } } \\ \rho =\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+\frac { { r }^{ 4 } }{ 4{ a }^{ 2 } } \left\{ \frac { 4a }{ r } -\frac { 4{ a }^{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } \right\} \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { { r }^{ 3 } }{ 2a } } \\ \rho =\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+\frac { { r }^{ 3 } }{ a } -{ r }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { { r }^{ 3 } }{ 2a } } \\ \rho =\frac { { r }^{ \frac { 9 }{ 2 } } }{ { a }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \times \frac { 2a }{ { r }^{ 3 } } \\ \rho =\frac { 2{ r }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ a } \\ { \rho }^{ 2 }=\frac { 4{ r }^{ 3 } }{ { a }^{ 2 } } \\ { \rho }^{ 2 }\propto { r }^{ 3 }
इस प्रकार उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा ध्रुवी समीकरण के लिए वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature for polar equation) को समझा जा सकता है।

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