प्रायिकता कक्षा 11 (Probability Class 11) के इस आर्टिकल में अपवर्जी घटनाओं,मिश्र घटनाओं,स्वतन्त्र घटनाओं पर आधारित सवालों को हल करके प्रायिकता को समझने का प्रयास करेंगे।
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2.प्रायिकता कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Probability Class 11 Solved Examples):

Example:1.प्रतिदर्श समष्टि $S=\{ w_1, w_2 , w_3 , w_4 , w_5 , w_6 , w_7 \}$ के परिणामों के लिए निम्नलिखित में से कौन-से प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं है:
$\begin{array}{lllllllll} \text{ परिणाम } & w_1 & w_2 & w_3 & w_4 & w_5 & w_6 & w_7 \\ (a) & 0.1 & 0.01 & 0.05 & 0.03 & 0.01 & 0.2 & 0.6 \\ (b) & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} & \frac{1}{7} \\ (c) & 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 & 0.5 & 0.6 & 0.7 \\ (d) & -0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 & -0.2 & 0.1 & 0.3 \\ (e) & \frac{1}{14} & \frac{2}{14} & \frac{3}{14} & \frac{4}{14} & \frac{5}{14}& \frac{6}{14} & \frac{15}{14} \end{array}$
Solution:(a). $w_1+w_2+w_3+w_4+w_5+w_6+w_7=0.1+0.01+0.05+0.03+0.01+0.2+0.6 =1$
प्रायिकताओं का योग 1 अतः वैध है।
(b) $w_1+w_2+w_3+w_4+w_5+w_6+w_7=\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+ \frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}=\frac{7}{7}=1$
प्रायिकताओं का योग 1 अतः वैध है।
(c) $w_1+w_2+w_3+w_4+w_3+w_6+w_7=0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+0.6+0.7=2.8$
प्रायिकताओं का योग 1 से अधिक है अतः वैध नहीं है।
(d) $w_1=-0.1$ तथा $w_5=-0.2$
प्रायिकता ऋणात्मक नहीं हो सकती है अतः वैध नहीं है।
(e) $w_1+w_2+w_3+w_4+w_5+w_6+w_7=\frac{1}{14}+\frac{2}{14}+\frac{3}{14} +\frac{4}{14}+\frac{5}{14}+\frac{6}{14}+\frac{15}{14}=\frac{36}{14}=\frac{18}{7}=2 \frac{4}{7}$
प्रायिकताओं का योग 1 से अधिक है अतः वैध नहीं है।
Example:2.एक सिक्का दो बार उछाला जाता है।कम से कम एक पट् प्राप्त होने की क्या प्रायिकता है?
Solution:सिक्के को दो बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि S={HH,HT, TH,TT}
घटना कम से कम एक पट् प्राप्त होना (E)={HT,TH,TT}
P(E)= $\frac{3}{4}$
Example:3.एक पासा फेंका जाता है निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
Example:3(i).एक अभाज्य संख्या प्रकट होना
Solution:पासा फेंकने की प्रतिदर्श समष्टि S={1,2,3,4,5,6}
घटना अभाज्य संख्या का होना={2,3,5}
P(E)= $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
Example:3(ii).3 या 3 से बड़ी संख्या प्रकट होना
Solution:E={3,4,56}
P(E)= $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
Example:3(iii).1 या 1 से छोटी संख्या प्रकट होना
Solution:E={1}
P(E)= $\frac{1}{6}$
Example:3(iv).छः से बड़ी संख्या प्रकट होना
Solution:घटना छः से बड़ी संख्या प्रकट होना
$E=\phi \\ P(E)=\frac{0}{6}=0$
Example:3(v).छः से छोटी संख्या प्रकट होना
Solution:घटना छः से छोटी संख्या प्रकट होना E={1,2,3,4,5}
P(E)= $\frac{5}{6}$
Example:4.ताश की गड्डी के 52 पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया है।
Example:4(a).प्रतिदर्श समष्टि में कितने बिन्दु हैं?
Solution:52
Example:4(b).पत्ते का हुकुम का इक्का होने की प्रायिकता क्या है?
Solution:P(पत्ते का हुकुम का इक्का होने की घटना)= $\frac{1}{52}$
Example:4(c).प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पत्ता (i)इक्का है (ii)काले रंग का है।
Solution:4(c)(i).P (पत्ता इक्का होने की घटना)= $\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$
4(c)(ii).P(पत्ता काले रंग का होने की घटना)= $\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$
Example:5.एक अनभिनत (unbiased) सिक्का जिसके एक तल पर 1 तथा दूसरे तल पर 6 अंकित है तथा एक अनभिनत पासा दोनों को उछाला जाता है।प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्रकट संख्याओं का योग (i)3 है।(ii)12 है।
Solution:(i).घटना प्रकट संख्याओं का योग 3 होना (E)={(1,2)}
P(E)= $\frac{1}{12}$
(ii).घटना प्रकट संख्याओं का योग 12 होना (E)={(6,6)}
P(E)= $\frac{1}{12}$
Example:6.नगर परिषद में चार पुरुष व छः स्त्रियाँ हैं।यदि एक समिति के लिए यादृच्छया एक परिषद सदस्य चुना जाना है तो एक स्त्री के चुने जाने की कितनी सम्भावना है?
Solution:P(परिषद सदस्य के स्त्री चुने जाने की घटना)
= $\frac{{}^6 C_1}{{}^{10} C_1}=\frac{ \frac{6!}{(6-1)!}}{\frac{10!}{(10-1)!}} \\ =\frac{6 \times 5!}{5!} \times \frac{9!}{10 \times 9!} \\ =\frac{3}{5}$
Example:7.एक अनभिनत सिक्के को चार बार उछाला जाता है और एक व्यक्ति प्रत्येक चित्त पर एक रु. जीतता है और प्रत्येक पट पर 1.50 रु. हारता है।इस परीक्षण के प्रतिदर्श समष्टि से ज्ञात कीजिए कि आप चार उछालों में कितनी विभिन्न राशियाँ प्राप्त कर सकते हैं।साथ ही इन राशियों में से प्रत्येक की प्रायिकता भी ज्ञात कीजिए?
Solution:सिक्के को चार बार उछालने की प्रतिदर्श समष्टि S={HHHH,HHHT,HHTH,HTHH,THHH,HHTT,HTHT,THHT,THHH,HTTT,THTT,TTHT,TTTH,THTH,TTHH,TTTT}
HHHH=4×1=4 रु. लाभ, HHHT=3×1-1.50×1=3-1.50=1.50 रु. लाभ, HHTT=2×1-2×1.50=2-3=1.00 रु. हानि
HTTT=1×1-3×1.50=1-4.50=3.50 रु. हानि
TTTT=-3×1.50=4.50 रु. हानि
P(4 रु. जीतना)= $\frac{1}{16}$
P(1.50 रु. जीतना)= $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$
P(1.00 रु. हारना)= $\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$
P(3.50 रु. हारना)= $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$
P(4.50 रु. हारना)= $\frac{1}{16}$
Example:8.तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं।निम्नलिखित की प्रायिकता ज्ञात कीजिएः
Example:8(i).तीन चित्त प्रकट होना
Solution:प्रतिदर्श समष्टि S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
P(E)= $\frac{1}{8}$
घटना तीन चित्त प्रकट होना (E)={HHH}
Example:8(ii).2 चित्त प्रकट होना
Solution:घटना 2 चित्त प्रकट होना (E)={HHT,HTH,THH}
P(E)= $\frac{3}{8}$
Example:8(iii).न्यूनतम दो चित्त प्रकट होना
Solution:घटना न्यूनतम दो चित्त प्रकट होना (E)={HHH,HHT,HTH,THH}
P(E)= $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
Example:8(iv).अधिकतम 2 चित्त प्रकट होना
Solution:घटना अधिकतम दो चित्त प्रकट होना (E)={HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
P(E)= $\frac{7}{8}$
Example:8(v).एक भी चित्त प्रकट न होना
Solution:घटना एक भी चित्त प्रकट न होना (E)={TTT}
P(E)= $\frac{1}{8}$
Example:8(vi).3 पट प्रकट होना
Solution:घटना 3 पट प्रकट होना (E)={TTT}
P(E)= $\frac{1}{8}$
Example:8(vii).तथ्यतः 2 पट प्रकट होना
Solution:घटना तथ्यतः 2 पट् प्रकट होना (E)={TTH,THT,HTT}
P(E)= $\frac{3}{8}$
Example:8(viii).कोई भी पट् प्रकट न होना (E)={HHH}
P(E)= $\frac{1}{8}$
Example:8(ix).अधिकतम 2 पट् प्रकट होना
Solution:घटना अधिकतम 2 पट् प्रकट होना (E)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH}
P(E)= $\frac{7}{8}$
Example:9.यदि किसी घटना A की प्रायिकता $\frac{2}{11}$ है तो घटना ‘A-नहीं’ की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution: P(A)= $\frac{2}{11}$ , P(A-नहीं)= $1-\frac{2}{11}-\frac{9}{11}$
Example:10.शब्द ‘ASSASSINATION’ से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है।प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया अक्षर (i)एक स्वर (vowel) है (ii)एक व्यंजन (consonant) है।
Solution:(i).घटना स्वर का चुना जाना (E)={A,A,A,I,I,O}
P(E)= $\frac{6}{13}$
(ii)घटना व्यंजन का चुना जाना (E)={S,S,S,S,N,N,T}
P(E)= $\frac{7}{13}$

Probability Class 11

Example:11.एक लाटरी में एक व्यक्ति 1 से 20 तक की संख्याओं में से छः भिन्न-भिन्न संख्याएँ यादृच्छया चुनता है और यदि ये चुनी गई छः संख्याएँ उन छः संख्याओं से मेल खाती हैं,जिन्हें लाटरी समिति ने पूर्व निर्धारित कर रखा है,तो वह व्यक्ति इनाम जीत जाता है।लाटरी के खेल में इनाम जीतने की प्रायिकता क्या है?
Solution:घटना 20 में से पूर्व निर्धारित छः संख्याओं का चुना जाना (E)={1}
प्रतिदर्श समष्टि = ${}^{20} C_6=\frac{28!}{(20-6)!6! } \\ =\frac{20 \times 15 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{14!\times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \\ =38760 \\ P(E)=\frac{1}{38760}$
Example:12.जाँच कीजिए कि निम्न प्रायिकताएँ P(A) और P(B) युक्ति संगत (consistently) परिभाषित की गई हैं:
Example:12(i).P(A)=0.5,P(B)=0.7 , $P(A \cap B) =0.6$
Solution:युक्ति संगत नहीं है क्योंकि, P(A) और P(B) के बराबर या छोटा होना चाहिए।
Example:12(ii).P(A)=0.5,P(B)=0.4 , $P(A \cup B)=0.8$
Solution:हाँ युक्ति संगत है क्योंकि,P(A) या P(B) के बराबर या अधिक होनी चाहिए।
Example:13.निम्नलिखित सारणी में खाली स्थान भरिए:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & P(A) & P(B) & P(A \cap B) & P(A \cup B) \\ \hline \text { (ii) } & \frac{1}{3} & \frac{1}{5} & \frac{1}{15} & \ldots \\ \text { (i) } & 0.35 & \cdots & 0.25 & 0.6 \\ \text { (iii) } & 0.5 & 0.35 & \cdots & 0.7 \\ \hline \end{array}$
Solution: (i) $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) =\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{15} \\ =\frac{5+3-1}{15} \\ \Rightarrow P(A \cup B)=\frac{7}{15}$
(ii) $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ 0.6=0.35+P(B)-0.25 \\ \Rightarrow P(B) =0.6-0.35+0.25 \\ \Rightarrow P(B) =0.5$
(iii) $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ \Rightarrow 0.7=0.5+0.35-P(A \cap B) \\ \Rightarrow P(A \cap B)=0.85-0.7 \\ \Rightarrow P(A \cap B)=0.15$
Example:14. P(A)= $\frac{3}{5}$ और P(B)= $\frac{1}{5}$ दिया गया है।यदि A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,तो P(A या B) ज्ञात कीजिए।
Solution:A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः
P(A या B)= $P(A \cup B)=P(A)+P (B) \\ \Rightarrow P(A \cup B)=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$
Example:15.यदि E और F घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(E)=\frac{1}{4}, P(F)=\frac{1}{2}$ और P(E और F)= $\frac{1}{8}$ , तो ज्ञात कीजिए
(i)P(E या F) (ii)P(E-नहीं और F-नहीं)
Solution: (i) $P(E)=\frac{1}{4}, P(F)=\frac{1}{2}, P(E \cap F)=\frac{1}{8} \\ P(E \cup F)=P(E)+P(F)-P(E \cap F) \\=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{8} \\ =\frac{2+4-1}{8}=\frac{5}{8} \\ \Rightarrow P(E \cup F)=\frac{5}{8}$
(ii) P(E-नहीं)= $P(\bar{E})=1-P(E)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
P(F-नहीं)= $P(\bar{F})=1-P(F)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
P(E-नहीं और F-नहीं)= $P(\bar{E} \cap \bar{F}) \\ =P(E \cup F)^{\prime} \\ =1-P(E \cup F) \\ =1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$
Example:17.घटनाएँ A और B इस प्रकार हैं कि P(A)=0.42,P(B)=0.48 और P(A या B)=0.16.ज्ञात कीजिए:
Example:17(i).P(A-नहीं)
Solution:P(A-नहीं)=P(A’)=1-P(A)
=1-0.42=0.58
Example:17(ii).P(B-नहीं)
Solution:P(B-नहीं)=P(B’)=1-P(B)
=1-0.48=0.52
Example:17(iii).P(A या B)
Solution:P(A या B) = $P(A \cup B)$
$P(A)=0.42,P(B)=0.48 , P(A \cap B)=6.16 \\ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ \Rightarrow \quad=0.42+0.48-0.16 \\ \Rightarrow P(A \cup B)=0.74$
Example:18.एक पाठशाला की कक्षा XI के 40% विद्यार्थी गणित पढ़ते हैं और 30% विद्यार्थी जीव विज्ञान पढ़ते हैं।कक्षा के 10% विद्यार्थी गणित और जीव विज्ञान दोनों पढ़ते हैं।यदि कक्षा का एक विद्यार्थी यादृच्छया चुना जाता है,तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह गणित या जीव विज्ञान पढ़ता होगा।
Solution:P(M)=40%=0.4,P(B)=30%=0.3
$P(M \cap B)=10 \%=0.1, P(M \cup B)=?\\ P(M \cup B)=P(M)+P(B)-P(M \cap B) \\ =0.4+0.3-0.1 \\ \Rightarrow P(M \cup B)=0.6$
Example:19.एक प्रवेश परीक्षा को दो परीक्षणों (tests) के आधार पर श्रेणीबद्ध किया जाता है।किसी यादृच्छया चुने गए विद्यार्थी की पहले परीक्षण में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.8 है और दूसरे परीक्षण में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.7 है।दोनों में से कम से कम एक परीक्षण में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.95 है।दोनों परीक्षणों को उत्तीर्ण करने की प्रायिकता क्या है?
Solution:माना पहले परीक्षण में उत्तीर्ण होने की घटना=A
दूसरे परीक्षण में उत्तीर्ण होने की घटना=B
$P(A)=0.8,P(B)=0.7 , P(A \cap B)=?, P(A \cup B)=0.95 \\ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ \Rightarrow P(A \cap B)=1.50-0.95 \\ \Rightarrow P(A \cap B)=0.55$
Example:20.एक विद्यार्थी के अंतिम परीक्षा के अंग्रेजी और हिंदी दोनों विषयों को उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.5 है और दोनों में से किसी भी विषय उत्तीर्ण न करने की प्रायिकता 0.1 है।यदि अंग्रेजी की परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.75 हो तो हिन्दी की परीक्षा उत्तीर्ण होने की प्रायिकता क्या है?
Solution: $P(E \cap H)=0.5, P(E)=0.75, P(H)=? \\ P\left(E^{\prime} \cap H ^{\prime}\right)=P(E \cup H)^{\prime}=0.1 \\ \Rightarrow P(E \cup H)=1-P(E \cup H)^{\prime} \\ \Rightarrow P(E \cup H)=1-0.1=0.9 \\ \Rightarrow P(E \cup H)=P(E)+P(H)-P(E \cap H) \\ \Rightarrow 0.9=0.75+P(H)-0.5 \\ \Rightarrow P(H)=0.9-0.75+0.5=0.65$
Example:21.एक कक्षा के 60 विद्यार्थियों में से 30 ने एन. सी. सी. (NCC),32 ने एन. एस. एस. (NSS) और 24 ने दोनों को चुना है।यदि इनमें से एक विद्यार्थी यादृच्छया चुना गया है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि
(i)विद्यार्थी ने एन. सी. सी. या एन. एस. एस. को चुना है।
(ii)विद्यार्थी ने न तो एन. सी. सी. और न ही एन. एस. एस. को चुना है।
(iii)विद्यार्थी ने एन. एस. एस. को चुना है किन्तु एन. सी. सी. को नहीं चुना है।
Solution: (i) $P (NCC)=\frac{30}{60}, P(N S S)=\frac{32}{60} , P(NCC \cap NSS)=\frac{24}{60} \\ P(NCC \cup NSS)=? \\ P(\text { NCC } \cup \text{ NSS } )=P(\text { NCC })+P(\text { NSS })-P(\text { NCC } \cap \text{ NSS } ) \\ \Rightarrow P(\text { NCC } \cup \text{ NSS } )=\frac{30}{60}+\frac{32}{60}-\frac{24}{60}=\frac{38}{60}=\frac{19}{30}$
(ii) $P(\text { NCC } \cup \text{NSS})^{\prime}=1-P(\text { NCC } \cup \text{NSS}) \\ =1-\frac{19}{30}=\frac{11}{30}$
$P(\text { NCC }^{\prime} \cap \text{NSS}^{\prime})=P(\text { NCC } \cup \text{NSS})^{\prime} \\ P(\text { NCC }^{\prime} \cap \text{NSS}^{\prime})=\frac{11}{30}$
(iii) $P(\text { NSS } \cap \text{ NCC}^{\prime}) =P(NSS)-P(\text { NSS } \cap \text{ NCC}) \\ =\frac{32}{60}-\frac{24}{60} \\ \Rightarrow P(\text { NSS } \cap \text{ NCC}^{\prime})=\frac{8}{60}=\frac{2}{15}$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रायिकता कक्षा 11 (Probability Class 11),प्रायिकता (Probability) को समझ सकते हैं।

3.प्रायिकता कक्षा 11 पर आधारित सवाल (Questions Based on Probability Class 11):

Probability Class 11

(1.)एक थैले में 5 सफेद तथा 4 काली गेंदें हैं।इनमें से दो-दो गेंदें एक साथ क्रमशः दो बार निकाली जाती हैं।प्रथम बार में दोनों गेंदों के सफेद होने की और दूसरी बार में दोनों गेंदों के काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए जबकि प्रथम बार में निकाली गयी गेंदें थैले में वापस न डाली जाएँ।
(2.)बच्चों के तीन समूह में क्रमशः 3 लड़कियाँ और 1 लड़का,2 लड़कियाँ और 2 लड़के तथा 1 लड़की और 3 लड़के हैं।प्रत्येक समूह में से एक बच्चा यादृच्छिक रूप से चुना जाता है।दर्शाइए कि चुने हुए तीन में 1 लड़की और 2 लड़के होने की प्रायिकता $\frac{13}{32}$ है।
उत्तर (Answers):(1.) $\frac{5}{63}$
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रायिकता कक्षा 11 (Probability Class 11),प्रायिकता (Probability) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रायिकता कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Probability Class 11),प्रायिकता (Probability) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.प्रायिकता का अभिगृहीत दृष्टिकोण की क्या शर्तें हैं? (What Are the Conditions of the Axiomatic Approach to Probability?):

उत्तर:मान ले किसी यादृच्छिक परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि S है।प्रायिकता P एक वास्तविक मानीय फलन है जिसका प्रांत S का घात समुच्चय है और परिसर अंतराल [0,1] है जो निम्नलिखित अभिगृहीतियों को सन्तुष्ट करता है:
(i)किसी घटना E,के लिए $P(E) \ge 0$ ,
(ii)P(S)=1
(iii)यदि E और F परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं तो
$P(E \cup F)=P(E)+P(F)$

प्रश्न:2.घटना A या घटना B की प्रायिकता कैसे ज्ञात करते हैं? (How to Find the Probability of Event A or Event B?):

उत्तर: $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$ सूत्र से

प्रश्न:3.कम से कम एक घटना के घटित नहीं होने की प्रायिकता कैसे ज्ञात करते हैं? (How to Find the Probability that at Least One Event Does Not Occur?):

उत्तर:कम से कम एक घटना के घटित नहीं होने की प्रायिकता
P(दोनों में से कम से कम एक घटना घटित नहीं होगी)= $1-P(A \cap B)$
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रायिकता कक्षा 11 (Probability Class 11),प्रायिकता (Probability) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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प्रायिकता कक्षा 11 (Probability Class 11)

Probability Class 11

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,स्वतन्त्र घटनाओं पर आधारित सवालों को हल करके प्रायिकता को समझने का प्रयास करेंगे।

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Satyam

About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.