1.अवकल समीकरण का PI और CF (PI and CF of Differential Equation),अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल तथा पूरक फलन ज्ञात करना (To Find out Particular Integral and Complementary Function of Differential Equation):

PI and CF of Differential Equation

अवकल समीकरण का PI और CF (PI and CF of Differential Equation) ज्ञात करेंगे।ये ऐसे रैखिक अवकल समीकरण हैं जिनमें आश्रित चर (Dependent Variable) तथा उसके अवकलज (Derivatives) केवल प्रथम घात (First Degree) में आते हों और आपस में गुणित (multiplied) नहीं होते।
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2.अवकल समीकरण का PI और CF के उदाहरण (PI and CF of Differential Equation Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the Differential Equations):
Example:1. \left(D^{4}-m^{4}\right) y=\cos m x+\cosh m x
Solution: \left(D^{4}-m^{4}\right) y=\cos m x+\cosh m x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F.=c_{1} e^{m x}+c_{2} e^{-m x}+c_{3} \cos m x+c_{4} \sin m x

P.I.=\frac{1}{D^{4}-m^{4}}(\cos m x+\cosh m x)\\ =\frac{1}{\left(D^{2}-m^{2}\right) \left(D^{2}+m^{2}\right)} \left ( \cos mx+\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \right ) \\ =\frac{1}{\left(D^{2}-m^{2}\right) \left(D^{2}+m^{2}\right)} \cos x+\frac{1}{\left(D^{2}-m^{2}\right) \left(D^{2}+m^{2} \right)^{2}} \left(\frac{e^{x}}{2}\right)+\frac{1}{\left(D^{2}-m^{2}\right) \left(D^{2}+m^{2}\right)} \left(\frac{e^{-x}}{2}\right)\\ =\frac{1}{(i m)^{2}-m^{2}} \frac{1}{D^{2}+m^{2}} \cos m x+\frac{1}{4m^{3} \cdot(D-m)} \left(\frac{e^{x}}{2}\right)+\frac{1}{4 m^{3}(D-m)} \frac{e^{-x}}{2}\\ =\frac{1}{\left(-m^{2}-m^{2}\right)} \cdot \frac{x}{2 m} \sin m x+\frac{1}{4 m^{3}}\left(\frac{e^{m} x-e^{-mx}}{2}\right) \\ =\frac{1}{-4 m^{3}} x \sin m x+\frac{1}{4 m^{3}} \sinh x
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=c_{1} e^{m x}+c_{2} e^{-m x}+c_{2} \cos mx+c_{4} \sin m x-\frac{x}{4 m^{3}} \sin m x+\frac{1}{4 m^{3}} \sinh mx
Example:2. \left(D^{4}-4 D^{3}+3 D^{2}+4 D-4\right) y=e^{2 x}
Solution: \left(D^{4}-4 D^{3}+3 D^{2}+4 D-4\right) y=e^{2 x}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F.=c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{x}+\left(c_{3}+c_{4} x\right) e^{2 x}

P.I. =\frac{1}{(D-1)(D+1)(D-2)^{2}} e^{2 x} \\ =\frac{1}{(2-1)(2+1)(D-2)^{2}} e^{2 x} \\ =\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2}}{21} e^{2 x} \\ =\frac{1}{6} x^{2} e^{2 x}
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{x}+\left(c_{3}+c_{4} x\right) e^{2 x}+\frac{1}{6} x^{2} e^{2 x}
Example:3. \left\{(D-1)\left(D^{2}+1\right)^{2}\right\} y=\cos x
Solution: \left\{(D-1)\left(D^{2}+1\right)^{2}\right\} y=\cos x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F.=c_{1} e^{x}+\left(c_{2}+c_{3} x\right) \cos x+\left(c_{4}+c_{5} x\right) \sin x

P.I=\frac{1}{(D-1)\left(D^{2}+1\right)^{2}} \cos x \\ =\frac{D+1}{\left(D^{2}+1\right)^{2} \left(D^{2} -1\right)}  \cos x \\ =\frac{1}{\left(D^{2}+1\right)^{2}} \cdot \frac{(-\sin x+\cos x)}{D^{2}-1} \\ =\frac{1}{\left(D^{2}+1\right)^{2}} \frac{-\sin x+\cos x}{i^{2}-1} \\ =\frac{1}{\left(D^{2}+1\right)^{2}} \frac{\cos x-\sin x}{-2} \\=-\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+1\right)^{2}} \cos x+ \frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+1 \right)^{2}} \sin x\\ =-\frac{1}{2} \text { R.P of } \frac{e^{i x}}{(D+i)^{2} (D-i)^{2}}+\frac{1}{2} \text { I.P of } \frac{1}{(D+i)^{2}(D-i)^{2}} e^{ix}\\ =-\frac{1}{2} \text { R.P of } \frac{1}{(2 i)^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{2 !} e^{i x}+\frac{1}{2} \text { I.P of } \frac{1}{(2 i)^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{2 !} e^{i x}\\ =\frac{1}{16} x^{2} \cos x-\frac{1}{16} x^{2} \sin x\\ \text {P.I.}=\frac{1}{16} x^{2}(\cos x-\sin x)

अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=c_{1} e^{x}+\left(c_{2}+c_{3} x\right) \cos x+\left(c_{4}+c_{5} x\right) \sin x+\frac{1}{16} x^{2}(\cos x-\sin x)
Example:4. \left(b^{4}-a^{4}\right) y=x^{2}+\sin y b x
Solution: \left(b^{4}-a^{4}\right) y=x^{2}+\sin y b x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F=C_{1} e^{a x}+C_{2} e^{a x}+C_{3} \cos a x+C_{4} \sin a x

P.I.=\frac{1}{D^{4}-a^{4}}\left(x^{2}+\sin bx\right)\\ =\frac{1}{D^{4}-a^{4}} x^{2}+\frac{1}{D^{4}-a^{4}} \sin bx\\ =-\frac{1}{a^{4}}\left(1-\frac{D^{4}}{a^{4}}\right)^{-1} x+\frac{1}{\left(D^{2}+ a^{2}\right)\left(D^{2}-a^{2}\right)} \sin bx\\ =-\frac{1}{a^{4}}\left(1+\frac{D^{4}}{a^{4}}+ \cdots\right)^{-1} x+\frac{1}{\left(b^{4}-a^{4}\right)} \sin bx \\ \Rightarrow \text{P.I.}=-\frac{1}{a^{4}} x+\frac{1}{b^{4}-a^{4}} \sin b x
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y= c_{1} e^{a x}+c_{2} e^{-a x}+c_{3} \cos a x+c_{4} \sin a x -\frac{1}{a^{4}} x+\frac{1}{b^{4}-a^{4}} \sin b x
Example:5. \left(D^{4}+D^{2}+1\right) y=e^{-\frac{x}{2}} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)
Solution: \left(D^{4}+D^{2}+1\right) y=e^{-\frac{x}{2}} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F.=e^{-\frac{x}{2}} \left [ c_{1} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+c_{2} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \right ] +e^{\frac{x}{2}}\left[\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+c_{4} \sin \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right)\right] \\ \text{P.I.}=\frac{1}{D^{4}+D^{2}-1} e^{-\frac{x}{2}} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\\ =\frac{1}{\left(D^{2}+D+1\right)\left(D^{2}-D+1\right)} e^{-\frac{x}{2}} \cos \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right) \\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{\left[\left ( D-\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( D-\frac{1}{2} \right )+1\right] \left[\left ( D-\frac{1}{2} \right )^{2}-\left ( D-\frac{1}{2} \right )+1\right]} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{\left(D^{2}-D+\frac{1}{4}+D-\frac{1}{2}+1\right)\left(D^{2}-D+\frac{1}{4}-D+\frac{1}{2}+1\right)}\\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{\left(D^{2}+\frac{3}{4}\right)\left(D^{2}-2 D+\frac{7}{4}\right)} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{\left(D^{2}+\frac{3}{4}\right)\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^{2}-2 D+\frac{7}{4}\right]} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{ 1}{\left(D^{2}+\frac{3}{4}\right)\left(\frac{-3}{4}+\frac{7}{4}-2 D\right)} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{\left(D^{2}+\frac{3}{4}\right)(1-2 D)} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1+2 D}{\left(D^{2}+\frac{3}{4}\right)\left(1-4 D^{2}\right)} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1+2 D}{\left(D^{2}+\frac{3}{4}\right)\left(1+4 \times \frac{3}{4}\right)} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{\left[\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)-\sqrt{3} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\right]}{\left(D^{2}+\frac{3}{4}\right)(+4)}\\ =\frac{1}{4} e^{-\frac{x}{2}}\left[\frac{x}{\sqrt{3}} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+x \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\right] \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{4} e^{-\frac{x}{2}} \left[\frac{x}{\sqrt{3}} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+x \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\right]
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

PI and CF of Differential Equation

Example:6. \left(D^{2}+2 D+1\right) y=\frac{e^{-x}}{x+2}
Solution:\left(D^{2}+2 D+1\right) y=\frac{e^{-x}}{x+2}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F.=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{-x}

P.I.=\frac{1}{(D+1)^{2}} \frac{e^{-x}}{x+2} \\ =e^{-x} \frac{1}{(D-1+1)^{2}} \cdot \frac{1}{x+2} \\ =e^{-x} \frac{1}{D^{2}} \frac{1}{x+2} \\ =e^{-x} \frac{1}{D}\left[\frac{1}{D} \cdot \frac{1}{x+2}\right] \\= e^{-x} \frac{1}{D} \log (x+2) \\ =e^{-x}\left[\log (x+2) \int 1 d x- \left\{\int \frac{d}{d x} \cdot \log (x+2) \int 1 d x\right\} d x\right] \\ =e^{-x}\left[x \log (x+2)-\int \frac{1}{x+2} \cdot x d x\right] \\ =e^{-x}\left[x \log (x+2)-\int \frac{x+2-2}{x+2} d x\right] \\ =e^{-x}\left[x \log (x+2)-\int 1 d x+\int \frac{2}{x+2} d x\right] \\ =e^{-x} [x \log (x+2)-x+2 \log (x+2)]
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=(c_{1}+c_{2} x) e^{-x}+e^{-x}[x \log (x+2)-x+2 \log (x+2)]
Example:7. \left(D^{2}+1\right)\left(D^{2}+4\right) y=\cos \frac{x}{2} \cos \frac{3 x}{2}
Solution: \left(D^{2}+1\right)\left(D^{2}+4\right) y=\cos \frac{x}{2} \cos \frac{3 x}{2}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F.=c_{1} \cos x+c_{2} \sin x +c_{3} \cos 2x +c_{4} \sin 2x

P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}+1\right)\left(D^{2}+4\right)} \cos \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x}{2}\right)\\ =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left(D^{2}+1\right)\left(D^{2}+4\right)} \cdot 2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x}{2}\right)\\=\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+1\right)\left(D^{2}+4\right)}[\cos 2 x+\cos x]\\ =\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+1\right)\left(D^{2}+4\right)} \cos 2 x+\frac{1}{2} \frac{1}{(D+1)\left(D^{2}+4\right)} \cos x \\ =\frac{1}{2} \frac{1}{\left[(2 i)^{2}+1\right]\left(D^{2}+4\right)} \cos 2 x +\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2} +1\right)\left[i^{2}+4\right]} \cos x\\ =\frac{1}{2} \frac{1}{\left(4 i^{2}+1\right)} \cdot \frac{x}{4} \sin 2 x+\frac{1}{2(-1+4)} \frac{x}{2} \sin x\\ =\frac{x^{2}}{8} \frac{1}{(-4+1)} \sin 2 x+\frac{1}{12} x \sin x\\ =-\frac{x}{24} \sin 2 x+\frac{1}{12} x \sin x \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{x}{12}\left(\sin x-\frac{1}{2} \sin 2 x\right)
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=c_{1} \cos x+c_{2} \sin x+c_{3} \cos 2 x +c_{4} \sin 2 x+\frac{x}{12}\left(\sin x-\frac{1}{2} \sin 2 x\right)
Example:8. \left(D^{2}+9\right) y=\sin 2 x \cos 2 x
Solution: \left(D^{2}+9\right) y=\sin 2 x \cos 2 x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F.=c_{1} \cos 3 x+c_{2} \sin 3 x

P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}+9\right)} \sin 2 x \cdot \cos x \\ =\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+9\right)} 2 \sin 2 x \cos x \\=\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+9\right)}\left(\sin 3x+\sin x\right) \\ =\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+9\right)} \sin 3 x+\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+9\right)} \sin x \\ =\frac{1}{2}\left(-\frac{x}{6} \cos 3 x\right)+\frac{1}{2} \frac{1}{i^{2}+9} \sin x \\ \text{P.I.}=-\frac{x}{12} \cos 3 x+\frac{1}{16} \sin x
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1} \cos 3 x+C_{2} \sin 3 x-\frac{x}{12} \cos 3 x+\frac{1}{16} \sin x
Example:9. \left(D^{2}+1\right) y=x^{2} \sin 2 x
Solution:\left(D^{2}+1\right) y=x^{2} \sin 2 x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F.=c_{1} \cos x+c_{2} \sin x

P.I=\frac{1}{\left(D^{2}+1\right)} x^{2} \sin 2 x \\ =x^{2} \cdot \frac{1}{\left(D^{2}+1\right)} \sin 2 x+2 x\left[\frac{d}{d D} \cdot \frac{1}{D^{2}+1}\right] \sin 2 x +\left[\frac{d^{2}}{d D^{2}} \cdot \frac{1}{D^{2}+1} \sin 2 x\right] \\ =\frac{x^{2} \cdot \sin 2 x}{\left(2i\right)^{2}+1}+2 x\left[\frac{-2 D}{\left(D^{2}+1\right)^{2}}\right] \sin 2 x-2\left[\frac{\left(D^{2}+1\right)^{2}-D \cdot 2\left(D^{2}+1\right) \cdot 2 D }{\left(D^{2}+1\right)^{4}}\right] \sin 2 x \\ =-\frac{x^{2}}{3} \sin 2 x-\frac{4 D(\sin 2 x)}{\left((2 i)^{2}+1\right)^{2}}-2 \left[\frac{-3 D^{2}+1}{\left(D^{2}+1\right)^{3}}\right] \sin 2 x\\ =-\frac{x^{2}}{3} \sin 2 x-\frac{8}{9} \cos 2x -2 \left[\frac{-3 D^{2}+1}{\left((2i)^{2}+1\right)^{3}}\right] \sin 2x\\ =\frac{-x^{2}}{3} \sin 2 x-\frac{8}{9} \cos 2 x+\frac{2}{27} \times 13 \sin 2 x\\ \text{P.I.}=-\frac{1}{3}\left[\left(x^{2}-\frac{26}{9}\right) \sin 2 x+\frac{8}{3} \cos 2 x\right]
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=c_{1} \cos x+c_{2} \sin x-\frac{1}{3}\left[\left(x^{2}-\frac{26}{9}\right) \sin 2 x+\frac{8}{3} \cos 2 x\right]
Example:10. \left(D^{2}-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2} y=\sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)+e^{x}+x
Solution: \left(D^{2}-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2} y=\sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)+e^{x}+x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F=\left(c_{1}+c_{2}\right) e^{x}+\left(c_{3}+c_{4} x\right) \cos x+\left(c_{5}+c_{6} x\right) \sin x

P.I.=\frac{1}{(D-1)^{2}\left(D^{2}+1\right)^{2}} \sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)+e^{x}+x \\ =\frac{1}{\left.(D-1)^{2}\left(D^{2}+1\right)^{2}\right]} \left [ \left(\frac{1-\cos x}{2}\right)+e^{x}+x \right ] \\ =\frac{1}{(D-1)^{2}\left(D^{2}+1\right)}\left(\frac{1-\cos x}{2}\right)+\frac{1}{(D-1)^{2}\left(D^{2}+1\right)^{2}} e^{x}+\frac{1}{(D-1)^{2}\left(D^{2}+1\right)^{2}} x\\ =\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}-2 D+1\right)\left(D^{2}+1\right)} \cos x+\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{4} e^{x}+\frac{1}{\left(D^{2}-2 D+1\right)\left(D^{4}+2 D^{2}+1\right)^{2}} x \\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \frac{1}{D \left(D^{2} +1\right)^{2}} \cos x+\frac{1}{8} x^{2} e^{x}+ \frac{1}{\left(D^{6}-2 D^{5}+3 D^{4}-4 D^{3}+3 D^{2}-2 D+1\right)} x\\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \frac{\sin x}{\left(D^{2}+1\right)^{2}}+\frac{1}{8} x^{2} e^{x}+\left(1+D^{6}-2 D^{5}+3 D^{4}-4 D^{3}+3 D^{2}-2 D\right)^{-1} x \\ =\frac{1}{2} -\frac{x^{2}}{32} \sin x+\frac{1}{8} x^{2} e^{x}+\left(1+2 D-3 D^{2}+4 D^{3}-3 D^{4}+2 D^{5}-D^{6}+\cdots\right) x \\ =\frac{1}{2}-\frac{x^{2}}{32} \sin x+\frac{1}{8} x^{2} e^{x}+x+2 \\ \text{P.I.}=-\frac{x^{2}}{32} \sin x+\frac{1}{8} x^{2} e^{x}+x+\frac{5}{2}
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{x}+\left(c_{3}+c_{4} x\right) \cos x +\left(c_{5}+c_{6} x\right) \sin x-\left(\frac{1}{32}\right) x^{2} \sin x +\frac{1}{8} x^{2} e^{x}+x+\frac{5}{2}
Example:11. \left(D^{2}-3 D+2\right) y=\sin 3 x+x^{2}+x+e^{4 x}
Solution: \left(D^{2}-3 D+2\right) y=\sin 3 x+x^{2}+x+e^{4 x}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F.=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{2 x}

P.I. =\frac{1}{\left(D^{2}-3 D+2\right)}\left(\sin 3 x+x^{2}+x+e^{4 x}\right) \\ = \frac{1}{D^{2}-3 D+2} \sin 3 x+\frac{1}{2\left(1+\frac{D^{2}-3 D}{2}\right)}\left(x^{2}+x\right) +\frac{1}{(4)^{2}-3 \times 4+2} e^{4 x} \\= \frac{1}{(3 i)^{2}-3 D+2} \sin 3 x +\frac{1}{2}\left(1+\frac{D^{2}-3 D}{2}\right)^{-1} \left(x^{2}+x\right) +\frac{1}{6} e^{4 x} \\ =-\frac{3 D-7}{9 D^{2}-49} \sin 3 x+\frac{1}{2}\left[1-\frac{D^{2}-3 D}{2}+\left(\frac{D^{2}-3 D^{2}}{2}\right)^{2} +\cdots\right] \left(x^{2}+x\right)+\frac{1}{6} e^{4 x} \\ =-\frac{9 \cos 3 x-7 \sin 3 x}{-81-49}+\frac{1}{2}\left [ \frac{7 D^{2}}{4}+\frac{3 D}{2}+\cdots \right ](x^{2}+x)+\frac{1}{6} e^{4x} \\ =\frac{1}{130}(9 \cos 3 x-7 \sin 3 x)+\frac{1}{2}\left(x^{2}+x+\frac{7}{2}+3 x+\frac{3}{2}\right)+\frac{1}{6} e^{4 x} \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{130}(9 \cos 3 x-7 \sin 3 x)+\frac{1}{2}\left(x^{2}+4 x+5\right)+\frac{1}{6} e^{4 x}
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{2 x}+\left(\frac{1}{130}\right) \cdot(9 \cos 3 x-7 \sin 3 x) +\frac{1}{2}\left(x^{2}+4 x+5\right)+\frac{1}{6} e^{4 x}
Example:12. \frac{d^{4} y}{d x^{4}}+2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x^{4} y=\cos m x+e^{n x}+x^{2}
Solution: \frac{d^{4} y}{d x^{4}}+2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x^{4} y=\cos m x+e^{n x}+x^{2}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

C.F.=\left(c_{1}+c_{2} x\right) \cos n x+\left(c_{3}+c_{4} x\right) \sin n x

P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}+n^{2}\right)^{2}}\left(\cos m x+e^{m x}+x^{2}\right)\\ =\frac{1}{\left(D^{2}+n^{2}\right)^{2}} \cos mx+\frac{1}{\left(D^{2}+n^{2}\right)^{2}} e^{mx}+\frac{1}{\left(D^{2}+n^{2}\right)^{2} x^{2}}\\ =\frac{1}{\left[(m i)^{2}+n^{2}\right]^{2} }\cos m x+\frac{1}{\left(n^{2}+n^{2}\right)^{2}} e^{n x}+\frac{1}{n^{4}}\left(1+\frac{D^{2}}{n^{2}}\right)^{-2} x^{2}\\ =\frac{1}{\left(n^{2}-m^{2}\right)^{2}} \cos m x+\frac{1}{4 n^{4}} e^{m x}+\frac{1}{n^{4}}\left(1 -2 \frac{D^{2}}{n^{2}}+\frac{3 D^{4}}{n^{4}}+\cdots\right) x^{2}\\ \text{P.I.}=\frac{1}{\left(n^{2}-m^{2}\right)^{2}} \cos m x+\frac{1}{4 n^{4}} e^{n x} +\frac{1}{n^{4}}\left(x^{2}-\frac{y}{n^{2}}\right)
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=\left(c_{1}+c_{2} x \right)\cos x+ \left(c_{3} +c_{4} x\right) \sin n x +\frac{\cos m x}{\left(n^{2}-m^{2}\right)^{2}}+\frac{e^{nx}}{4 x^{4}}+\frac{x^{2}}{n^{4}}-\frac{4}{n^{6}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण का PI और CF (PI and CF of Differential Equation),अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल तथा पूरक फलन ज्ञात करना (To Find out Particular Integral and Complementary Function of Differential Equation) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण का PI और CF के सवाल (PI and CF of Differential Equation Questions):

PI and CF of Differential Equation

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the Differential Equations):
(1.)हल कीजिए (Solve):

\left(D^{2}+3 D+2\right) y=e^{2x} \sin 2x
(2.)हल कीजिए (Solve):

\left(D^{3}-D^{2}-6 D\right) y=1+x^{2}
उत्तर (Answers):(1)c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{-2 x}-\frac{1}{170} e^{2 x}[7 \cos x-11 \sin x]

(2.) c_{1}+c_{2} e^{-2x}+c_{3} e^{3 x}-\frac{25}{108} x+\frac{1}{36} x^{2}-\frac{1}{18} x^{3}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण का PI और CF (PI and CF of Differential Equation),अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल तथा पूरक फलन ज्ञात करना (To Find out Particular Integral and Complementary Function of Differential Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकल समीकरण का PI और CF (PI and CF of Differential Equation),अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल तथा पूरक फलन ज्ञात करना (To Find out Particular Integral and Complementary Function of Differential Equation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकल समीकरण का PI और CF (PI and CF of Differential Equation) ज्ञात करेंगे।ये ऐसे
रैखिक अवकल समीकरण हैं