Permutations and Combinations Class 11
1.क्रमचय और संचय कक्षा 11 (Permutations and Combinations Class 11),क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations):
क्रमचय और संचय कक्षा 11 (Permutations and Combinations Class 11) के इस आर्टिकल में क्रमचय तथा संचय पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
2.क्रमचय और संचय कक्षा 11 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Permutations and Combinations Class 11):
Example:1.DAUGHTER शब्द के अक्षरों से,कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों की रचना की जा सकती है,जबकि प्रत्येक शब्द में 2 स्वर तथा 3 व्यंजन हों?
Solution:शब्द DAUGHTER में 8 अक्षर हैं जिसमें 3 स्वर तथा 5 व्यंजन हैं।3 स्वर में से 2 स्वर चुनने के तरीके={}^3C_2=3
5 व्यंजनों में से 3 व्यंजन चुनने के प्रकार ={}^5C_3=\frac{5 !}{2 ! 3 !} \\ =\frac{5 \times 4 \times 3 !}{2 \times 1 \times 3 !}=10
2 स्वर और 3 व्यंजन चुनने के प्रकार=3×10=30
प्रत्येक संचय में 5 अक्षर हैं।उनके क्रमचयों की संख्या
=5!=5×4×3×2×1=120
DAUGHTER शब्द के 2 स्वर और 3 व्यंजन लेकर बने शब्दों की संख्या=30×120=3600
Example:2.EQUATION शब्द के अक्षरों से कितने,अर्थपूर्ण या अर्थहीन,शब्दों की रचना की जा सकती है,जबकि स्वर तथा व्यंजक एक साथ रहते हैं?
Solution:शब्द EQUATION में 8 अक्षर हैं जिनमें 5 स्वर तथा 3 व्यंजन हैं।स्वर अक्षरों का क्रमचय
=5!=5×4×3×2×1=120
व्यंजन अक्षरों का क्रमचय
=3!=3×2×1=6
स्वरों तथा व्यंजनों को 2 प्रकार से लिखा जा सकता है:पहले स्वर लिखकर या पहले व्यंजन लिखकर।
अतः EQUATION शब्द के अक्षरों से बनने वाले शब्द जब स्वर एक साथ तथा व्यंजन एक साथ हों
=120×6×2=1440
Example:3.9 लड़के और 4 लड़कियों से 7 सदस्यों की एक समिति बनानी है यह कितने प्रकार से किया जा सकता है,जबकि समिति में
(i)तथ्यतः 3 लड़कियाँ हैं?
(ii)न्यूनतम 3 लड़कियाँ हैं?
(iii)अधिकतम 3 लड़कियाँ हैं?
Solution:(i)क्योंकि 3 लड़कियों का समिति में चयन करना है अतः 4 में से 3 लड़कियों का चयन {}^4 C_3 प्रकार से किया जा सकता है।शेष 4 लड़कों का 9 लड़कों में चयन {}^9 C_4 प्रकार से किया जा सकता है।अतः अभीष्ट संख्या {}^4 C_3 \times {}^9 C_4 \\ =\frac{4 !}{4 ! 3 !} \times \frac{9 !}{4 !(9-4) !} \\ =\frac{4 \times 3 !}{3 !} \times \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 !}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 5 !} \\ =4 \times 9 \times 2 \times 7 \\ =504
(ii)क्योंकि समिति में न्यूनतम 3 लड़कियाँ हैं,इसलिए समिति में 7 सदस्यों का चयन निम्नलिखित प्रकार से किया जा सकता है:
(a)4 लड़के तथा 3 लड़कियाँ
(b)3 लड़के तथा 4 लड़कियाँ
4 लड़के तथा 3 लड़कियों का चयन {}^9 C_4 \times {}^4 C_3 प्रकार से किया जा सकता है।
3 लड़के तथा 4 लड़कियों का चयन {}^9 C_3 \times {}^4 C_4 प्रकार से किया जा सकता है।
अतः अभीष्ट संख्या={}^9 C_4 \times {}^4 C_3+{}^9 C_3 \times {}^4 C_4 \\ =\frac{9 !}{4 !(9-4) !} \times \frac{4 !}{3 !(4-3) !}+\frac{9 !}{3 !(9-3) !} \times \frac{4 !}{4 !(4-4) !} \\ =\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 !}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 5 !} \times \frac{4 \times 3 !}{3 ! \times 1 !}+\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{3 \times 2 \times 6 !} \times 1 \\ =504+84 \\ =588
(iii)क्योंकि समिति में अधिकतम 3 लड़कियाँ हैं इसलिए समिति के 7 सदस्यों का चयन निम्नलिखित प्रकार से किया जा सकता है:
(a)7 लड़के और कोई लड़की नहीं
(b)6 लड़के और 1 लड़की
(c)5 लड़के और 2 लड़कियाँ
(d)4 लड़के और 3 लड़कियाँ
7 लड़के और कोई लड़की नहीं का चयन {}^9 C_7 \times {}^4 C_0 प्रकार से किया जा सकता है।
6 लड़के और 1 लड़की का चयन {}^9 C_6 \times {}^4 C_1 प्रकार से किया जा सकता है।
5 लड़के और 2 लड़कियों का चयन {}^9 C_5 \times {}^4 C_2 प्रकार से किया जा सकता है।
4 लड़के और 3 लड़कियों का चयन {}^9 C_4 \times {}^4 C_3 प्रकार से किया जा सकता है।
अतः अभीष्ट संख्या= {}^9 C_7 \times {}^4 C_0+ {}^9 C_6 \times {}^4 C_1+{}^9 C_5 \times {}^4 C_2+ {}^9 C_4 \times {}^4 C_3 \\ =\frac{9 !}{6 !(9-7) !} \times \frac{4 !}{0 !(4-0)!}+\frac{9 !}{6 !(9-6) !} \times \frac{4 !}{1 !(4-1)!} +\frac{9 !}{9 !(9-5) !} \times \frac{4 !}{2 !(4-2) !}+\frac{9 !}{4 !(9-4) !} \times \frac{4!}{3 !(4-3) !} \\ =\frac{9 \times 8 \times 7 !}{7 ! \times 2 !} \times \frac{4 !}{4 !}+\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6 ! \times 3 !} \times \frac{4 \times 3 !}{3 !} +\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 !}{5 ! 4 !} \times \frac{4 \times 3 \times 2 !}{2 ! 2 !}+\frac{9 \times 3 \times 7 \times 6 \times 5 !}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 5 !} \times 4 \\ =36+\frac{504}{3 \times 2 \times 1} \times 4+\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 2 \times 3+504 \\ =540+336+756 \\ =1632
Example:4.यदि शब्द EXAMINATION के सभी अक्षरों से बने विभिन्न क्रमचयों को शब्दकोष की तरह सूचीबद्ध किया जाता है,तो E से प्रारम्भ होने वाले प्रथम शब्द से पूर्व कितने शब्द हैं?
Solution:A से प्रारम्भ होने वाले शब्दों में I-2,N-2 तथा शेष भिन्न अक्षर हैं।ऐसे कुल शब्दों की संख्या
=\frac{10 !}{2 ! 2 !} \\ =\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} \\ =907200
Example:5.0,1,3,5,7 और 9 अंकों से,10 से विभाजित होने वाली और बिना पुनरावृत्ति किए कितनी 6 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?
Solution:10 से विभाजित होने वाली संख्या वही हो सकती है जिसका इकाई का अंक 0 हो।इसके अतिरिक्त 5 अंकों को पुनर्विन्यसित किया जाना तथा प्रयोग किए जाने वाले शेष अंक भी 5 हैं।
अतः अभीष्ट संख्या=5!
=5×4×3×2×1=120
Example:6.अंग्रेजी वर्णमाला में 5 स्वर तथा 21 व्यंजन हैं।इस वर्णमाला से 2 भिन्न स्वरों और 2 भिन्न व्यंजनों वाले कितने शब्दों की रचना की जा सकती है?
Solution:5 स्वरों में से 2 स्वर लेकर संचयों की संख्या={}^5 C_2
21 व्यंजनों में से 2 व्यंजन लेकर संचयों की संख्या ={}^{21} C_2
2 स्वर तथा 2 व्यंजन को चुनने के प्रकार={}^5 C_2 \times {}^{21} C_2
2 स्वरों तथा 2 व्यंजनों का क्रमचय=4!
2 स्वरों तथा 2 व्यंजनों से बनने वाले शब्दों की संख्या={}^5 C_2 \times {}^{21} C_2 \times 4 ! \\ =\frac{5 !}{2 !(5-2) !} \times \frac{21 !}{2 !(21-2) !} \times 4 ! \\ =\frac{5 \times 4 \times 3 !}{2 \times 1 \times 3 !} \times \frac{2 ! \times 20 \times 19 !}{2 \times 1 \times 19 !} \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ =50400
Example:7.किसी परीक्षा के प्रश्नपत्र में 12 प्रश्न हैं जो क्रमशः 5 तथा 7 प्रश्नों वाले दो खण्डों में विभक्त हैं अर्थात् खण्ड I और खण्ड II.एक विद्यार्थी को प्रत्येक खण्ड में न्यूनतम 3 प्रश्नों का चयन करते हुए कुल 8 प्रश्नों को हल करना है।एक विद्यार्थी कितने प्रकार से प्रश्नों का चयन कर सकता है?
Solution:8 प्रश्नों को हल करने के लिए जिनमें प्रत्येक खण्ड में न्यूनतम 3 प्रश्नों का चयन करना है,निम्न प्रकार से चयन किया जा सकता है:
(i)I खण्ड से 3 प्रश्न व II खण्ड से 5 प्रश्न={}^5 C_3 \times {}^{7} C_5
(ii)I खण्ड से 4 प्रश्न व II खण्ड से 4 प्रश्न={}^5 C_4 \times {}^{7} C_4
(iii)I खण्ड से 5 प्रश्न व II खण्ड से 3 प्रश्न={}^5 C_5 \times {}^{7} C_3
अतः चयन के कुल तरीके={}^5 C_3 \times {}^{7} C_5+{}^5 C_4 \times {}^{7} C_4+{}^5 C_5 \times {}^{7} C_3 \\ =\frac{5 !}{3 !(5-3) !} \times \frac{7 !}{5 !(7-5) !}+\frac{5 !}{4 !(5-4) !} \times \frac{7 !}{4 ! \times(-4) !} +\frac{5 !}{5 !(5-5) !} \times \frac{7 !}{3 !(7-3) !} \\ =\frac{5 \times 4 \times 3 !}{3 ! 2 !} \times \frac{7 \times 6 \times 5 !}{5 ! 2 !}+\frac{5 \times 4 !}{4 ! 4 !} \times \frac{7 \times 6 \times 4 ! 8 !}{4 ! 8 !} +\frac{5 !}{5 ! 0 !} \times \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{3 ! 4 !} \\ =\frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{7 \times 6}{2 \times 1}+5 \times \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} +1 \times \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \\ =210+175+35 \\ =420
Example:8.52 पत्तों की एक गड्डी में से 5 पत्तों के संचय की संख्या निर्धारित कीजिए,यदि 5 पत्तों के प्रत्येक चयन (संचय) में तथ्यतः एक बादशाह है।
Solution:ताश की गड्डी में बादशाह के पत्तों की संख्या=4
इनमें से एक पत्ता चयन करने के तरीके={}^{4} C_1
अब शेष 48 पत्तों में से 4 पत्ते चयन के तरीके={}^{48} C_4
इस प्रकार 52 पत्तों में से 5 पत्ते लेकर जिनमें एक बादशाह है,संचयों की संख्या={}^{4} C_1 \times {}^{48} C_4 \\ =\frac{4 !}{1 !(4-1) !} \times \frac{48 !}{4 !(48-4) !} \\ =\frac{4 \times 3 !}{3 !} \times \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44 !}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 44 !} \\ =4 \times 194580 \\ =778320
Example:9.5 पुरुषों और 4 महिलाओं को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाया जाता है कि महिलाएँ सम स्थानों पर बैठती है।इस प्रकार के कितने विन्यास हैं।
Solution:हम पहले 5 पुरुषों को बैठा देते हैं।इसे 5! प्रकार से कर सकते हैं।इस प्रकार के प्रत्येक विन्यास में,4 महिलाओं को केवल गुणा से चिन्हित (सम स्थानों) स्थानों पर बैठाया जा सकता है।
M×M×M×M×M
गुणा से चिन्हित 4 स्थानों पर 4 महिलाओं को 4! तरीकों से बैठाया जा सकता है।अतः गुणन सिद्धान्त से,इन तरीकों की कुल संख्या
=5!×4!
=5×4×3×2×1×4×3×2×1
=2880
Example:10.25 विद्यार्थियों की एक कक्षा से,10 का चयन एक भ्रमण-दल के लिए किया जाता है।3 विद्यार्थी ऐसे हैं,जिन्होंने यह निर्णय लिया है कि या तो वे तीनों दल में शामिल होंगे या उनमें से कोई भी दल में शामिल नहीं होगा।भ्रमण-दल का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है?
Solution:25 विद्यार्थियों में से 10 विद्यार्थियों के चयन के तरीके यदि 3 विद्यार्थी दल में शामिल हों:={}^{22} C_7
यदि 3 विद्यार्थी दल में शामिल न हों तो चयन के तरीके={}^{22} C_{10}
अतः चयन के अभीष्ट तरीकों की संख्या={}^{22} C_7+{}^{22} C_{10}
Example:11.ASSASSINATION शब्द के अक्षरों के कितने विन्यास बनाए जा सकते हैं,जबकि सभी ‘S’ एक साथ रहें?
Solution:शब्द ASSASSINATION में 13 अक्षर हैं जिसमें A-3,I-2,N-2,S-4 हैं।अब माना कि 4-S एक साथ हैं।अतः इन अक्षरों से बने शब्दों की संख्या =\frac{10 !}{3 ! 2 ! 2 !} \\ =\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} \\ =151200
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा क्रमचय और संचय कक्षा 11 (Permutations and Combinations Class 11),क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations) को समझ सकते हैं।
3.क्रमचय और संचय कक्षा 11 की समस्याएँ (Permutations and Combinations Class 11 Problems):
(1.)1,2,3,4,5,6,7,8 अंकों से 6000 तथा 7000 के मध्य कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि किसी को भी एक से अधिक बार प्रयोग नहीं करें तथा इसमें कितनी संख्याएँ 5 से विभाज्य होगी।
(2.)8 पुरुषों और 5 महिलाओं में 6 सदस्यों की समिति बनानी है।यह समिति कितने प्रकार से बनाई जा सकती है,जबकि प्रत्येक समिति में कम से कम दो पुरुष हों?
उत्तर (Answers):(1.)210,30 (2.)1436
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर क्रमचय और संचय कक्षा 11 (Permutations and Combinations Class 11),क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations) को ठीक से समझ सकते हैं।
4.क्रमचय और संचय कक्षा 11 (Permutations and Combinations Class 11),क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.चक्रीय क्रमचयों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र लिखो। (Write the Formula for Finding the Number of Cyclic Permutations):
उत्तर:यदि दक्षिणावर्त तथा वामावर्त क्रम में अन्तर न हो तो चक्रीय क्रमचयों की संख्या= \frac{(n-1) !}{2}
प्रश्न:2.n भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र लिखो। (Write the Formula for Finding the Number of Diagonals in a Polygon with n Sides):
उत्तर: \frac{n(n-3)}{2}
प्रश्न:3.क्रमचय और संचय की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि लिखिए। (Write the Historical Background of Permutation and Combination):
उत्तर:भारत में क्रमचय और संचय की संकल्पना की अवधारणा जैन धर्म के अभ्युदय और संभवतः और पहले हुई है।तथापि इसका श्रेय जैनियों को ही प्राप्त है,जिन्होंने ‘विकल्प’ शीर्षक के अंतर्गत इस विषय को गणित के स्वसंपन्न प्रकरण के रूप में विकसित किया।
जैनियों में महावीर (सन 1850 ई. के लगभग) संभवतः विश्व के प्रथम गणितज्ञ है,जिन्होंने क्रमचय और संचय के सूत्रों को देकर श्रेयस्कर कार्य किया।
ईसा के पूर्व छठी शताब्दी में सुश्रुत ने अपने औषधि विज्ञान की सुप्रसिद्ध पुस्तक सुश्रुत-संहिता में उद्घोषित किया कि छह विभिन्न रसों से एक साथ एक,दो,…,आदि लेकर 63 संचय बनाए जा सकते हैं।ईसा से तीसरी शताब्दी पूर्व संस्कृतविद् पिंगल ने दिए गए अक्षरों के एक समूह से एक,दो,….,इत्यादि लेकर बनाए गए संचयों की संख्या ज्ञात करने की विधि का वर्णन अपने सुप्रसिद्ध ग्रंथ छंद सूत्र में किया है।भास्कराचार्य (जन्म 1114 ई.) ने अपनी प्रसिद्ध पुस्तक लीलावती में अंकपाश शीर्षक के अंतर्गत क्रमचय और संचय प्रकरण पर उत्कृष्ट कार्य किया है।महावीर द्वारा प्रदत {}^n C_{r} और {}^n P_{r} के सूत्रों के अतिरिक्त भास्कराचार्य ने विषय संबंधी अनेक प्रमेयों और परिणामों का उल्लेख किया है।
भारत के बाहर क्रमचय और संचय संबंधी प्रकरणों पर कार्य का शुभारंभ चीनी गणितज्ञों द्वारा उनकी सुप्रसिद्ध पुस्तक आई किंग (I-King) में वर्णित है।इस कार्य के सन्निकट काल को बता पाना कठिन है,क्योंकि 213 ईस्वी पूर्व में तत्कालीन सम्राट ने आदेश दिया था कि सभी पुस्तकें तथा हस्तलिखित पांडुलिपियाँ जला दी जाएं।सौभाग्यवश इसका पूर्ण रूप से पालन नहीं हुआ।यूनानी और बाद में लैटिन गणितज्ञों ने भी क्रमचय और संचय के सिद्धांत पर कुछ छिटपुट कार्य किए हैं।
कुछ अरबी और हेब्रो लेखकों ने भी क्रमचय और संचय की संकल्पनाओं का प्रयोग ज्योतिष के अध्ययन के लिए किया।उदाहरणतः Rabbi ben Ezra ने ज्ञात ग्रहों की संख्या से एक बार में एक,दो,…, आदि लेकर बनाए संचयों की संख्या ज्ञात की।यह कार्य 1140 ईस्वी पूर्व में हुआ ऐसा प्रतीत होता है कि Rabbi ben Ezra को {}^n C_{r} का सूत्र ज्ञात नहीं था,तथापि वे इससे परिचित थे कि n और r के कुछ विशेष मानों के लिए {}^n C_{r}={}^n C_{n-r} होता है।सन 1321 ई. में हीब्रु लेखक,Levi Ben Gerson ने {}^n P_{r},{}^n P_{n} के सूत्रों के साथ {}^n C_{r} के व्यापक सूत्रों को बतलाया।
प्रथम ग्रंथ जिसमें क्रमचय और संचय विषय पर पूर्ण और क्रमबद्ध कार्य Ars Conjectandi है जिसका लेखन स्विस गणितज्ञ Jacob Bernoulli (1654-1705 ई.) ने किया।इसका प्रकाशन उनके मरणोपरांत 1713 ईस्वी में हुआ।इस पुस्तक में मुख्यतः क्रमचय और संचय के सिद्धांतों का ठीक उसी प्रकार वर्णन है जैसा कि हम आजकल करते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा क्रमचय और संचय कक्षा 11 (Permutations and Combinations Class 11),क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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क्रमचय और संचय कक्षा 11
(Permutations and Combinations Class 11)
Permutations and Combinations Class 11
क्रमचय और संचय कक्षा 11 (Permutations and Combinations Class 11) के इस आर्टिकल में
क्रमचय तथा संचय पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
