1.चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation),चतुर्थक विचलन का गुणांक (Coefficient of Quartile Deviation):

तृतीय चतुर्थक तथा प्रथम चतुर्थक के अन्तर के आधे को चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation) या अर्द्ध अन्तर-चतुर्थक विस्तार (Semi Inter-Quartile Range) कहते हैं।चतुर्थक विचलन ज्ञात करने के लिए निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है:

Q.D.=$\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}$
Q.D. संकेत चतुर्थक-विचलन (Quartile Deviation) के लिए प्रयोग हुआ है।
$Q_{3}$ और $Q_{1}$  क्रमशः तृतीय व प्रथम चतुर्थक (Third and First Quartiles) के लिए प्रयोग हुए हैं।
चतुर्थक विचलन का गुणांक (Coefficient of Quartile Deviation):
चतुर्थक विचलन अपकिरण का निरपेक्ष माप है।विभिन्न श्रेणियों के चतुर्थक विचलन की तुलना करने के लिए इसका सापेक्ष माप निकाला जाता है।यह सापेक्ष माप चतुर्थक विचलन गुणांक कहलाता है।इसे ज्ञात करने के लिए चतुर्थक विचलन के निरपेक्ष माप के दोनों चतुर्थकों के माध्य से भाग दे दिया जाता है।इसका सूत्र निम्न प्रकार है:
चतुर्थक विचलन गुणांक (Coefficient of Quartile Deviation)=$\frac{\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}}{\frac{Q_{3}+Q_{1}}{2}}=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}$
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2.चतुर्थक विचलन के साधित उदाहरण (Quartile Deviation Solved Examples):

Example:1.निम्न समंकों से चतुर्थक विचलन एवं उसके गुणक की गणना कीजिए:
(Calculate Q.D. and its coefficient from the following data):

Months	Expenses(Rs.)
1	50
2	51
3	52
4	53
5	54
6	55
7	56
8	57
9	58
10	59
11	60

Solution:चतुर्थक विचलन की गणना सारणी (Calculation of Quartile Deviation Table):

Months	Expenses(Rs.)
1	50
2	51
3	52
4	53
5	54
6	55
7	56
8	57
9	58
10	59
11	60

$Q_{1}$=size of  $\frac{N+1}{4}$ th item
$Q_{1}$=size of  $\frac{11+1}{4}$ th item
$Q_{1}$=size of  $\frac{12}{4}$ th item
$Q_{1}$=size of  3rd item=52 Rs.

$Q_{3}$=size of  $\frac{3(N+1)}{4}$ th item
$Q_{3}$=size of  $\frac{3(11+1)}{4}$ th item
$Q_{3}$=size of  9 th item
$Q_{3}$=58 Rs.

Q.D.=$\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}=\frac{58-52}{2}=\frac{6}{2}=3$ Rs

Cofficient Of Q. D.=$\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}\\= \frac{58-52}{58+52}=\frac{6}{110}$

$\Rightarrow$ Cofficient Of Q. D.=0.0545

$\Rightarrow$ Cofficient Of Q. D.$\approx$ 0.055

Example:2.निम्न समंकों के आधार पर अपकिरण के चतुर्थक माप की सहायता से दोनों श्रेणियों की तुलना कीजिए:
(Compute the following two series in respect of their dispersion by Quartile measure):

Height in(inches)	Weight in(lbs)
58	117
56	112
62	127
61	123
63	125
64	130
65	106
59	119
62	121
65	132
55	108

Solution:दोनों श्रेणियों को आरोही क्रम में रखने पर:
चतुर्थक विचलन की गणना सारणी (Calculation of Quartile Deviation Table):

S.No.	Height in(inches)	Weight in(lbs)
1	55	106
2	56	108
3	58	112
4	59	117
5	61	119
6	62	121
7	62	123
8	63	125
9	64	127
10	65	130
11	65	132

श्रेणी I

$Q_{1}$=size of  $\frac{N+1}{4}$ th item
$Q_{1}$=size of  $\frac{11+1}{4}$ th item
$Q_{1}$=size of  $\frac{12}{4}$ th item
$Q_{1}$=size of  3rd item=58 Rs.
$Q_{3}$=size of  $\frac{3(N+1)}{4}$ th item
$Q_{3}$=size of  $\frac{3(11+1)}{4}$ th item
$Q_{3}$=size of  9 th item
$Q_{3}$=64 Rs.

Cofficient Of Q. D.=$\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}\\= \frac{64-58}{64+58}=\frac{6}{122}$
$\Rightarrow$ Cofficient Of Q. D.=0.04918
$\Rightarrow$ Cofficient Of Q. D. $\approx$ 0.0492

श्रेणी II

$Q_{1}$=size of  3rd item=112 Rs.
$Q_{3}$=size of  9 th item=127 Rs.

Cofficient Of Q. D.=$\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}\\= \frac{127-112}{127+112}=\frac{15}{239}$
$\Rightarrow$ Cofficient Of Q. D.=0.06276
$\Rightarrow$ Cofficient Of Q. D. $\approx$ 0.0628

Example:3.निम्न समंकों से चतुर्थक विचलन (Q.D.) तथा उसके गुणक (coefficient) की गणना कीजिए:
(Calculate Quartile Deviation and its coefficient of Dispersion from the following data):

Age in Yrs	Married Females
5-14	61
15-24	240
25-34	237
35-44	153
45-54	83
55-64	33
65-74	11
75 & Over	4

Solution:चतुर्थक विचलन की गणना सारणी (Calculation of Quartile Deviation Table):

Age in Yrs	Married Females	cf
4.5-14.5	61	61
14.5-24.5	240	301
24.5-34.5	237	538
34.5-44.5	153	691
44.5-54.5	83	774
54.5-64.5	33	807
64.5-74.5	11	818
74.5-84.5	4	822
Total	822

$q_{1}$=size of  $\frac{N}{4}$ th item
= $\frac{822}{4}$ th item
$\Rightarrow q_{1}$=205.5

यह मद 14.5-24.5 वर्गान्तर में है अतः

$Q_{1}=i+\frac{i}{f}\left(q_{1}-c\right)\\ =14.5+\frac{120}{240}(205-61)\\ =14.5+\frac{10 \times 144}{240}\\ =14.5+6\\ \Rightarrow Q_{1}=20.5$

$q_{3}$=size of  $\frac{3N}{4}$ th item
= $\frac{3 \times 822}{4}$ th item
$\Rightarrow q_{3}$=616.5
यह मद 34.5-44.5 वर्गान्तर में है अतः

$Q_{3} =l+\frac{i}{f}\left(q_{3}-C\right) \\ =34.5+\frac{10}{153}(616.5-538) \\=34.5+\frac{10}{153} \times(78.5) \\ =34.5+\frac{785}{153} \\=34.5+5.131 \\ \Rightarrow Q_{3} =39.631$

Q.D =$\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2} \\ =\frac{39.631-20.5}{2} \\ \Rightarrow$ Q . D=9.5655

C. of Q.D=$\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}$

C. of Q.D=$\frac{39.631-205}{39.631+205} \\ =\frac{19.131}{60.131} \\ \Rightarrow$ C. of Q.D=0.318

$\Rightarrow$ C. of Q.D $\approx$ 0.32

Example:4.निम्न सारणी में प्रस्तुत समंकों से अपकिरण के चतुर्थक माप एवं उसके गुणक का परिकलन कीजिए:
(Calculate Quartile measure and its coefficient of dispersion from the data given in the following table):

Heights In Inches	No. of Students
150	15
151	20
152	32
153	35
154	33
155	22
156	20
157	12
158	10

Solution:चतुर्थक विचलन की गणना सारणी (Calculation of Quartile Deviation Table):

Size in(inches)	No. of Students	cf
150	15	15
151	20	35
152	32	67
153	35	102
154	33	135
155	22	157
156	20	177
157	12	189
158	10	199
Total	199

$Q_{1}$=size of  $\frac{N+1}{4}$ th item
$Q_{1}$=size of  $\frac{199+1}{4}$ th item
$Q_{1}$=size of  $\frac{200}{4}$ th item
$Q_{1}$=size of  50 th item=152″
$Q_{3}$=size of  $\frac{3(N+1)}{4}$ th item
$Q_{3}$=size of  $\frac{3(199+1)}{4}$ th item
$Q_{3}$=size of  150 th item
$Q_{3}$=155″

Cofficient Of Q. D.=$\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}\\= \frac{155-152}{155+152}=\frac{3}{307}$
$\Rightarrow$ Cofficient Of Q. D.=0.00977
$\Rightarrow$ Cofficient Of Q. D. $\approx$ 0.0098

Example:5.निम्न सारणी में प्रस्तुत समंक बक्सों के भार (वजन) से सम्बन्धित हैं,चतुर्थक विचलन गुणक का परिकलन कीजिए:
(The following table gives the weight of boxes,calculate coefficient of Quartile Deviation):

Kilogram	No. of Boxes
10-12	2
-14	9
-16	20
-18	25
-20	24
-22	15
-24	5

Solution:चतुर्थक विचलन की गणना सारणी (Calculation of Quartile Deviation Table):

Kilogram	No. of Boxes	cf
10-12	2	2
12-14	9	11
14-16	20	31
16-18	25	56
18-20	24	80
20-22	15	95
22-24	5	100
	100

$q_{1}$=size of  $\frac{N}{4}$ th item
= $\frac{100}{4}$ th item
$\Rightarrow q_{1}$=25

यह मद 14-16 वर्गान्तर में है अतः

$Q_{1} =l+\frac{i}{f}\left(q_{1}-c\right) \\=14+\frac{2}{20}(25-11) \\=14+\frac{1}{10} \times 14 \\=14+1 \cdot 4 \\ \Rightarrow Q_{1} =15.4$

$q_{3}$=size of  $\frac{3N}{4}$ th item
=$\frac{3 \times 100}{4}$ th item
$\Rightarrow q_{3}$=75
यह मद 18-20 वर्गान्तर में हैं अतः

$Q_{3}=l+\frac{i}{f}\left(q_{3}-C\right) \\ Q_{3} =18+\frac{2}{24}(75-56) \\ =18+\frac{1}{12} \times 19 \\ \Rightarrow Q_{3} =18+1.583 \\ \Rightarrow Q_{3}=19.583$

C of Q.D.=$\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}} \\ =\frac{19.583-15.4}{19.583+15.4} \\ =\frac{4.183}{34.983} \\ =0.1195$

$\Rightarrow$ C of Q.D.=0.12
Example:6.निम्नलिखित समंकों से अपकिरण के उपयुक्त माप की परिगणना कीजिए:
(Find the appropriate measure of dispersion from the following data):

Age (Years)	No. of Employees
Below 20	13
20-25	29
25-30	46
30-35	60
35-40	112
40-45	94
45-50	45
50 & above	21

Solution:चतुर्थक विचलन की गणना सारणी (Calculation of Quartile Deviation Table):

Age (Years)	No. of Employees	cf
15-20	13	13
20-25	29	42
25-30	46	88
30-35	60	148
35-40	112	260
40-45	94	354
45-50	45	399
50-55	21	420
Total	420

$q_{1}$=size of  $\frac{N}{4}$ th item
= $\frac{420}{4}$ th item
$\Rightarrow q_{1}$=105

यह मद 30-35 वर्गान्तर में है अतः

$Q_{1} =l+\frac{i}{f}\left(q_{1}-c\right) \\=30+\frac{5}{60}(105-88) \\=30+\frac{1}{12} \times 17 \\=30+1.416 \\\Rightarrow Q_{1} =31.416 \\ Q_{1} \approx 31.42$

$q_{3}$=size of  $\frac{3N}{4}$ th item
= $\frac{3 \times 420}{4}$ th item
$\Rightarrow q_{3}$=315
यह मद 40-45 वर्गान्तर में है अतः

$Q_{3} =l+\frac{i}{f}\left(q_{3}-c\right) \\=40+\frac{5}{94}(315-260) \\=40+\frac{5 \times 55}{94} \\=40+2.925 \\=42.925 \\ \Rightarrow Q_{3} \approx 42.93$

C. of Q.D =$\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}} \\=\frac{42.93-31.42}{42.93+31.42} \\=\frac{11.51}{74.35} \\=0.1548$

$\Rightarrow$ C. of Q .D. $\approx$ 0.155
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation),चतुर्थक विचलन का गुणांक (Coefficient of Quartile Deviation) को समझ सकते हैं।

3.चतुर्थक विचलन के सवाल (Quartile Deviation Questions):

(1.)निम्न समंकों के आधार पर चतुर्थक विचलन एवं उसका गुणक ज्ञात कीजिए:
(From the following data find Quartile Deviation and its coefficient):

Months	Income
1	39
2	40
3	40
4	41
5	41
6	42
7	42
8	43
9	43
10	44
11	44
12	45

(2.)निम्नलिखित समंकों से अर्द्ध-अन्तर चतुर्थक विस्तार एवं उसका गुणक ज्ञात कीजिए:
(Compute semi-Inter-Quartile Range and its coefficient):

Central	Frequency
1	2
2	9
3	11
4	14
5	20
6	24
7	20
8	16
9	5
10	2

उत्तर (Answers):(1.) $Q_{1}$=Rs. 40.25, $Q_{3}$=Rs. 175, C. of Q.D.=0.042

(2)$Q_{1}$=4.125, $Q_{3}$=7.113, C. of Q.D.=0.27 
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation),चतुर्थक विचलन का गुणांक (Coefficient of Quartile Deviation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation),चतुर्थक विचलन का गुणांक (Coefficient of Quartile Deviation) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

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