1.द्विघाती सूत्र कक्षा 10 (Quadratic Formula Class 10),द्विघात समीकरण के मूल द्विघाती सूत्र द्वारा ज्ञात करना (To Find of Quadratic Equations by Quadratic Formula):

Quadratic Formula Class 10

द्विघाती सूत्र कक्षा 10 (Quadratic Formula Class 10) के इस आर्टिकल में द्विघात समीकरणों के मूल द्विघाती सूत्र से ज्ञात करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.द्विघाती सूत्र कक्षा 10 के उदाहरण (Quadratic Formula Class 10 Examples):

Example:1.निम्न द्विघात समीकरणों के मूल,यदि उनका अस्तित्व हो,तो श्रीधर आचार्य विधि द्वारा द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।
Example:1(i). 2 x^2-2 \sqrt{2}x+1=0
Solution: 2 x^2-2 \sqrt{2}x+1=0
मानक द्विघाती समीकरण a x^2+b x+c=0 से तुलना करने पर:

a=2, b=-2 \sqrt{2}, c=1 \\ b^2-4 a c=(-2 \sqrt{2})^2-4 \times 2 \times 1 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=8-8=0
अतः मूल वास्तविक व समान हैं।

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =-\frac{(-2 \sqrt{2}) \pm \sqrt{(-2 \sqrt{2})^2-4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2} \\=\frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8-8}}{4} \\ =\frac{2 \sqrt{2}}{4} \\ =\frac{1}{\sqrt{2}} अतः x=\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}
Example:1(ii). 9 x^2+7 x-2=0
Solution: 9 x^2+7 x-2=0
मानक द्विघाती समीकरण a x^2+b x+c=0 से तुलना करने पर:

a=9, b=7, c=-2 \\ b^2-4 a c =(7)^2-4 \times 9 \times-2 \\ =49+72 \\ \Rightarrow b^2-4 a c =121>0
अतः मूल वास्तविक तथा भिन्न-भिन्न होंगे।

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-7 \pm \sqrt{(-7)^2-4 \times 9 \times-2}}{2 \times 9} \\ =\frac{-7 \pm \sqrt{49+72}}{18} \\ =\frac{-7 \pm \sqrt{121}}{18} \\ =\frac{-7 \pm 11}{18} \\ \Rightarrow x =\frac{-7+11}{18}, \frac{-7-11}{18} \\ =\frac{4}{18}, \frac{-18}{18} \\ \Rightarrow x =\frac{2}{9},-1
Example:1(iii). x+\frac{1}{x}=3, x \neq 0
Solution: x+\frac{1}{x}=3 \\ \Rightarrow \frac{x^2+1}{x}=3 \\ \Rightarrow x^2+1=3 x \\ \Rightarrow x^2-3 x+1=0
मानक द्विघाती समीकरण a x^2+b x+c=0 से तुलना करने पर:

a=1, b=-3, c=1 \\ b^2-4 a c=(-3)^2-4 \times \mid \times 1 \\ =9-4 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=5>0
अतः मूल वास्तविक तथा भिन्न-भिन्न होंगे।

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \times 1 \times 1}}{2 \times 1} \\ =\frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}
Example:1(iv). \sqrt{2} x^2+7 x+5 \sqrt{2}=0
Solution: \sqrt{2} x^2+7 x+5 \sqrt{2}=0
मानक द्विघाती समीकरण a x^2+b x+c=0 से तुलना करने पर:

a=\sqrt{2}, b \Rightarrow, c=5 \sqrt{2} \\ b^2-4 a c =(7)^2-4 \times \sqrt{2} \times 5 \sqrt{2} \\ =49-40 \\ \Rightarrow b^2-4 a c =9>0
अतः मूल वास्तविक तथा भिन्न-भिन्न होंगे।

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-7 \pm \sqrt{(7)^2-4 \times \sqrt{2} \times 5 \sqrt{2}}}{2 \times \sqrt{2}} \\ =\frac{-7 \pm \sqrt{49-40}}{2 \sqrt{2}} \\ =\frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2 \sqrt{2}} \\ =\frac{-7 \neq 3}{2 \sqrt{2}} \\ =\frac{-7+3}{2 \sqrt{2}}, \frac{-7-3}{2 \sqrt{2}} \\ =\frac{-4}{2 \sqrt{2}}, \frac{-10}{2 \sqrt{2}} \\ \Rightarrow x =-\sqrt{2}, \frac{-5}{\sqrt{2}}
Example:1(v). x^2+4 x+5=0
Solution: x^2+4 x+5=0
मानक द्विघाती समीकरण a x^2+b x+c=0 से तुलना करने पर:

a=1, b =4, c=5 \\ b^2-4 a c =(4)^2-4 \times 1 \times 5 \\ =16-20 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=-4<0
अतः समीकरण के वास्तविक मूल विद्यमान नहीं है।

Quadratic Formula Class 10

Example:1(vi). \frac{1}{x}-\frac{1}{x-2}=3, x \neq 0,2
Solution: \frac{1}{x}-\frac{1}{x-2}=3, x \neq 0,2 \\ \Rightarrow \quad \frac{(x-2)-x}{x(x-2)}=3 \Rightarrow \frac{-2}{x^2-2 x}=3 \\ \Rightarrow 3 x^2-6 x=-2 \\ \Rightarrow 3 x^2-6 x+2=0
मानक द्विघाती समीकरण a x^2+b x+c=0 से तुलना करने पर:

a=3, b =-6, c=2 \\ b^2-4 a c =(-6)^2-4 \times 3 \times 2 \\ =36-24 \\ \Rightarrow b^2-4ac=12>0
अतः मूल वास्तविक तथा भिन्न-भिन्न होंगे।

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4 \times 3 \times 2}}{2 \times 3} \\ =\frac{6 \pm \sqrt{36-24}}{6} \\ =\frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} \\ =\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6} \\ =\frac{6+2 \sqrt{3}}{6}, \frac{6-2 \sqrt{3}}{6} \\ =\frac{2(3+\sqrt{3})}{6} , \frac{2(3-\sqrt{3})}{6}\\ \Rightarrow x =\frac{3 \pm \sqrt{3}}{6}
Example:1(vii). 5 x^2-17 x+6=0
Solution: 5 x^2-17 x+6=0
मानक द्विघाती समीकरण a x^2+b x+c=0 से तुलना करने पर:

a=5, b =-17, c=6 \\ b^2-4 a c =(-17)^2-4 \times 5 \times 6 \\ \Rightarrow b^2-4ac=289-120 \\ =169>0
अतः मूल वास्तविक तथा भिन्न-भिन्न होंगे।

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ x=\frac{-(-17) \pm \sqrt{(-17)^2-4 \times 5 \times 6}}{2 \times 5} \\ =\frac{17 \pm \sqrt{289-120}}{10} \\ =\frac{17 \pm \sqrt{169}}{10} \\ =\frac{17 \pm 13}{10} \\ x=\frac{17+13}{10}, \frac{17-13}{10} \\ \Rightarrow x =3, \frac{2}{5}
Example:1(viii). 15 x^2-28=x
Solution: 15 x^2-28=x \\ \Rightarrow 15 x^2-x-28=0
मानक द्विघाती समीकरण a x^2+b x+c=0 से तुलना करने पर:

a=15, b=-1, c=-28 \\ b^2-4 a c=(-1)^2-4 \times 15 \times-28 \\ =1+1680 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=1681>0
अतः मूल वास्तविक तथा भिन्न-भिन्न होंगे।

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 \times 15 \times-28}}{2 \times 15} \\ =\frac{1 \pm \sqrt{1+1680}}{30} \\ =\frac{1 \pm \sqrt{1681}}{30} \\ =\frac{1 \pm 41}{30} \\ =\frac{1+41}{30}, \frac{1-41}{30} \\ =\frac{42}{30}, \frac{-40}{30} \\ \Rightarrow x =\frac{7}{5},-\frac{4}{3}
Example:1(ix). \frac{3}{x+2}=\frac{x}{4}-1
Solution: \frac{3}{x+2}=\frac{x}{4}-1 \\ \Rightarrow \frac{3}{x+2}=\frac{x-4}{4} \\ \Rightarrow(x-4)(x+2)=12 \\ \Rightarrow x^2-2 x-8=12 \\ \Rightarrow x^2-2 x-8-12=0 \\ \Rightarrow x^2-2 x-20=0
मानक द्विघाती समीकरण a x^2+b x+c=0 से तुलना करने पर:

a=1, b=-2, c a+20 \\ b^2-4 a c=(-2)^2-4 \times 1 \times-20 \\ =4+80 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=84>0
अतः मूल वास्तविक तथा भिन्न-भिन्न होंगे।

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4 \times 1 \times-20}}{2 \times 1} \\ =\frac{2 \pm \sqrt{4+80}}{2} \\ =\frac{2 \pm \sqrt{84}}{2} \\ =\frac{2 \pm \sqrt{21}}{2} \\ =\frac{2(1 \pm \sqrt{21})}{2} \\ \Rightarrow x =1 \pm \sqrt{21}
Example:1(x). x^2-5 x-7=0
Solution: x^2-5 x-7=0
मानक द्विघाती समीकरण a x^2+b x+c=0 से तुलना करने पर:

a=1, b=-5, c=7 \\ b^2-4 a c=(-5)^2-4 \times 1 \times-7 \\ =25+28 \Rightarrow b^2-4 a c=53>0
अतः मूल वास्तविक तथा भिन्न-भिन्न होंगे।

Example:1(xi) 2-21 x=11 x^2
Solution: 2-21 x=11 x^2 \\ \Rightarrow 11 x^2+21 x-2=0
मानक द्विघाती समीकरण a x^2+b x+c=0 से तुलना करने पर:
a=11, b =21, c=-2 \\ b^2-4 a c =(2,)^2-4 \times 11 x-2 \\ =441+88 \\ \Rightarrow b^2-4ac=529>0
अतः मूल वास्तविक तथा भिन्न-भिन्न होंगे।

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-21 \pm \sqrt{(21)^2-4 \times 11 \times -2}}{2 \times 11} \\ =\frac{-21 \pm \sqrt{441+88}}{22} \\ =\frac{-21 \pm \sqrt{529}}{22} \\ =\frac{-21 \pm 23}{22} \\ =\frac{-21+23}{22}, \frac{-21-23}{22} \\ =\frac{2}{22},-\frac{44}{22} \\ \Rightarrow x =\frac{1}{11},-2
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विघाती सूत्र कक्षा 10 (Quadratic Formula Class 10),द्विघात समीकरण के मूल द्विघाती सूत्र द्वारा ज्ञात करना (To Find of Quadratic Equations by Quadratic Formula) को समझ सकते हैं।

3.द्विघाती सूत्र कक्षा 10 की समस्याएँ (Quadratic Formula Class 10 Problems):

Quadratic Formula Class 10

निम्नलिखित समीकरणों को श्रीधर आचार्य की विधि से हल कीजिए:

(1.) 5 y^2+12 y-9=0
(2.) x^2-4 x+4=0
उत्तर (Answers):(1.) y=\frac{3}{5},-3
(2.)x=2,2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विघाती सूत्र कक्षा 10 (Quadratic Formula Class 10),द्विघात समीकरण के मूल द्विघाती सूत्र द्वारा ज्ञात करना (To Find of Quadratic Equations by Quadratic Formula) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.द्विघाती सूत्र कक्षा 10 (Frequently Asked Questions Related to Quadratic Formula Class 10),द्विघात समीकरण के मूल द्विघाती सूत्र द्वारा ज्ञात करना (To Find of Quadratic Equations by Quadratic Formula) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

द्विघाती सूत्र कक्षा 10 (Quadratic Formula Class 10) के इस आर्टिकल में द्विघात
समीकरणों के मूल द्विघाती सूत्र से ज्ञात करके समझने का प्रयास करेंगे।