Permutations in Class 11
1.कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11),क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11):
कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11) में अक्षरों के लिखने का क्रम महत्त्वपूर्ण है।इनमें से प्रत्येक विन्यास विभिन्न अक्षरों में से एक समय में सभी को साथ लेकर बनाया गया,क्रमचय कहलाता है।
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2.कक्षा 11 में क्रमचय के साधित उदाहरण (Permutations in Class 11 Solved Examples):
Example:1.मान निकालिए:
Example:1(i).मान निकालिए:
Example:1(i).8!
Solution:8!
=8×7×6×5×4×3×2×1
=40320
Example:1(ii).4!-3!
Solution:4!-3!
=4×3×2×1-3×2×1
=24-6
=18
Example:2.क्या 3!+4!=7! ?
Solution:3!+4!=7!
L.H.S. 3!+4!
3×2×1+4×3×2×1
=6+24=30
R.H.S. 7 !
=7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
=5040
L.H.S. \neq R.H.S.
बराबर नहीं है।
Example:3. \frac{8 !}{6 ! \times 2 !} का परिकलन कीजिए।
Solution: \frac{8 !}{6 ! \times 2 !} \\ =\frac{8 \times 7 \times 6 !}{6 ! \times 2 \times 1} \\ =28
Example:4.यदि \frac{1}{6 !}+\frac{1}{7 !}=\frac{x}{8 !} ,तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \frac{1}{6 !}+\frac{1}{7 !}=\frac{x}{8 !} \\ \Rightarrow \frac{1}{6 !}+\frac{1}{7 \times 6 !}=\frac{x}{8 \times 7 \times 6 !} \\ \Rightarrow \frac{1}{6 !}\left[1+\frac{1}{7}\right]=\frac{x}{56 \times 6 !} \\ \Rightarrow \frac{8}{7}=\frac{x}{56} \\ \Rightarrow x=\frac{8}{7} \times 56 \\ \Rightarrow x=64
Example:5. \frac{n !}{(n-r) !} का मान निकालिए जब
Example:5(i).n=6,r=2
Solution: \frac{n !}{(n-r) !} \\ \Rightarrow n=6, r=2 \\ \Rightarrow \frac{6 !}{(6-2) !} \\ \Rightarrow \frac{6 \times 5 \times 4 !}{4 !} \\ =30
Example:5(ii). n=9,r=5
Solution: \frac{n !}{(n-r) !} \\ n=9, r=5 \\ \Rightarrow \frac{9 !}{(9-5) !} \\ = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{4 !} \\ = 15120
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11),क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11) को समझ सकते हैं।
3.कक्षा 11 में क्रमचय की समस्याएँ (Permutations in Class 11 Problems):
n का मान ज्ञात कीजिए,जबकि
(1.){ }^{n-1} P_3: {}^{n+1} P_3=5: 12
(2.) {}^n P_6=10 \cdot {}^n P_5
(3.){}^{6+n} P_2: {}^{6-n} P_2=56: 12
उत्तर (Answers):(1.)8 (2.)25 (3.)2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11),क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.कक्षा 11 में क्रमचय (Frequently Asked Questions Related to Permutations in Class 11),क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.क्रमचय,जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न हैं से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Permutations When All the Objects are Distinct?):
उत्तर:प्रमेय (Theorem):1.n विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में r वस्तुओं को लेकर बनाए गए क्रमचयों की संख्या को प्रतीक {}^n P_r से निरूपित करते हैं,जहाँ 0<r \leq n तथा किसी भी क्रमचय में वस्तुओं की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हैं, {}^n P_r=n(n-1)(n-2) \ldots \ldots (n-r+1)
उपपत्ति (Proof):क्रमचयों की संख्या,r रिक्त स्थानों को उत्तरोत्तर n वस्तुओं से भरने के तरीकों की संख्या के बराबर है।पहला स्थान n तरीकों से भरा जा सकता है।इसके बाद दूसरा स्थान (n-1) तरीकों से भरा जा सकता है।इसके उपरान्त तीसरा स्थान [n-2) तरीकों से भरा जा सकता है…… और r वाँ स्थान (n-(r-1)] तरीकों से भरा जा सकता है।अतः r रिक्त स्थानों को उत्तरोत्तर भरने के तरीकों की संख्या=n(n-1)(n-2)……..(n-(r-1)) या n(n-1)(n-2)…..(n-r+1)
{}^n P_r के लिए यह एक बोझिल व्यंजक है और हमें एक ऐसे संकेतन की आवश्यकता है, जिसकी सहायता से इस व्यंजक के विस्तार को घटाया जा सके।प्रतीक n! (जिसे n क्रमगुणित पढ़ते हैं) इसमें हमारी सहायता करता है।
प्रश्न:2.क्रमगुणित संकेतन से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Factorial Notation?):
उत्तर:संकेतन n! प्रथम n प्राकृत संख्याओं के गुणनफल को व्यक्त करता है अर्थात् 1×2×3×……..×(n-1)×n को n! द्वारा निरूपित किया जाता है।हम इस प्रतीक को n क्रमगुणित पढ़ते हैं।इस प्रकार 1×2×3×4……×(n-1)×n=n! तदनुसार
1=1!,1×2=2!,1×2×3=3!
स्पष्टतः सभी प्राकृत संख्या n के लिए
n!=n(n-1)!
=n(n-1)(n-2)! [यदि n \geq 2 ]
=n(n-1)(n-2)(n-3)! [यदि n \geq 3 ]
प्रश्न:3.क्रमगुणित कब अपरिभाषित होता है? (When is Factorial Undefined?):
उत्तर:उचित भिन्न अथवा ऋणात्मक पूर्णांक का क्रमगुणित परिभाषित नहीं है।अर्थात् केवल पूर्ण संख्या का ही क्रमगुणित परिभाषित है।
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कक्षा 11 में क्रमचय
(Permutations in Class 11)
Permutations in Class 11
कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11) में अक्षरों के लिखने का क्रम महत्त्वपूर्ण है।
इनमें से प्रत्येक विन्यास विभिन्न अक्षरों में से एक समय में सभी को साथ लेकर बनाया गया,
क्रमचय कहलाता है।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
