1.सांख्यिकी में क्रमचय (Permutations in Statistics),सांख्यिकी में संचय (Combinations in Statistics):

Permutations in Statistics

सांख्यिकी में क्रमचय (Permutations in Statistics) पर आधारित सवालों को हल करने की आवश्यकता इसलिए होती हैं क्योंकि प्रायिकता के सवालों को हल करने के लिए उसके सवालों में इनका प्रयोग होता है।
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2.सांख्यिकी में क्रमचय के उदाहरण (Permutations in Statistics Examples):

Example:9(i).रेलगाड़ी के प्रथम श्रेणी के चार सीट (four bearths) वाले एक डिब्बे में तीन यात्री कितने तरीकों से अपना स्थान ग्रहण कर सकते हैं?
Solution:चार सीटों पर तीन व्यक्तियों के बैठने के क्रमचयों की संख्या={}^4 P_3 \\ =\frac{4!}{(4-3)!}=4!=4 \times 3 \times 2 \times 1=24
Example:9(ii).एक सुपर मार्केट में 4 प्रवेश द्वार (entrances) हैं:A,B, C व D तथा निर्गम-द्वार (exists) हैं:a,b,c,d,e।एक ग्राहक कितने तरीकों से उसमें आ-जा सकता है? उन तरीकों को एक वृक्ष-चित्र द्वारा प्रदर्शित कीजिए।
Solution:एक व्यक्ति सुपर मार्केट में 4 प्रवेश द्वार तथा 5 निर्गम द्वार में आने-जाने के कुल तरीके=5×4=20
Example:10.A और B के बीच 6 सड़कें हैं और B और C के बीच 4 सड़कें हैं।बताइए कितने तरीकों से एक कार चालक
(i)A से C और B से होकर जा सकता है ;
(ii)A से C को B से होकर जा सकता है और फिर वापस C से A को B से होते हुए आ सकता है ;
(iii)A से C को B से होते हुए हुए आ सकता है शर्त यह है कि वह जिस सड़क से जाए उसी से वापिस न लौटे।
Solution:(i).A से C को B से होकर जाने के तरीके=6×4=24
(ii).A से C को B से होकर तथा वापस C से A को B से होते हुए आने के तरीके=24×24=576
(iii).A से C को B से होकर जाने के तरीके=24
C से A को B से होकर लौटने के तरीके यदि उसी सड़क से न लौटे=5×3=15
कुल तरीके=24×15=360
Example:11(i).संयुक्त राष्ट्र संघ (U. N.O.) में 5 अमरीकी,4 रूसी और 3 फ्रांसीसी प्रतिनिधियों में से 5 सदस्यों की कितनी समितियाँ बन सकती हैं यदि प्रत्येक समिति में 3 अमेरिकी, 2 रूसी और 1 फ्रांसीसी प्रतिनिधि रखे जाएँ?
Solution:समिति में 5 अमेरिकी में से 3,4 रूसी में से 2 तथा 3 फ्रांसीसी में से 1 फ्रांसीसी प्रतिनिधि के चयन के तरीके
={}^5 C_3 \times {}^4 C_2 \times {}^3 C_1 \\ =\frac{5!}{(5-3)!3!} \times \frac{4!}{(4-2)!2!} \times \frac{3!}{(3-1)!1!} \\ =\frac{5 \times 4 \times 3!}{2!\times 3!} \times \frac{4 \times 3 \times 2!}{2!2!} \times \frac{3 \times 2!}{2!} \\ =10 \times 6 \times 3=180
Example:10(ii).7 जापानी और 4 भारतीयों में से 6 सदस्यों की एक समिति का गठन करना है।यह कार्य कितने तरीकों से हो सकता है यदि समिति में (क)2 भारतीय हो;(ख)कम से कम 2 भारतीय हो?
Solution:(क).7 जापानी और 4 भारतीयों में से 6 सदस्यों के गठन के तरीके जिसमें 2 भारतीय हों
{}^7 C_4 \times {}^4 C_2 \\ =\frac{7!}{(7-4)!4!} \times \frac{4!}{(4-2)!2!} \\ =\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3 \times 2 \times 1 \times 4!} \times \frac{4 \times 3 \times 2!}{2 \times 1 \times 2!} \\ =35 \times 6 \\ =210
(ख)7 जापानी और 4 भारतीयों में से 6 सदस्यों के गठन के तरीके जिसमें कम से कम 2 भारतीय हों
={}^7 C_4 \times {}^4 C_2+{}^7 C_3 \times {}^4 C_3+{}^7 C_2 \times {}^4 C_4 \\ =\frac{7!}{(7-4)!4!} \times \frac{4 !}{(4-2)!2!}+\frac{7!}{(7-3)!3!} \times \frac{4 !}{(4-3)!3!}+\frac{7!}{(7-2)!2!} \times \frac{4!}{(4-4)!4!} \\=\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3 \times 2 \times 1 \times 4!} \times \frac{4 \times 3 \times 2!}{2 \times 1 \times 2!}+\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!\times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3!}{1!\times 3!}+\frac{7 \times 6 \times 5!}{5!\times 2 \times 1} \times \frac{4!}{1!4!} \\ =35 \times 6+35 \times 4+21 \times 1 \\ =210+140+21=371
Example:12(i).15 खिलाड़ियों में से 3 अध्यापक है।कितने ढंगों से 11 खिलाड़ी चुने जा सकते हैं यदि कम से कम एक अध्यापक अवश्य खेले?
Solution:12 खिलाड़ियों तथा 3 अध्यापक में से 11 खिलाड़ी चुने जाने के तरीके यदि कम से कम एक अध्यापक अवश्य खेले
={}^{12} C_{10} \times {}^3 C_1+{}^{12} C_9 \times {}^3 C_2+{}^{12} C_8 \times {}^3 C_3 \\=\frac{12!}{(12-10)!10!} \times \frac{3!}{(3-1)!1!}+\frac{12!}{(12-9)!9!} \times \frac{3!}{(3-2)!2!} +\frac{12!}{(12-8)!8!} \times \frac{3!}{(3-3)!3!} \\ =\frac{12 \times 11 \times 10!}{2 \times 1 \times 10!} \times \frac{3 \times 2 \times 1}{2!1!}+\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{3 \times 2 \times 1 \times 9!} \times \frac{3 \times 2!}{1!2!}+\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 8!} \times \frac{3!}{1!3!} \\=66 \times 3+220 \times 3+495 \\ =198+660+495 \\=1353
Example:12(ii).एक क्रिकेट क्लब के 18 सदस्य हैं जिनमें से 2 विकेट-रक्षक (wicket-keepers),5 गेंद फेंकने वाले (bowlers) तथा शेष बल्लेबाज (batsmen) हैं।इनमें से 11 खिलाड़ियों की एक टीम कितने तरीकों से बनाई जा सकती है यदि उनमें से एक विकेट-रक्षक और कम से कम 3 गेंदबाज सम्मिलित हों?
Solution:11 बल्लेबाज,2 विकेट-रक्षक,5 गेंदबाज में से 11 खिलाड़ियों के चयन के तरीके यदि उनमें एक विकेट-रक्षक और कम से कम 3 गेंदबाज सम्मिलित हों
={}^{11} C_7 \times {}^2 C_1 \times {}^5 C_3+{}^{11} C_6 \times {}^2 C_1 \times {}^5 C_4 +{}^{11} C_5 \times {}^2 C_1 \times {}^5 C_5 \\ =\frac{11!}{(11-7)!7!} \times \frac{2!}{(2-1)!1!} \times \frac{5!}{(5-3)!3!}+\frac{11!}{(11-6)!6!} \times\frac{2!}{(2-1)!1!} \times \frac{5!}{(5-4)!4!}+\frac{11!}{(11-5)!5!} \times \frac{2 !}{(2-1)!1!} \times \frac{5 !}{0!5!} \\=\frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{4 \times 3 \times 2 \times!\times 7!} \times \frac{2!}{1!1!} \times \frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!}+\frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6!} \times \frac{2!}{1!1!} \times \frac{5 \times 4!}{1!4!} +\frac{11 \times 90 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6!\times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{2!}{1!1!} \times \frac{5!}{5!} \\=330 \times 2 \times 10+462 \times 2 \times 5+462 \times 2 \times 1 \\=6600+4620+924 \\ =12144

Permutations in Statistics

Example:13(i).12 विभिन्न वस्तुओं में से पाँच-पाँच लेकर बनाए गए क्रमचयों (permutations) में कितने ऐसे होंगे जिनमें एक निश्चित वस्तु (क)कभी न पड़ती हो;(ख)सदैव पड़ती हो?
Solution:(क)12 विभिन्न वस्तुओं में से पाँच-पाँच के क्रमचयों की संख्या यदि एक निश्चित वस्तु कभी न पड़ती हो
={}^{11} P_5=\frac{11!}{(11-5)!}=\frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6!} \\ =55440
(ख)12 विभिन्न वस्तुओं में से पाँच-पाँच के क्रमचयों की संख्या यदि एक निश्चित वस्तु सदैव पड़ती हो
={}^{11} P_4=\frac{11!}{(11-4)!} \\ =\frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} \\ =7920
Example:13(ii).कार लाइसेंस नम्बरों की कितनी प्लेटें (plates) बनाई जा सकती हैं यदि प्रत्येक प्लेट में अँग्रेजी वर्णमाला के 2 अक्षर और फिर 3 अंक हों जिनमें पहला अंक शून्य न हो?
Solution:अँग्रेजी वर्णमाला के 26 अक्षरों में 2 अक्षर तथा तीन अंक से नम्बर प्लेट बनाने के तरीके यदि पहला अंक 0 न हो
={}^{26} P_2 \times 9 \times 10 \times 10 \\ =\frac{26!}{(26-2)!} \times 900 \\ =\frac{26 \times 25 \times 24!}{24!} \times 900 \\ =585000
Example:14(i).एक व्यक्ति के 7 मित्र हैं।वह एक या एक से अधिक मित्रों को कितने तरीकों से दावत पर बुला सकता है?
Solution:7 मित्रों में से एक या अधिक मित्रों के चयन के तरीकें
={}^7 C_1+{}^7 C_2+{}^7 C_3+{}^7 C_4+{}^7 C_5+{}^7 C_6+{}^7 C_7 \\ =\frac{7!}{(7-1)! 1!}+\frac{7!}{(7-2)!2!}+\frac{7!}{(7-3)!3!}+\frac{7!}{(7-4)!4!}+\frac{7!}{(7-5)!5!} +\frac{7!}{(7-6)!6!}+\frac{7!}{(7-7)!7!} \\ =\frac{7 \times 6!}{6!}+\frac{7 \times 6 \times 5!}{5!\times 2!}+\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!\times 3 \times 2 \times 4} +\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3 \times 2 \times 1 \times 4!}+\frac{7 \times 6 \times 5!}{2!\times 5!}+\frac{7 \times 6!}{1!6!}+\frac{7!}{7!} \\ =7+21+35+35+21+7+1 \\ =127
Example:14(ii).निम्न शब्दों के अक्षरों से अलग-अलग कितने क्रमचय (Permutations) बनाए जा सकते हैं:
(क)INDIA;(ख)COLLEGE;(ग)MANAGEMENT
Solution:(क)INDIA के अक्षरों से बनने वाले क्रमचय =\frac{5!}{2!}=60
(ख)COLLEGE के अक्षरों से बनने वाले क्रमचय
=\frac{7!}{2!2!} \quad[L L=2, E E=2] \\ =1260
(ग)MANAGEMENT के अक्षरों से बनने वाले क्रमचय
A=2,E=2,M=2,N=2
=\frac{10!}{2 ! 2 ! 2!2!}=226800
Example:15(i).’DRAUGHT’ शब्द के अक्षरों से कितने ऐसे विन्यास (arrangement) बन सकते हैं जिनमें दोनों स्वर (vowels) कभी पृथक न हों?
Solution:DRAUGHT शब्द से बनने वाले विन्यास जिनमें दो स्वर कभी पृथक न हों (अतः AU को एक वर्ण मानने पर)
={}^6 P_6 \times 2![AU \text{ व } UA=2!] \\ =\frac{6!}{(6-6)!} \times 2!=1440
Example:15(ii).’ELEVEN’ शब्द के सभी अक्षरों से कुल कितने विन्यास बनाए जा सकते हैं?उनमें से कुल कितने E से आरम्भ और E पर समाप्त होंगे? कितने विन्यासों में तीनों E साथ-साथ आएंगे? कितने E से आरम्भ होकर N पर समाप्त होंगे?
Solution:ELEVEN के अक्षरों से बनने वाले कुल विन्यास
\frac{6!}{3!} \left[EE=3\right] \\ =120
E से प्रारम्भ और E से समाप्त होने वाले विन्यास
=4!=24
तीनों E साथ-साथ आने वाले विन्यास (तीनों E को एक वर्ण मानने पर)
=4!=24
E से आरम्भ और N से समाप्त होने वाले विन्यास
=\frac{4!}{2!}=12
Example:16(i)’SIMPETON’ शब्द के अक्षरों को अन्य क्रमचयों में रख सकने की संख्या बताइए।
Solution:SIMPETON को छोड़कर अन्य इस शब्द के अक्षरों से बनने वाले क्रमचयों की संख्या
={}^9 P_9-1 \\ =\frac{9!}{(9-9)!}-1=362879
Example:16(ii).शब्द ‘SERIES’ के अक्षरों में से एक बार में (क)सब लेने पर, और (ख)3 लेने पर बन सकने वाले क्रमचयों की संख्या बताइए।
Solution:(क)SERIES के सभी अक्षरों को लेकर बनने वाले क्रमचय
S=2,E=2
=\frac{6!}{2!2!}=180
(ख)दो सदृश्य (S,S) और 1 असदृश्य लेने पर+दो सदृश्य (E,E) और एक असदृश्य लेने पर+तीनों असदृश्य लेने पर
={}^3 C_1 \cdot \frac{3!}{2!}+{}^3 C_1 \cdot \frac{3!}{2!}+{}^3 C_3 \cdot 3! \\ =3 \times 3+3 \times 3+4 \times 6=9+9+24=42
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में क्रमचय (Permutations in Statistics),सांख्यिकी में संचय (Combinations in Statistics) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में क्रमचय पर आधारित सवाल (Questions Based on Permutations in Statistics):

Permutations in Statistics

(1.)यदि {}^{10} P_r=5040 हो ,तो r का मान ज्ञात कीजिए।
(2.)1,2,3,4,5,6 अंकों में से कोई चार अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती है,यदि (i)अंकों की पुनरावृत्ति नहीं हो। (ii)अंकों की पुनरावृत्ति हो सकती है।
उत्तर (Answers):(1.)r=4 (2.)(i)360 (ii)1296
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में क्रमचय (Permutations in Statistics),सांख्यिकी में संचय (Combinations in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में क्रमचय (Frequently Asked Questions Related to Permutations in Statistics),सांख्यिकी में संचय (Combinations in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में क्रमचय (Permutations in Statistics) पर आधारित सवालों को हल करने की
आवश्यकता इसलिए होती हैं क्योंकि प्रायिकता के सवालों को हल करने के लिए उसके
सवालों में इनका प्रयोग होता है।