1.अन्तर संकारकों के गुणधर्म (Properties of Difference Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Operators in Numerical Analysis)-

• अन्तर संकारकों के गुणधर्म (Properties of Difference Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Operators in Numerical Analysis) के द्वारा विभिन्न प्रकार के व्यंजकों का मान ज्ञात करेंगे।

(1.) अन्तर संकारक के गुणधर्म (The Difference Operator):

• (i)अचर फलन पर अन्तर संकारक \Delta शून्य होता है।(The difference operator \Delta  on a constant function is zero.)
  प्रमाण (Proof):मान लो f(x)=c, जहां c अचर राशि है तब

\Delta f\left( x \right) =\Delta f\left( x+h \right) -\Delta f\left( x \right) \\ =c-c\\ =0

• (ii)अचर राशि के लिए संकारक \Delta  क्रमविनिमेय है।(The operator \Delta is commutative for constant.)
  प्रमाण (Proof):\Delta \{ cf\left( x \right) \} =cf\left( x+h \right) -cf\left( x \right) \\ =c\{ f\left( x+h \right) -f\left( x \right) \} \\ =c\Delta f
• (iii)फलन f तथा g के योग पर संकारक   \Delta  बंटनता का पालन करता है।(The operator \Delta  is distributive over the sum of functions f and g.)
  प्रमाण (Proof):
  =\Delta \{ f\left( x \right) +g\left( x \right) \} =\{ f\left( x+h \right) +g\left( x+h \right) \} -\{ f\left( x \right) +g\left( x \right) \} \\ =\{ f\left( x+h \right) -f\left( x \right) \} +\{ g\left( x+h \right) -g\left( x \right) \} \\ =\Delta f\left( x \right) +\Delta g\left( x \right) \\ \Delta (f+g)=\Delta f+\Delta g
  अतः दो फलनों के योग का परिमित अन्तर उनके परिमित अन्तरों के योग के बराबर होता है।
• (iv)रैखिकता गुणधर्म (The Linearity Property)

\Delta \{ { c }_{ 1 }f\left( x \right) +{ c }_{ 2 }g\left( x \right) \} ={ c }_{ 1 }f\left( x \right) +{ c }_{ 2 }g\left( x \right)
जहां { c }_{ 1 } तथा { c }_{ 2 } अचर राशियां हैं।
प्रमाण (Proof):\Delta \{ { c }_{ 1 }f\left( x \right) +{ c }_{ 2 }g\left( x \right) \} =\Delta \{ { c }_{ 1 }f\left( x \right) \} +\Delta \{ { c }_{ 2 }g\left( x \right) \}[गुणधर्म (iii) से]
={ c }_{ 1 }f\left( x \right) \} +\Delta \{ { c }_{ 2 }g\left( x \right) [गुणधर्म (ii) से]

\therefore \Delta \{ { c }_{ 1 }f+{ c }_{ 2 }g\} ={ c }_{ 1 }\Delta f+{ c }_{ 2 }\Delta g

• (v)घातांक नियम (The law of indices)

{ \Delta }^{ m }.{ \Delta }^{ n }f\left( x \right) ={ \Delta }^{ m+n }f\left( x \right)
प्रमाण (Proof):{ \Delta }^{ m }.{ \Delta }^{ n }f\left( x \right) =({ \Delta }.\Delta .....mबार)({ \Delta }.\Delta .....nबार)f\left( x \right) \\ =\{ { \Delta }.\Delta .....(m+n)बार\} f\left( x \right) \\ { \Delta }^{ m }.{ \Delta }^{ n }f\left( x \right) ={ \Delta }^{ m+n }f\left( x \right)

• (vi) दो फलनों के गुणन का परिमित अन्तर (The finite difference of a product of two functions).

\Delta \{ f\left( x \right) .g\left( x \right) \} =\{ f\left( x+h \right) \Delta g\left( x \right) +g\left( x \right) \Delta f\left( x \right)
प्रमाण (Proof):
=\Delta \{ f\left( x \right) .g\left( x \right) \} =f\left( x+h \right) g\left( x+h \right) -f\left( x \right) g\left( x \right) \\ =f\left( x+h \right) g\left( x+h \right) -f\left( x+h \right) g\left( x \right) +f\left( x+h \right) g\left( x \right) -f\left( x \right) g\left( x \right) \\ =f\left( x+h \right) \{ g\left( x+h \right) -g\left( x \right) \} +g\left( x \right) \{ f\left( x+h \right) -f\left( x \right) \} \\ \therefore \Delta \{ f\left( x \right) .g\left( x \right) \} =\{ f\left( x+h \right) \Delta g\left( x \right) +g\left( x \right) \Delta f\left( x \right)

• (vii)दो फलनों के भागफल का परिमित अन्तर (The finite difference of a quotient of two functions).

\Delta [\frac { f\left( x \right) }{ g\left( x \right) } ]=\frac { g\left( x \right) \Delta f\left( x \right) -f\left( x \right) \Delta g\left( x \right) }{ g\left( x+h \right) g\left( x \right) }
प्रमाण (Proof):

\Delta [\frac { f\left( x \right) }{ g\left( x \right) } ]=\frac { f\left( x+h \right) }{ g\left( x+h \right) } -\frac { f\left( x \right) }{ g\left( x \right) } \\ =\frac { f\left( x+h \right) g\left( x \right) -f\left( x \right) \Delta g\left( x+h \right) }{ g\left( x+h \right) g\left( x \right) } \\ =\frac { \{ f\left( x+h \right) g\left( x \right) -f\left( x \right) g\left( x \right) \} -\{ g\left( x+h \right) f\left( x \right) -f\left( x \right) g\left( x \right) \} }{ g\left( x+h \right) g\left( x \right) } \\ =\frac { g\left( x \right) \{ f\left( x+h \right) -f\left( x \right) \} -f\left( x \right) \{ g\left( x+h \right) -g\left( x \right) \} }{ g\left( x+h \right) g\left( x \right) } \\ \therefore \Delta [\frac { f\left( x \right) }{ g\left( x \right) } ]=\frac { g\left( x \right) \Delta f\left( x \right) -f\left( x \right) \Delta g\left( x \right) }{ g\left( x+h \right) g\left( x \right) }

(2.)संकारक E (Operator E):-

• परिभाषा (Definition):मान लो y=f(x),x का एक फलन है तथा यह भी मान लो कि a, a+h,a+2h,……….,x के क्रमागत मान है।हम संकारक को निम्न सम्बन्ध से परिभाषित करते हैं:
  E f\left( a \right) =f\left( a+h \right)
• संकारक E,विस्थापन संकारक (Displacement or Shift Operator) कहलाता है।फलन f(x) पर संकारक E का अर्थ फलन के चर में वृद्धि देने से होता है।
• पुनः { E }^{ 2 }f(a)=E [E f\left( a \right) ]\\ =E f\left( a+h \right) \\ =f\left( a+2h \right) 
  इसी प्रकार { E }^{ 3 }f(a)=f\left( a+3h \right)
  व्यापक रूप में { E }^{ n }f(a)=f\left( a+nh \right)
• परिभाषा:प्रतिलोम संकारक { E }^{ -1 } निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है।

{ E }^{ -1 }f(a)=f(a-h)

• इसी प्रकार { E }^{ -2 }f(a)=f(a-2h)
  व्यापक रूप में { E }^{ -n }f(a)=f(a-nh)
• टिप्पणी:(i){ E }^{ 0 }\equiv 1

(ii){ E }^{ 2 }f(x)\neq { [E f\left( x \right) ] }^{ 2 }
क्योंकि { E }^{ 2 }f(x)=f\left( x+2h \right) तथा { [Ef\left( x \right) ] }^{ 2 }={ [f\left( x+h \right) ] }^{ 2 }

(3.) संकारक E के गुणधर्म (Properties of the Operator E):-

• (i)अचर राशि के लिए संकारक E क्रमविनिमेय है:(The operator E is commutative for constant:)
  प्रमाण (Proof): E[cf(x)]=cf(x)
  =c Ef(x)
  Ecf=cEf
  जहां c अचर है।
• (ii)फलन f तथा g के योग संकारक E बंटनता का पालन करता है:(The operator E is distributive over sum of function f and g):
  प्रमाण (Proof): E[f(x)+g(x)]=f(x+h)+g(x+h)
  =Ef(x)+Eg(x)
  E(f+g)=Ef+Eg
  व्यापक रूप में
  E(f+g+h+……)=Ef+Eg+Eh+……
• (iii)रैखिकता गुणधर्म (The Linearity Property):

E[{ c }_{ 1 }f\left( x \right) +{ c }_{ 2 }g\left( x \right) ]={ c }_{ 1 }Ef\left( x \right) +{ c }_{ 2 }Eg\left( x \right)
जहां { c }_{ 1 } तथा { c }_{ 2 } अचर है।
प्रमाण (Proof):E[{ c }_{ 1 }f\left( x \right) +{ c }_{ 2 }g\left( x \right) ]=E[{ c }_{ 1 }f\left( x \right) ]+E[{ c }_{ 2 }g\left( x \right) ]

={ c }_{ 1 }Ef\left( x \right) +{ c }_{ 2 }Eg\left( x \right)

\therefore E[{ c }_{ 1 }f+{ c }_{ 2 }g]={ c }_{ 1 }Ef+{ c }_{ 2 }Eg

• (iv)घातांक नियम (The law of indices):

{ E }^{ m }.[{ E }^{ n }f\left( x \right) ]={ E }^{ m+n }f\left( x \right)
प्रमाण (Proof):{ E }^{ m }.[{ E }^{ n }f\left( x \right) ]={ E }^{ m+n }f\left( x \right) \\ ={ E }^{ m }f\left( x+nh \right) \\ =f\left( x+mh+nh \right) \\ =f\left( x+\overline { m+n } h \right) \\ ={ E }^{ m+n }f\left( x \right) \\ { E }^{ m }.{ E }^{ n }={ E }^{ m+n }

विशेषतः यदि n=-m हो
{ E }^{ m }[{ E }^{ -m }f\left( x \right) ]=f\left( x \right)  या { E }^{ 0 }f\left( x \right) =f\left( x \right)

• (v) संकारक E तथा \Delta क्रमविनिमेयता का पालन करते हैं:
  (The operators E and are commutative:)
  प्रमाण (Proof):E [\Delta f\left( x \right) ]=E [\Delta f\left( x+h \right) -f\left( x \right) ][\Delta की परिभाषा से]
  =E f(x+h)-Ef(x) [गुणधर्म (ii) से]
  =f(x+2h)-f(x+h) [E की परिभाषा से]

=\Delta f\left( x+h \right) \\ =\Delta E f\left( x \right) \\ E \Delta =\Delta E

(4.)संकारकों तथा E के मध्य कुछ महत्त्वपूर्ण सम्बन्ध(Some important relations between the operators and E:)

• (i)E=1+\Delta
  प्रमाण (Proof):हम जानते हैं कि

\Delta f\left( x \right) =f\left( x+h \right) -f\left( x \right) ....(1)
तथा Ef(x)=f(x+h) ………(2)
(1) व (2) से-

\Delta f\left( x \right) =\Epsilon f\left( x \right) -f\left( x \right) \\ \Rightarrow E f\left( x \right) =f\left( x \right) +\Delta f\left( x \right) \\ \Rightarrow E f\left( x \right) =(1+\Delta )f\left( x \right)
चूंकि f(x) स्वेच्छ है अतः

E \equiv 1+\Delta

• (ii){ E }^{ n }\equiv { (1+\Delta ) }^{ n }
  प्रमाण (Proof):{ y }_{ a+nh }={ y }_{ a }+^{ n }{ { { c }_{ 1 } } }.\Delta { y }_{ a }+^{ n }{ { { c }_{ 2 } } }{ \Delta }^{ 2 }{ y }_{ a }+......+^{ n }{ { { c }_{ r } } }{ \Delta }^{ r }{ y }_{ a }+......+{ \Delta }^{ n }{ y }_{ a }\\ =(1+^{ n }{ { { c }_{ 1 } } }.\Delta +^{ n }{ { { c }_{ 2 } } }{ \Delta }^{ 2 }+......+^{ n }{ { { c }_{ r } } }{ \Delta }^{ r }+......+{ \Delta }^{ n }){ y }_{ a }\\ ={ (1+\Delta ) }^{ n }{ y }_{ a }....(1)
  लेकिन { y }_{ a+nh }={ E }^{ n }{ y }_{ a }[\because { E }^{ n }f\left( x \right) =f\left( x+nh \right) ]....(2)
  (1) व (2) से-

{ E }^{ n }{ y }_{ a }={ (1+\Delta ) }^{ n }{ y }_{ a }
अतः { E }^{ n }={ (1+\Delta ) }^{ n }

• (iii)\nabla \equiv \Delta { E }^{ -1 }
  प्रमाण (Proof): हम जानते हैं कि

\nabla f\left( x \right) =f\left( x \right) -f\left( x-h \right) [ \Deltaकी परिभाषा से]
\Rightarrow \nabla f\left( x \right) =\Delta f\left( x-h \right)  [ \nabla की परिभाषा से]
\Rightarrow \nabla f\left( x \right) =\Delta { \Epsilon }^{ -1 }f\left( x \right)  [ { E }^{ -1 }की परिभाषा से]

• (iv)\nabla \equiv 1-{ E }^{ -1 }
  प्रमाण (Proof): \nabla f\left( x \right) =f\left( x \right) -f\left( x-h \right) [ \Delta की परिभाषा से]

=f\left( x \right) { \Epsilon }^{ -1 }-f\left( x \right) \\ =(1-{ \Epsilon }^{ -1 })f\left( x \right)
अतः\nabla \equiv 1-{ \Epsilon }^{ -1 }

• (v)(1+\Delta )(1-\nabla )\equiv 1
  प्रमाण (Proof):(1+\Delta )(1-\nabla )f\left( x \right) =(1+\Delta )[f\left( x \right) -\nabla f\left( x \right) ]\\ =(1+\Delta )[f\left( x \right) -\{ f\left( x \right) -f\left( x-h \right) \} ]\\ =(1+\Delta )f\left( x-h \right) \\ =\Epsilon f\left( x-h \right) [\because \Epsilon \equiv 1+\Delta ]\\ =\Epsilon { \Epsilon }^{ -1 }f\left( x \right) \\ =f\left( x \right) \\ =1.f\left( x \right)
  अतः (1+\Delta )(1-\nabla )\equiv 1
• (vi)(\Delta -\nabla )\equiv \Delta \nabla
  प्रमाण (Proof):हम जानते हैं कि
  \Delta f\left( x \right) =f\left( x+h \right) -f\left( x \right) [ \Delta  की परिभाषा से]
  \nabla f\left( x \right) =f\left( x \right) -f\left( x-h \right) [ \nabla की परिभाषा से]
  अन्तर का अन्तराल h है।
  अब \Delta \nabla f\left( x \right) =\Delta [\nabla f\left( x \right) ]\\ =\Delta [f\left( x \right) -f\left( x-h \right) ]\\ =\Delta f\left( x \right) -\Delta f\left( x-h \right) \\ =[f\left( x+h \right) -f\left( x \right) ]-[f\left( x \right) -f\left( x-h \right) ]\\ =\Delta f\left( x \right) -\nabla f\left( x \right) \\ =(\Delta -\nabla )f\left( x \right) \\ \Delta \nabla =\Delta -\nabla
  
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2.अन्तर संकारकों के गुणधर्म के उदाहरण (Properties of Difference Operators Examples),संख्यात्मक विश्लेषण में अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध के उदाहरण (Properties and Relations of Difference Operators Examples in Numerical Analysis)-

निम्न का मान ज्ञात कीजिए (Evaluate the following):
Example-1.\Delta [x(x+1)(x+2)]
Solution–\Delta [x(x+1)(x+2)]\\ =\Delta x({ x }^{ 2 }+3x+2)\\ =\Delta ({ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+2x)\\ ={ (x+h) }^{ 3 }+3{ (x+h) }^{ 2 }+2(x+h)-({ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+2x)\\ ={ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }h+3x{ h }^{ 2 }+{ h }^{ 3 }+3({ x }^{ 2 }+2hx+{ h }^{ 2 })+2x+2h-{ x }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }-2x\\ =3{ x }^{ 2 }h+3xh+{ h }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+6hx+{ 3h }^{ 2 }+2h-3{ x }^{ 2 }\\ =3{ x }^{ 2 }h+9hx+{ h }^{ 3 }+3{ h }^{ 2 }+2h\\ h=1\\ =3{ x }^{ 2 }+9x+6\\ =3({ x }^{ 2 }+3x+2)\\ =3({ x }^{ 2 }+2x+x+2)\\ =3[x(x+2)+1(x+2)]\\ \Delta [x(x+1)(x+2)]=3(x+1)(x+2),h=1
Example-2.\Delta (\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } )
Solution–\Delta (\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } )\\ =\frac { 1 }{ 1+{ (x+h) }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \\ =\frac { 1+{ x }^{ 2 }-[1+{ (x+h) }^{ 2 }] }{ [1+{ x }^{ 2 }][1+{ (x+h) }^{ 2 }] } \\ =\frac { 1+{ x }^{ 2 }-1-{ x }^{ 2 }-2hx-{ h }^{ 2 } }{ [1+{ x }^{ 2 }][1+{ (x+h) }^{ 2 }] } \\ =\frac { -2hx-{ h }^{ 2 } }{ [1+{ x }^{ 2 }][1+{ (x+h) }^{ 2 }] } \\ put\quad h=1\\ =\frac { -2x-1 }{ [1+{ x }^{ 2 }][1+{ (x+h) }^{ 2 }] } \\ \Delta (\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } )=\frac { -(2x+1) }{ [1+{ x }^{ 2 }][1+{ (x+h) }^{ 2 }] } ,h=1

• उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा अन्तर संकारकों के गुणधर्म (Properties of Difference Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Operators in Numerical Analysis) को समझ सकते हैं।

Example-3.\Delta [x!]
Solution–\Delta [x!]\\ =(x+h)!-x!\\ put\quad h=1\\ =(x+1)!-x!\\ =(x+1)x!-x!\\ =(x+1-1)x!\\ \Delta [x!]=x(x!)
Example-4.\Delta \cos { (ax+b) }
Solution–\Delta \cos { (ax+b) } \\ =\cos { [a(x+h)+b] } -\cos { (ax+b) } \\ =2\sin { (\frac { a(x+h)+b+ax+b }{ 2 } ) } \sin { (\frac { ax+b-a(x+h)-b }{ 2 } ) } \\ =2\sin { (\frac { ax+ah+b+ax+b }{ 2 } ) } \sin { (\frac { ax-ax-ah }{ 2 } ) } \\ =2\sin { (ax+b+\frac { ah }{ 2 } ) } \sin { (-\frac { ah }{ 2 } ) } \\ \Delta \cos { (ax+b) } =2\sin { (\frac { ah }{ 2 } ) } \cos { \{ ax+b+\frac { 1 }{ 2 } (ah+\pi )\} }

• उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा अन्तर संकारकों के गुणधर्म (Properties of Difference Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Operators in Numerical Analysis) को समझ सकते हैं।

Example-5.\Delta (\cot { { 2 }^{ x } } )
Solution–\Delta (\cot { { 2 }^{ x } } )\\ \Delta (\cot { { 2 }^{ x } } )=\cot { { 2 }^{ x+h } } -\cot { { 2 }^{ x } } \\ =\frac { \cos { { 2 }^{ x+h } } }{ \sin { { 2 }^{ x+h } } } -\frac { \cos { { 2 }^{ x } } }{ \sin { { 2 }^{ x } } } \\ =\frac { \cos { { 2 }^{ x+h } } \sin { { 2 }^{ x } } -\cos { { 2 }^{ x } } \sin { { 2 }^{ x+h } } }{ \sin { { 2 }^{ x } } \sin { { 2 }^{ x+h } } } \\ =\frac { \sin { { (2 }^{ x }-{ 2 }^{ x+h }) } }{ \sin { { 2 }^{ x } } \sin { { 2 }^{ x+h } } } \\ \Delta (\cot { { 2 }^{ x } } )=\frac { \sin { \{ (1-{ 2 }^{ h }){ 2 }^{ x }\} } }{ \sin { { 2 }^{ x } } \sin { { 2 }^{ x+h } } }
Example-6.\Delta \tan ^{ -1 }{ ax }
Solution–\Delta \tan ^{ -1 }{ ax } \\ \Delta \tan ^{ -1 }{ ax } =\tan ^{ -1 }{ a(x+h) } -\tan ^{ -1 }{ ax } \\ =\tan ^{ -1 }{ \{ \frac { ax+h-ax }{ 1+a(x+h)ax } \} } \\ =\tan ^{ -1 }{ \{ \frac { h }{ 1+{ a }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }xh } \} } \\ put\quad h=1\\ \Delta \tan ^{ -1 }{ ax } =\tan ^{ -1 }{ \{ \frac { h }{ 1+{ a }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }x } \} }

• उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा अन्तर संकारकों के गुणधर्म (Properties of Difference Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Operators in Numerical Analysis) को समझ सकते हैं।

Example-7.\Delta (x+\cos { x } )
Solution–\Delta (x+\cos { x } )\\ =\Delta x+\Delta \cos { x } \\ =x+h+\cos { (x+h) } -x-\cos { x } \\ =h+\cos { (x+h) } -\cos { x } \\ =h+2\sin { (\frac { x+h+x }{ 2 } ) } \sin { (\frac { x-x-h }{ 2 } ) } \\ =h+2\sin { (x+\frac { h }{ 2 } ) } \sin { (-\frac { h }{ 2 } ) } \\ \Delta (x+\cos { x } )=h-2\sin { (x+\frac { h }{ 2 } ) } \sin { (\frac { h }{ 2 } ) }
Example-8.\Delta (\tan ^{ -1 }{ x } -\frac { { 2 }^{ x } }{ (x+1)! } ),h=1
Solution–\Delta (\tan ^{ -1 }{ x } -\frac { { 2 }^{ x } }{ (x+1)! } )\\ =\tan ^{ -1 }{ (x+h) } -\frac { { 2 }^{ x+h } }{ (x+h+1)! } -\tan ^{ -1 }{ x } +\frac { { 2 }^{ x } }{ (x+1)! } \\ =\tan ^{ -1 }{ (x+h) } -\tan ^{ -1 }{ x } -\frac { { 2 }^{ x+h } }{ (x+h+1)! } +\frac { { 2 }^{ x } }{ (x+1)! } \\ put\quad h=1\\ =\tan ^{ -1 }{ (x+1) } -\tan ^{ -1 }{ x } -\frac { { 2 }^{ x+1 } }{ (x+2)! } +\frac { { 2 }^{ x } }{ (x+1)! } \\ =\tan ^{ -1 }{ \frac { x+1-x }{ 1+(x+1)x } } -\frac { { 2 }^{ x+1 } }{ (x+2)(x+1)! } +\frac { { 2 }^{ x } }{ (x+1)! } \\ =\tan ^{ -1 }{ \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 }+x } } -\frac { { 2 }^{ x } }{ (x+1)! } [\frac { { 2 } }{ (x+2) } -\frac { 1 }{ 1 } ]\\ =\tan ^{ -1 }{ (\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 }+x } ) } -\frac { { 2 }^{ x } }{ (x+1)! } [\frac { { 2-x-2 } }{ x+2 } ]\\ =\tan ^{ -1 }{ (\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 }+x } ) } -\frac { { 2 }^{ x } }{ (x+1)! } [\frac { { -x } }{ x+2 } ]\\ =\tan ^{ -1 }{ (\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 }+x } ) } +\frac { { 2 }^{ x }x }{ (x+2)! } \\ \Delta (\tan ^{ -1 }{ x } -\frac { { 2 }^{ x } }{ (x+1)! } )=\tan ^{ -1 }{ (\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 }+x } ) } +\frac { { 2 }^{ x }x }{ (x+2)! }

• उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा अन्तर संकारकों के गुणधर्म (Properties of Difference Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Operators in Numerical Analysis) को समझ सकते हैं।

Example-9.\Delta (\frac { { x }^{ 2 } }{ \cos { 2x } } )
Solution–\Delta (\frac { { x }^{ 2 } }{ \cos { 2x } } )\\ =\frac { { (x+h) }^{ 2 } }{ \cos { \{ 2(x+h)\} } } -\frac { { x }^{ 2 } }{ \cos { 2x } } \\ =\frac { { (x+h) }^{ 2 } }{ \cos { \{ 2x+2h\} } } -\frac { { x }^{ 2 } }{ \cos { 2x } } \\ =\frac { { x }^{ 2 }+2xh+{ h }^{ 2 } }{ \cos { (2x+2h) } } -\frac { { x }^{ 2 } }{ \cos { 2x } } \\ =\frac { { x }^{ 2 }\cos { 2x } +2xh\cos { 2x } +{ h }^{ 2 }\cos { 2x } -{ x }^{ 2 }\cos { (2x+2h) } }{ \cos { 2x } \cos { (2x+2h) } } \\ =\frac { { x }^{ 2 }\{ \cos { 2x } -\cos { (2x+2h) } \} +2xh\cos { 2x } +{ h }^{ 2 }\cos { 2x } }{ \cos { 2x } \cos { (2x+2h) } } \\ =\frac { { x }^{ 2 }.2\sin { (\frac { 2x+2x+2h }{ 2 } ) } \sin { (\frac { 2x+2h-2x }{ 2 } ) } +2xh\cos { 2x } +{ h }^{ 2 }\cos { 2x } }{ \cos { 2x } \cos { (2x+2h) } } \\ =\frac { 2{ x }^{ 2 }\sin { (2x+h) } \sin { h } +2xh\cos { 2x } +{ h }^{ 2 }\cos { 2x } }{ \cos { 2x } \cos { (2x+2h) } } \\ =\frac { 2{ x }^{ 2 }\sin { (2x+h) } \sin { h } +h(2x+h)\cos { 2x } }{ \cos { 2x } \cos { (2x+2h) } }
Example-10.{ \Delta }^{ 2 }{ x }^{ 3 }
Solution–{ \Delta }^{ 2 }{ x }^{ 3 }\\ =\Delta ({ \Delta }{ x }^{ 3 })\\ =\Delta [{ (x+h) }^{ 3 }-{ x }^{ 3 }]\\ =\Delta [{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }h+3x{ h }^{ 2 }+{ h }^{ 3 }-{ x }^{ 3 }]\\ =\Delta [3{ x }^{ 2 }h+3x{ h }^{ 2 }+{ h }^{ 3 }]\\ =3{ (x+h) }^{ 2 }h+3(x+h){ h }^{ 2 }+{ h }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }h-3x{ h }^{ 2 }-{ h }^{ 3 }\\ =3({ x }^{ 2 }+2hx+{ h }^{ 2 })h+3x{ h }^{ 2 }+3{ h }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }h-3x{ h }^{ 2 }\\ =3{ x }^{ 2 }h+6{ h }^{ 2 }x+3{ h }^{ 3 }+3x{ h }^{ 2 }+3{ h }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }h-3x{ h }^{ 2 }\\ =6{ h }^{ 2 }x+6{ h }^{ 3 }\\ =6{ h }^{ 2 }(x+h)

• उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा अन्तर संकारकों के गुणधर्म (Properties of Difference Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Operators in Numerical Analysis) को समझ सकते हैं।

Example-11.{ \Delta }^{ 2 }[\frac { { a }^{ 2x }+{ a }^{ 4x } }{ { { (a }^{ 2 }-1) }^{ 2 } } ],h=1
Solution–{ \Delta }^{ 2 }[\frac { { a }^{ 2x }+{ a }^{ 4x } }{ { { (a }^{ 2 }-1) }^{ 2 } } ]\\ =\Delta [\frac { { a }^{ 2x+2h }+{ a }^{ 4x+4h } }{ { { (a }^{ 2 }-1) }^{ 2 } } -\frac { { a }^{ 2x }+{ a }^{ 4x } }{ { { (a }^{ 2 }-1) }^{ 2 } } ]\\ =\frac { 1 }{ { { (a }^{ 2 }-1) }^{ 2 } } \Delta [{ a }^{ 2x+2h }+{ a }^{ 4x+4h }-{ a }^{ 2x }-{ a }^{ 4x }]\\ put\quad h=1\\ =\frac { 1 }{ { { (a }^{ 2 }-1) }^{ 2 } } \Delta [{ a }^{ 2x+2 }+{ a }^{ 4x+4 }-{ a }^{ 2x }-{ a }^{ 4x }]\\ =\frac { 1 }{ { { (a }^{ 2 }-1) }^{ 2 } } \Delta [{ a }^{ 2x }{ (a }^{ 2 }-1)+{ a }^{ 4x }{ (a }^{ 4 }-1)]\\ =\frac { 1 }{ { { (a }^{ 2 }-1) }^{ 2 } } \Delta [{ a }^{ 2x }{ (a }^{ 2 }-1)+{ a }^{ 4x }{ (a }^{ 2 }-1){ (a }^{ 2 }+1)]\\ =\frac { 1 }{ { { (a }^{ 2 }-1) }^{ 2 } } \Delta [{ (a }^{ 2 }-1)\{ { a }^{ 2x }+{ a }^{ 4x }{ (a }^{ 2 }+1)\} ]\\ =\frac { 1 }{ { { (a }^{ 2 }-1) }^{ 2 } } \Delta { (a }^{ 2 }-1)[{ a }^{ 2x }+{ a }^{ 4x }{ (a }^{ 2 }+1)]\\ =\frac { 1 }{ { { (a }^{ 2 }-1) } } \Delta [{ a }^{ 2x }+{ a }^{ 4x }{ (a }^{ 2 }+1)]\\ =\frac { 1 }{ { { (a }^{ 2 }-1) } } [{ a }^{ 2x+2h }+{ (a }^{ 2 }+1){ a }^{ 4x+4h }-{ a }^{ 2x }-{ a }^{ 4x }{ (a }^{ 2 }+1)]\\ put\quad h=1\\ =\frac { 1 }{ { { (a }^{ 2 }-1) } } [{ a }^{ 2x+2 }+{ (a }^{ 2 }+1){ a }^{ 4x+4 }-{ a }^{ 2x }-{ (a }^{ 2 }+1){ a }^{ 4x }]\\ =\frac { 1 }{ { { (a }^{ 2 }-1) } } [{ a }^{ 2x }{ (a }^{ 2 }-1)+{ a }^{ 4x }\{ { (a }^{ 2 }+1){ a }^{ 4 }-{ (a }^{ 2 }+1)\} ]\\ =\frac { 1 }{ { { (a }^{ 2 }-1) } } [{ a }^{ 2x }{ (a }^{ 2 }-1)+{ a }^{ 4x }{ (a }^{ 2 }+1)({ a }^{ 4 }-1)]\\ =\frac { 1 }{ { { (a }^{ 2 }-1) } } [{ a }^{ 2x }{ (a }^{ 2 }-1)+{ a }^{ 4x }{ (a }^{ 2 }+1){ (a }^{ 2 }+1){ (a }^{ 2 }-1)]\\ =\frac { 1 }{ { { (a }^{ 2 }-1) } } { (a }^{ 2 }-1)[{ a }^{ 2x }+{ a }^{ 4x }{ { (a }^{ 2 }+1) }^{ 2 }]\\ { \Delta }^{ 2 }[\frac { { a }^{ 2x }+{ a }^{ 4x } }{ { { (a }^{ 2 }-1) }^{ 2 } } ]={ a }^{ 2x }+{ a }^{ 4x }{ { (a }^{ 2 }+1) }^{ 2 }
Example-12.{ \Delta }^{ 3 }[\frac { 1 }{ (3x+1)(3x+4)(3x+7) } ],h=1
Solution–{ \Delta }^{ 3 }[\frac { 1 }{ (3x+1)(3x+4)(3x+7) } ]\\ ={ \Delta }^{ 2 }[\Delta \frac { 1 }{ (3x+1)(3x+4)(3x+7) } ]\\ ={ \Delta }^{ 2 }[\frac { 1 }{ (3x+3h+1)(3x+3h+4)(3x+3h+7) } -\frac { 1 }{ (3x+1)(3x+4)(3x+7) } ]\\ put\quad h=1\\ ={ \Delta }^{ 2 }[\frac { 1 }{ (3x+4)(3x+7)(3x+10) } -\frac { 1 }{ (3x+1)(3x+4)(3x+7) } ]\\ ={ \Delta }^{ 2 }[\frac { 3x+1-3x-10 }{ (3x+1)(3x+4)(3x+7)(3x+10) } ]\\ ={ \Delta }^{ 2 }[\frac { -9 }{ (3x+1)(3x+4)(3x+7)(3x+10) } ]\\ ={ \Delta }[\Delta \frac { -9 }{ (3x+1)(3x+4)(3x+7)(3x+10) } ]\\ ={ \Delta }[\frac { -9 }{ (3x+3h+1)(3x+3h+4)(3x+3h+7)(3x+3h+10) } +\frac { 9 }{ (3x+1)(3x+4)(3x+7)(3x+10) } ]\\ put\quad h=1\\ =9{ \Delta }[\frac { -1 }{ (3x+4)(3x+7)(3x+10)(3x+13) } +\frac { 1 }{ (3x+1)(3x+4)(3x+7)(3x+10) } ]\\ =9{ \Delta }[\frac { -3x-1+3x+13 }{ (3x+1)(3x+4)(3x+7)(3x+10)(3x+13) } ]\\ =9{ \Delta }[\frac { 12 }{ (3x+1)(3x+4)(3x+7)(3x+10)(3x+13) } ]\\ =108[\frac { 1 }{ (3x+3h+1)(3x+3h+4)(3x+3h+7)(3x+3h+10)(3x+3h+13) } -\frac { 1 }{ (3x+1)(3x+4)(3x+7)(3x+10)(3x+13) } ]\\ put\quad h=1\\ =108[\frac { 1 }{ (3x+4)(3x+7)(3x+10)(3x+13)(3x+16) } -\frac { 1 }{ (3x+1)(3x+4)(3x+7)(3x+10)(3x+13) } ]\\ =108[\frac { 3x+1-3x+16 }{ (3x+1)(3x+4)(3x+7)(3x+10)(3x+13)(3x+16) } ]\\ =\frac { -1620 }{ (3x+1)(3x+4)(3x+7)(3x+10)(3x+13)(3x+16) }

• उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अन्तर संकारकों के गुणधर्म (Properties of Difference Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Operators in Numerical Analysis) को समझ सकते हैं।

3.अन्तर संकारकों के गुणधर्म की समस्याएं (Properties of Difference Operators Problems),संख्यात्मक विश्लेषण में अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध की समस्याएं (Properties and Relations of Difference Operators Problems in Numerical Analysis)-

• निम्न के मान ज्ञात करो (Evaluate the following):

(1)\Delta a{ b }^{ cx },h=1\\ (2)\Delta (\log { x } )\\ (3)\nabla ({ x }^{ 2 }+2x)\\ (4)\Delta ({ e }^{ 2x }\log { 3x } )\\ (5){ \Delta }^{ 2 }(3{ e }^{ x })\\ (6){ \Delta }^{ 4 }(a{ e }^{ x })\\ (7)(\frac { { \Delta }^{ 2 } }{ E } ){ x }^{ 2 }\\ (8){ E }^{ n }({ e }^{ x })\\ (9){ \Delta }^{ 2 }(\cos { 2x } )

(10.)प्रदर्शित कीजिए कि (Show that)

{ e }^{ x }=(\frac { { \Delta }^{ 2 } }{ E } ){ e }^{ x }\frac { E{ e }^{ x } }{ { \Delta }^{ 2 }{ e }^{ x } }

• उत्तर-
  (1)a{ b }^{ cx }({ b }^{ c }-1)\\ (2)\log { (1+\frac { 1 }{ x } ) } \\ (3)2x+1,h=1\\ (4){ e }^{ 2x }[{ e }^{ 2h }\log { \{ 1+\frac { h }{ x } \} } +({ e }^{ 2h }-1)\log { 3x } ]\\ (5)3{ ({ e }^{ h }-1) }^{ 2 }{ e }^{ x }\\ (6)a{ (e-1) }^{ 4 }{ e }^{ x },h=1\\ (7)2{ h }^{ 2 }\\ (8){ e }^{ x+nh }\\ (9)-4\sin ^{ 2 }{ h } \cos { (2x+2h) }
• उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अन्तर संकारकों के गुणधर्म (Properties of Difference Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Operators in Numerical Analysis) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.अग्रांतर ऑपरेटर का प्रतीक क्या है? (What is the symbol of forward difference operator?)-

• एक अंतर ऑपरेटर, जिसे Δ द्वारा दर्शाया जाता है, समीकरण Δf(x) = f(x + h) -f(x) द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां h एक अचर संकेत है जो अन्तर्वेशन या गणना के क्रमिक बिंदुओं के बीच अंतर को दर्शाता है।अग्रेषित अंतर ऑपरेटर को [DELTA] द्वारा निरूपित किया जाता है।

5.ऑपरेटर संख्यात्मक विश्लेषण क्या है? (What is operator numerical analysis?)-

• संख्यात्मक विश्लेषण / संगणना में ऑपरेटरों का बहुत उपयोग किया जाता है।अक्सर इस्तेमाल किए जाने वाले ऑपरेटरों में से कुछ, अर्थात् अग्रांतर (forward difference) [ ∆], पश्चान्तर (Backward Difference)[∇], केंद्रीय अंतर (Central Difference)[ δ], शिफ्ट (shift) (E) और माध्य(mean) (µ) इस मॉड्यूल में चर्चा किए गए हैं।इस खंड में, इन ऑपरेटरों पर चर्चा की गई है।

6.निम्नलिखित में से किस प्रतीक को केंद्रीय अंतर ऑपरेटर कहा जाता है? (Which of the following symbol is called central difference operator?)-

• एक अंतर ऑपरेटर, जो ∂, समीकरण ∂(x) = f(x + h / 2) -f(x-h / 2) द्वारा परिभाषित किया गया है,जहां h एक अचर निरूपण है जो अन्तर्वेशन या गणना के क्रमिक बिंदुओं के बीच के अंतर को दर्शाता है।

7.संख्यात्मक विश्लेषण में ऑपरेटरों के बीच संबंध (Relationship between operators in numerical analysis)-

• विभिन्न प्रकार के परिमित अंतर ऑपरेटरों को परिभाषित किया जाता है, उनमें से अग्रांतर, बैकवर्ड अंतर और केंद्रीय अंतर ऑपरेटरों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

8.संख्यात्मक विधियों में परिमित अंतर ऑपरेटर (Finite difference operators in numerical methods)-

• परिमित अंतर x के परिमित परिवर्तनों के कारण फ़ंक्शन f (x) के मान में होने वाले परिवर्तनों से संबंधित होता है। परिमित अंतर ऑपरेटरों में शामिल हैं,फॉरवर्ड अंतर ऑपरेटर, बैकवर्ड अंतर ऑपरेटर, शिफ्ट ऑपरेटर, केंद्रीय अंतर ऑपरेटर और माध्य ऑपरेटर।

9.अग्र और पश्च अंतर ऑपरेटर के बीच संबंध (Relation between forward and backward difference operator)-

• सबसे पहले, हम अग्र और पश्च अंतर ऑपरेटरों के बीच संबंध निर्धारित करते हैं।E और ∆ ऑपरेटरों के बीच एक अच्छा संबंध है।
• ∆f (x) = f (x + h) – f (x) = Ef (x) – f (x) = (E – 1) f (x)।

10.अग्रांतर ऑपरेटर (Forward difference operator)-

• प्रतीक ∆ को अग्रांतर ऑपरेटर कहा जाता है और इसे डेल्टा के रूप में उच्चारण किया जाता है।अग्रांतर ऑपरेटर ∆ को Df(x) = f(x+h)-f(x) के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, h रिक्ति के बराबर अंतराल है।

11.अग्रांतर ऑपरेटर के गुणधर्म (Properties of forward difference operator)-
फ़ॉरवर्ड डिफरेंट ऑपरेटर (∆):-

• y = f (x) ,x का दिया गया फलन है।प्रतीक ∆ को अग्रांतर ऑपरेटर कहा जाता है और डेल्टा के रूप में उच्चारण किया जाता है।अग्रांतर ऑपरेटर ∆ को Df(x) = f(x+h)-f(x) के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, h रिक्ति के बराबर अंतराल है।

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