1.प्राचलिक वक्रों की वक्रता त्रिज्या का परिचय (Introduction to Radius curvature for parametric curves)-

Radius curvature for parametric curves

प्राचलिक वक्रों की वक्रता त्रिज्या (Radius curvature for parametric curves) ज्ञात करने के लिए सर्वप्रथम हमें प्राचल,प्राचलिक समीकरण,प्राचलिक वक्र तथा वक्रता त्रिज्या को समझना होगा।
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2.प्राचल (parameter)-

(1.) गणितीय फलन में वह स्वेच्छ अचर अथवा चर जिसमें विभिन्न मान देने से किसी व्यापक फलन की विशिष्ट स्थितियां प्राप्त हो सके।
(2.)स्वतन्त्र चर जिनके व्यंजकों के रूप में किसी समीकरण के चरों को व्यक्त किया जा सके।
(3.) सांख्यिकी में इस शब्द का प्रयोग प्राय: बंटन फलनों को निर्धारित करने वाले व्यंजकों अथवा किसी प्रसंभाव्य स्थिति को निर्धारित करने वाले निर्देशो के अर्थ में होता है।
साधारण अर्थ में अगर प्राचल को समझना हो तो यह कहा जा सकता है कि जब दो चर प्रत्यक्ष रूप से एक-दूसरे से सम्बन्धित न होकर दोनों चर किसी तीसरे समान चर से सम्बन्धित हो तो उस तीसरे चर को प्राचल कहते हैं। जैसे y=f(t) तथा x=z(t) में दोनों चर y तथा x तीसरे समान चर t से सम्बन्धित है। अतः t को प्राचल कहा जाता है।

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3.प्राचलिक समीकरण (Parametric Equation)-

किसी वक्र अथवा पृष्ठ का वह समीकरण जिसमें वक्र अथवा पृष्ठ पर स्थित बिन्दुओं के निर्देशांक एक या एक से अधिक प्राचलों में व्यक्त किए गए हों।जैसे- x=a cost , y=b sint किसी दीर्घवृत्त का प्राचलिक समीकरण है।इसी प्रकार x=a cost sinp ,y=a sint sinp,z= a cost गोले का प्राचलिक समीकरण है।
प्राचलिक वक्रों की वक्रता त्रिज्या(Radius curvature for parametric curves) में प्राचल,प्राचलिक वक्र को समझने के बाद वक्रता त्रिज्या को समझना होगा।

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4.वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature)-

किसी समतल वक्र y=f(x) के संदर्भ में किसी बिन्दु पर वक्रता वृत्त की त्रिज्या को वक्रता त्रिज्या कहते हैं।
प्राचलिक वक्रों की वक्रता त्रिज्या (Radius curvature for parametric curves) ज्ञात करने के लिए सूत्र में प्राचलिक वक्र के सूत्र के प्रथम व द्वितीय अवकलज का मान रखना होता है।इन मानों को दिए हुए वक्रता त्रिज्या के सूत्र में रखकर हल करने पर वक्रता त्रिज्या ज्ञात की जा सकती है।

5.प्राचलिक वक्रों की वक्रता त्रिज्या (Radius curvature for parametric curves)-

किसी समतल वक्र के संदर्भ में प्राचलिक वक्रों की वक्रता त्रिज्या (Radius curvature for parametric curves) ज्ञात करने के लिए सूत्र निम्न  प्रकार से स्थापित किया । प्राचलिक वक्रों की वक्रता त्रिज्या (Radius curvature for parametric curves) ज्ञात करने के लिए सूत्र में प्राचलिक वक्र के सूत्र के प्रथम व द्वितीय अवकलज निकाले तथा आगे  हल करेंगे ।

Radius curvature for parametric curves

उदाहरण-निम्न वक्रों के बिन्दु ‘t’ पर वक्रता त्रिज्या ज्ञात कीजिए-

इस उदाहरण मे प्राचालिक समीकरण के सूत्र द्वारा हम आसानी से हल ज्ञात कर सकते है 

Radius curvature for parametric curves

Radius curvature for parametric curves

Radius curvature for parametric curves

वक्रता त्रिज्या धनात्मक होती है अतः केवल संख्यात्मक मान ही लिया जाएगा 

इस प्रकार प्राचलिक वक्रों की वक्रता त्रिज्या ( Radius curvature for parametric curves) ज्ञात की जा सकती हैं।