1.सांख्यिकी में प्वाॅयसन बंटन (Poisson Distribution in Statistics),सांख्यिकी में द्विपद बंटन (Binomial Distribution in Statistics):

Poisson Distribution in Statistics

सांख्यिकी में प्वाॅयसन बंटन (Poisson Distribution in Statistics) तथा द्विपद बंटन पर आधारित प्रायिकता के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सांख्यिकी में प्वाॅयसन बंटन पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Poisson Distribution in Statistics):

(1.)द्विपद बंटन (Binomial Distribution):
Illustration:18.4 बच्चों वाले 104 झोलों (नवजात चूहों के बच्चों के समूहों) में 0,1,2,3,4 मादा बच्चों वाले झोलों को प्रेक्षित किया गया।आँकड़े निम्न सारणी में दिए हुए हैं।यदि प्रत्येक प्रजनन क्रिया में मादा बच्चों के प्राप्त करने की प्रायिकता अचल मानी जाय,तो इस अचल किन्तु अज्ञात प्रायिकता का आकलन कीजिए और इस आधार पर द्विपद नियम लागू हो रहा है,पाँचों सैद्धान्तिक आवृत्तियों को परिकलित कीजिए:
(In 104 litters which contained 0,1,2,3,4 females were noted.The figures are given in the table below.If the chance of obtaining a female in a single trial is assumed constant,estimate this constant but unknown probability and on the assumption that the binomial law holds,calculate the five theoretical numbers of litters):

Solution:यहाँ n=4,N=104 परन्तु p और q नहीं दिया है।p ज्ञात करने के लिए पहले समान्तर माध्य निकाला जाएगा फिर उसे n से भाग दिया जायेगा।

समान्तर माध्य \overline{X}=\frac{\sum fx}{\sum f} \\ =\frac{208}{104} \\ \Rightarrow \overline{X}=2
लेकिन \overline{X}=n p \\ \therefore p=\frac{\overline{X}}{n} =\frac{2}{4} \\ \Rightarrow p=0.5 \\ q=1-0.5=0.5
द्विपद बंटन
N(p+q)^n \\ =104(0.5+0.5)^4 \\ =104\left[(0.5)^4+{}^4 C_1 (0.5)^3(0.5)+{}^4 C_2 (0.5)^2 (0.5)^2+{}^4 C_3 (0.5)(0.5)^3+(0.5)^{4}\right] \\ =104\left[0.0625+4 \times 0.0625+6 \times 0.0625 +4 \times 0.0625+0.0625\right] \\ =6.5+26+39+26+6.5
p=0.5, np या \overline{X}=2, f_e=6.5,26,39,26,6.5
(2.)प्वाॅयसन बंटन (Poisson Distribution):
Illustration:20.निम्न अवलोकनों के समुच्चय पर प्वाॅयसन बंटन का अन्वायोजन कीजिए और सैद्धान्तिक आवृत्तियाँ भी परिकलित कीजिए:
(Fit a poisson distribution to the following data and also calculate the theoretical frequencies):(e^{-0.5}=0.6065)

Solution:समान्तर माध्य की गणना

समान्तर माध्य
m=\frac{\sum f x}{\sum f} \\ \Rightarrow m=\frac{100}{200}=0.5 \\ e^{-m} =e^{-0.5}=0.6065
प्वाॅयसन बंटन पर आधारित प्रत्याशित आवृत्तियाँ निम्न सूत्रानुसार ज्ञात की जाएंगी
N \cdot p(x)=N\left[e^{-m} \cdot \frac{m^x}{x!}\right] \\ \begin{array}{|cccc|} \hline &  & \\ & \text { प्रायिकता } & \text{प्रत्याशित आवृत्ति} \\ x & p(x) & N.p(x) \\ \hline 0 & -e^{0.5}=0.6065 & 0.6065 \times 200 =121.3 \\ 1 & e^{-0.5} \times \frac{(0.5)^1}{1!}=0.6065 \times 0.5=0.30325 & 0.30325 \times 200=60.65 \\ 2 & e^{-0.5} \times \frac{(0.5)^2}{2!}=\frac{0.0625 \times 0.25}{2}=0.0758125 & 0.0758125 \times 200=15.1625 \\ 3 & e^{-0.5} \times \frac{(0.5)^3}{3 !}=\frac{0.6065 \times 0.125}{6}=0.012635 & 0.012635 \times 200 =2.527 \\ 4 & e^{-0.5} \times \frac{(0.5)^4}{4!}=\frac{0.0625 \times 0.0625}{24} =0.00157942 & 0.00157942 \times 200 =0.315884 \\ \hline \end{array}
प्रत्याशित आवृत्ति (सन्निकट):121,61,15,3,0
Illustration:21.किसी कार्यालय में कार्य के 100 दिनों में प्राप्त पत्रों की संख्याएँ निम्न प्रकार थीं।यह मानकर कि यह प्रदत्त प्वाॅयसन बंटन से लिये गये यादृच्छिक प्रतिदर्श के रूप में है,इनकी प्रत्याशित आवृत्तियाँ निकटतम ज्ञात इकाई तक निकालिए।
(Letters were received in an office on each of 100 working days as follows.Assuming the data to form a random sample from a Poisson distribution,find the expected frequencies correct to the nearest unit.) (e^{-4}=0.0183)

Solution:समान्तर माध्य की गणना

समान्तर माध्य
(m)=\frac{\sum fx}{\sum f} \\ \Rightarrow m=\frac{400}{100}=4 \\ e^m=e^{-4}=0.0183
प्वाॅयसन बंटन पर आधारित प्रत्याशित आवृत्तियाँ निम्न सूत्रानुसार ज्ञात की जाएंगी:
N \cdot p(x)=N\left[e^{-m} \cdot \frac{m^x}{x!}\right] \\ \begin{array}{|cccc|}\hline & \text{प्रायिकता} & \text{ प्रत्याशित आवृत्तियाँ} \\ x & & N.p(x)\\ \hline 0 & e^{-4}=0.0183 & 0.0183 \times 100=1.83 \\ 1 & \frac{e^{-4} \times(4)^1}{1!}=0.0183 \times 4 =0.0732 & 0.0732 \times 100=7.32 \\ 2 & \frac{e^{-4} \times (4)^2}{2!}=\frac{0.0183 \times 16}{2}=0.1464 & 0.1464 \times 100=14.64 \\ 3 & \frac{e^{-4} \times(4)^3}{3!}=\frac{0.0183 \times 64}{6}=0.1952 & 0.1952 \times 100=19.52 \\ 4 & \frac{e^{-4} \times(4)^4}{4!} =\frac{0.0183 \times 256 }{24} =0.1952 & 0.1952 \times 100=19.52\\ 5 & \frac{e^{-4} \times(4)^5}{5!}=\frac{0.0183 \times 1024}{120} =0.15616 & 0.15616 \times 100=15.616 \\6 & \frac{e^{-4} \times(4)^6}{6!} =\frac{0.0183 \times 4096}{720} =0.1041 & 0.1041 \times 100=10.41\\ 7 & \frac{e^{-4} \times (4)^7}{7!} =\frac{0.0183 \times 16384}{5040}=0.05948 & 0.05948 \times 100 =5.948 \\ 8 & \frac{e^{-4} \times(4)^8}{8!}=\frac{0.0183 \times 65536}{40320}=0.02974 & 0.02974 \times 100=2.974 \\ 9 & \frac{e^{-4} \times (4)^9}{9!}=\frac{0.0183 \times 262144}{362880}=0.01321 & 0.01321 \times 100=1.321 \\ 10 & \frac{10 e^{-4} \times(4)^{10}}{10!}=\frac{0.0183 \times 1048576}{3628800} =0.005287 & 0.005287 \times 100=0.5287 \\ \hline \end{array} \\ f_e=2,7,15,20,20,16,10,6,3,1,1

Poisson Distribution in Statistics

Illustration:22(i).मान लीजिए कि एक निर्मित वस्तु में प्रति निरीक्षित इकाई में 2 दोष हैं।प्वाॅयसन बंटन का प्रयोग करते हुए,बिना किसी दोष वाली इकाई,3 दोषों तथा 4 दोषों वाली इकाइयों की सम्भावनाएँ परिकलित कीजिए (प्रदत्त e^{-2}=0.135)।
(Suppose that a manufactured product has 2 defects per unit of product inspected.Using Poisson distribution,calculate the probabilities a product without any defect,with 3 defects and 4 defects. (Givene^{-2}=0.135)
Solution:प्वाॅयसन बंटन पर आधारित आवृत्ति सूत्र
N \cdot p(x)=N\left[e^{-m} \cdot \frac{m^x}{x!}\right] \\ e^{-m}=e^{-2}=0.135 अतः m=2
p_0=e^{-2} \frac{(2)^0}{0!}=0.135 \\ p_3=e^{-2} \cdot \frac{(2)^3}{3!}=\frac{0.135 \times 8}{6}=0.18 \\ p_4=e^{-2} \cdot \frac{(2)^4}{4!}=\frac{0.135 \times 16}{24}=0.09
Illustration:22(ii).यह ज्ञात है कि एक कम्पनी द्वारा निर्मित बिजली के बल्बों में से 3% दोषपूर्ण होते हैं।प्वाॅयसन आकलन का प्रयोग करके,यह ज्ञात कीजिए कि 100 बल्बों के प्रतिदर्श में (क) कोई दोषपूर्ण बल्ब नहीं होगा, (ख)एक दोषपूर्ण होगा (प्रदत्त e^{-3}=0.05)
(It is given that 3% electric bulbs manufactured by a company are defective. Using the Poisson approximation,find the probability that a sample of 100 bulbs will contain (a)no defective,(b)exactly one defective. (Given e^{-3}=0.05 )
Solution:प्वाॅयसन बंटन पर आधारित आवृत्ति सूत्र
N \cdot p(x)=N\left[e^{-m} \cdot \frac{m^x}{x!}\right]
(क)कोई दोषपूर्ण बल्ब नहीं होगा:
x=0, e^{-3}=0.05, m=3 \\ p_0=e^{-3} \cdot \frac{(3)^0}{0!}=0.05
(ख)एक दोषपूर्ण होगा:
p_1=\frac{e^{-3} \times (3)^1}{1!}=0.05 \times 3=0.15
Illustration:23.ब्लेड निर्माण करने वाली किसी फैक्ट्री में ब्लेड के दोषयुक्त होने की अत्यन्त अल्प सम्भाविता है।प्रति पैकेट में 10 ब्लेड रखे जाते हैं।प्वाॅयसन बंटन का प्रयोग करके यह ज्ञात कीजिए कि 10,000 पैकेटों की पेटी में,कितने पैकेटों में (क)एक भी दोषयुक्त ब्लेड नहीं होगा, (ख)एक दोषपूर्ण ब्लेड होगा, (ग)दो दोषपूर्ण ब्लेड होंगे।(e^{-0.2}=0.9802)
(In a certain factory turning out razor blades,there is a small chance for any blade to be defective.The blades are supplied in packets of 10.Use Poisson distribution to calculate the approximation number of packets containing (a)No defective blade, (b)Two defective blades in a consignment of 10,000 packets.)(e^{-0.2}=0.9802)
Solution:प्वाॅयसन बंटन पर आधारित आवृत्ति सूत्र
N \cdot p(x)=N\left[e^{-m} \cdot \frac{m^x}{x!}\right] \\ e^{-0.02}=0.9802, m=0.02, N= 10,000
(क)एक भी दोषपूर्ण ब्लेड नहीं होगा
x=0 \\ 10,000\left[e^{-0.02} \times \frac{(0.02)^0}{0!}\right]=10000 \times 0.9802=9802
(ख)एक दोषपूर्ण ब्लेड होगा
x=1 \\ 10,000\left[e^{0.02} \times \frac{(0.02)^1}{1!}\right] \\ =10,000 \times 0.9802 \times 0.02 \\ =196.04 \approx 196
(ग)दो दोषपूर्ण ब्लेड होंगे
x=2 \\ =10,000\left[e^{-0.02} \times \frac{\left.(0.02)^2\right]}{2!}\right] \\ =16,000 \times 0.9802 \times \frac{0.0004}{2} \\ =1.9604 \approx 2
Illustration:24(i).एक फाउन्टेन पैन बनाने के कारखाने में जहाँ 0.5 प्रतिशत दोषपूर्ण पैन बनते हैं,सौ-सौ पैन डिब्बों में रखे जाते हैं।बतलाइए ऐसे डिब्बों का प्रतिशत क्या है (अ)जिनमें एक भी दोषपूर्ण पैन न हो, और (ब)जिनमें दो या दो से अधिक दोषपूर्ण पैन हो।
(दिया हुआ है e^{-0.5}=0.6065 )।
(Fountain pens produced in a factory, of which 0.5 percent pens are defective packed in cartoons (a)free from defective pens,and (b)what percentage contain 2 or more defective pens.)
Solution:प्वाॅयसन बंटन पर आधारित आवृत्ति सूत्र
N \cdot p(x)=N\left[e^{-m} \cdot \frac{m^x}{x!}\right] \\ e^{-0.5}=0.6065, m=0.5, N=100 \%
(अ)जिनमें एक भी दोषपूर्ण पैन न हो
x=0 \\ 100 \%\left[e^{-0.5} \times \frac{(0.5)^0}{0!}\right] \\ =100 \% \times 0.6065=60.65 \%
(ब)जिनमें दो या दो से अधिक दोषपूर्ण पैन हो
x=1, \quad p_1 =N\left[e^{-0.5} \times \frac{(0.5)^1}{1!}\right] \\ =100 \% \times 0.6065 \times 0.5 \\ \Rightarrow p_1=30.325 \%
दो या दो से अधिक दोषपूर्ण पैन का प्रतिशत
P(\geq 2)=100-\left[p_0+p_1\right]
=100%-[60.65%+30.325%]
=100%-90.975%=9.025%
Illustration:24(ii).आलपिनों के निर्माता को ज्ञात है कि उसके उत्पाद में औसतन 5 प्रतिशत दोषयुक्त होते हैं।वह प्रत्येक पेटी में 100 आलपिनें रखकर बेचता है और यह गारण्टी देता है कि पेटी में 4 से अधिक पिनें दोषयुक्त होंगी।इस बात की क्या सम्भावना है कि (क)प्रत्येक पेटी इस गारण्टी की पूर्ति करेगी,(ख)गारण्टी पूरी नहीं हो सकेगी?
(A manufacturer of pins knows that on an average 5% of his product is defective.He sells pens in boxes of 100 and guarantees that not more than 4 pens will be defective in a box.What is the probability that a box will (a)meet the guaranteed quality, (b)fail to meet the guarantee.(e^{-5}=0.0067)
Solution:त्रुटिपूर्ण आलपिनों की प्रायिकता
=\frac{5}{100}=0.05, n=100 \\ \therefore m=n p=0.05 \times 100=5
(क)प्रत्येक पेटी इस गारण्टी को पूर्ति करेगी
दोषपूर्ण आलपिनों का अनुपात
0 दोषपूर्ण आलपिनों की प्रायिकता
p_0=e^{-m} \cdot \frac{m^0}{0!}=e^{-m}=e^{-5}=0.0067 \\ p_1=e^{-m} \cdot \frac{m^1}{1!} =\frac{e^{-5}(5)^1}{1!}=0.0067 \times 5=0.0335 \\ p_2=e^{-5} \times \frac{(5)^2}{2!}=\frac{0.0067 \times 25}{2}=0.08375 \\ p_3=e^{-5} \times \frac{(5)^3}{3!}=\frac{0.0067 \times 125}{6}=0.13958 \\ p_4=e^{-5} \times \frac{(5)^4}{4!}=\frac{0.0067 \times 625}{24}=0.17447 \\ p_0+p_1+p_2+p_3+p_4 =0.0067+0.0335+0.08375+0.13958+0.17447 \\ =0.438
(ख)गारण्टी पूरी नहीं हो सकेगी
=1-0.438=0.562
Illustration:25(i).एक टेलीफोन एक्सचेंज में औसत रूप से एक मिनट में 4 सन्देश जाते हैं।प्वाॅयसन बंटन (m=4) के आधार पर यह प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (क)प्रति मिनट 2 या 2 से कम सन्देश आएंगे,(ख)4 सन्देश तक,(ग)4 से अधिक सन्देश आएंगे।
(A telephone exchange receives on an average 4 calls per minute.Find the probability on the basis of Poisson Distribution (m=4) of (a)2 or less calls per minute (b)more than 4 calls per minute. \left(e^{-4}=0.183\right)
Solution: e^{-4}=0.183,m=4
(क)प्रति मिनट दो कम सन्देश आएंगे
x=0, p_0=e^{-4} \times \frac{(4)^0}{0!}=0.0183 \\ x=1, p_1=e^{-4} \times \frac{(4)}{1!}=0.0183 \times 4=0.0732 \\ x=2, p_2=e^{-4} \times \frac{(4)^2}{2!}=\frac{0.0183 \times 16}{2}=0.1464 \\ \leq 2 \text { calls } p=p_0+p_1+p_2=0.0183+0.0732+0.1464=0.2379
(ख)4 सन्देश तक,
x=3, p_3=e^{-4} \times \frac{(4)^3}{3!}=\frac{0.0183 \times 64}{6}=0.1952 \\ x=4, p_4 =e^{-4} \times \frac{(4)^4}{4!}=\frac{0.0183 \times 256}{24}=0.1952 \\ \leq 4 \text { calls }=\leq 2 \text { calls } p+p_3+p_4 \\ =0.2379+0.1952+0.1952=0.6283
(ग)4 से अधिक सन्देश आएंगे
> 4 calls=1-0.6283=0.3717
Illustration:25(ii).अपरान्ह 2 से 4 बजे के बीच एक कम्पनी के स्विचबोर्ड में आने वाले औसत टेलीफोन काॅल प्रति मिनट 2.5 है।यह प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि किसी एक मिनट में कोई फोन काॅल नहीं आयेगा।
(Between the hours 2 p.m. and 4 p.m.,the average number of phone calls per minute coming into the switchboard of a company is 2.5.Find the probability that during one particular minute there will be no phone call at all. (Given \left(e^{-2}=0.13534 \text{ and } e^{-0.5}=0.6065\right) )
Solution: m=2.5\\ e^{-2.5}=0.13534 \times 0.6065=0.082084
कोई फोन काॅल नहीं आएगा अतः x=0
p_0=e^{-m} \frac{m^x}{x!}=e^{-2.5} \times \frac{(2.5)^0}{0!} \\ =0.082084 \\ =\frac{82084}{1000000} \\ \approx \frac{82000}{1000000} \\ \approx \frac{41}{500}
Illustration:26(i).छः सिक्के 6400 बार उछाले जाते हैं।प्वाॅयसन बंटन का प्रयोग करके यह ज्ञात कीजिए कि छः पुतलियाँ x बार प्रयोग करने की सम्भाविता क्या है?
(Six coins are tossed 6400 times.Using Poisson distribution,find the probability of getting 6 heads x times.)
Solution:6 चित्त आने की प्रायिकता
=\frac{1}{(2)^6}=\frac{1}{64} \\ m=n p=6400 \times \frac{1}{64}=100
छः पुतलियाँ (heads) x बार आने की सम्भाविता
p_x=e^{-m}\left(\frac{m^x}{x!}\right)=\frac{e^{-100} \cdot 100^x}{x!}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में प्वाॅयसन बंटन (Poisson Distribution in Statistics),सांख्यिकी में द्विपद बंटन (Binomial Distribution in Statistics) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में प्वाॅयसन बंटन पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Poisson Distribution in Statistics):

Poisson Distribution in Statistics

(1.)निम्न सारणी वाॅन वाॅर्टकीबिज द्वारा बीस वर्षों (1875-94) की अवधि में 10 पर्शियन सेना कोरों में प्रतिवर्ष प्रति कोर घोड़ों की टापों से होने वाली मृत्यु की संख्या प्रदर्शित करती है:
\begin{array}{|ccccccc|} \hline \text{ मृत्यु-संख्या } & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \text { योग } \\ \text{ आवृत्ति } & 109 & 65 & 22 & 4 & 1 & 200 \\ \hline \end{array}
प्वाॅयसन बंटन आसंजित कीजिए और प्रत्याशित आवृत्तियाँ परिकलित कीजिए।
(2.)यदि किसी समग्र में दूषित इकाइयों का अनुपात 4% हो तो 10 इकाइयों के प्रतिदर्श में 2 से अधिक दोषपूर्ण इकाइयों के न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।यह ज्ञात है कि e^{-0.4}=0.6703
उत्तर (Answers):(1.)109,66,20,4,1 (2.)0.992
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में प्वाॅयसन बंटन (Poisson Distribution in Statistics),सांख्यिकी में द्विपद बंटन (Binomial Distribution in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में प्वाॅयसन बंटन (Frequently Asked Questions Related to Poisson Distribution in Statistics),सांख्यिकी में द्विपद बंटन (Binomial Distribution in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में प्वाॅयसन बंटन (Poisson Distribution in Statistics) तथा द्विपद बंटन पर
आधारित प्रायिकता के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।