1.समाकल समीकरणों में क्षेत्रकलन विधि (Quadrature Method in Integral Equation),ध्रुवीय समीकरणों वाले वक्रों तथा ध्रुवान्तर रेखाओं से परिबद्ध क्षेत्रफल (Area Bounded by Curves in Polar Equations and Radii Vectors):

• समाकल समीकरणों में क्षेत्रकलन विधि (Quadrature Method in Integral Equation) के इस आर्टिकल में ध्रुवीय समीकरणों वाले वक्रों तथा ध्रुवान्तर रेखाओं से परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
  ध्रुवीय समीकरणों वाले वक्रों तथा ध्रुवान्तर रेखाओं से परिबद्ध क्षेत्रफल (Area Bounded by Curves in Polar Equations and Radii Vectors):

• वक्र r=f\left({\theta}\right) और ध्रुवान्तर रेखाओं (radii vectors) \theta{}=\alpha{} एवं {\theta}={\beta} द्वारा घिरे हुए सेक्टर (Sector) का क्षेत्रफल \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}{d\theta} अथवा \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\left[f\left({\theta}\right)\right]^{2}{d\theta} होता है।
  मानलो AB वक्र r=f\left({\theta}\right) है साथ ही OA तथा OB क्रमशः ध्रुवान्तर रेखाएँ \theta{}=\alpha{} तथा
• {\theta}={\beta} है।
• यहाँ हमें क्षेत्रफल OAB ज्ञात करना है।
• अब वक्र पर कोई बिन्दु P\left(r,{\theta}\right) लो।मानलो वक्र पर एक दूसरा बिन्दु {\theta} है जो कि P के बहुत समीप है और जिसके निर्देशांक \left(r+{\delta}r,{\theta}+\delta{\theta}\right) है।
  ध्रुव O को केन्द्र मानकर एवं OP तथा OQ को त्रिज्याएँ (radii) लेकर क्रमशः वृत्तीय चाप (circular arcs) PR तथा QS खींचों जो OQ तथा OP बढ़ी हुई को क्रमशः R तथा S पर मिलते हैं।
  \text{ PR }=r\delta{\theta} और \text{ QS }=\left(r+\delta{r}\right)\delta{\theta}
  अब वृत्तीय सेक्टर क्षेत्रफल OPR=\frac{1}{2}r.r\delta{\theta}=\frac{1}{2}r^{2}\delta{\theta} तथा वृत्तीय सेक्टर क्षेत्रफल OSQ=\frac{1}{2}\left(r+\delta{r}\right).\left(r+\delta{r}\right)\delta{\theta}=\frac{1}{2}\left(r+\delta{r}\right)^{2}\delta{\theta}
  मानलो A तथा A+\delta{A} क्रमशः क्षेत्रफलों OAP तथा OAQ को प्रदर्शित करते हैं तो:
  \delta{A}=क्षेत्रफल OAQ-क्षेत्रफल OAP
  =क्षेत्रफल OPQ
  परन्तु चित्र से स्पष्ट है कि क्षेत्रफल OPQ परिणाम में क्षेत्रफलों OPR तथा OSQ के बीच स्थित है अर्थात्
  क्षेत्रफल OPR<क्षेत्रफल OPQ<क्षेत्रफल OSQ
• \frac{1}{2}r^{2}\delta{\theta}<\delta{A}<\frac{1}{2}\left(r+\delta{r}\right)^{2}\delta{\theta}
• या \frac{1}{2}r^{2}<\frac{\delta{A}}{\delta{\theta}}<\frac{1}{2}\left(r+\delta{r}\right)^{2}
• सीमा में जब P\rightarrow{Q} तब \delta{\theta}\rightarrow{0} एवं \delta{r}\rightarrow{0} अतः (1) की सीमा लेने पर:
• \lim_{\delta{\theta}\rightarrow{0}}\frac{1}{2}r^{2}<\lim_{\delta{\theta}\rightarrow{0}}\frac{\delta{A}}{\delta{\theta}}<\lim_{\delta{\theta}\rightarrow{0}}\frac{1}{2}\left(r+\delta{r}\right)^{2} \Rightarrow{\frac{1}{2}}r^{2}<\frac{\text{dA}}{\delta{\theta}}<\frac{1}{2}r^{2}
• अर्थात् \frac{\text{dA}}{\delta{\theta}}=\frac{1}{2}r^{2}=\frac{1}{2}\left[f\left({\theta}\right)\right]^{2} …(2)
• अब दोनों पक्षों का {\theta} के सापेक्ष {\theta}={\alpha} तथा {\theta}={\beta} सीमाओं के बीच समाकलन करने पर:
• \int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2}r^{2}{d\theta}=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{\text{dA}}{d\theta}=\int_{\alpha}^{\beta}dA=\left[A\right]_{\alpha}^{\beta}
• =[A का मान जब {\theta}={\beta}]-[A का मान जब {\theta}={\alpha}]
• =सेक्टर OAB का क्षेत्रफल-0
• सेक्टर AOB का क्षेत्रफल
• अतः अभीष्ट क्षेत्रफल OAB=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}{d\theta}
• द्वि-समाकलन द्वारा ध्रुवीय वक्रों से परिबद्ध क्षेत्रफल (Area Bounded by the Polar Curves Using Double Integration): यदि ध्रुवीय निर्देशांकों में वक्र r=f_{1}\left({\theta}\right),r=f_{2}\left({\theta}\right),{\theta}={\alpha}\text{ तथा }{\theta}={\beta} से घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल द्वि-समाकलन के रूप में निम्न प्रकार लिखते हैं:
• A={\int}\int_{A}dA=\int_{\alpha}^{\beta}\int_{f_{1}\left({\theta}\right)}^{f_{2}\left({\theta}\right)}r{d\theta}dr
• जहाँ r\delta{\theta}\delta{r} प्रारम्भिक (Elementary) अवयव का क्षेत्रफल
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2.समाकल समीकरणों में क्षेत्रकलन विधि पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Quadrature Method in Integral Equation):

Example:1.निम्नलिखित वक्रों एवं दी हुई ध्रुवान्तर रेखाओं के मध्यस्थ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: (Find the area between the following curve and radii vectors):

(a):r=ae^{m\theta};{\theta}={\alpha},{\theta}={\beta}

Solution:r=ae^{m\theta};{\theta}={\alpha},{\theta}={\beta}

अभीष्ट क्षेत्रफल=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}{d\theta}

=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}a^{2}e^{2m\theta}{d\theta}

=\frac{a^{2}}{4m}\left[e^{2m\theta}\right]_{\alpha}^{\beta}

=\frac{a^{2}}{4m}\left(e^{2m\beta}-e^{2m\alpha}\right)

(b):{l}{r}=1+\cos{\theta};{\theta}=0,{\theta}={\alpha}

Solution:{l}{r}=1+\cos{\theta};{\theta}=0,{\theta}={\alpha}

अभीष्ट क्षेत्रफल=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}{d\theta}

=\frac{1}{2}\int_{0}^{\alpha}\left(\frac{l}{1+\cos{\theta}}\right)^{2}

=\frac{l^{2}}{2}\int_{0}^{\alpha}\left(\frac{1}{2\cos^{2}\frac{\theta}{2}}\right)^{2} =\frac{l^{2}}{8}\int_{0}^{\alpha}\sec^{4}\frac{\theta}{2}{d\theta}

=\frac{l^{2}}{8}\int_{0}^{\alpha}\left(1+\tan^{2}\frac{\theta}{2}\right)\sec^{2}\frac{\theta}{2}{d\theta}

\text{ Put }\tan{\frac{\theta}{2}}=t\\

\Rightarrow{\sec^{2}\frac{\theta}{2}}=2dt\\

\text{ जब }{\theta}=0\text{ तो }t=0\\

\text{ जब }{\theta}={\alpha}\text{ तो }t=\tan{\frac{\alpha}{2}}

=\frac{l^{2}}{4}\int_{0}^{\tan{\frac{\alpha}{2}}}\left(1+t^{2}\right)dt =

\frac{l^{2}}{4}\left[t+\frac{1}{3}t^{3}\right]_{0}^{\tan{\frac{\alpha}{2}}}

=\frac{l^{2}}{4}\left[\tan{\frac{\alpha}{2}}+\frac{1}{3}\tan^{3}\frac{\alpha}{2}\right]\\ Example:2.निम्नलिखित वक्रों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: (Find the area of the following curves):

(a):r=a\left(1-\cos{\theta}\right) [cardioid]

Solution:r=a\left(1-\cos{\theta}\right) [cardioid]

अभीष्ट क्षेत्रफल=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}{d\theta}

=\int_{0}^{\pi}\left(1-\cos{\theta}\right)^{2}{d\theta}

=a^{2}\int_{0}^{\pi}\left(2\sin^{2}\frac{\theta}{2}\right)^{2}{d\theta} =4a^{2}\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\frac{\theta}{2}{d\theta}

\text{ Put }\frac{\theta}{2}={\phi}\\

\text{ जब }{\theta}=0\text{ तो }{\phi}=0\\

\text{ जब }{\theta}={\pi}\text{ तो }{\phi}=\frac{\pi}{2}

=8a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{4}{\phi}{d\phi} =8a^{2}\frac{\Gamma{\left(\frac{4+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{1}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{4+0+2}{2}\right)}}

=4a^{2}\frac{\frac{3}{2}.\frac{1}{2}\sqrt{\pi}.\sqrt{\pi}}{2}

=\frac{3}{2}{\pi}a^{2}

(b):r=a+b\cos{\theta} a>b [limacon]

Solution:r=a+b\cos{\theta}
अभीष्ट क्षेत्रफल=2×\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}{d\theta}
=\int_{0}^{\pi}\left(a+b\cos{\theta}\right)^{2}{d\theta}
=\int_{0}^{\pi}\left(a^{2}+2ab\cos{\theta}+b^{2}\cos^{2}{\theta}\right){d\theta}
=\int_{0}^{\pi}a^{2}{d\theta}+\int_{0}^{\pi}2ab\cos{\theta}{d\theta}+\int_{0}^{\pi}b^{2}\cos^{2}{\theta}{d\theta}
=a^{2}\left[{\theta}\right]{0}^{\pi}+2ab\left[\sin{\theta}\right]_{0}^{\pi}+2b^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}{d\theta}

={\pi}a^{2}+2b^{2}\frac{\Gamma{\left(\frac{2+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{1}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{2+0+2}{2}\right)}}
={\pi}a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}
={\pi}a^{2}+\frac{1}{2}{\pi}b^{2}
={\pi}\left(a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}\right)
(c):r^{2}=a^{2}\cos^{2}{\theta}+b^{2}\sin^{2}{\theta}
Solution:r^{2}=a^{2}\cos^{2}{\theta}+b^{2}\sin^{2}{\theta}
अभीष्ट क्षेत्रफल=4×\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}{d\theta}
=2\int_{{\theta}=0}^{\frac{\pi}{2}}\left(a^{2}\cos^{2}{\theta}+b^{2}\sin^{2}\right){\theta}
=2a^{2}\int_{{\theta}=0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}{\theta}{\theta}{d\theta}+\int_{{\theta}=0}^{\frac{\pi}{2}}b^{2}\sin^{2}{\theta}{d\theta}
=2a^{2}\frac{\Gamma{\left(\frac{2+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{1}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{2+0+2}{2}\right)}}+2b^{2}\frac{\Gamma{\left(\frac{2+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{1}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{2+0+2}{2}\right)}}
=a^{2}\frac{1}{2}\sqrt{\pi}.\sqrt{\pi}+b^{2}\frac{1}{2}\sqrt{\pi}.\sqrt{\pi}
=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}\right){\pi}
Example:3.निम्नलिखित वक्रों का सम्पूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(Find the whole area of the following curves):
(a):r^{2}=a^{2}\sin{2\theta}

Solution:r^{2}=a^{2}\sin{2\theta}
r=0 से \sin{2\theta}=0
\Rightarrow{2\theta}=0,{\pi}
\Rightarrow{\theta}=0,\frac{\pi}{2}
लूप का अभीष्ट क्षेत्रफल=\frac{1}{2}2×\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}{d\theta}
=a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{2\theta}{d\theta}
=a^{2}\left[-\frac{\cos{2\theta}}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}

=\frac{a^{2}}{2}\left[-\cos{\pi}+\cos{0}\right]

=\frac{a^{2}}{2}\left(1+1\right)

=a^{2}

(b):r=a\sin{2\theta}

Solution:r=a\sin{2\theta} r=0 से \sin{2\theta}=0

\Rightarrow{2\theta}=0,{\pi}

\Rightarrow{\theta}=0,\frac{\pi}{2}

अभीष्ट क्षेत्रफल=4×\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}{d\theta}

=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a^{2}\sin^{2}{2\theta}{d\theta}
=2a^{2}\frac{\Gamma{\left(\frac{2+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{1}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{2+0+2}{2}\right)}}
=a^{2}\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}
=\frac{1}{2}{\pi}a^{2}
(c):r=a\cos{2\theta}

Solution:r=a\cos{2\theta}
r=0 से \cos{2\theta}=0
\Rightarrow{2\theta}=\frac{\pi}{2}
\Rightarrow{\theta}=\pm{\frac{\pi}{4}}
अभीष्ट क्षेत्रफल=4 ×\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}{d\theta}
=4 ×\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}a^{2}\cos^{2}{2\theta}{d\theta}
\text{ Put }{2\theta}={\phi}
\Rightarrow{2d\theta}={d\phi}
\text{ जब }{\theta}=0{ तो }{\phi}=0
\text{ जब }{\theta}=\frac{\pi}{4}{ तो }{\phi}=\frac{\pi}{2}
=2a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}{\phi}{d\phi}
=2a^{2}\frac{\Gamma{\left(\frac{2+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{1}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{2+0+2}{2}\right)}}
=a^{2}\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}
=\frac{1}{2}{\pi}a^{2}
Example:4.निम्नलिखित वक्रों के एक लूप का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(Find the area of a loop of the following curves):
(a):r=a\cos{3\theta}+b\sin{3\theta}
Solution:r=a\cos{3\theta}+b\sin{3\theta} …(1)
\text{माना }a=k\cos{\alpha}\text{ तथा }b=k\sin{\alpha}
k=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\text{ तथा }{\alpha}=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
उपर्युक्त मान (1) में रखने पर:
r=k\cos{\alpha}\cos{3\theta}+k\sin{\alpha}\sin{3\theta}
=k\cos{\left({3\theta}-{\alpha}\right)}
अब इस लूप का अभीष्ट क्षेत्रफल=2×\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}{d\theta}
=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(a^{2}+b^{2}\right)\cos^{2}\left({3\theta}-{\alpha}\right){d\theta}
=\left(a^{2}+b^{2}\right)\frac{\Gamma{\left(\frac{2+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{1}{2}\right)}}{3.2\Gamma{\left(\frac{2+0+2}{2}\right)}}
=\frac{1}{6}\left(a^{2}+b^{2}\right)\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}
=\frac{1}{12}\left(a^{2}+b^{2}\right){\pi}
(b):r=\sqrt{3}\cos{3\theta}+\sin{3\theta}

Solution:r=\sqrt{3}\cos{3\theta}+\sin{3\theta} …(1)
\text{माना }\sqrt{3}=k\cos{\alpha},1=k\cos{\alpha}
k^{2}\cos^{2}{\alpha}+k^{2}\sin{\alpha}=\left(\sqrt{3}\right)^{2}+\left(1\right)^{2}
\Rightarrow{k^{2}}=3+1
\Rightarrow{k}=\sqrt{4}
\Rightarrow{k}=2
{\alpha}=\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}
{\alpha}=30°=\frac{\pi}{6}
उपर्युक्त मान (1) में रखने पर:
r=k\cos{\alpha}\cos{3\theta}+k\sin{\alpha}\sin{3\theta}
=k\cos{\left({3\theta}-{\alpha}\right)}
=2\cos{\left({3\theta}-\frac{\pi}{6}\right)}
=2\cos{3\left({\theta}-\frac{\pi}{18}\right)}
अभीष्ट क्षेत्रफल=2×\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}{d\theta}
=4\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos^{2}{3\phi}\text{माना }{\theta}-\frac{\pi}{18}={\phi}
\text{माना }{3\phi}=t
\Rightarrow{3d\phi}=dt
\text{जब }{\phi}=0 \text{ तो }t=0
\text{जब }{\phi}=\frac{\pi}{6} \text{ तो }t=\frac{\pi}{2}
=\frac{4}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}{t}dt
=\frac{4}{3}\frac{\Gamma{\left(\frac{2+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{1}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{2+0+2}{2}\right)}}
=\frac{2}{3}\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}
=\frac{\pi}{3}
(c):r=a{\theta}\cos{\theta} {\theta}=0\text{ से }\frac{\pi}{2}\text{ तक}
Solution:r=a{\theta}\cos{\theta} {\theta}=0\text{ से }\frac{\pi}{2}\text{ तक}
अभीष्ट क्षेत्रफल=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}{d\theta}
=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a^{2}{\theta}^{2}\cos^{2}{\theta}{d\theta}
=\frac{1}{2}a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\theta}^{2}\left(\frac{1+\cos{2\theta}}{2}\right){d\theta}
=\frac{1}{4}a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\theta}^{2}{d\theta}+\frac{a^{2}}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\theta}^{2}\cos{2\theta}{d\theta}
=\frac{a^{2}}{12}\left[{\theta}^{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{a^{2}}{4}\left[\frac{{\theta}^{2}}{2}\sin{2\theta}+\frac{\theta}{2}\cos{2\theta}-\frac{\sin{2\theta}}{4}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}

=\frac{{\pi}^{3}a^{2}}{96}+\frac{a^{2}}{2}\left(\frac{\pi}{4}\left(-1\right)\right)
=\frac{{\pi}^{3}a^{2}}{96}-\frac{{\pi}a^{2}}{16}
=\frac{{\pi}a^{2}}{96}\left({\pi}^{2}-6\right)
Example:5.निम्नलिखित वक्रों के एक लूप का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(Find the area of a loop of the following curves):
(a):x^{4}+y^{4}=4a^{2}xy
Solution:x^{4}+y^{4}=4a^{2}xy
ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करने पर:
\text{Put }x=r\cos{\theta},y=r\sin{\theta}
r^{4}\cos^{4}{\theta}+r^{4}\sin^{4}{\theta}=4a^{2}r^{2}\sin{\theta}\cos{\theta}
\Rightarrow{r^{2}}=\frac{4a^{2}\sin{\theta}\cos{\theta}}{\cos^{4}{\theta}+\sin^{4}{\theta}}
अंश व हर को \cos^{4}{\theta} से भाग देने पर:
\Rightarrow{r^{2}}=\frac{4a^{2}\tan{\theta}\sec^{3}{\theta}}{1+\tan^{4}{\theta}}
अभीष्ट क्षेत्रफल=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}{d\theta}
=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{4a^{2}\tan{\theta}\sec^{3}{\theta}}{1+\tan^{4}{\theta}}{d\theta}
=2a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan{\theta}\sec^{3}{\theta}}{1+\tan^{4}{\theta}}{d\theta}
\text{Put }\tan^{2}{\theta}=t
\Rightarrow{2\tan{\theta}\sec^{2}{\theta}{d\theta}}=dt
\text{ जब }{\theta}=0\text{ तो }t=0
\text{ जब }{\theta}=\frac{\pi}{2}\text{ तो }t=\infin{}
=a^{2}\int_{0}^{\infin}\frac{dt}{1+t^{2}}
=a^{2}\left[\tan^{-1}{t}\right]_{0}^{\infin}

=a^{2}\left(\tan^{-1}{\infin}-\tan^{-1}{0}\right)

=\frac{1}{2}{\pi}a^{2}

(b):x^{5}+y^{5}=5ax^{2}y^{2}

Solution:x^{5}+y^{5}=5ax^{2}y^{2}

ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करने पर:

\text{Put }x=r\cos{\theta},y=r\sin{\theta}\\

r^{5}\cos^{5}{\theta}+r^{5}\sin^{5}{\theta}=5ar^{2}\sin^{2}{\theta}r^{2}\cos^{2}0{\theta}

\Rightarrow{r^{5}}\left(\cos^{5}{\theta}+\sin^{5}{\theta}\right)=5ar^{4}\cos^{2}{\theta}\sin^{2}{\theta}

\Rightarrow{r}=\frac{5a\sin^{2}{\theta}\cos^{2}{\theta}}{\cos^{5}{\theta}+\sin^{5}{\theta}}

r=0 रखने पर:

\sin^{2}{\theta}=0,\cos^{2}{\theta}=0 {\theta}=0,\frac{\pi}{2}

अभीष्ट क्षेत्रफल=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}{d\theta}

=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\left(5a\sin^{2}{\theta}\cos^{2}{\theta}\right)^{2}}{\left(\cos^{5}{\theta}+\sin^{5}{\theta}\right)^{2}}{d\theta}
=\frac{25a^{2}}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^{4}{\theta}\sin^{4}{\theta}}{\left(\cos^{5}{\theta}+\sin^{5}{\theta}{\theta}\right)^{2}}{d\theta}
अंश व हर को \cos^{10}{\theta} से भाग देने पर:
\frac{25a^{2}}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan^{4}{\theta}\sec^{2}{\theta}}{\left(1+\tan^{5}{\theta}\right)^{2}}{d\theta}
\text{Put }1+\tan^{5}{\theta}=t
\Rightarrow{5\tan^{4}{\theta}\sec^{2}{\theta}{d\theta}}=dt
\text{ जब }{\theta}=0\text{ तो }t=1
\text{ जब }{\theta}=\frac{\pi}{2}\text{ तो }t=\infin{}
=5a^{2}\int_{1}^{\infin}\frac{dt}{t^{2}}
=\frac{5a^{2}}{2}\left[-\frac{1}{t}\right]_{1}^{\infin}

=\frac{5}{2}a^{2}\left[1\right]

=\frac{5}{2}a^{2}

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समाकल समीकरणों में क्षेत्रकलन विधि (Quadrature Method in Integral Equation),ध्रुवीय समीकरणों वाले वक्रों तथा ध्रुवान्तर रेखाओं से परिबद्ध क्षेत्रफल (Area Bounded by Curves in Polar Equations and Radii Vectors) को समझ सकते हैं।

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3.समाकल समीकरणों में क्षेत्रकलन विधि (Quadrature Method in Integral Equation),ध्रुवीय समीकरणों वाले वक्रों तथा ध्रुवान्तर रेखाओं से परिबद्ध क्षेत्रफल (Area Bounded by Curves in Polar Equations and Radii Vectors) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समाकल समीकरणों में क्षेत्रकलन विधि (Quadrature Method in Integral Equation),ध्रुवीय समीकरणों वाले वक्रों तथा ध्रुवान्तर रेखाओं से परिबद्ध क्षेत्रफल (Area Bounded by Curves in Polar Equations and Radii Vectors) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Quadrature Method in Integral Equation

समाकल समीकरणों में क्षेत्रकलन विधि
(Quadrature Method in Integral Equation),

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