1.संयुग्मी सम्मिश्र संख्या के गुणधर्म,निरपेक्ष मान तथा संयुग्मी सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्म का परिचय (Introduction to Properties of conjugate complex number,Properties of absolute values ​​and conjugate complex numbers)-

Properties of conjugate complex number

संयुग्मी सम्मिश्र संख्या  के गुणधर्म,निरपेक्ष मान तथा संयुग्मी सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्म (Properties of conjugate complex number,Properties of absolute values ​​and conjugate complex numbers) का अध्ययन करने के लिए सम्मिश्र संख्या, गुणात्मक प्रतिलोम तथा संयुग्मी सम्मिश्र संख्या के बारे में जानना आवश्यक है।
(1.)सम्मिश्र संख्या (Complex Number)-
a+ib के रूप की कोई संख्या अथवा व्यंजक जहां a और b वास्तविक संख्या हैं तथा i काल्पनिक संख्या है।यदि a=0 हो तथा b अशून्य राशि हो तो यह शुद्ध काल्पनिक संख्या होती है।यदि b=0 हो तथा a अशून्य राशि हो तो यह शुद्ध वास्तविक संख्या होती है।
(2.)सम्मिश्र संख्याओं का योग तथा व्यवकलन
सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय C=R×R वास्तविक संख्याओं का क्रम युग्मों का समुच्चय है। इसमें दो सम्मिश्र संख्याओं की समानता तथा योग एवं गुणन संक्रियाएं निम्न प्रकार परिभाषित है-
यदि { z }_{ 1 }=(a,b) तथा { z }_{ 2 }=(c,d)

(i){ z }_{ 1 }={ z }_{ 2 }\Leftrightarrow a=c तथा b=d
(ii){ z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)[योग]
(iii){ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }=(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)[गुणा]
समुच्चय C में शून्य (योज्य तत्समक) अवयव (0,0) है तथा इकाई गुणन के लिए तत्समक अवयव (1,0) है।साथ ही C के अशून्य अवयव (a,b)\neq (0,0) का गुणात्मक प्रतिलोम (\frac { a }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \frac { -b }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } ) है जो कि C का अवयव है।
सम्मिश्र संख्या z=a+ib में a सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग तथा b सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग है। वास्तविक भाग को Re(z) तथा काल्पनिक भाग को Im(z) से निरूपित करते हैं।
(3.)निरपेक्ष मान (Absolute value)-
यदि z=(a,b)=a+ib तब |z|=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } को z का निरपेक्ष मान या मापांक कहते हैं।
पुनः \overline { z } =a-\iota b=(a,-b) को सम्मिश्र संख्या z का संयुग्मी (Conjugate) कहते हैं।स्पष्ट है कि { |z| }^{ 2 }=z\bar { z }
विशेषतः z\neq 0\quad तब

\frac { 1 }{ z } =\frac { \overline { z } }{ { |z| }^{ 2 } }
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2.संयुग्मी सम्मिश्र संख्या के गुणधर्म,निरपेक्ष मान तथा संयुग्मी सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्म,सम्मिश्र संख्याओं के निम्न गुणधर्मों को सिद्ध करो (Properties of conjugate complex number,Properties of absolute values ​​and conjugate complex numbers,prove the following properties of complex numbers)-

Properties of conjugate complex number

(1.)z+\overline { z } =2Re(z)
Proof-Let \quad z=a+\iota b;a,b\epsilon R\quad then\\ z+\overline { z } =(a+\iota b)+(a-\iota b)=2a=2[R(z)]
(2.)z-\overline { z } =2i[Im(z)]
Proof- z-\overline { z } =(a+ib)-(a-ib)\\ =2ib=2i[Im(z)]
(3.)\overline { \overline { z } } =z
Proof-\overline { \overline { z } } =\overline { (a-ib) } \\ =a-(-ib)\\ =a+ib=z
(4.)\overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } =\overline { { z }_{ 1 } } +\overline { { z }_{ 2 } }
Proof-{ z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }=a+ib+c+id\\ =(a+c)+i(b+d)\\ \Rightarrow \overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } =(a+c)-i(b+d)\\ =a+c-ib-id\\ =a-ib+c-id\\ =\overline { { z }_{ 1 } } +\overline { { z }_{ 2 } }
(5.)\overline { { z }_{ 1 }-{ z }_{ 2 } } =\overline { { z }_{ 1 } } -\overline { { z }_{ 2 } }
Proof-{ z }_{ 1 }-{ z }_{ 2 }=a+ib-(c+id)\\ \quad \quad \quad \quad =(a-c)+i(b-d)\\ \Rightarrow \overline { { z }_{ 1 }-{ z }_{ 2 } } =(a-c)-i(b-d)\\ =a-c-ib+id\\ =(a-ib)-(c-id)\\ =\overline { { z }_{ 1 } } -\overline { { z }_{ 2 } }
(6.)\overline { { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } =\overline { { z }_{ 1 } } .\overline { { z }_{ 2 } }
Proof-{ z }_{ 1 }.{ z }_{ 2 }=(a+ib)(c+id)\\ =ac+iad+ibc-bd\\ =(ac-bd)+i(ad+bc)\\ \Rightarrow \overline { { z }_{ 1 }.{ z }_{ 2 } } =(ac-bd)-i(ad+bc)...(1)
and \overline { { z }_{ 1 } } .\overline { { z }_{ 2 } } =(a-ib)(c-id)\\ =ac-iad-ibc-bd\\ =(ac-bd)-i(ad+bc)..(2)
From (1) and (2),we get

\overline { { z }_{ 1 }.{ z }_{ 2 } } =\overline { { z }_{ 1 } } .\overline { { z }_{ 2 } }
(7.)(\overline { \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } } )=\frac { \overline { { z }_{ 1 } } }{ \overline { { z }_{ 2 } } } ,{ z }_{ 2 }\neq 0
Proof-\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } =\frac { a+ib }{ c+id } \\ =\frac { a+ib }{ c+id } \times \frac { c-id }{ c-id } \\ =\frac { ac-iad+ibc+bd }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } \\ =\frac { ac+bd }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } +\frac { i(bc-ad) }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } \\ \Rightarrow (\overline { \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } } )=\frac { ac+bd }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } -\frac { \iota (bc-ad) }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } }
and \frac { \overline { { z }_{ 1 } } }{ \overline { { z }_{ 2 } } } =\frac { (a-ib) }{ (c-id) } \times \frac { (c+id) }{ (c+id) } \\ =\frac { ac+iad-ibc+bd }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { \overline { { z }_{ 1 } } }{ \overline { { z }_{ 2 } } } =\frac { ac+bd }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } -\frac { i(bc-ad) }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } …(2)
From (1) and (2)-

(\overline { \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } } )=\frac { \overline { { z }_{ 1 } } }{ \overline { { z }_{ 2 } } }
(8.)z\overline { z } ={ [Re(z)] }^{ 2 }+{ [Im(z)] }^{ 2 }
Proof-z\overline { z } =(a+ib)(a-ib)={ a }^{ 2 }-{ i }^{ 2 }{ b }^{ 2 }\\ ={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\\ \Rightarrow z\overline { z } ={ [Re(z)] }^{ 2 }+{ [Im(z)] }^{ 2 }
(9.)|z|\ge |Re(z)|\ge Re(z);|z|\ge |Im(z)|\ge Im(z)
Proof- Letz=a+ib\quad then\quad |z|=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \\ Where\quad Re(z)=a,Im(z)=b\\ \therefore |z|\ge Re(z)\quad and\quad |z|\ge Im(z)
(10.)|z|=|\overline { z } |
Proof-Letz=a+ib,\overline { z } =a-ib\\ |z|=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } ..(1)
and \overline { z } |=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } ..(2)
From (1) and (2)

|z|=|\overline { z } |
(11.)z\overline { z } ={ |z| }^{ 2 }
Proof-z\overline { z } =(a+ib)(a-ib)\\ ={ a }^{ 2 }-{ i }^{ 2 }{ b }^{ 2 }\\ ={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }..(1)
and { |z| }^{ 2 }={ |a+\iota b| }^{ 2 }\\ ={ (\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } ) }^{ 2 }\\ ={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }…(2)
From (1) and (2)

z\overline { z } ={ |z| }^{ 2 }
(12.)|{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }|=|{ z }_{ 1 }||{ z }_{ 2 }|
Proof-{ z }_{ 1 }=a+ib\quad and\quad { z }_{ 2 }=c+id\\ { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }=(a+ib)(c+id)\\ =(ac-bd)+i(ad+bc)\\ |{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }|=\sqrt { { (ac-bd) }^{ 2 }+{ (ad+bc) }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { a }^{ 2 }{ c }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }{ d }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }d^{ 2 }+{ b }^{ 2 }c^{ 2 } } \\ =\sqrt { ({ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 })(c^{ 2 }+{ d }^{ 2 }) } \\ =\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \sqrt { c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } \\ =|{ z }_{ 1 }||{ z }_{ 2 }|
(13.)|\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } |=\frac { |{ z }_{ 1 }| }{ |{ z }_{ 2 }| } ;|{ z }_{ 2 }|\neq 0
Proof-{ z }_{ 1 }=(a+\iota b)\quad and\quad { z }_{ 2 }=(c+\iota d)\\ \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } =\frac { (a+ib) }{ (c+id) } \\ =\frac { (a+ib) }{ (c+id) } \times \frac { (c-id) }{ (c-id) } \\ =\frac { ac-iad+ibc+bd }{ c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } \\ =\frac { ac+bd }{ c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } +\frac { \iota (bc-ad) }{ c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } \\ \Rightarrow |\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } |=|\frac { ac+bd }{ c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } +\frac { \iota (bc-ad) }{ c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } |\\ |\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } |=\sqrt { { (\frac { ac+bd }{ c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } ) }^{ 2 }+{ (\frac { (bc-ad) }{ c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } ) }^{ 2 } } \\ =\sqrt { \frac { ({ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 })(c^{ 2 }+{ d }^{ 2 }) }{ { (c^{ 2 }+{ d }^{ 2 }) }^{ 2 } } } \\ =\sqrt { \frac { ({ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }) }{ { (c^{ 2 }+{ d }^{ 2 }) } } } \\ =\frac { \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } }{ \sqrt { c^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } } \\ \Rightarrow |\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } |=\frac { \left| { z }_{ 1 } \right| }{ \left| { z }_{ 2 } \right| }
(14.)|{ z }_{ 1 }{ +z }_{ 2 }|\le |{ z }_{ 1 }|+|{ z }_{ 2 }|
Proof-{ |{ z }_{ 1 }{ +z }_{ 2 }| }^{ 2 }=({ z }_{ 1 }{ +z }_{ 2 })(\overline { { z }_{ 1 }{ +z }_{ 2 } } )\quad \quad \quad [\because { |{ z }| }^{ 2 }=z\overline { z } ]\\ =({ z }_{ 1 }{ +z }_{ 2 })(\overline { { z }_{ 1 } } +\overline { { z }_{ 2 } } )\qquad \qquad [\because { |\overline { { z }_{ 1 }{ +z }_{ 2 } } | }=\overline { { z }_{ 1 } } +\overline { { z }_{ 2 } } ]\\ ={ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 1 } } +\overline { { { z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } } } +{ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } { +z }_{ 2 }\overline { { z }_{ 2 } } \qquad [\overline { { \because \overline { { z } } } } =z]\\ ={ |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }+2Re({ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } )+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }\qquad [2Re(z)\le { |{ { z } }| }]\\ \le { |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }+2{ |{ { z }_{ 1 } }| }{ |{ \overline { { z }_{ 2 } } }| }+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }\\ \le { |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }+2{ |{ { z }_{ 1 } }| }{ |{ { { z }_{ 2 } } }| }+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }\\ \le { [{ |{ z }_{ 1 }|+|{ z }_{ 2 }| }] }^{ 2 }\\ |{ z }_{ 1 }{ +z }_{ 2 }|\le |{ z }_{ 1 }|+|{ z }_{ 2 }|
(15.)|{ z }_{ 1 }{ -z }_{ 2 }|\ge |{ z }_{ 1 }|-|{ z }_{ 2 }|
Proof-{ |{ z }_{ 1 }{ -z }_{ 2 }| }^{ 2 }=({ z }_{ 1 }{ -z }_{ 2 })\overline { ({ z }_{ 1 }{ -z }_{ 2 }) } \\ =({ z }_{ 1 }{ -z }_{ 2 })(\overline { { z }_{ 1 } } -\overline { { z }_{ 2 } } )\\ ={ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 1 } } -\overline { { { z }_{ 1 } } } { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } { +z }_{ 2 }\overline { { z }_{ 2 } } \\ ={ |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }-(\overline { { { z }_{ 1 } } } { z }_{ 2 }+{ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } )+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }\\ ={ |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }-(\overline { { z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } } +{ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } )+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }\\ ={ |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }-[2Re({ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } )]+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }\quad [\because z+\bar { z } =Re({ z })]\\ \ge { |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }-2|{ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } |+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }\quad [\because 2Re({ z })\le \left| z \right| ]\\ \ge { |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }-2|{ z }_{ 1 }||\overline { { z }_{ 2 } } |+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }\\ \ge { |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }-2|{ z }_{ 1 }||{ z }_{ 2 }|+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }\\ \ge { [|{ z }_{ 1 }|-|{ z }_{ 2 }|] }^{ 2 }\\ \therefore |{ z }_{ 1 }{ -z }_{ 2 }|\ge |{ z }_{ 1 }|-|{ z }_{ 2 }|
(16.)|{ z }_{ 1 }{ -z }_{ 2 }|\le |{ z }_{ 1 }|+|{ z }_{ 2 }|
Proof-{ |{ z }_{ 1 }{ -z }_{ 2 }| }^{ 2 }=({ z }_{ 1 }{ -z }_{ 2 })\overline { ({ z }_{ 1 }{ -z }_{ 2 }) } \\ =({ z }_{ 1 }{ -z }_{ 2 })(\overline { { z }_{ 1 } } -\overline { { z }_{ 2 } } )\\ ={ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 1 } } -{ z }_{ 1 }\overline { { { z }_{ 2 } } } -{ z }_{ 2 }\overline { { z }_{ 1 } } { +z }_{ 2 }\overline { { z }_{ 2 } } \\ ={ |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }-({ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } } )+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }[\because \overline { \overline { { z } } } =z]\\ ={ |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }-[2Re({ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } )]+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }[\because z+\bar { z } =2Re({ z })]\\ \ge { |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }+2|{ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } |+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }[\because -2Re({ z })\le \left| z \right| ]\\ \ge { |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }+2|{ z }_{ 1 }||\overline { { z }_{ 2 } } |+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }\\ \ge { |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }+2|{ z }_{ 1 }||{ z }_{ 2 }|+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }[\because \bar { \left| z \right| } =\left| z \right| ]\\ \ge { [|{ z }_{ 1 }|+|{ z }_{ 2 }|] }^{ 2 }\\ \therefore |{ z }_{ 1 }{ -z }_{ 2 }|\le |{ z }_{ 1 }|+|{ z }_{ 2 }|
(17.)|{ z }_{ 1 }{ +z }_{ 2 }|\ge |{ z }_{ 1 }|-|{ z }_{ 2 }|
Proof-{ |{ z }_{ 1 }{ +z }_{ 2 }| }^{ 2 }=({ z }_{ 1 }{ +z }_{ 2 })\overline { ({ z }_{ 1 }{ +z }_{ 2 }) } [{ |{ z }| }^{ 2 }=z\bar { z } ]\\ =({ z }_{ 1 }{ +z }_{ 2 })(\overline { { z }_{ 1 } } +\overline { { z }_{ 2 } } )[\because \overline { { z }_{ 1 }{ +z }_{ 2 } } =\overline { { z }_{ 1 } } +\overline { { z }_{ 2 } } ]\\ ={ |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }+{ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 1 } } { z }_{ 2 }+{ z }_{ 2 }\overline { { z }_{ 2 } } \\ ={ |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }+{ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 1 } } { z }_{ 2 }+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }[z\bar { z } ={ |{ z }| }^{ 2 }]\\ ={ |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }+({ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } +\overline { { z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } } )+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }\\ ={ |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }+2Re({ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } )+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }[\because z+\bar { z } =2Re({ z })]\\ \ge { |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }-2|{ z }_{ 1 }\overline { { z }_{ 2 } } |+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }\\ \ge { |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }-2|{ z }_{ 1 }||\overline { { z }_{ 2 } } |+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }\\ \ge { |{ { z }_{ 1 } }| }^{ 2 }-2|{ z }_{ 1 }||{ z }_{ 2 }|+{ |{ { z }_{ 2 } }| }^{ 2 }\\ \ge { [|{ z }_{ 1 }|-|{ z }_{ 2 }|] }^{ 2 }\\ \therefore |{ z }_{ 1 }{ +z }_{ 2 }|\ge |{ z }_{ 1 }|-|{ z }_{ 2 }|

उपर्युक्त से संयुग्मी सम्मिश्र संख्या के गुणधर्म,निरपेक्ष मान तथा संयुग्मी सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्म (Properties of conjugate complex number,Properties of absolute values ​​and conjugate complex numbers) को समझा जा सकता है।

3.सम्मिश्र संख्याओं के गुण क्या हैं? (What are the properties of complex numbers?)-

(1.)जब a, b वास्तविक संख्या और a + ib = 0 हैं तो a = 0, b = 0.
(2.)जब a, b, c और d वास्तविक संख्या हैं और a + ib = c + id तो a = c और b = d।
(3.)किसी भी तीन सेट के लिए सम्मिश्र संख्या { Z }_{ 1 },{ Z }_{ 2 } और { Z }_{ 3 } कम्यूटेटिव, साहचर्य और वितरण संबंधी नियमों को संतुष्ट करता है।
(4.)दो संयुग्मित सम्मिश्र संख्याओं का योग वास्तविक है।

4.एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्मी क्या है? (What is conjugate of a complex number?)-

Properties of conjugate complex number

सम्मिश्र संयुग्मी तब होता है जब “दो सम्मिश्र संख्याओं में से प्रत्येक का वास्तविक भाग समान होता है और उनके काल्पनिक भाग समान परिमाण लेकिन विपरीत चिन्ह के होते हैं।”

5.सम्मिश्र संख्या में जेड बार क्या है? (What is Z Bar in complex number?)-

एक सम्मिश्र संख्या के मापांक
यह महसूस करने का एक तरीका है कि हम कितनी बड़ी संख्या में काम कर रहे हैं।हम सम्मिश्र संयुग्मी लेते हैं और इसे (1) में किए गए सम्मिश्र संख्या से गुणा करते हैं। इसलिए, हम एक सम्मिश्र संख्या के निरपेक्ष मान या मापांक के वर्ग के रूप में गुणा { \left| Z \right| }^{ 2 }=Z\bar { Z } को परिभाषित करते हैं।

6.संयुग्मी Z क्या है? (What is conjugate Z?)-

Properties of conjugate complex number

संयुग्मी सम्मिश्र संख्याओं की परिभाषा: किसी भी दो जटिल संख्याओं में, यदि केवल काल्पनिक भाग का चिन्ह भिन्न होता है, तो उन्हें एक दूसरे के सम्मिश्र संयुग्मी के रूप में जाना जाता है।एक जटिल संख्या z = a + ib, जिसे z द्वारा चिह्नित किया गया है, के रूप में परिभाषित किया गया है। –Z = a – ib यानी, a + ib = a – ib।

7.सम्मिश्र संयुग्मी गुणन (complex conjugate multiplication)-

सम्मिश्र संयुग्मी में एक बहुत ही विशेष गुण होता है।विचार करें कि क्या होता है जब हम एक सम्मिश्र संख्या को उसके सम्मिश्र संयुग्मी से गुणा करते हैं।हम पाते हैं कि उत्तर विशुद्ध रूप से वास्तविक संख्या है – इसका कोई काल्पनिक हिस्सा नहीं है।यह हमेशा तब होता है जब एक सम्मिश्र संख्या को इसके संयुग्मी द्वारा गुणा किया जाता है – परिणाम वास्तविक संख्या है।

8.एक फलन का सम्मिश्र संयुग्मी (complex conjugate of a function)-

Properties of conjugate complex number

जब एक वास्तविक फ़ंक्शन से वास्तविक धनात्मक निश्चित मात्रा की आवश्यकता होती है, तो फ़ंक्शन के वर्ग का उपयोग किया जा सकता है।एक सम्मिश्र फ़ंक्शन के मामले में, उस उद्देश्य को पूरा करने के लिए सम्मिश्र संयुग्मी का उपयोग किया जाता है।एक सम्मिश्र संख्या और उसके सम्मिश्र संयुग्मी का गुणनखंड एक वास्तविक फलन को व्यवस्थित करने के लिए सम्मिश्र संख्या अनुरूप है।

उपर्युक्त से संयुग्मी सम्मिश्र संख्या के गुणधर्म,निरपेक्ष मान तथा संयुग्मी सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्म (Properties of conjugate complex number,Properties of absolute values ​​and conjugate complex numbers) को समझा जा सकता है।

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