Quotient Space of Vector Space
1.सदिश समष्टि की खण्ड समष्टि (Quotient Space of Vector Space),रैखिक बीजगणित में खण्ड समष्टि (Quotient Space in Linear Algebra):
सदिश समष्टि की खण्ड समष्टि (Quotient Space of Vector Space) के इस आर्टिकल का कुछ प्रारम्भिक भाग प्रमेय और सवाल इससे पूर्व आर्टिकल में पोस्ट कर चुके हैं।अतः इस आर्टिकल से पूर्व उस आर्टिकल को पढ़ना चाहिए।उस थ्योरी तथा उस पर आधारित सवालों को समझने पर यह आर्टिकल आसानी से समझ में आ जाएगा।
प्रमेय (Theorem):35.यदि W(F) परिमित विमीय सदिश समष्टि V(F) का उपसमष्टि है तो खण्ड समष्टि \left(\frac{V}{W}\right)(F) भी परिमित विमा का होता है तथा
विमा \left(\frac{v}{w}\right)=विमा V-विमा W
(If W(F) is a subspace of finite dimensional vector space V(F),then the quotient space \left(\frac{V}{W}\right)(F) is also finite dimensional and
dim \left(\frac{v}{w}\right)=dim V-dim W)
उपपत्ति (Proof):क्योंकि W(F) परिमित विमीय सदिश समष्टि V(F) का उपसमष्टि है तथा विमा W \leq विमा V।मान लो कि \left\{w_1, w_2, \ldots, w_n\right\} उपसमष्टि W(F) का आधार है परन्तु इस आधार का विस्तार सदिश \left\{v_1, v_2,\ldots \ldots,v_n\right\} को जोड़ करके V(F) के एक आधार
\left\{w, w_2, \ldots, w_n, v_1, v_2, v_3, \ldots, v_m\right\}
को प्राप्त कर सकते हैं जहाँ n+m=विमा V तथा n=विमा W है।
अब कोई भी सदिश v \in V का रूप इस प्रकार का है कि
v=\alpha_1 W_1+\alpha_2 W_2+\ldots+\alpha_m W_n+\beta_1 V_1+\beta_2 V_2+\ldots+\beta_m V_m जहाँ \alpha_i, \beta_i \in F
क्योंकि W(F),V(F) की उपसमष्टि है इसलिए
\alpha_1 w_1+\alpha_2 w_2+\ldots+\alpha_n w_n \in W \\ v-\left(B v_1+\beta_2 v_2+\ldots+\beta_m v_m\right) \in W
अब w+v=w+\alpha_1 w_1+\alpha_2 w_2 +\ldots+\alpha_n w_n+ \beta_1 v_1+\beta_2 v_2+\cdots+ \beta_m v_m \\ =w+\beta_1 v_1+\beta_2 v_2+\ldots+\beta_m v_m \\ =\left(w+\beta_1 v_1\right)+ \left(w+\beta_2 v_2\right)+\ldots+\left(w+\beta_m v_m\right) \\=\beta_1\left(w+v_1\right)+ \beta_2\left(w+ v_2\right)+\ldots+\beta_m\left(w+v_m\right)
अतः समुच्चय W+v, सहसमुच्चयों w+v_1,w+ v_2 ,\ldots,w+v_m का एकघात संचय है।
अब हमें यह दर्शाना है कि
w+v_1,w+ v_2 ,\ldots,w+v_m
एकघाततः स्वतन्त्र है।
मान लो \gamma_1\left(w+v_1\right)+\gamma_2\left(w+v_2\right)+\cdots+\gamma_m\left(w+u_m\right)=w
जहाँ W\left(\frac{v}{w}\right) का तत्समक अवयव
\Rightarrow \left(w +\gamma_1 v_1\right)+\left(w+\gamma_2 v_2\right)+\cdots+\left(w+ \gamma_m v_m\right)=w \\ \Rightarrow \gamma_1 v_1+\gamma_2 v_2+\cdots+\gamma_m v_m=w+0 \\ \Rightarrow \gamma_1 v_1+\gamma_2 v_2+\cdots+r_m v_m \in w \\ \Rightarrow \gamma_1 v_1+ \gamma_2 v_2+\cdots+\gamma_m v_m=\delta_1 w_1+\delta_2 w_2+\ldots+\delta_n w_n
(चूँकि W का प्रत्येक अवयव (सदिश) को इसके आधार के सदिशों को एकघात संचय में व्यक्त किया जा सकता है)
\Rightarrow \gamma_1 v_1+\gamma_2 v_2+\ldots+\gamma_m v_m-\delta_1 w_1-\delta_2 w_2-\ldots-\delta_n w_n=0 \\ \Rightarrow \gamma_1=\gamma_2=\gamma_3=\cdots=\gamma_m=\delta_1-\delta_2=\ldots=\delta_n=0
क्योंकि v_1, v_2, \ldots, v_m, w_1, w_2, \cdots W_n एकघाततः स्वतन्त्र है।
इस प्रकार w+v_1, w+v_2, \ldots, w+v_m एकघाततः स्वतन्त्र है।
इसलिए =w+v_1, w+v_2, \ldots, w+v_m खण्ड समष्टि का आधार है।
अतः विमा \left(\frac{v}{w}\right)=m=(m+n)-n
=विमा V-विमा W
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2.सदिश समष्टि की खण्ड समष्टि पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Quotient Space of Vector Space):
Example:4.सिद्ध कीजिए V_3(c) से V_3(c) में निम्न परिभाषित प्रतिचित्रण f,
f(a,b,c)=(a-b+2c,2a+b-c,-a-2b)
एक रैखिक रूपान्तरण है।f की शून्य समष्टि तथा शून्यता भी ज्ञात कीजिए।
(Prove that the mapping f defined from by V_3(c) to V_3(c) )
f(a,b,c)=(a-b+2c,2a+b-c,-a-2b)
is a linear transformation.Also find the null space and nullity of f.)
Solution:माना u=\left(a_{1}, b_{1}, c_1\right)
तथा v=\left(a_2, b_2,c_{2}\right)
समष्टि V_3(R) के कोई दो अवयव हैं तब \forall \alpha, \beta \in R के लिए
f(\alpha u+\beta v)=f\left[\alpha\left(a_1, b_1, c_1\right)+\beta\left(a_2, b_2, c_2\right)\right] \\ =f\left[\left(\alpha a_1, \alpha b_1, \alpha c_1\right)+\left(\beta a_2, \beta b_2, \beta c_2\right)\right] \\ =f(\alpha a_1+\beta a_2, \alpha b_1+\beta b_2, \alpha c_1+\beta c_2) \\ =(\alpha a_1+\beta a_2-\alpha b_1-\beta b_2+2 \alpha c_1+2 \beta c_2,2 \alpha a_1+2 \beta a_2-\alpha a_1+\beta c_2,-\alpha a_1-\beta a_2-2 \alpha b_1-2 \beta b_2) \\=(\alpha a_1-\alpha b_1+2 \alpha c_1+\beta a_2-\beta b_2+2 \beta c_2, 2 \alpha a_1-\alpha a_1+2 \beta a_2-\beta c_2,-\alpha a_1-2 \alpha b_1-\beta a_2-2 \beta b_2) \\ = \left(\alpha a_1-\alpha b_1+2 \alpha c_1, 2 \alpha a_1-\alpha c_1-\alpha a_1-2 \alpha b_1\right)+\left(\beta a_2-\beta b_2+2 \beta c_2, 2 \beta a_2-\beta c_2,+\beta a_2+\beta b_2\right) \\ =\alpha\left(a_1-b_1+2 c_1, 2 a_1-a_1-a_1-b_1\right)+\beta\left(a_2-b_2+2 c_2,2 a_2-c_2,-2 a_2-2 b_2\right) =\alpha f\left(a_1, b_1, c_1\right)+\beta\left(a_2, b_2, c_2\right) \\ =\alpha u+\beta v \\ \Rightarrow f(\alpha u+\beta v)=\alpha u+\beta v
f एक रैखिक रूपान्तरण है।
f(a, b, c)=(a-b+2 c, 2 a+b-c-a-2 b) \\ f e_1=f(1,0,0)=(1,2,-1) \text { put } a=1, b=c=0 \\ f e_1=f(0,1,0)=(-1,1-2) \text { Put } b=1, a=c=0 \\ f e_3=f(0,0,1)=(2,-1,0) \text { put } c=1, a=b=0
अब \alpha \in v_3(C)=x_1 e_1+x_2 e_2+x_3 e_3
A आधार समुच्चय है।
B \in C(f)=f(\alpha)=f\left(x_1 e_1+x_2 e_2+x_3 e_3\right) \\ =x_1 f\left(e_1\right)+x_2 f\left( e_2\right)+x_3 f\left(e_3\right) [f की रैखिकता से]
=x_1(1,2,-1)+x_2(-1,1,-2)+x_3(2,-1,0) \\ B \in(f) का एकघात संचय के तीन सदिश में व्यक्त किया जा सकता है \in v_3(c) \\ B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\-1 & 1 & -2 \\2 & -1 & 0\end{array}\right]
मैट्रिक्स को ईकोहेलन रूप (Echelon Form) में परिवर्तित करने पर
R_3 \rightarrow R_3+R_2, R_2 \rightarrow R_3+R_1 संक्रिया से
B \sim \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right] \\ x_1+2 x_2-x_3=0 \quad(1) \\ 3 x_2-3 x_3=0 \quad \ldots(2) \\ -2 x_3=0 \quad \ldots(3)
(1),(2) व (3) सेः
x_1=x_2=x_3=0
यहाँ मुक्त चरों की संख्या शून्य हैं।अतः
शून्यता f=0=N_f=0
शून्य समष्टि के लिए
f(\alpha)=x_1(1,2,-1)+x_2(-1,1,-2)+x_3(2,-1,0)=(0,0,0) \\ \Rightarrow x_1-x_2+2 x_3=0 \ldots(4) \\ 2 x_1+x_2-x_3=0 \cdots(5) \\ -x_1-2 x_2=0 \cdots(6)
(4),(5) व (6) को हल करने परः x_1=x_2=x_3=0
अतः f की शून्य समष्टि=(0,0,0)
Example:5.यदि रूपान्तरण T=R^3 \rightarrow R^3, इस प्रकार परिभाषित है कि
T(\alpha, \beta, \gamma)=(\alpha, \beta, 0) \forall \alpha, \beta, \gamma \in R
तो सिद्ध कीजिए T एक रैखिक रूपान्तरण है।T का परिसर तथा शून्य समष्टि ज्ञात कीजिए।
(If the transformation T=R^3 \rightarrow R^3, is defined by
T(\alpha, \beta, \gamma)=(\alpha, \beta, 0) \forall \alpha, \beta, \gamma \in R
Prove that T is linear.Find the range of null space of T.)
Solution:माना कि u=(\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}) तथा v=(\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}) समष्टि R^3 के कोई दो अवयव हैं तब a, b \in R के लिए
T(a u+b v)=T\left[a\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)+b\left(\alpha_2, \beta_2,\gamma_{2} \right)\right] \\ =T\left[\left(a \alpha_1, a \beta_1, a \gamma_1\right)+\left(b \alpha_2, b \beta_2, b \gamma_2 \right)\right] \\ =T\left(a \alpha_1+b \alpha_2, a \beta_1+b \beta_2, a \gamma_1+b \gamma_2\right) \\ =\left(a \alpha_1+b \alpha_2, a \beta_1+b \beta_2, 0\right) \\ =\left(a \alpha_1, a \beta_1, 0\right)+\left(b \alpha_2, b \beta_2, 0\right) \\ =a\left(\alpha_1, \beta_1, 0\right)+b\left(\alpha_2, \beta_2, 0\right) \\ =a T(u)+b T(v) \\ \Rightarrow T(a u+b U)=a T(u)+b T(v)
T रैखिक रूपान्तरण है।
T का परास (Range of T):
T का परिसर=\{(\alpha, \beta, 0) \alpha, \beta \in R\} \\ T(\alpha, \beta, \gamma)=(\alpha, \beta, 0) \\ Te_{1}= T(1,0,0)=(1,1,0) \text { Put } \alpha=1, \beta=\gamma=0 \\ Te_{2}=T(0,1,0)=(0,1,0) \quad \text{ put } \beta=1, \alpha=\gamma=0 \\ Te_{3}= T(0,0,1)=(0,0,0) \text { put } \gamma=1, \alpha=\beta=0
अब R^3=x_1 e_1+x_2 e_2+x_3 e_3
A आधार समुच्चय है।
b \in R(T)=T(\theta)=T\left(x_1 e_1+x_2 e_2+x_3 e_3\right) \\ =x_1 T\left(e_1\right)+x_2 T\left(e_2\right) +x_3 T\left(e_3\right) [f की रैखिकता से]
शून्य समष्टि के लिए
x_1 T(1,0,0)+x_3 T(0,1,0)+x_3 T(0,0,1)=(0,0,0) \\ \Rightarrow x_1(1,1,0)+x_2(0,1,0)+x_3(0,0,0)=(0,0,0) \\ =\left(x_1, x_1, 0\right)+\left(0, x_2, 0\right)+(0,0,0)=(0,0,0) \\ \Rightarrow \left(x_{1,}, x_1+x_2, 0\right)=(0,0,0) \\ \Rightarrow x_1=0, x_1+x_2=0 \Rightarrow x_1=x_2=0
अतः शून्य समष्टि=\{(0,0, \gamma) \mid \gamma \in R\}
Example:6.यदि f=R^3 \rightarrow R^3 निम्न रूप में परिभाषित है
f(1,0,0)=(1,2),f(0,1,0)=(1,-1) एवं f(0,0,1)=(1,1)
तब किसी स्वेच्छ सदिश \alpha=\left(x_1, x_2, x_1\right) \in v_3 के लिए f(\alpha) ज्ञात कीजिए।रूपान्तरण f का R_{f} ;f की शून्य समष्टि N_f, \rho एवं \gamma के मान ज्ञात कीजिए।
(If f=R^3 \rightarrow R^3 is defined as
f(1,0,0)=(1,2),f(0,1,0)=(1,-1) and f(0,0,1)=(1,1)
then for any arbitrary vector \alpha=\left(x_1, x_2, x_1\right) \in v_3 find f(\alpha).Find range R_{f} of f;Null space of \rho and \gamma of f.)
Solution:चूँकि
(1)\alpha=\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1(1,0,0)+x_2(0,1,0)+x_3(0,0,1)
अतः f(\alpha)=f\left\{x_1(1,0,0)+x_2(0,1,0)+(x_3(0,0,1)\right\} \\ = x_1 f(1,0,0)+x_2 f(0,1,0)+x_3 f(0,0,1) \\ =x_1(1,2)+x_2(1,-1)+x_3(1,1) \\ \Rightarrow f(\alpha)=\left(x_1+x_2+x_3, 2 x_1-x_3+x_3 \right)\cdots(1)
(2.)f का परिसर R_f :परिभाषानुसार
R_f=\left\{f(\alpha): \alpha \in R^{3}\} \right\}
चूँकि f(\alpha)=\left(x_1+x_2+x_3, 2 x_1-x_2+x_3\right)
तथा x_1+x_2+x_3 और 2 x_1-x_2+x_3
एकघाती स्वतन्त्र है इसलिए यह स्वरूपतः (1,0),(0,1) से जनित है अतः
R_f=R^2 \cdots(2)
(3.)f की शून्य समष्टि N_f :परिभाषानुसार
N_f=\left\{\alpha \in R^3: f(\alpha)=0\right\}
चूँकि f(\alpha)=\left(x_1+x_2+x_3, 2 x_1-x_2+x_3\right) अतः
x_1+x_2+x_3=0 \\ -2 x_1-x_2+x_3=0
इनको हल करने पर x_1=2c, x_2=c,x_{3}=-3 C जहाँ c स्वेच्छ है।
अतः \alpha=(2 c, c,-3 c) \subset N_{f}
अर्थात् N_f सदिश (2,1,-3) की एकघाती विस्तृति है तथा
N_f=\{(2 c, c,-3 c)\} जहाँ c कोई वास्तविक संख्या है।… (3)
(4.)f की कोटि \rho(f)
चूँकि की कोटि 2 होती है तथा R_{f}=R^{2} इसलिए \rho(f)=2 \cdots(4)
(5.)f की शून्यता \gamma(f)
चूँकि N_f=\{(2(g, c,-3 c) इसलिए
\gamma(f)=1 \cdots(5)
Example:7.माना कि V(R) वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र R पर 2×2 क्रम के मैट्रिक्स की सदिश समष्टि है तथा B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\0 & 3\end{array}\right) यदि पर निम्न प्रकार परिभाषित रैखिक रूपान्तरण है
f(A)=AB-BA
तो f की अष्टि की विमा ज्ञात कीजिए।
(Let V(R) be the vector space of all 2×2 matrices over the field R of real numbers and B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\0 & 3\end{array}\right) if is a linear transformation on defined by
f(A)=AB-BA
then find the dimension of the Kernel of f.)
Solution:परिभाषानुसार N_f=\{u \in V \mid f(u)=0 \in V\}
यदि u \in N_{f} तब f(u)=0
\Rightarrow \text { यदि } u=\left[\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right] \in M_f \text { तब } s\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]
अब f\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{ll} a & 2 a+3 b \\ c & 2 c+3 d \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc} a+2 c & b+2 d \\ 3 c & 3 d \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{cc} 2 c-2 c & 2 a+2 b-2 d \\ -2 c & 2 c \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right] \\ \Rightarrow c=0,2 a+2 b-2 d=0 \\ \Rightarrow c=0, a=d-b
अर्थात् a का मान b व d पर आश्रित है अतः b व d स्वतन्त्र चर राशियाँ है।
अब f की शून्यता =dim N_{f}=स्वतन्त्र चरों की संख्या=2
अतः f की अष्टि की विमा=2
3.सदिश समष्टि की खण्ड समष्टि पर आधारित सवाल (Questions Based on Quotient Space of Vector Space):
(1.)एक रैखिक रूपान्तरण T: R^3 \rightarrow R^2 निम्न द्वारा परिभाषित है
T(x,y,z)=(x+y, y+z)
आधार T की शून्य समष्टि और परास की विमा ज्ञात करो तथा प्रमेय सिद्ध करो
Rank T+Nullity T=dim V
(Let T: R^3 \rightarrow R^2 be a linear transformation defined by
T(x,y,z)=(x+y, y+z)
Find a basis,dimension of each of the range and null space of T and verify the theorem
Rank T+Nullity T=dim V
(2.)T: R^3 \rightarrow R^4 का रैखिक रूपान्तरण ज्ञात करो जिसके सदिश की परास की विस्तृति होता है
(1,2,0,-4),(2,0,-1,3)
(Find a linear transformation T: R^3 \rightarrow R^4 whose range is spanned by vectors
(1,2,0,-4),(2,0,-1,3).)
उत्तर (Answers):Rank T=2
dim(N_{T})=Nullity T=1
dim R^3=3
(2.)T(a,b,c)=(a+2b,2a-b,-4a-3b)
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4.सदिश समष्टि की खण्ड समष्टि (Frequently Asked Questions Related to Quotient Space of Vector Space),रैखिक बीजगणित में खण्ड समष्टि (Quotient Space in Linear Algebra) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.सिद्ध कीजिए की यदि f सदिश समष्टि U(f) से V(f) में रैखिक रूपान्तरण है तो f का परास V(f) की एक उपसमष्टि होती है। (Prove that if f is a linear transformation from a vector space U(F) to V(F) then the range f is a subspace of V(f))
उत्तर:प्रमेय (Theorem):36.
उपपत्ति (Proof):यदि R_f रैखिक रूपान्तरण f का परास है तो R_f={f(x): x \in v}
माना कि f(x) तथा f(y) परास R_f के दो स्वेच्छिक अवयव हैं;जिससे और इसलिए
\alpha+x+\beta \cdot y \in U \forall \cdot \alpha, \beta \in F
परन्तु f चूँकि रैखिक रूपान्तरण है
\alpha f(x)+\beta f(y)=f(\alpha \cdot x+\beta \cdot y) \in R_f
अतः f(x) \in R_f \text { तथा } f(y) \in R_f \Rightarrow \alpha \cdot f(x) +\beta \cdot f(y) \in R_f \forall \alpha, \beta \in F
इसलिए R_f सदिश समष्टि V की उपसमष्टि है।चूँकि यह एक उपसमष्टि है इसको परिसर समष्टि (range space) भी कहते हैं।
प्रश्न:2.सिल्वेस्टर के शून्यता का नियम क्या है? (What is Sylvester’s Law of Nullity?):
उत्तरःप्रमेय (Theorem):17.यदि U तथा V एक ही क्षेत्र F पर दो सदिश समष्टियाँ हैं तथा f: U \rightarrow V एक रैखिक रूपान्तरण है तथा U परिमित विमीय है तब कोटि (f)+शून्यता (f)=विमा U या जहाँ विमा U=n(U)
(If f is a linear transformation from a finite dimensional vector space U(F) to an arbitrary vector space V(F), over the same field F, then rank(f)+nullity (f)=dim (U) or where dim (U)=n(U))
उपपत्ति (Proof):चूँकि रैखिक रूपान्तरण f की शून्य समष्टि N_f सदिश समष्टि U की एक उपसमष्टि होती है और U का यहाँ परिमित विमीय है,इसलिए N_f भी परिमित विमीय की होगा।माना f की परिसर समष्टि R_f है।विचार करें कि R_f से खण्ड समष्टि (quotient space) \frac{U}{N_{f}} में एक रूपान्तरण \phi निम्न प्रकार से परिभाषित किय :
\phi :R_f \rightarrow \frac{U}{N_{f}} जहाँ विमा \phi \left\{ f(x) \right\}=N_f+x \forall x \in U
अब हम सिद्ध करेंगे कि R_f \simeq \frac{U}{N_{f}} अर्थात् एक तुल्यकारिता (isomorphism) है।
प्रथमतः को एक रैखिक सिद्ध करने के लिए माना f(x) तथा f(y) कोई दो स्वैच्छिक अवयव R_f में हैं जहाँ x, y \in U तथा कोई दो अदिश \alpha और \beta के लिए चूँकि f रैखिक है।
\phi [\alpha f(x)+\beta f(y)]=\phi[f(\alpha x+\beta y)] =f\left(\alpha x+\beta^2 y\right) \text { कि शून्यक्ता }(\alpha x+\beta y)
=\alpha N_f+\beta N_f+(\alpha x+\beta y) \\ =\alpha\left(N_f+x\right)+\beta \left(N_f+y\right)=\alpha \phi[f(n)+\beta f( y)]
अर्थात् \phi एक रैखिक रूपान्तरण है।
अब को एकैकी सिद्ध करने के लिए देखते हैं कि
\phi{f(x)}=\phi{f(y)} \Rightarrow N_f+x=N_f+y \ \Rightarrow x-y \in N_f \Rightarrow f(x-y)=0 \ \Rightarrow f(x)-f(y)=0 \Rightarrow f(x)=f(y)
अर्थात् \phi एकैकी रूपान्तरण है।
अब को आच्छादक सिद्ध करने के लिए देखते हैं कि किसी स्वैच्छिक अवयव N_f+x \in \frac{U}{N_f} एक f(x) \in R_{f} ऐसा विद्यमान है कि जहाँ \phi{f(n)}=N_f+x
अतः \frac{U}{N_f} के प्रत्येक अवयव का R_{f} में पूर्व प्रतिबिम्ब विद्यमान है इसलिए \phi आच्छादक है।
इस प्रकार \phi एक तुल्यकारिता है अतः R_f=\frac{U}{N_{f}}
इसलिए विमा \left(R_f\right)=विमा \left(\frac{U}{N_f}\right)=विमा U- विमा N_{f}
और विमा (R_{f}) +विमा (N_{f}) =विमा(U)
या कोटि (f)+शून्यता (f)=विमा (U)
या \rho(f)+\nu(f)=n(U)
प्रश्न:3.रैखिक रूपान्तरण की शून्यता से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Nullity of Linear Transformation?):
उत्तर:परिभाषा (Definition):यदि U तथा V एक ही क्षेत्र F पर दो सदिश समष्टियाँ हैं तथा f : u \rightarrow V एक रैखिक रूपान्तरण है तब f की शून्य समष्टि की विमा (dimension) को यदि वह परिमित है,रैखिक रूपान्तरण f की शून्यता कहते हैं तथा इसको सामान्यतः से दर्शाते है।अतः f की शून्यता=dim N_{f}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सदिश समष्टि की खण्ड समष्टि (Quotient Space of Vector Space),रैखिक बीजगणित में खण्ड समष्टि (Quotient Space in Linear Algebra) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
