1.स्पर्श रेखा पर ध्रुव से लम्ब की लम्बाई का परिचय (Introduction to Perpendicular length pole on tangent)-
स्पर्श रेखा पर ध्रुव से लम्ब की लम्बाई(Perpendicular length pole on tangent) ज्ञात करने के लिए इसमें प्रयुक्त होने वाली शब्दावली ध्रुव,ध्रुवान्तर रेखा,प्रारम्भिक रेखा का ज्ञान होना आवश्यक है।
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2.ध्रुव (Pole)-
(1.) खगोल के उन दो बिन्दुओं में कोई बिन्दु जिन पर पृथ्वी का बढ़ाया हुआ अक्ष मिलता है।खगोल की काल्पनिक दैनिक गति में दोनों ध्रुव अचर माने जाते हैं।
(2.) किसी शांकव और किसी रेखा (ध्रुवी) के संदर्भ में वह बिन्दु जो शांकव के सापेक्ष रेखा के किसी भी बिन्दु का हरात्मक संयुग्मी हो।
(3.) ध्रुवीय निर्देशांक तंत्र में वह नियत बिन्दु जिसमें किसी बिन्दु की दूरी नापी जाती है और ध्रुवान्तर रेखा जिसके सापेक्ष घूमती है।
इस आर्टिकल में उपर्युक्त तीसरी परिभाषा का प्रयोग किया गया है। साधारण अर्थ में कार्तीय निर्देशांकों में जिसे हम मूल बिन्दु कहते हैं ध्रुवीय निर्देश तंत्र में उसे हम ध्रुव कहते हैं।
3.ध्रुवान्तर रेखा(Radius vector)-
ध्रुवीय निर्देश तंत्र में ध्रुवी से किसी वक्र के किसी दिए हुए बिन्दु को मिलाने वाला दिष्ट रेखाखण्ड ध्रुवान्तर रेखा कहलाती है।
4.प्रारम्भिक रेखा (Initial Line)-
सामान्यतः कार्तीय निर्देश तंत्र में जिसे हम x-अक्ष कहते हैं उसे ही ध्रुवीय निर्देश तंत्र में प्रारम्भिक रेखा कहते हैं।
5.ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle between Radius Vector and Tangent)-
माना कि P (r,θ) कोई एक बिन्दु वक्रr=f(θ) पर है तथा Q=(r+δr,θ+δθ) ,P के समीप वक्र पर अन्य बिन्दु है।P तथा Q को मिलाओ।माना कि TPT’ वक्र पर बिन्दु P पर स्पर्श रेखा है।OP को L तक बढ़ाओ।माना अब ∠TPT′=ϕQM , OP पर लम्ब डालो। त्रिभुज PMQ में ϕ=Q→PLim∠MPQ
अर्थात् ϕ=δθ→0Lim∠MPQ [जैसे -जैसे Q→P,δθ→0 ]
अतः tanϕ=tan{δθ→0Lim∠MPQ}tanϕ=δθ→0Lim∠MPQ=δθ→0LimPMQMtanϕ=δθ→0Limδrcosδθ−r(1−cosδθ)(r+δr)sinδθtanϕ=δθ→0Limδθδrcosδθ−rδθ2sin2(2δθ)(r+δr)δθsinδθtanϕ=(dθdr).1−r.0(r+0).1[∵δθ→0Lim2δθsin(2δθ)sin(2δθ)=1.0=0]tanϕ=rdrdθ
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6.स्पर्श रेखा पर ध्रुव से लम्ब की लम्बाई (Perpendicular length Pole on Tangent)-
माना कि वक्र r=f(θ)के किसी बिन्दु P((r,θ)) पर स्पर्श रेखा पर लम्ब OM खींचा तथा माना ∠OPT=ϕ
यह भी माना OM=p
ΔOPM से ,OM=p
OM=OP sinϕ
thenp=rsinϕ..........(1)
पुनः p का मान r,θ,dθdr में ज्ञात करना:
tanϕ=rdrdθ
समीकरण (1) से p2=r2sin2ϕp2=cosec2ϕr2=1+cot2ϕr2p2=1+(r1dθdr)2r2p21=r41[r2+(dθdr)2]p21=r21+r41(dθdr)2
उदाहरण -1 वक्र r(θ−1)=aθ2 कि स्पर्श रेखा पर ध्रुव से डाले गए लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए |
find the length of the perpendicular of tangent to the curve r(θ−1)=aθ2
Solution-r(θ−1)=aθ2r=θ−1aθ2dθdr=a[(θ−1)2(θ−1).2θ−θ2.1]dθdr=a[(θ−1)22θ2−2θ−θ2]dθdr=a[(θ−1)2θ2−2θ]
स्पर्श रेखा पर ध्रुव से लम्ब कि लम्बाई
p21=r21+r41(dθdr)2p21=r21+r41a2((θ−1)2θ2−2θ)2p21=r21+r41a2(θ−1)4(θ2−2θ)2p21=a2θ4(θ−1)2+a2a4θ8(θ−1)4(θ−1)4(θ2−2θ)2p21=a2θ4(θ−1)2+a2a2θ8(θ−1)4(θ2−2θ)2p2a2=θ4(θ−1)2+θ8(θ2−2θ)2p2a2=θ4θ2−2θ+1+θ8θ4−4θ3+4θ2p2a2=θ21−θ32+θ41+θ41−θ54+θ64p2a2=θ21−θ32+θ42−θ54+θ64
उदाहरण 2-सिद्ध कीजिए कि वक्रr2=a2sin2θ के किसी बिन्दु (r,θ)पर खींची गई स्पर्श रेखा प्रारम्भिक रेखा से 3θकोण बनती है
prove that the tangent at any point (r,θ) on r2=a2sin2θ makes an angle 3θ with initial line
Solution-r2=a2sin2θ2rdθdr=2a2cos2θdθdr=ra2cos2θtanϕ=rdθdrtanϕ=ra2cos2θrtanϕ=a2cos2θr2tanϕ=a2cos2θa2sin2θtanϕ=tan2θϕ=2θψ=θ+ϕψ=θ+2θψ=3θ
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उपर्युक्त आर्टिकल में स्पर्श रेखा पर ध्रुव से लम्ब की लम्बाई(Perpendicular length pole on tangent) के बारे में उदाहरण समझाया गया है।