1.सांख्यिकी में प्रायिकता (Probability in Statistics),प्रायिकता (Probability):

Probability in Statistics

सांख्यिकी में प्रायिकता (Probability in Statistics)के इस आर्टिकल में अपवर्जी,मिश्र घटनाओं तथा स्वतंत्र घटनाओं पर आधारित सवालों को हल करके प्रायिकता ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.सांख्यिकी में प्रायिकता के उदाहरण (Probability in Statistics Illustrations):

Illustration:17.यह समझाइए की निम्नलिखित दोनों कथनों में से प्रत्येक में अशुद्धि क्यों है:
Illustration:17(i).किसी गुण नियंत्रण अधिकारी का यह दावा है कि शीशे की ईंटों से भरी एक बड़ी पेटी में 0,1,2,3,4 या 5 दोष-युक्त ईंटों के होने की संभावना है क्रम से 0.11,0.23,0.37,0.16,0.09 और 0.05 है।
Solution:प्रायिकताओं का योग=0.11+0.23+0.37+0.16+0.09+0.05
=1.01
प्रायिकताओं का योग 1 से अधिक है अतः कथन अशुद्ध है।
Illustration:17(ii).किसी एक वर्ष में किसी ड्राइवर के साथ एक दुर्घटना होने की संभावना 0.17 है और उसी वर्ष में एक या अधिक दुर्घटनाओं के होने की संभावना 0.136 है।
Solution:एक दुर्घटना की प्रायिकता 0.17 से कम नहीं होनी चाहिए जबकि एक या अधिक दुर्घटनाओं की संभावना 0.136 दी है। 
Illustration:18(i).1971 की गणना की जनगणना के अनुसार कुछ राज्यों में लिंगानुपात (sex ratio) 876 स्त्रियां प्रति हजार पुरुष हैं।यदि यह प्रवृत्ति जारी रहे तो क्या संभावना है कि एक नवजात शिशु लड़का होगा?
Solution:स्त्रियों की संख्या=876
पुरुषों की संख्या=1000
अतः लड़का होने की प्रायिकता=\frac{1000}{1876} \\ \approx 0.533
Illustration:18(ii).8 लड़कों और 7 लड़कियों के एक समूह से 5 की एक समिति बनानी है।इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि समिति में
(क)3 लड़के होंगे और 2 लड़कियां होंगी;
(ख)कम से कम 1 लड़की रहेगी।
Solution:(क).8 लड़कों में से 3 लड़के चुने जाने के तरीके={}^8 C_3
5 लड़कियों में से 2 लड़कियाँ चुने जाने के तरीके={}^7 C_2
अतः 3 लड़के और 2 लड़कियाँ चुने जाने की प्रायिकता=\frac{{}^8 C_3 \times {}^7 C_2}{{}^{15} C_5} \\ =\frac{\frac{8!}{(8-3)!3!} \times \frac{7!}{2!(7-2)!}}{\frac{15!}{(15-5)!5!}} \\ =\frac{\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!3!} \times \frac{7 \times 6 \times 5 !}{2!5!}}{\frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10!}{10 ! 5 !}} \\ =\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{7 \times 6 }{2 \times 1 } \times \frac{5!}{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}\\ =\frac{2 \times 7 \times 6 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 } \\ =\frac{56}{143}
(ख)कम से कम एक लड़की चुने जाने के तरीके={}^8 C_4 \times {}^7 C_1+{}^8 C_3 \times {}^7 C_2+{}^8 C_2 \times {}^7 C_3+{}^8 C_1 \times {}^7 C_4 + {}^7 C_5 \\ =\frac{8!}{(8-4)!4!} \times \frac{7!}{(7-1)!1 !}+\frac{8!}{(8-3)!3!} \times \frac{7!}{(7-2)!2!} +\frac{8!}{(8-2)!2!} \times \frac{7!}{(7-3)!3!}+\frac{8!}{(8-1)! 1!} \times \frac{7!}{(7-4)! 4!} +\frac{7!}{(7-5)!\times 5!} \\ =\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!\times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{7 \times 6!}{6!}+\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!\times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{7 \times 6 \times 5!}{5!\times 2 \times 1}+\frac{8 \times 7 \times 6!}{6!\times 2 \times 1} \times \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!\times 3 \times 2 \times 1} +\frac{8 \times 7!}{7!} \times \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3 \times 2 \times 1 \times 4!}+\frac{7 \times 6 \times 5!}{2 \times 1 \times 5!} \\ =70 \times 7+56 \times 21+28 \times 35+8 \times 35+21 \\ =490+1176+980+280+21 \\ =2947
पन्द्रह में से 5 के चयन के तरीके={}^{15} C_5 \\ =\frac{15!}{(15-5)!5!} \\ =\frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10!}{10!\times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \\ =3003
अतः कम से कम एक लड़की चुने जाने की प्रायिकता=\frac{2947}{3003}
Illustration:18(iii).तीन पासों के एक बार फेंकने में,ठीक 10 फेंकने की क्या प्रायिकता है?
Solution:तीन पासों को एक बार फेंकने पर ठीक 10 फेंकने के अनुकूल परिणाम={(1,3,6),(2,3,5),(3,3,4),(4,3,3),(5,3,2),(6,3,1),(1,4,5),(2,4,4),(3,4,3),(4,4,2),(5,4,1),(1,5,4),(2,5,3),(3,5,2),(4,5,1),(1,6,4),(2,6,3),(3,6,1),(3,1,6),(4,1,5),(5,1,4),(6,1,3),(2,2,6),(3,2,5),(4,2,4),(5,2,3),(6,2,2)}
तीन छह फलकों वाले पासों को फेंकने पर कुल सम्भाव्य स्थितियाँ=6^3=216
प्रायिकता=\frac{\text{अनुकूल परिस्थितियों की संख्या}}{\text{कुल सम्भाव्य परिस्थितियों की संख्या}}=\frac{27}{216}=\frac{1}{8}
Illustration:19.(i).तीन छः फलकों वाले पासे (6-faced dice) हिलाकर फेंके जाते हैं।क्या संभावना है कि बिंदुओं का योग 7 होगा?
Solution:तीन छः फलकों वाले पासे पर योग 7 आने की अनुकूल स्थितियां={(1,1,5),(2,1,4),(3,1,3),(4,1,2),(5,1,1),(1,2,4),(1,3,3),(1,4,2),(1,5,1),(2,2,3),(2,3,2),(2,4,1),(3,3,1),(3,2,2),(4,2,1)}
तीन पासों की फेंक पर कुल संभाव्य स्थितियां=6^3=216
तीन पांसो की फेंक में योग 7 आने की प्रायिकता=\frac{15}{216}=\frac{5}{72}
Illustration:19(ii).50 टिकटों पर क्रमानुसार 1 से 50 तक अंक डाले गए हैं।उनमें से एक यादृच्छया निकाला जाता है।प्रायिकता बताइए कि निकाला गया टिकट 3 या 4 का गुणित (multiple) होगा।
Solution:1 से 50 तक 3 के अपवर्त्य 16 और 4 के अपवर्त्य 12 हैं।3 व 4 के उभयनिष्ठ अपवर्त्य (Common multiples) 12,24,36,48 हैं।
अतः 1 से 50 तक 3 या 4 का गुणित होने की प्रायिकता =\frac{16}{50}+\frac{12}{50}-\frac{4}{50} \\ =\frac{16+12-4}{50}=\frac{24}{50}=\frac{12}{25}
Illustration19(iii).1 से 100 तक अंकित टिकट अच्छी तरह मिलाए जाते हैं और उनमें से एक टिकट निकाला जाता है।इस बात की क्या प्रायिकता है कि निकाला गया टिकट एक विषम (odd) अंक का होगा; (ख)5 या 5 का गणित होगा;(ग)एक ऐसा अंक होगा जो वर्ग (Square) है?
Solution:(क)1 से 100 तक विषम अंकों की संख्या=50
अतः विषम अंक आने की प्रायिकता=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}
(ख)1 से 100 तक 5 या 5 का गुणित अंको की संख्या=20
5 या 5 से गुणित अंक की होने की प्रायिकता=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}
(ग)1 से 100 तक वर्ग संख्याएँ=1,4,9,16,25,36,49,64,81,100 कुल 10
अतः निकाला गया टिकट वर्ग के अंक की होने की प्रायिकता=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}
Illustration:20(i).थैले में 5 लाल तथा 4 हरी गेंदे हैं। 3-3 गेंद दो बार निकाली जाती है और दूसरी बार गेंदे निकालने से पहले पहली बार निकाली हुई गेंदे पुनः थैले में रख दी जाती है।प्रथम बार निकाली हुई तीनों गेंदों के लाल होने की तथा दूसरी बार निकाली हुई तीनों गेंदों के हरी होने की क्या संभावना है?
Solution:तीन-तीन गेंद दो बार निकाली जाती हैं।पहली बार निकाली हुई गेंद फिर से थैले में रख दी जाती है,अतः दोनों बार गेंदों का निकालना स्वतंत्र घटनाएं हैं।कुल 9 गेंदे (5 लाल और 4 हरी) हैं।
9 गेंदों में से 3 गेंद निकालने के तरीकों की संख्या={}^9 C_3 =\frac{9!}{(9-3)! 3!}=\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 ! }{6! \times 3 \times 2 \times 1}=84
5 लाल गेंदों में से 3 लाल गेंद निकालने की रीतियों की संख्या={}^5 C_3 =\frac{5!}{(5-3)! 3!}=\frac{5 \times 4 \times 3 ! }{2 \times 1 \times 3 !}=10
4 हरी गेंदों में से 3 गेंदे निकालने के तरीकों की संख्या={}^4 C_3 =\frac{4!}{(4-3)! 3!}=\frac{4 \times 3 ! }{1! \times 3 !}=4
पहली बार तीनों लाल गेंद निकाले जाने की प्रायिकता=\frac{10}{84}=\frac{5}{42}
दूसरी बार तीनों हरी गेंद निकाले जाने की प्रायिकता=\frac{4}{84}=\frac{1}{21}
पहली बार लाल और दूसरी बार हरी गेंदें निकालने की प्रायिकता=\frac{5}{42} \times \frac{1}{21}=\frac{5}{882}
Illustration:20(ii).एक थैले में पांच सफेद तथा चार काली गेंदे हैं।उसमें से एक गेंद निकाली जाती है और फिर उसे वापस थैले में डाल दिया जाता है।इसके बाद दोबारा एक गेंद निकाली जाती है।इस बात की क्या संभावना है कि निकाली गई दो गेंदें अलग-अलग रंग की थी?
Solution:पहली सफेद रंग की गेंद निकाले जाने की प्रायिकता=\frac{5}{9}
दूसरी गेंद काली निकाली जाने की प्रायिकता=\frac{4}{9}
अतः पहली बार सफेद तथा दूसरी बार काली गेंद निकाले जाने की प्रायिकता=\frac{5}{9} \times \frac{4}{9}=\frac{20}{81}
पहली बार काली गेंद निकाले जाने की प्रायिकता=\frac{4}{9}
दूसरी बात सफेद गेंद निकाले जाने की प्रायिकता=\frac{5}{9}
अतः पहली बार काली तथा दूसरी बार सफेद गेंद निकाले जाने की प्रायिकता=\frac{4}{9} \times \frac{5}{9}=\frac{20}{81}
दोनों अपवर्जी घटनाएं हैं अतः प्रायिकता के योग नियम से=\frac{20}{81}+\frac{20}{81}=\frac{40}{81}

Probability in Statistics

Illustration:21(i).दो पासे फेंके जाते हैं।इसकी क्या प्रायिकता है कि दिखाई देने वाले अंको का योग (क) 7 या 11 होगा;(ख)5 से अधिक नहीं होगा?
Solution:(क)दो पासों के फेंकने पर 7 या 11 के अनुकूल संभावनाएं={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(5,6),(6,5)}
7 का जोड़ प्राप्त करने की प्रायिकता=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}
11 का जोड़ प्राप्त करने की प्रायिकता=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}
7 या 11 का जोड़ प्राप्त करने की प्रायिकता=\frac{1}{6}+\frac{1}{18}=\frac{3+1}{18}=\frac{4}{18} \\=\frac{2}{9}
(ख)अंको का योग 5 से अधिक न होने की संभावना={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)}
अतः अंकों का योग 5 से अधिक न होने की प्रायिकता=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}
Illustration:21(iii).किसी थैले में 5 सफेद और 7 लाल गेंदे हैं।एक गेंद निकाली जाती है और फिर वापस रख दी जाती है।फिर दूसरी गेंद निकाली जाती है।इसकी क्या प्रायिकता है कि एक सफेद गेंद और एक लाल गेंद उसी क्रम से निकले?इस दशा में संभावना क्या होगी जब निकली हुई गेंद फिर थैले में वापस नहीं रखी जाए?
Solution:पहली बार सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{5}{12}
दूसरी बार लाल गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{7}{12}
उपर्युक्त क्रम के अनुसार गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{5}{12} \times \frac{7}{12}=\frac{35}{144}
पहली गेंद वापस नहीं रखी जाती है तो दूसरी गेंद लाल होने की प्रायिकता=\frac{7}{11}
अतः पहली गेंद सफेद व दूसरी लाल गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{5}{12} \times \frac{7}{11} \\ =\frac{35}{132}
Illustration:22(i).किसी थैले में से,जिसमें 11 लाल और 14 सफेद गेंदे हैं,दो गेंदे निकाली जाती है।इसकी संभावना ज्ञात कीजिए कि दोनों एक ही रंग की है।
Solution:दोनों गेंदों के लाल रंग की होने पर प्रायिकता=\frac{{}^{11}C_2}{{}^{25}C_2} \\ \frac{\frac{11!}{9!\times 2!}}{\frac{25!}{(25-2)!2!}}=\frac{11 \times 10}{2} \times \frac{2}{25 \times 23} \\= \frac{110}{600}
दोनों गेंदों के सफेद रंग होने की प्रायिकता=\frac{{}^{14} C_2}{{}^{25} C_2}=\frac{\frac{14!}{(14-2)!2!}}{\frac{25!}{(25-2)!2!}} \\ =\frac{14 \times 13 \times 12!}{12!\times 2} \times \frac{23!2!}{25 \times 24 \times 23!} \\ =\frac{182}{600}
दोनों अपवर्जी घटनाएं हैं अतः प्रायिकता के योग नियम से=\frac{110}{600}+\frac{182}{600}=\frac{292}{600}=\frac{73}{150}
Illustration:22(ii).दो छः मुखी पासे,जिनमें प्रत्येक के छः मुखों पर क्रमशः 1,2,3,4,5 तथा 6 का अंक लिखा है,फेंके गए।आने वाले अंकों के योग के (क)2 और 3 से;(ख)2 या 3 से विभाज्य होने की प्रायिकता क्या है?
Solution:(क)2 और 3 से विभाज्य होने की अनुकूल अंको का योग={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)}
अतः 2 और 3 से विभाज्य होने की प्रायिकता=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}
(ख)2 से विभाज्य होने के अनुकूल अंको का योग={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}
अतः 2 से विभाज्य होने की प्रायिकता=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}
3 से विभाज्य होने के अनूकुल अंकों का योग={(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6)}
अतः 3 से विभाज्य होने की प्रायिकता=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}
2 तथा 3 द्वारा विभाज्य उभयनिष्ठ अंकों का योग={(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(6,6)}
अतः 2 तथा 3 द्वारा विभाज्य उभयनिष्ठ अंकों के योग की प्रायिकता=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}
फलतः प्रायिकता के योग नियम से 2 या 3 से विभाज्य अंकों के योग की प्रायिकता=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6} \\=\frac{3+2-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}
Illustration:23(i).52 पत्तों की ताश की गड्डी में से कोई दो पत्ते यदृच्छया निकाल कर फेंक दिए जाते हैं।तो शेष 50 पत्तों में से एक बार खींचकर इक्के का पत्ता (ace) निकालने की प्रायिकता है?
Solution:52 पत्तों की पूरी गड्डी में से दो पत्ते यादृच्छिक रूप से खींचे जाते हैं और फेंक दिए जाते हैं,फिर शेष 50 पत्तों में से एक पत्ता निकाला जाता है,उस पत्ते के इक्का होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।पहले खींचे गए दो पत्तों के संबंध में तीन परिस्थितियों हो सकती हैं:
(क)पहले खींचे गए दोनों पत्ते इक्के हों।
(ख)पहले खींचे गए दोनों पत्तों में से कोई भी इक्का न हो।
(ग)पहले खींचे गए दोनों पत्तों में एक इक्का हो और दूसरा कोई अन्य पत्ता हो तो।
उक्त परिस्थितियों में प्रायिकता निम्न प्रकार निकाली जाएगी:
(क)यदि दोनों पत्ते इक्के हों
दोनों इक्के निकालने की प्रायिकता=\frac{{}^4 C_2}{{}^{52} C_2}
फिर शेष (50 पत्तों जिनमें दो इक्के हैं) में से एक इक्का निकालने की प्रायिकता=\frac{{}^2 C_1}{{}^{50} C_1}
मिश्रित प्रायिकता= \frac{{}^4 C_2}{{}^{50} C_2} \times \frac{{}^2 C_1}{{}^{50} C_1}=\frac{6}{1326} \times \frac{2}{50}=\frac{1}{5525}
(ख)यदि दोनों में से कोई भी इक्का न हो:
इक्कों के अतिरिक्त शेष 48 पत्तों में से 2 पत्ते निकालने की प्रायिकता=\frac{{}^{48} C_2}{{}^{52} C_2}
शेष 50 पत्तों (चारों इक्के सहित) में से इक्का खींचे जाने की प्रायिकता=\frac{{}^{4} C_1}{{}^{50} C_1}
मिश्रित प्रायिकता=\frac{{}^{48} C_2}{{}^{52} C_2} \times \frac{{}^{4} C_1}{{}^{50} C_1} \\ =\frac{1128}{1326} \times \frac{4}{50}=\frac{376}{5525}
(ग)यदि पहले तो पत्तों में से एक इक्का हो:
एक इक्का व एक अन्य मूल्य का पत्ता निकालने की प्रायिकता=\frac{{}^{4} C_1 \times {}^{48} C_1}{{}^{52} C_2}
शेष 50 पत्तों (जिनमें तीन इक्के हैं) में से एक इक्का निकालने की प्रायिकता=\frac{{}^{3} C_1}{{}^{50} C_1}
मिश्रित प्रायिकता=\frac{{}^{4} C_1 \times {}^{48} C_1}{{}^{52} C_2} \times \frac{{}^{3} C_1}{{}^{50} C_1} \\ =\frac{4 \times 48}{1326} \times \frac{3}{50}=\frac{48}{5525}
तीनों अनुकूल स्थितियां परस्पर अपवर्जी है अतः अभीष्ट प्रायिकता=\frac{1}{5525}+\frac{376}{5525}+\frac{48}{5525}=\frac{425}{5525}=\frac{1}{13}
Illustration:23(ii).किसी थैले में 8 गोलियाँ हैं जो रंग के सिवाय अन्य बातों में समान हैं।उनमें से 5 लाल और 3 सफेद हैं।एक मनुष्य दो गोलियाँ यदृच्छया निकालता है तो इस बात की क्या सम्भावना है कि (क)निकाली गोलियों में से एक लाल और दूसरी सफेद है? (ख)दोनों एक ही रंग की है? यदि एक गोली निकाली जाए,फिर वापस डाल दी जाए और फिर एक गोली निकाली जाए तो उक्त सम्भाविताओं के क्या मूल्य होंगे?
Solution:पहली गेंद लाल तथा दूसरी सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{5}{8} \times \frac{3}{7}=\frac{15}{56}
पहली गेंद सफेद और दूसरी गेंद लाल निकालने की प्रायिकता=\frac{3}{8} \times \frac{5}{7}=\frac{15}{56}
दोनों अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः एक गेंद लाल तथा दूसरी सफेद रंग की निकालने की प्रायिकता=\frac{15}{56}+\frac{15}{56}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}
(ख)दोनों गेंद एक ही रंग की होने पर
पहली गेंद लाल तथा दूसरी गेंद लाल रंग की निकालने की प्रायिकता=\frac{5}{8} \times \frac{4}{7}=\frac{20}{56}
पहली गेंद सफेद और दूसरी गेंद सफेद रंग की निकालने की प्रायिकता=\frac{3}{8} \times \frac{2}{7}=\frac{6}{56}
दोनों अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः एक ही रंग की दोनों गेंदे हो तो प्रायिकता=\frac{20}{56}+\frac{6}{56}=\frac{26}{56}=\frac{13}{28}
यदि गेंद वापस डाल दी जाती है तो पहली गेंद लाल व दूसरी गेंद सफेद रंग की गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{5}{8} \times \frac{3}{8}=\frac{15}{64}
पहली गेंद सफेद व दूसरी लाल रंग की गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{3}{8} \times \frac{5}{8}=\frac{15}{64}
दोनों अपवर्जी घटनाएँ है अतः एक लाल तथा दूसरी सफेद रंग की गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{15}{64}+\frac{15}{64}=\frac{30}{64}=\frac{15}{32}
दोनों एक ही रंग की गेंद हो तो प्रायिकता=\frac{5}{8} \times \frac{5}{8}+\frac{3}{8} \times \frac{3}{8}=\frac{25+9}{64} \\ =\frac{34}{64}=\frac{17}{32}
Illustration:23(iii).8 सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं।इसकी क्या प्रायिकता है कि (क) कम से कम 6 सिक्के चित्त (head) पड़े;(ख)एक भी सिक्का चित्त न पड़े (no heads);(ग)सभी सिक्के चित्त पड़े (all heads)?
Solution:कम से कम 6 चित्त पड़े=6 चित्त पड़े+7 चित्त पड़े+8 चित्त पड़े={}^8 C_6+{}^8 C_7+{}^8 C_8 \\ =\frac{8 \times 7}{2}+\frac{8 \times 7!}{7!}+\frac{8!}{8!} \\ =28+8+1=37
कुल सम्भावनाएँ =2^8=256
अतः कम से कम 6 चित्त पड़ने की प्रायिकता=\frac{37}{256} 
(ख)एक भी सिक्का चित्त न पड़े की सम्भावना एक है अतः प्रायिकता=\frac{1}{216}
(ग)सभी सिक्के चित्त पड़ने की सम्भावना एक है अतः सभी चित्त पड़ने की प्रायिकता=\frac{1}{216}

3.सांख्यिकी में प्रायिकता के सवाल (Probability in Statistics Questions):

Probability in Statistics

(1.)ताश की एक गड्डी में से एक हुकुम का पत्ता (spade) या एक बादशाह (king) निकाले जाने की क्या प्रायिकता है?
(2.)20 गेंदों पर 1 से 20 तक क्रमानुसार अंक डाले गए और उन्हें एक थैले में रख दिया गया।इस बात की सम्भावना निकालिए कि पहली निकाली गई गेंद 3 या 5 की गुणित (multiple) होगी
उत्तर (Answers): (1.) \frac{4}{15} (2.) \frac{9}{20}

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4.सांख्यिकी में प्रायिकता (Frequently Asked Questions Related to Probability in Statistics),प्रायिकता (Probability) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में प्रायिकता (Probability in Statistics) के इस आर्टिकल में अपवर्जी,मिश्र घटनाओं
तथा स्वतंत्र घटनाओं पर आधारित सवालों को हल करके प्रायिकता ज्ञात करना सीखेंगे।