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Product of Inertia in Dynamics

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1 1.गतिविज्ञान में जड़त्व गुणन (Product of Inertia in Dynamics),जड़त्व-आघूर्ण (Moment of Inertia):
1.2 3.गतिविज्ञान में जड़त्व गुणन की समस्याएँ (Product of Inertia in Dynamics Problems):

1.गतिविज्ञान में जड़त्व गुणन (Product of Inertia in Dynamics),जड़त्व-आघूर्ण (Moment of Inertia):

गतिविज्ञान में जड़त्व गुणन (Product of Inertia in Dynamics) के इस आर्टिकल में किसी पिण्ड का किसी रेखा अथवा दो लम्ब निर्देशाक्ष के सापेक्ष जड़त्व गुणनफल ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.गतिविज्ञान में जड़त्व गुणन के उदाहरण (Product of Inertia in Dynamics Examples):

Example:8.प्रदर्शित करो कि निम्न प्रत्येक स्थिति में जड़त्व गुणन शून्य है:
(i)वृत्ताकार तार का इसके दो लम्बवत व्यासों के सापेक्ष,
(ii)दीर्घवृत्तीय चकती का दीर्घ एवं लघु अक्ष के सापेक्ष,
(iii)वृत्ताकार चकती का तल में केन्द्र से गुजरने वाली दो लम्बवत अक्षों के सापेक्ष।
(Prove that the product of inertia in the following case vanishes:
(i)circular wire about its two perpendicular diameters,
(ii)elliptic disc about major and minor axes,
(iii)circular disc about two perpendicular axes in its plane through the centre.)
Solution:8(i).मान लो दिया हुआ वृत्ताकार तार OABPQO है जिसके दो लम्बवत व्यास OB व TA है तथा OB=TA=2r है।वृत्त के केन्द्र को ध्रुव लेने पर P के निर्देशांक (r,θ)(r,\theta) हों,तो अवयव चाप PQ=rδθr \delta \theta
तार की परिधि=2πr2 \pi r
तथा तार का घनत्व ρ=M2πr\rho=\frac{M}{2 \pi r}
जहाँ M वृत्ताकार तार की संहति है।

तार के अवयव की OB से दूरी=PM=rsinθr \sin \theta
तथा तार के अवयव की TA से दूरी=PL=rcosθr \cos \theta
तार के अवयव का OB तथा TA के परितः जड़त्व-गुणनफल=M2πrrδθ(rsinθ)(rcosθ)\frac{M}{2 \pi r} \cdot r \delta \theta \left( r \sin \theta \right)(r \cos \theta)
वृत्ताकार तार का OB तथा TA के परितः जड़त्व गुणनफल=0πM2πrr(rsinθ)(rcosθ)dθ=M4πr20πsin2θdθ=Mr24π[cos2θ2]0π=Mr28π[cos2π+cos0]=πr28π[1+1]=0\int_0^\pi \frac{M}{2 \pi r} \cdot r \cdot(r \sin \theta)(r \cos \theta) d \theta \\ =\frac{M}{4 \pi} r^2 \int_0^\pi \sin 2 \theta d \theta \\=\frac{M r^2}{4 \pi}\left[-\frac{\cos 2 \theta}{2}\right]_0^\pi \\ =\frac{M r^2}{8 \pi}[-\cos 2 \pi+\cos 0] \\ =\frac{\pi r^2}{8 \pi}[-1+1] \\ =0
Solution:8(ii).माना दीर्घवृत्तीय चकती की संहति M है तथा दीर्घवृत्त के OA तथा OB दीर्घ व लघु अक्ष है और इसका समीकरण है:

x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

दीर्घवृत्तीय चकती का एक अवयव δxδy\delta x \delta y का OA तथा OB के सापेक्ष जड़त्व-गुणन=(अवयव δxδy\delta x \delta y की संहति)x. y

=Mπabδxδyxy\frac{M}{\pi a b} \delta x \delta y \cdot x \cdot y
अतः दीर्घवृत्तीय चकती का OA व OB के सापेक्ष जड़त्व-गुणन
=aaba(a2x2)ba(a2x2) Mπabxydxdy=0\int_{-a}^a \int_{-\frac{b}{a}\sqrt{\left(a^2-x^2\right)}}^{\frac{b}{a} \sqrt{\left(a^2-x^2\right)}} \frac{M}{\pi a b} x y d x d y \\ =0 [विषम फलन है और विषम फलन का समाकलन शून्य होता है]
Solution:8(iii).मान लो कि दी हुई वृत्ताकार चकती OABC है जिसके केन्द्र से गुजरने वाले दो अक्ष OX तथा OY हों तो अवयव चाप PQRS=δxδy\delta x \delta y

तार की परिधि=2πr2 \pi r
तथा तार का घनत्व ρ=M2πr\rho=\frac{M}{2 \pi r}
जहाँ वृत्ताकार तार की संहति M है।
तार के अवयव की OX से दूरी=y
तथा के अवयव की OY से दूरी=x
तार के अवयव का OX तथा OY के परितः जड़त्व गुणनफल =M2πrδxδyxy\frac{M}{2 \pi r} \delta x \delta y \cdot x \cdot y
वृत्ताकार तार का OX तथा OY के परितः जड़त्व गुणनफल=aaaaM2πrdxdyxy=M2πraaaaxydxdy=0\int_{-a}^a \int_{-a}^a \frac{M}{2 \pi r} d x d y x \cdot y \\ =\frac{M}{2 \pi r} \int_{-a}^a \int_{-a}^a x y d x d y \\ =0 [विषम फलन का समाकलन शून्य होता है]
Example:9.एक समकोण त्रिभुज का,समकोण बनानेवाली भुजाओं 2a,2b के सापेक्ष जड़त्व गुणन ज्ञात करिए।
(Find the P. I. of a right angled triangle about side 2a,2b containing the right angle:)
Solution:माना ABC\triangle ABC जिसका कोण B समकोण है तथा AB=2a व BC=2b है।समकोण त्रिभुज के अवयव PQRS=δxδy\delta x \delta y
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल =12×2a×2b=2ab\frac{1}{2} \times 2 a \times 2 b \\ =2 a b
तथा समकोण त्रिभुज का घनत्व ρ=M2ab\rho=\frac{M}{2 a b}
जहाँ M समकोण त्रिभुज की संहति है।

त्रिभुज के अवयव की BC से दूरी=y
त्रिभुज के अवयव की AB से दूरी=x
त्रिभुज के अवयव का BC व AB के परितः जड़त्व-गुणन =M2abδxδyxyABCRDCABDR=BCDC2by+sy=2a2bxδx δy\frac{M}{2 a b} \delta x \delta y \cdot x \cdot y \\ \triangle A B C \sim \triangle R D C \\ \frac{A B}{D R}=\frac{BC}{DC} \\ \frac{2 b}{y+s y}=\frac{2 a}{2 b-x-\delta x}  \\ \delta yδx\delta x को नगण्य मानने पर

2ay=2b2bxy=ab(2bx)(1)\Rightarrow \frac{2 a}{y}=\frac{2 b}{2 b-x} \\ \Rightarrow y=\frac{a}{b}(2 b-x) \cdots(1)
समकोण ABC\triangle ABC का AB व BC के परितः जड़त्व-गुणन

=02b0yM2abxydxdy=M2ab02bxy22dx=M4ab02bxa2b2(2bx)2dx=Ma4b302bx(4b24bx+x2)dx=Ma4b302b(4b2x4bx2+x3)dx=Ma4b3[2b2x24bx33+x44]02b=Ma4b3(8b432b43+4b4)=Ma4b3[24b432b4+2b43]=Ma4b3×4b43=Mab3\int_0^{2 b} \int_0^y \frac{M}{2 a b} x y d x d y \\ =\frac{M }{2 a b} \int_{0}^{2b}\frac{x y^2}{2} d x \\ =\frac{M}{4 a b} \int_0^{2 b} \frac{x a^2}{b^2}(2 b-x)^2 d x \\ =\frac{M a}{4 b^3} \int_0^{2 b} x\left(4 b^2-4 b x+x^2\right) d x \\ =\frac{M a}{4 b^3} \int_0^{2 b}\left(4 b^2 x-4 b x^2+x^3\right) d x \\ =\frac{M a}{4 b^3}\left[2 b^2 x^2-\frac{4 b x^3}{3}+\frac{x^4}{4}\right]_0^{2 b} \\ =\frac{M a}{4 b^3} \left(8 b^4-\frac{32 b^4}{3}+4 b^4\right) \\ =\frac{M a}{4 b^3}\left[\frac{24 b^4-32 b^4+2 b^4}{3}\right] \\ =\frac{M a}{4 b^3} \times \frac{4 b^4}{3} \\ =\frac{M a b}{3}
Example:10.एक लम्ब ठोस शंकु जिसकी ऊँचाई h तथा आधार की त्रिज्या a है,का इसकी अक्ष एवं शीर्ष से गुजरने वाली एक सरल रेखा जो इसकी अक्ष के लम्बवत है के सापेक्ष जड़त्व गुणन ज्ञात करिए।
(Find P. I. of a right circular cone whose height is h and radius of the base is a about its axis and a straight line through its vertex perpendicular to its axis)
Solution:माना कि शंकु OAB का अर्धशीर्ष कोण α\alpha है।शंकु के शीर्ष O से x तथा x+δxx+\delta x दूरी वाले दो वृत्तीय काटों (circular sections) के बीच वाली एक वृत्तीय चक्रिका लो।यदि शंकु का घनत्व है,तो अवयव चक्रिका की संहति=π(xtanα)2δxρ\pi(x \tan \alpha)^2 \delta x \rho

अवयव चक्रिका का दोनों लम्बवत रेखाओं (OC,CN) के सापेक्ष जड़त्व-गुणन=(πρx2tan2αδx)x0=0\left(\pi \rho x^2 \tan ^2 \alpha \delta x\right) \cdot x \cdot 0 \\ =0
Example:11.शीर्ष से b दूरी पर एक द्विकोटि एवं 4a नाभिलम्ब के परवलयिक चाप द्वारा काटे एक समान पटल का नाभिलम्ब के एक सिरे पर स्पर्श रेखा एवं अभिलम्ब के सापेक्ष जड़त्व-गुणन ज्ञात करिए।
(Find P. I. of a uniform lamina bounded by a parabolic arc of latus rectum 4a and a double ordinate at a-distance b from the vertex about tangent and normal at the end of the latus rectum.)
Solution:नाभिलम्ब के सिरे के निर्देशांक (a,2a) तथा अवयव का द्रव्यमान

δm=ρ2yδx\delta m=\rho \cdot 2 y \delta x

माना नाभिलम्ब तथा द्विकोटि के बीच के भाग का द्रव्यमान M है तब

M=ab2yρdx\int_a^b 2 y \rho d x
परवलय का समीकरण y2=4ax=ab24axρdx=4a12ρabx12dx=4a12ρ[x32]ab×23M=83a12ρ(b32a32)ρ=3M8a12(b32a32)y^2=4 a x \\ =\int_a^b 2 \sqrt{4ax} \rho d x \\ =4 a^{\frac{1}{2}} \rho \int_a^b x^{\frac{1}{2}} d x \\ =4 a^{\frac{1}{2}} \rho \left[x^{\frac{3}{2}}\right]_a^b \times \frac{2}{3} \\ M=\frac{8 }{3}a^{\frac{1}{2}} \rho \left(b^{\frac{3}{2}}-a^{\frac{3}{2}}\right) \\ \rho=\frac{3 M}{8 a^{\frac{1}{2}}\left(b^{\frac{3}{2}}-a^{\frac{3}{2}}\right)}
नाभिलम्ब के सिरे पर स्पर्श रेखा का समीकरण
yy1=2a(x+x1)2y=2a(x+a)yxa=0\Rightarrow y y_1=2 a\left(x+x_1\right) \\ \therefore 2 y=2 a(x+a) \\ \Rightarrow y-x-a=0
तथा इस पर अभिलम्ब की समीकरण:
y2a=1(xa)y+x3a=0y-2 a=-1(x-a) \\ \Rightarrow y+x-3 a=0
अवयव P(x,y) से स्पर्शरेखा p1p_1 तथा p2p_2 अभिलम्ब पर लम्ब तथा हो तो:
p1=yxa2p_1=\frac{y-x-a}{\sqrt{2}} तथा p2=y+x3a2p_2=\frac{y+x-3 a}{\sqrt{2}}
अतः p1p2=(yxa)2×(y+x3a)2=12[y2x2a(y+x+3y3x)+3a2]=12(y2x24ay+2ax+3a2)p_1 p_2=\frac{(y-x-a)}{\sqrt{2}} \times \frac{(y+x-3 a)}{\sqrt{2}} \\ =\frac{1}{2}\left[y^2-x^2-a(y+x+3 y-3 x)+3 a^2\right] \\ =\frac{1}{2}\left(y^2-x^2-4 a y+2 a x+3 a^2\right)
अतः स्पर्शरेखा तथा अभिलम्ब के सापेक्ष जड़त्व-गुणन

P.I.=12ab(4ax)4ax(y2x24ay+2ax+3a2)ρdxdy=ρ2ab[132(4ax)320+(3a2+2axx2)24ax]dx=ρ2ab[23×8a32x32+12a52x12+8a32x324a12x52]dx=2ρab[43a32x32+3a52x12+2a32x32a12x52]dx=2ρa12ab[43ax32+3a2x12+2ax32x52]dx=2ρa12[43ax5252+3a2x3232+2ax5252x7272]ab=2ρa12[815ax52+2a2x32+45ax5227x72]ab=2ρa12[815ab52+2a2b32+45ab5227b72815aa522a2a3245aa52+27a72]=2ρa12[(815+45)ab52+2a2b3227b72(815a72+2a72+45a7227a72)]=2a12ρ[2015ab52+2a2b3227b72(56+210+8430)a72105]=2a12ρ[43ab52+2a2b3227b72320105a72]=2a12×2[23ab52+a2b3217b723221a72]=4a12ρ[23ab52+a2b3217b723221a72]=4a12×3M(23ab52+a2b3217b123221a72)8a12(b32a32)=3M2(b32a52)(23ab52+a2b3217b723221a72)\frac{1}{2} \int_a^b \int_{-\sqrt{(4 a x})}^{\sqrt{4 a x}}\left(y^2-x^2-4 a y+2 a x+3a^2\right) \rho dx dy \\ =\frac{\rho}{2} \int_a^b [\frac{1}{3} \cdot 2(4 a x)^{\frac{3}{2}}-0+ \left(3 a^2+2 a x-x^2\right)\cdot 2 \cdot \sqrt{4 a x}] dx \\ =\frac{\rho}{2} \int_a^b [\frac{2}{3} \times 8 a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}+12 a^{\frac{5}{2}} x^{\frac{1}{2}}+8 a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}-4 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}}] d x \\ =2 \rho \int_a^b\left[\frac{4}{3} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}+3 a^{\frac{5}{2}} x^{\frac{1}{2}}+2 a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}-a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}}\right] d x \\ =2 \rho a^{\frac{1}{2}} \int_a^b\left[\frac{4}{3} a x^{\frac{3}{2}}+3 a^2 x^{\frac{1}{2}}+2 a x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{5}{2}}\right] d x \\ =2 \rho a^{\frac{1}{2}}\left[\frac{4}{3} a \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+\frac{3 a^2 x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{2 a x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-\frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}}\right]_a^b \\ =2 \rho a^{\frac{1}{2}}\left[\frac{8}{15} a^{x^{\frac{5}{2}}}+2 a^2 x^{\frac{3}{2}}+\frac{4}{5} a x^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}\right]_a^b \\ =2 \rho a^{\frac{1}{2}}[\frac{8}{15} a b^{\frac{5}{2}}+2 a^2 b^{\frac{3}{2}}+\frac{4}{5} a \cdot b^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{7} b^{\frac{7}{2}} -\frac{8}{15} a \cdot a^{\frac{5}{2}}-2 a^2 a^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{5} a \cdot a^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{7} a^{\frac{7}{2}}] \\ =2 \rho a^{\frac{1}{2}}[\left( \frac{8}{15}+\frac{4}{5}\right) a b^{\frac{5}{2}}+2 a^2 b^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{7} b^{\frac{7}{2}}-\left(\frac{8}{15} a^{\frac{7}{2}}+2 a^{\frac{7}{2}}+\frac{4}{5} a^{\frac{7}{2}}-\frac{2}{7} a^{\frac{7}{2}}\right)] \\ =2 a^{\frac{1}{2}} \rho [\frac{20}{15} a b^{\frac{5}{2}}+2 a^2 b^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{7} b^{\frac{7}{2}}-\frac{(56+210+84-30) a^{\frac{7}{2}}}{105}] \\ =2 a^{\frac{1}{2}} \rho \cdot\left[\frac{4}{3} a b^{\frac{5}{2}}+2 a^2 b^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{7} b^{\frac{7}{2}}-\frac{320}{105} a^{\frac{7}{2}}\right] \\ =2 a^{\frac{1}{2}} \times 2\left[\frac{2}{3} a b^{\frac{5}{2}}+a^2 b^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{7} b^{\frac{7}{2}}-\frac{32}{21} a^{\frac{7}{2}}\right] \\ =4 a^{\frac{1}{2}} \rho \cdot\left[\frac{2}{3} a b^{\frac{5}{2}}+a^2 b^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{7} b^{\frac{7}{2}}-\frac{32}{21} a^{\frac{7}{2}}\right] \\ =4 a^{\frac{1}{2}} \times \frac{3 M\left(\frac{2}{3} a b^{\frac{5}{2}}+a^2 b^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{7} b^{\frac{1}{2}} -\frac{32}{21} a^{\frac{7}{2}}\right)}{8 a^{\frac{1}{2}}\left(b^{\frac{3}{2}}-a^{\frac{3}{2}}\right)} \\ =\frac{3 M}{2\left(b^{\frac{3}{2}}-a^{\frac{5}{2}}\right)}\left(\frac{2}{3} a b^{\frac{5}{2}}+a^2 b^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{7} b^{\frac{7}{2}}-\frac{32}{21} a^{\frac{7}{2}}\right)
Example:12.एक ठोस परिक्रमण-परवलयज जिसकी अक्ष की लम्बाई जनक परवलय की नाभिलम्ब के बराबर है,के वृत्ताकार किनारे के एक बिन्दु पर परवलय की अक्ष के समान्तर तथा शीर्ष पर स्पर्शरेखा के समान्तर अक्षों के सापेक्ष जड़त्व-गुणन ज्ञात करो।
(Find P. I. of a solid parabola of revolution whose length of axis is equal to the latus rectum of the generating parabola about axes parallel to axis of the parabola and parallel to tangent at vertex at a point on a circular rim.)
Solution:माना जनक परवलय की समीकरण

y2=4axy^2=4 a x जिसका नाभिलम्ब 4a जो अक्ष AN के बराबर है।वृत्तीय चक्रिका पर कोई बिन्दु O लो।
A से x दूरी पर चक्रिका है जिसकी त्रिज्या y है तथा द्रव्यमान=πy2δxρ\pi \cdot y^2 \delta x \rho

यदि ठोस परवलयज का द्रव्यमान

M=04aπy2dxρ=ρ04aπ×4axdx=πρ×4a[x22]04a=2πaρ×16a2M=32πa3ρρ=M32πa3ON2=4aAN=4a4aON2=16a2ON=4a\int_0^{4 a} \pi y^2 d x \rho \\ =\rho \int_0^{4 a} \pi \times 4 a x d x \\ =\pi \rho \times 4 a\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{4 a} \\ =2 \pi a \rho \times 16 a^2 \\ M=32 \pi a^3 \rho \\ \Rightarrow \rho=\frac{M}{32 \pi a^3} \\ \text{ON}^2=4 a \cdot \text{AN}=4 a \cdot 4 a \\ \Rightarrow \text{ON}^2=16 a^2 \\ \Rightarrow ON=4 a
PN=AN-AP=4a-x
समान्तर अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण

P.I.=04aπy2ρdxPNON=πρ04a4ax4a(4ax)dx=16πa2ρ04a(4axx2)dx=16πa2ρ[2ax2x33]04a=16πa2ρ[32a364a33]=16πa2ρ×323a3ρ\int_0^{4 a} \pi y^2 \rho d x \cdot P N \cdot O N \\ =\pi \rho \int_0^{4 a} 4 a x \cdot 4 a(4 a-x) d x \\ =16 \pi a^2 \rho \int_0^{4 a}\left(4 a x-x^2\right) d x \\ =16 \pi a^2 \rho\left[2 a x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^{4 a} \\ =16 \pi a^2 \rho\left[32 a^3-\frac{64 a^3}{3}\right] \\ =16 \pi a^2 \rho \times \frac{32}{3} a^3 \\ \rho का मान रखने पर: 

=16πa2×32a33×M32πa3=16Ma23P.I.=16ma2316 \pi a^2 \times \frac{32 a^3}{3} \times \frac{M}{32 \pi a^3} \\ =\frac{16 M a^2}{3} \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{16 m a^2}{3}
Example:13.प्रदर्शित करो कि शीर्ष से x-दूरी पर किसी काटे गए परवलय के क्षेत्रफल के भाग का शीर्ष पर स्पर्शरेखा के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण 37mx2\frac{3}{7} m x^2 होगा तथा मुख्य व्यास के सापेक्ष 15my2\frac{1}{5} m y^2 होगा यहाँ y,x के संगत कोटि है।
(Show that M. I. of the part of the area of parabola cut off by any ordinate at a distance x from the vertex is 37mx2\frac{3}{7} m x^2 about the tangent at the vertex and 15my2\frac{1}{5} m y^2 about the principal diameter where y is the ordinate corresponding to x.)
Solution:परवलय का समीकरण y2=4axy^2=4 a x
परवलयिक क्षेत्र ABCA है जो शीर्ष से x दूरी पर काटा गया है जहाँ A शीर्ष है। δx\delta x चौड़ाई की पट्टी ली जो कि शीर्ष से X दूरी पर है।

पट्टी का द्रव्यमान=2yδxρ2 y \delta x \rho
सम्पूर्ण परवलय का द्रव्यमान=

m=0x2yρdx=2ρ0x4axdx=4ρa12[x3232]0x=8ρa12x323ρ=3m8a12x32m=\int_0^x 2 y \rho d x \\ =2 \rho \int_0^x \sqrt{4 a x} dx \\ =4 \rho a^{\frac{1}{2}} \left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^x \\ =\frac{8 \rho a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}{3} \\ \Rightarrow \rho =\frac{3 m}{8 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}
AY के सापेक्ष पट्टी का जड़त्व आघूर्ण =2yδxρx2=2yρx2δx2 y \delta x \rho x^2 \\ =2 y \rho x^2 \delta x
A बिन्दु पर स्पर्शरेखा AY के सापेक्ष सम्पूर्ण क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण

M.I. =0x2yρx2dx=0x2ρ4axx2dx=4ρa120xx52dx=4ρa12[x7272]0x=87ρa12x72ρ\int_0^x 2 y \rho x^2 d x \\ =\int_0^x 2 \rho \sqrt{4 a x} x^2 d x \\ =4 \rho a^{\frac{1}{2}} \int_0^x x^{\frac{5}{2}} d x \\ =4 \rho a^{\frac{1}{2}}\left[\frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}}\right]_0^x \\ =\frac{8}{7} \rho a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{7}{2}} \\ \rho का मान रखने पर

M.I.=87×3ma128a12x32×x72M.I.=37mx2\Rightarrow \text{M.I.}=\frac{8}{7} \times \frac{3 m a^{\frac{1}{2}}}{8 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}} \times x^{\frac{7}{2}} \\ \Rightarrow \text{M.I.}=\frac{3}{7} m x^2
पुनः पट्टी का AX के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण=2yδxρ(y23)2 y \delta x \rho\left(\frac{y^2}{3}\right)
अक्ष AX के सापेक्ष सम्पूर्ण क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण

=23ρ0y24ay3dx=23ρ0y24a(4ax)32dx=163ρa320y24ax32dx=163ρa32[x5252]0y24a=3215ρa32[y24a]52=3215ρa32y532a52=115ρy5am=0y24a2ρydx=ρ0y24a4a12xdxm=ρ4a12[x3232]0y24a=8y3a123×8a32ρρ=3may3ρ\frac{2}{3} \rho \int_0^{\frac{y^2}{4 a}} y^3 d x \\ =\frac{2}{3} \rho \int_0^{\frac{y^2}{4 a}}(4 a x)^{\frac{3}{2}} d x \\ =\frac{16}{3} \rho a^{\frac{3}{2}} \int_0^{\frac{y^2}{4 a}} x^{\frac{3}{2}} d x \\ =\frac{16}{3} \rho a^{\frac{3}{2}}\left[\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]_0^{\frac{y^2}{4 a}} \\ =\frac{32}{15} \rho a^{\frac{3}{2}}\left[\frac{y^2}{4 a}\right]^{\frac{5}{2}} \\ =\frac{32}{15} \rho a^{\frac{3}{2}} \frac{y^5}{32 a^{\frac{5}{2}}}=\frac{1}{15} \rho \frac{y^5}{a} \\ m=\int_0^{\frac{y^2}{4 a}} 2 \rho y d x \\ =\rho \int_0^{\frac{y^2}{4 a}} 4 a^{\frac{1}{2}} \sqrt{x} d x \\ \Rightarrow m= \rho 4a^{\frac{1}{2}} \left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^{\frac{y^2}{4 a}}=\frac{8 y^3 a^{\frac{1}{2}}}{3 \times 8 a^{\frac{3}{2}}} \rho \\ \Rightarrow \rho=\frac{3 m a}{y^3}\\ \rho का मान रखने पर
M.I.=115×3may3×y5aM.I.=15my2\Rightarrow \text{M.I.}=\frac{1}{15} \times \frac{3 m a}{y^3} \times \frac{y^5}{a} \\ \Rightarrow \text{M.I.}=\frac{1}{5} m y^2
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गतिविज्ञान में जड़त्व गुणन (Product of Inertia in Dynamics),जड़त्व-आघूर्ण (Moment of Inertia) को समझ सकते हैं।

3.गतिविज्ञान में जड़त्व गुणन की समस्याएँ (Product of Inertia in Dynamics Problems):

(1.)द्विपाशी r2=a2cos2θr^2=a^2 \cos 2 \theta के अर्धलूप का इसकी अक्ष एवं इसके तल में,ध्रुव से होकर जानेवाली इसके अक्ष के लम्बवत अक्ष के सापेक्ष जड़त्व-गुणन ज्ञात करिए।
(Find the P. I. of a half loop of the lemniscate r2=a2cos2θr^2=a^2 \cos 2 \theta about it axis and a line through the pole in its plane perpendicular to its axis)
(2.)लम्बवृत्तीय शंकु,जिसके आधार की त्रिज्या a है,का इसके अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करो।
(Find the M. I. of a right circular cone of base radius a about its axis)
उत्तर (Answers): (1.) Ma212\frac{M a^2}{12}
(2.) 3M10a2\frac{3 M}{10} a^2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गतिविज्ञान में जड़त्व गुणन (Product of Inertia in Dynamics),जड़त्व-आघूर्ण (Moment of Inertia) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गतिविज्ञान में जड़त्व गुणन (Frequently Asked Questions Related to Product of Inertia in Dynamics),जड़त्व-आघूर्ण (Moment of Inertia) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.दृढ़ पिण्ड का एक रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण से क्या आशय है? (What is Meant by the Moment of Inertia of a Rigid Body About a Line?):

उत्तर:मान लो दृढ़ पिण्ड के एक अवयव की संहति m तथा इसकी दी हुई रेखा AB से लाम्बिक दूरी r है,तब Σmr2\Sigma mr^2 पूरे दृढ़ पिण्ड का रेखा AB के परितः जड़त्व आघूर्ण कहलाता है।

प्रश्न:2.त्रिविम समष्टि में तीन परस्पर लम्बवत अक्षों के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण और जड़त्व-गुणन को स्पष्ट करो। (Explain the Moment of Inertia and Product of Inertia in Three Dimensional Space with Respect to Three Mutually Perpendicular Axis):

उत्तर:यदि त्रिविम समष्टि में तीन परस्पर लम्बवत अक्ष OX,OY तथा OZ लें और पिण्ड के किसी अवयव के निर्देशांक (x,y,z) तब यदि A,B,C पिण्ड के क्रमशः OX, OY तथा OZ के परितः जड़त्व आघूर्ण को व्यक्त करें तो एवं तथा यदि D,E,F पिण्ड के क्रमशः अक्ष-युग्मों OY व OZ;OZ व OX तथा OX व OY के सापेक्ष जड़त्व गुणन को व्यक्त करें A=Σm(y2+z2),B=Σm(z2+x2)A=\Sigma m\left(y^2+z^2\right), B=\Sigma m\left(z^2+x^2\right) एवं C=Σm(x2+y2)C=\Sigma m \left(x^2+y^2\right) तब D=Σmyz,E=ΣmzxD=\Sigma m y z, E=\Sigma m z x एवं F=ΣmxyF=\Sigma m x y

प्रश्न:3.सरल अवस्था में पिण्डों के जड़त्व आघूर्ण एवं गुणनफल को संक्षिप्त में लिखो। (Write Briefly the Moment of Inertia and Product of Inertia of Bodies in Simple Cases):

उत्तर:(1.)2a लम्बाई तथा M संहति की एक समान छड़ का उस सरल रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना,जो
(i)मध्य बिन्दु (गुरुत्व-केन्द्र) से पारित हो तथा उसके लम्बवत हो।
(ii)छड़ के एक सिरे से पारित हो तथा छड़ के लम्बवत हो।
(iii)छड़ के एक सिरे से पारित हो तथा छड़ के साथ α\alpha कोण बनाए।
To find the M. I. of a rod of length 2a and mass M about a line through
(i)Its centre (C. G.) perpendicular to its length
(ii)One of its extremities perpendicular to its length
(ii)One of its extremities and making an angle with the rod.
(2.)2a तथा 2b भुजाओं वाले तथा M संहति के किसी एक समान आयताकार पटल का उस रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना,जो पटल केन्द्र से गुजरे तथा
(i)भुजा 2a के समान्तर, (ii)भुजा 2b के समान्तर, (iii) तल के लम्बवत हो।
To find the M. I. of a rectangular lamina of sides 2a,2b and mass M about a line through centre and
(i)Parallel to the side 2a,
(ii)Parallel to the side 2b,
(iii)Perpendicular to the plate.
(3.)एक समान त्रिभुज-पटल का एक भुजा के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना:
(To find the M. I. of a uniform triangular lamina about one side)
(4.)2a,2b तथा 2c कोरों वाला तथा M संहति के आयताकार समान्तर षटफलक का उस सरल रेखा परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना जो षटफलक के केन्द्र से गुजरे तथा
(i)कोर 2a के समान्तर हो,
(ii)कोर 2b के समान्तर हो,
(iii)कोर 2c के समान्तर हो।
To find the M. I. of a rectangular parallelepiped edges 2a,2b,2c and mass M about a line through the centre
(i)parallel to the edge 2a,
(ii)parallel to the edge 2b,
(iii)parallel to the edge 2c.
(5.)a त्रिज्या तथा M संहति की एकसमान वृत्तीय वलय (छल्ली) का रेखा के परितः जड़त्व-आघूर्ण ज्ञात करना,जो
(i)इसका व्यास हो,
(ii)वलय के तल के लम्ब तथा इसके केन्द्र से पारित हो।
To find the M. I. of a circular ring (or loop) of radius a and mass M about
(i)its diameter,
(ii)a line through its centre and perpendicular to its plane.
(6.)एकसमान वृत्ताकार पटल (चक्रिका) का उस रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना,जो
(i)इस पटल का व्यास है,
(ii)इसके केन्द्र से परितः तथा समतल के लम्बवत है।
To find the M. I. of a uniform circular disc (plane) about a line which
(i)is diameter of the disc,
(ii)passes through its centre and perpendicular to its plane
(7.)एकसमान दीर्घवृत्तीय डिस्क (चक्रिका) का जड़त्व आघूर्ण
(i)दीर्घाक्ष के परितः,
(ii)लघुअक्ष के परितः,
(iii)केन्द्र से होकर जानेवाली और चक्रिका पर लम्ब रेखा के परितः ज्ञात करना,चक्रिका के अर्धाक्ष a और b हैं।
To find the M. I. of a uniform elliptic disc of semi-axes a and b about
(i)Major axis,
(ii)Minor axis
(iii)a line through the centre and perpendicular to the disc.
(8.)a त्रिज्या तथा M संहति के खोखले गोले का एक व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना।
To find the M. I. of a hollow sphere of radius a and mass M about a diameter.
(9.)a त्रिज्या तथा M संहति के ठोस गोले के किसी व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना।
To find the M. I. of a solid sphere of radius a and mass M about its diameter.
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गतिविज्ञान में जड़त्व गुणन (Product of Inertia in Dynamics),जड़त्व-आघूर्ण (Moment of Inertia) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Product of Inertia in Dynamics

गतिविज्ञान में जड़त्व गुणन
(Product of Inertia in Dynamics)

Product of Inertia in Dynamics

गतिविज्ञान में जड़त्व गुणन (Product of Inertia in Dynamics) के इस आर्टिकल में किसी
पिण्ड का किसी रेखा अथवा दो लम्ब निर्देशाक्ष के सापेक्ष जड़त्व गुणनफल ज्ञात करना सीखेंगे।

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