समाकलन गणित में क्षेत्रकलन विधि (Quadrature Method in Integral Calculus),समाकलन गणित में क्षेत्रकलन (Quadrature in Integral Calculus):

• समाकलन गणित में क्षेत्रकलन विधि (Quadrature Method in Integral Calculus).के इस आर्टिकल में द्वि-समाकलों का अनुप्रयोग, द्वि-समाकलन से पृष्ठ के अन्तर्गत आयतन तथा प्राचलिक समीकरणों के द्वारा क्षेत्रकलन का अध्ययन करेंगे।
• द्वि-समाकलों का अनुप्रयोग (Applications of Double Integrals):
  द्वि-समाकल से क्षेत्रफल एवं द्रव्यमान (Area and Mass by Double Integration):
• क्षेत्रफल (Area):
  यदि द्वि-समाकल की परिभाषा में f(x,y) =1 प्रतिस्थापित करें तो हम देखते हैं कि:
  {\int}\int_{A}f(x,y)dA={\int}\int_{A}dA=A …(1)
  अतः वक्र y=f_{1}(x),y=f_{2}(x),x=a तथा x=b से घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल A है, द्वि-समाकल में निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:
  A={\int}\int_{A}dA=\int_{a}^{b}\int_{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)} dxdy …(2)
• ध्रुवीय निर्देशांकों में वक्र r=f_{1}\left({\theta}\right),r=f_{2}\left({\theta}\right),{\theta}={\alpha} तथा {\theta}={\beta} से घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल द्वि-समाकल के रूप में निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:
  A={\int}\int_{A}dA=\int_{\alpha}^{\beta}\int_{f_{1}\left({\theta}\right)}^{f_{2}\left({\theta}\right)} r{d\theta}dr …(3)
• द्रव्यमान (Mass):
  कार्तीय निर्देशांकों में यदि किसी पतली चद्दर की प्लेट के किसी बिन्दु (x,y) पर द्रव्यमान प्रति इकाई क्षेत्र (mass per unit area) या घनत्व (density) {\rho}=f(x,y) हो तो उसका कुल द्रव्यमान होगा:
  M={\int}\int_{A}{\rho}dA={\int}\int_{A}f(x,y) dA …(4)
  ध्रुवीय निर्देशांकों में यदि {\rho}=f\left(r,{\theta}\right)r{d\theta} हो तो
  M={\int}\int_{A}{\rho}dA={\int}\int_{A}f\left(r,{\theta}\right)r{d\theta}dr …(5)
  द्वि-समाकल से पृष्ठ के अन्तर्गत आयतन (Volume under Surface by Double Integration):
  xy समतल पर आधार A के ऊपर पृष्ठ z=f(x,y) के अन्तर्गत आयतन V,द्वि-समाकलन के रूप में निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:
  V={\int}\int_{A}z dA
  यदि क्षेत्र A निम्न वक्रों द्वारा घिरा हुआ हो
  y=f_{1}(x),y=f_{2}(x),x=a तथा x=b हो तो:
  V=\int_{a}^{b}\int_{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)} z dxdy=\int_{a}^{b}\int_{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)} f(x,y)dxdy
  
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2.समाकलन गणित में क्षेत्रकलन विधि पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Quadrature Method in Integral Calculus):

Example:1.साइक्लाॅइड x=a\left({\theta}+\sin{\theta}\right),y=a\left(1-\cos{\theta}\right) और इसके आधार के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(Find the area included between the cycloid x=a\left({\theta}+\sin{\theta}\right),y=a\left(1-\cos{\theta}\right) and it base):

Solution:x=a\left({\theta}+\sin{\theta}\right),y=a\left(1-\cos{\theta}\right)
y का के {\theta} सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dy}{d\theta}=a\sin{\theta}
साइक्लाॅइड तथा उसके आधार के बीच क्षेत्रफल=
=2\int_{a}^{b} xdy
=2\int_{0}^{\pi}a\left({\theta}+\sin{\theta}\right)\frac{dy}{d\theta}.{d\theta}
=2a\int_{0}^{\pi}\left({\theta}+\sin{\theta}\right)a\sin{\theta}.{d\theta}
=2a^{2}\int_{0}^{\pi}a\left({\theta}\sin{\theta}+\sin^{2}{\theta}\right).{d\theta}
=2a^{2}\left[-{\theta}\cos{\theta}+\sin{\theta}\right]_{0}^{\pi}+2a^{2}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}{\theta}{d\theta}

=2a^{2}{\pi}+4a^{2}\frac{\Gamma{\left(\frac{2+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{1}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{2+0+2}{2}\right)}}
=2{\pi}a^{2}+2a^{2}\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}
=2{\pi}a^{2}+{\pi}a^{2}
=3{\pi}a^{2}
Example:2.प्रदर्शित कीजिए कि ऐस्ट्राइड x=a\cos^{3}{t},y=b\sin^{3}{t} का सम्पूर्ण क्षेत्रफल होगा।
(Show that the whole area of the asteroid x=a\cos^{3}{t},y=b\sin^{3}{t} is \frac{3}{8}{\pi}ab.)

Solution:x=a\cos^{3}{t},y=b\sin^{3}{t}
x का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{dt}=-3a\cos^{2}{t}\sin{t} dt
अभीष्ट क्षेत्रफल=
=4\int_{x=0}^{a} ydx
=4\int_{t=\frac{\pi}{2}}^{0}y\frac{dx}{dt}.dt
=4\int_{t=\frac{\pi}{2}}^{0}b\sin^{3}{t}\left(-3a\cos^{2}{t}\sin{t}\right)dt
=12ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{4}{t}\cos^{2}{t}dt
=12ab\frac{\Gamma{\left(\frac{4+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{2+1}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{4+2+2}{2}\right)}}
=6ab\frac{\frac{3}{2}.\frac{1}{2}\sqrt{\pi}.\frac{1}{2}\sqrt{\pi}}{3 × 2 × 1}
=\frac{3}{8}{\pi}ab
Example:3.वक्र x=a\sin{2t},y=a\sin{t} के लूप का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
(Find the area of the loop of the curve x=a\sin{2t},y=a\sin{t}.)

Solution:x=a\sin{2t},y=a\sin{t}
y का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dy}{dt}=a\cos{t}
अभीष्ट क्षेत्रफल=
=2\int_{y=0}^{a} xdy
=2\int_{t=0}^{\frac{\pi}{2}}x\frac{dy}{dt}.dt
=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\sin{2t}.a\cos{t}dt
=2a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\sin{t}\cos{t}.\cos{t}dt
=2a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\sin{t}\cos^{2}{t}.dt
=4a^{2}\frac{\Gamma{\left(\frac{1+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{2+1}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{1+2+2}{2}\right)}}
=2a^{2}\frac{\frac{1}{2}\sqrt{\pi}}{\frac{3}{2}.\frac{1}{2}\sqrt{\pi}}
=\frac{4}{3}a^{2}
Example:4.सिद्ध कीजिए कि सिसाॅइड x=a\sin^{2}{t},y=\frac{a\left(\sin^{3}{t}\right)}{\cos{t}} एवं इसकी अनन्तस्पर्शी से घिरा हुआ क्षेत्रफल \frac{3}{4}{\pi}a^{2} है।
(Prove that the area bounded by the cissoid x=a\sin^{2}{t},y=\frac{a\left(\sin^{3}{t}\right)}{\cos{t}} and its asymptote is \frac{3}{4}{\pi}a^{2}.)

Solution:x=a\sin^{2}{t},y=\frac{a\left(\sin^{3}{t}\right)}{\cos{t}}
x का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{dt}=2a\sin{t}\cos{t}
अभीष्ट क्षेत्रफल=
=2\int_{x=0}^{a} ydx
=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}y\frac{dx}{dt}.dt
=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}y \frac{a\left(sin^{3}{t}\right)}{\cos{t}}.2a\sin{t}\cos{t}dt
=4a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{4}{t}dt
=4a^{2}\frac{\Gamma{\left(\frac{4+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{1}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{4+0+2}{2}\right)}}
=2a^{2}\frac{\frac{3}{2}\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}}{2.1}
\frac{3}{4}{\pi}a^{2}
Example:5.द्विसाकलन से निम्न वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
(Find the area enclosed by the following curves by double integral):
(a):परवलय (Parabola) )y=4x-x^{2}  एवं रेखा (and the line) y=x

Solution:परवलय (Parabola)y=4x-x^{2} …(1)
रेखा (the line) y=x …(2)
जब y=0 तो (1) से:
x=0,4
अतः परवलय x-अक्ष को (0,0) तथा (4,0) पर काटता है।
समीकरण (1) व (2) से:
[Katex]x=4x-x^{2}[/katex]
\Rightarrow x^{2}-3x=0
\Rightarrow x\left(x-3\right)=0
\Rightarrow x=0,3
\Rightarrow y=0,3
अतः प्रतिच्छेद बिन्दु:
(0,0) (3,3)
अभीष्ट क्षेत्रफल=
=\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{4x-x^{2}} dxdy-\left(\frac{1}{2} × \text{ OC }×\text{ CA }\right)
=\int_{0}^{3}\left[y\right]_{0}^{4x-x^{2}} dx-\frac{1}{2} × 3 ×3

=\int_{0}^{3}\left(4x-x^{2}\right)dx-\frac{9}{2}

=\left[2x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{3}-\frac{9}{2}

=18-9-\frac{9}{2}

=\frac{9}{2}\text{ वर्ग इकाई }

(b):परवलय (parabola) y=x^{2} एवं रेखा (and the line) y=x+2

Solution:परवलय (parabola) y=x^{2} …(1)

रेखा से y=0,x=-2

अत: रेखा x-अक्ष को (-2,0) पर काटती है।

जब x=0 तो y=2 अतः रेखा y-अक्ष को (0,2).पर काटती है।

समीकरण (1) तथा (2) से:

x^{2}=x+2\\

\Rightarrow x^{2}-x-2=0\\

\Rightarrow x^{2}-2x+x-2=0\\

\Rightarrow x\left(x-2\right)+1\left(x-2\right)=0\\

\Rightarrow x\left(x-2\right)+1\left(x-2\right)=0\\

\Rightarrow \left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\\

\Rightarrow x=-1,2\\

\Rightarrow y=1,4

अतः प्रतिच्छेद बिन्दु (-1,1),(2,4) अभीष्ट क्षेत्रफल=

=समलम्ब चतुर्भुज EFBC का क्षेत्रफल-\int_{-1}^{2}\int_{0}^{x^{2}} dxdy

=\frac{1}{2} × \text{BF} × \left(\text{EF}+\text{BC}\right)-\int_{-1}^{2}\left[y\right]_{0}^{x^{2}}dx

=\frac{1}{2} × \left(2-\left(-1\right)\right)×\left(1+4\right)-\int_{-1}^{2}x^{2}dx

=\frac{1}{3}×3×5-\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}

=\frac{15}{2}-\left(\frac{8}{3}+\frac{1}{3}\right)

=\frac{15}{2}-{3}=\frac{9}{2}

(c):परवलय (parabola) x^{2}=4y एवं रेखा (and the line) x=4y-2

Solution:परवलय (parabola)x^{2}=4y …(1)

रेखा (the line) x=4y-2 …(2)

रेखा में: y=0 तब x=-2 तथा x=0 तब y=\frac{1}{2}

अतः रेखा अक्षों को (-2,0) \left(0,\frac{1}{2}\right) पर काटती है।

समीकरण (1) व (2) से:

x^{2}=x+2\\

\Rightarrow x^{2}-x-2=0\\

\Rightarrow x^{2}-2x+x-2=0\\

\Rightarrow x\left(x-2\right)+1\left(x-2\right)=0\\

\Rightarrow x\left(x-2\right)+1\left(x-2\right)=0\\

\Rightarrow \left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\\

\Rightarrow x=-1,2

जब x=-1 तो y=\frac{1}{4} जब x=2 तो y=1

अतः परवलय व रेखा का प्रतिच्छेद बिन्दु:

\left(-1,\frac{1}{4}\right),\left(2,1\right)

अभीष्ट क्षेत्रफल= =समलम्ब चतुर्भुज EFBC का क्षेत्रफल-

\int_{-1}^{2}\int_{0}^{\frac{x^{2}}{4}}dxdy

=\frac{1}{2} × \text{BF} × \left(\text{EF}+\text{BC}\right)-\int_{-1}^{2}\left[y\right]_{0}^{\frac{x^{2}}{4}}dx

=\frac{1}{2} × \left(2-\left(-1\right)\right)×\left(1+\frac{1}{4}\right)-\int_{-1}^{2}\frac{x^{2}}{4}dx

=\frac{1}{2}×3×\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}

=\frac{15}{8}-\frac{1}{4}\left(\frac{8}{3}+\frac{1}{3}\right)

=\frac{15}{8}-\frac{3}{4}

=\frac{15-6}{8}

=\frac{9}{8}

Example:6.द्वि-समाकल से वक्रों y^{2}=x^{3} तथा y=x के मध्य का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (Find by double integration area lying between the curves y^{2}=x^{3} and y=x.)

Solution:रेखा (line) y=x ….(1)

वक्र (curve)y^{2}=x^{3} …(2)

समीकरण (1) व (2) से:

x^{2}=x^{3}\\

\Rightarrow x^{2}\left(x-1\right)=0\\

\Rightarrow x=0,1

\text{ जब } x=0 \text{ तो } y=0

\text{ जब } x=1 \text{ तो } y=1

अतः दोनों का प्रतिच्छेद बिन्दु (0,0),(1,1) AD,A से x-अक्ष पर लम्ब डाला तब OD=1

\triangle{\text{OAD}} का क्षेत्रफल=\frac{1}{2}×\text{OD}×\text{AD} =\frac{1}{2}×1×1

=\frac{1}{2}

अभीष्ट क्षेत्रफल=OBACO का क्षेत्रफल =\triangle{\text{OAD}}{\text{ का क्षेत्रफल }}-ODABO का क्षेत्रफल

=\frac{1}{2}-\int_{0}^{1}\int_{y=0}^{x^{\frac{3}{2}}}dxdy

=\frac{1}{2}-\int_{0}^{1}\left[y\right]_{0}^{x^{\frac{3}{2}}} dx

=\frac{1}{2}-\int_{0}^{1}x^{\frac{3}{2}} dx

=\frac{1}{2}-\frac{2}{5}\left[x^{\frac{5}{2}}\right]_{0}^{1}

=\frac{1}{2}-\frac{2}{5}

=\frac{5-4}{10}

=\frac{1}{10}\text{वर्ग ईकाई}

Example:7.वक्र y=x^{3} तथा x=y^{2} से घिरे प्लेट का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए जिसका घनत्व {\Rho}=k\left(x^{2}+y^{2}\right) प्रति वर्ग क्षेत्र है।

(Find the mass of the plate between the curves y=x^{3} and x=y^{2} whose density per unit area is.)

Solution:y=x^{3} …(1)

x=y^{2} …(2)

समीकरण (1) व (2) से:

\left(x^{3}\right)^{2}=x\\

\Rightarrow x^{6}-x=0\\

\Rightarrow x\left(x^{5}-1\right)=0\\

\Rightarrow x\left(x-1\right)\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)=0\\

\Rightarrow x=0,1\\

\Rightarrow y=0,1

अतः दोनों वक्रों का प्रतिच्छेद बिन्दु (0,0),(1,1)

अभीष्ट द्रव्यमान=

=\int_{0}^{1}\int_{x^{3}}^{x^{\frac{1}{2}}}k\left(x^{2}+y^{2}\right) dxdy

=\int_{0}^{1}k\left[x^{2}y+\frac{1}{3}y^{3}\right]_{x^{3}}^{x^{\frac{1}{2}}}dx

=k\int_{0}^{1}\left(x^{\frac{5}{2}}+\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}-x^{5}-\frac{1}{3}x^{9}\right) dx

=k\left[\frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}+\frac{2}{15}x^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{6}x^{6}-\frac{1}{30}x^{10}\right]_{0}^{1}

=k\left[\frac{2}{7}+\frac{2}{15}-\frac{1}{6}-\frac{1}{30}\right]

=k\left[\frac{60+28-35-7}{210}\right]

=\frac{46}{210}

=\frac{23k}{105}

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समाकलन गणित में क्षेत्रकलन विधि (Quadrature Method in Integral Calculus),समाकलन गणित में क्षेत्रकलन (Quadrature in Integral Calculus) को समझ सकते हैं।

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3.समाकलन गणित में क्षेत्रकलन विधि (Quadrature Method in Integral Calculus),समाकलन गणित में क्षेत्रकलन (Quadrature in Integral Calculus) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

• उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समाकलन गणित में क्षेत्रकलन विधि (Quadrature Method in Integral Calculus),समाकलन गणित में क्षेत्रकलन (Quadrature in Integral Calculus) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Quadrature Method in Integral Calculus

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(Quadrature Method in Integral Calculus)

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