1.प्रायिकता कक्षा 10 (Probability Class 10th),कक्षा 10 में प्रायिकता (Probability in Class 10):

Probability Class 10th

प्रायिकता कक्षा 10 (Probability Class 10th) में प्रायिकता से तात्पर्य है कि किसी घटना के घटित होने की संभावना को संख्यात्मक रूप से प्रकट करना।इस आर्टिकल में प्रायिकता को कुछ उदाहरणों द्वारा समझेंगे।
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2.प्रायिकता कक्षा 10 के साधित उदाहरण (Probability Class 10th Solved Examples):

Example:1.निमिनलिखित कथनों को पूरा कीजिए:
Example:1(i).घटना E की प्रायिकता+घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता=…. है।
Solution:घटना E की प्रायिकता+घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता=1 है।
Example:1(ii).उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती….. है।ऐसी घटना…. कहलाती है।
Solution:उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती 0 है।ऐसी घटना असम्भव घटना कहलाती है।
Example:1(iii).उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है…… है।ऐसी घटना….. कहलाती है।
Solution:उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है 1 है।ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है।
Example:1(iv).किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग….. है।
Solution:किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 है।
Example:1(v).किसी घटना की प्रायिकता…. से बड़ी या बराबर होती है तथा….. से छोटी या उसके बराबर होती है।
Solution:किसी घटना की प्रायिकता 0 से बड़ी या बराबर होती है तथा 1 से छोटी या उसके बराबर होती है।
Example:2.निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक है? स्पष्ट कीजिए।
Example:2(i).एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है।कार चलना प्रारम्भ हो जाती है या कार चलना प्रारम्भ नहीं होती।
Solution:एक ड्राइवर द्वारा कार चलाने की सम्भावना अधिक है तथा न चलाने की सम्भावना कम हैं।अतः यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है।
Example:2(ii).एक खिलाड़ी बास्केटबाल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है।वह बास्केट में बाॅल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
Solution:एक खिलाड़ी द्वारा बास्केटबाल को बास्केट में डालने या न डालने की समान सम्भावना नहीं है।अतः प्रयोग समप्रायिक नहीं है।
Example:2(iii).एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है।उत्तर सही है या गलत होगा।
Solution:सत्य-असत्य प्रश्न के अनुमान लगाने के सही या गलत होने की समान सम्भावना है।अतः प्रयोग समप्रायिक है।
Example:2(iv).एक बच्चे का जन्म होता है।वह एक लड़का है या लड़की है।
Solution:बच्चे के जन्म होने पर लड़का व लड़की होने की समान सम्भावनाएं हैं अतः प्रयोग समप्रायिक है।
Example:3.फुटबाल के खेल को प्रारम्भ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौनसी टीम पहले बाॅल लेगी,इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?
Solution:सिक्के को उछालने पर चित या पट आना समप्रायिक (समान सम्भावनाएं) हैं तथा उछालने पर यह नहीं कहा जा सकता है कि चित आएगा या पट।
Example:4.निम्नलिखित में से कौनसी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(A)\frac{2}{3}  (B)-1.5  (C) 15%  (D)0.7
Solution:किसी भी घटना के घटित होने की प्रायिकता ऋणात्मक तथा 1 से अधिक नहीं हो सकती है।अतः विकल्प (B) सही है।
Example:5.यदि P(E)=0.05 है,तो ‘E नहीं’ की प्रायिकता क्या है?
Solution: P(\overline{E})=1-P(E) \\ \Rightarrow P(\overline{E})=1-0.05=0.95
Example:6.एक थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं।मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है।इसकी क्या प्रायिकता है वह निकाली गई गोली
(i)संतरे की महक वाली है?
(ii)नींबू की महक वाली है?
Solution:(i).सन्तरे की गोलियों की संख्या शून्य है अतः निकाली गई गोली सन्तरे की महक वाली होने की प्रायिकता शून्य होगी।
(ii)थैले में सभी गोलियाँ नींबू की हैं अतः निकाली गई गोली नींबू की महक वाली होने की प्रायिकता 1 होगी।
Example:7.यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है।इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?
Solution:2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता P(E)=0.992
2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता=1-P(E) \\ P(\overline{E}) =1-0.992 \\ \Rightarrow P(\overline{E}) =0.008
Example:15.ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला,गुलाम,बेगम,बादशाह और इक्का – को पलट करके फेटा जाता है।फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।
(i)इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है?
(ii)यदि बेगम निकल आती है तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है।इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a)एक इक्का है? (b)एक बेगम है?
Solution:(i)निकाला गया पत्ता बेगम होने के अनुकूल परिणाम=1
अतः निकाला गया पत्ता बेगम होने की प्रायिकता
=\frac{ \text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल सम्भव परिणाम}} =\frac{1}{5}
(ii)बेगम निकल आती हैं तो उसे अलग रख दिया जाता है अब कुल सम्भव परिणाम
=4 (दहला,गुलाम,बादशाह,इक्का)
(a)दूसरा पत्ता इक्का निकाले जाने के अनुकूल परिणाम=1
अतः दूसरा पत्ता इक्का निकाले जाने की प्रायिकता=\frac{1}{4}
(b)दूसरा पत्ता बेगम होने के अनुकूल परिणाम=0 (शून्य)
अतः दूसरा पत्ता बेगम होने की प्रायिकता=\frac{0}{4}=0

Probability Class 10th

Example:16.किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं।केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है।इस मिश्रण में से एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है।निकाले गए पेन के अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:खराब पेनों की संख्या=12
अच्छे पेनों की संख्या=132
पेनों की कुल संख्या=12+132=144
निकाले गए पेन के अच्छे होने की प्रायिकता
=\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल सम्भव परिणाम}} \\=\frac{132}{144}=\frac{11}{12}
Example:17(i).20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं।इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है।इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा?
Solution:कुल बल्बों की संख्या=20
खराब बल्बों की संख्या=4
निकाला गया बल्ब खराब होने की प्रायिकता
=\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल सम्भव परिणाम}} =\frac{4}{20} \\ =\frac{1}{5}
Example:17(ii).मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है।अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है,इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?
Solution:निकाला गया बल्ब खराब नहीं है अतः अब शेष कुल बल्बों की संख्या=20-1=19
अब अच्छे बल्बों की संख्या=20-1-4=15
दुबारा निकाला गया बल्ब खराब न होने की प्रायिकता
=\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल सम्भव परिणाम}} \\ =\frac{15}{19}
Example:18.एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं।यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी:(i)दो अंकों की एक संख्या (ii)एक पूर्ण वर्ग संख्या (iii)5 से विभाज्य एक संख्या।
Solution:(i) डिस्कों पर अंकित कुल संख्या=90
दो अंकों की संख्या के अनुकूल परिणाम (10 से 90 तक)=81
निकाली गई डिस्क पर दो अंकों की संख्या होने की प्रायिकता
=\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल सम्भव परिणाम}} \\=\frac{81}{90}=\frac{9}{10}
(ii).पूर्ण वर्ग संख्याएँ (1,4,9,16,25,36,49,64,81)=9
निकाली गई डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या होने की प्रायिकता
=\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल सम्भव परिणाम}} \\ =\frac{9}{90} \\ =\frac{1}{10}
(iii)5 से विभाजित संख्याएँ (5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90)=18
निकाली गई डिस्क पर 5 से विभाज्य संख्या होने की प्रायिकता
=\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल सम्भव परिणाम}} \\ =\frac{18}{90}=\frac{1}{5}
Example:19.एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं:

इस पासे को एक बार फेंका जाता है।इसकी क्या प्रायिकता है कि (i)A प्राप्त हो? (ii)D प्राप्त हो?
Solution:(i)पासे पर कुल अक्षर=6
A के अनुकूल परिणाम=2
पासे को फेंकने पर A आने की प्रायिकता
=\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल सम्भव परिणाम}} \\ =\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
(ii)पासे पर D के अनुकूल परिणाम=1
पासे को फेंकने पर D आने की प्रायिकता
=\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल सम्भव परिणाम}} \\ =\frac{1}{6}
Example:20.मान लीजिए आप एक पासे को आकृति में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं।इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1m व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा?

Probability Class 10th

Solution:आयत का क्षेत्रफल=लम्बाई × चौड़ाई
=3m×2m
=6 वर्गमीटर
वृत्त की त्रिज्या (r)=\frac{1}{2} m
वृत्त का क्षेत्रफल=\pi r^2=\pi \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \\ =\frac{\pi}{4}
पासे के वृत्त के अन्दर गिरने की प्रायिकता
=\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल सम्भव परिणाम}} \\ =\frac{\text{वृत्त का क्षेत्रफल}}{\text{आयत का क्षेत्रफल}} \\ =\frac{\frac{\pi}{4}}{6} \\ =\frac{\pi}{24}
Example:21.144 बाल पेनों के एक समूह में 20 बाॅल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं।आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे।दुकानदार इन पेनों में से यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है।इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i)आप वह पेन खरीदेंगे?
(ii)आप वह पेन नहीं खरीदेंगे?
Solution:(i).कुल बाॅल पेनों की संख्या=144
अच्छे बाॅल पेनों की संख्या=144-20=124
बाॅल पेन खरीदने की प्रायिकता
=\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल सम्भव परिणाम}} \\ P(E)=\frac{124}{144}=\frac{31}{36}
(ii)बाॅल पेन नहीं खरीदने की प्रायिकता

P(\overline{E}) =1-P(E) \\ =1-\frac{37}{36}=\frac{5}{36}
Example:22.एक सलेटी पासे और एक नीले पासे को एक साथ फेंका जाता है।सभी संभावित परिणामों को लिखिए।
(i)निम्न सारणी को पूरा कीजिए
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{घटना} &  \\ \hline दोनों पासों की संख्याओं का योग & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 &12 \\ \hline \text{प्रायिकता} & \frac{1}{36} & & & & & & \frac{5}{36} & & & & \frac{5}{36} \\ \hline \end{array}
(ii)एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि ‘यहाँ कुल 11 परिणाम 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 हैं।अतः प्रत्येक की प्रायिकता \frac{1}{11} है।क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
Solution:(i)एक सलेटी और एक नीले रंग के दो पासों को फेंका जाता है तो पासों पर प्राप्त होने वाले परिणाम
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
कुल सम्भावित परिणाम=36
दोनों पासों की संख्याओं का योग (1,1)=2
प्रायिकता=\frac{1}{36}
दोनों पासों की संख्याओं का योग (1,2),(2,1)=3
प्रायिकता=\frac{2}{36}
दोनों पासों की संख्याओं का योग (1,3),(2,2),(3,1)=4
प्रायिकता=\frac{3}{36}
दोनों पासों की संख्याओं का योग (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)=5
प्रायिकता=\frac{4}{36}
दोनों पासों की संख्याओं का योग (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)=6
प्रायिकता=\frac{5}{36}
दोनों पासों की संख्याओं का योग (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)=7
प्रायिकता=\frac{6}{36}
दोनों पासों की संख्याओं का योग (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)=8
प्रायिकता=\frac{5}{36}
दोनों पासों की संख्याओं का योग (3,6),(4,5),(5,4),(6,3)=9
प्रायिकता=\frac{4}{36}
दोनों पासों की संख्याओं का योग (4,6),(5,5),(6,4)=10
प्रायिकता=\frac{3}{36}
दोनों पासों की संख्याओं का योग (5,6),(6,5)=11
प्रायिकता=\frac{2}{36}
दोनों पासों की संख्याओं का योग (6,6)=12
प्रायिकता=\frac{1}{36}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{घटना} &  \\ \hline दोनों पासों की संख्याओं का योग & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 &12 \\ \hline \text{प्रायिकता} & \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36} \\ \hline \end{array}
(ii)विद्यार्थी का तर्क गलत है क्योंकि कुल परिणाम 36 है तथा ये सभी परिणाम समप्रायिक नहीं है।
Example:23.एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है।तीनों परिणाम समान होने पर,अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा;अन्यथा वह हार जाएगा।हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।
Solution:खेल में एक सिक्के को तीन बार उछालने पर कुल सम्भव परिणाम=
(HHT) (HTH (THH) (HTT) (THT) (TTH) (TTT) (HHH)
हनीफ के खेल में हार जाने के कुल अनुकूल परिणाम अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त न होना
=(HHT) (HTH (THH) (HTT) (THT) (TTH)=6
हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता=\frac{6}{8} \\ =\frac{3}{4}
Example:24.एक पासे को दो बार फेंका जाता है।इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i)5 किसी भी बार में नहीं आएगा? (ii)5 कम-से-कम एक बार आएगा
Solution:(i).पासे को दो बार फेंके जाने पर कुल सम्भव परिणाम
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
5 न आने के अनुकूल परिणाम=36-11=25
पासे को दो बार फेंकने पर 5 न आने की प्रायिकता
=\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल सम्भव परिणाम}} \\ =\frac{25}{36}
(ii)5 कम-से-कम एक बार आने के अनुकूल परिणाम=11
अतः पासे पर 5 कम-से-कम एक बार आने की प्रायिकता
=\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल सम्भव परिणाम}}\\ =\frac{11}{36}
Example:25.निम्निलिखित में से कौनसे तर्क सत्य हैं और कौनसे तर्क असत्य हैं?सकारण उत्तर दीजिए।
(i)यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है तो इसके तीन सम्भावित परिणाम-दो चित,दो पट या प्रत्येक एक बार है।अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता है।
(ii)यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो संभावित परिणाम-विषम संख्या या एक सम संख्या है।अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता \frac{1}{2} है।
Solution:(i)दोनों सिक्कों को एक साथ उछालने पर सम्भावित परिणाम चार होंगे
HH,HT,TH,TT
एक चित आने की प्रायिकता=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
दो चित आने की प्रायिकता=\frac{1}{4}
दो पट आने की प्रायिकता=\frac{1}{4}
अतः दिया गया तर्क असत्य है।
(ii)जब पासे को फेंका जाता है तो कुल सम्भव परिणाम
(1,2,3,4,5,6)
विषम संख्या आने के अनुकूल परिणाम (1,3,5)=3
अतः पासे पर विषम संख्या आने की प्रायिकता=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} 
अतः दिया गया तर्क सत्य है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रायिकता कक्षा 10 (Probability Class 10th),कक्षा 10 में प्रायिकता (Probability in Class 10) को समझ सकते हैं।

3.प्रायिकता कक्षा 10 पर आधारित सवाल (Questions Based on Probability Class 10th):

Probability Class 10th

(1.)एक लाॅटरी की 1000 टिकटें बेची गई जिनमें से 6 टिकटों पर इनाम था।यदि अमित ने एक टिकट खरीदा तो इनाम जीतने की प्रायिकता क्या होगी?
(2.)ताश के 52 पत्तो की गड्डी में से यादृच्छिक रूप से दो पत्ते निकाले जाते हैं।सिद्ध कीजिए कि दोनों के दहला आने की \frac{1}{221} प्रायिकता होगी।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रायिकता कक्षा 10 (Probability Class 10th),कक्षा 10 में प्रायिकता (Probability in Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रायिकता कक्षा 10 (Frequently Asked Questions Related to Probability Class 10th),कक्षा 10 में प्रायिकता (Probability in Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रायिकता कक्षा 10 (Probability Class 10th) में प्रायिकता से तात्पर्य है कि किसी घटना के
घटित होने की संभावना को संख्यात्मक रूप से प्रकट करना।इस आर्टिकल में प्रायिकता को
कुछ उदाहरणों द्वारा समझेंगे।