1.क्रमचय ग्रुप (समूह) [Permutation Group],क्रमचय ग्रुप थ्योरी (Permutation group theory)-

• क्रमचय ग्रुप (समूह) [Permutation Group] को जानने से पहले यह जानेंगे कि क्रमचय किसे कहते हैं?
• क्रमचय (Permutation)-एक परिमित समुच्चय (finite set) के स्वयं पर ही एक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण (One-one onto mapping ) को क्रमचय कहते हैं।
• परिमित समुच्चय में अवयवों की संख्या (numbers of elements) को क्रमचय की घात या अशांक (degree) कहते हैं।
• स्पष्ट है कि यदि S एक परिमित समुच्चय है तथा जिसमें केवल 3 अवयव हैं तो इस समुच्चय के केवल क्रमचय 3!(=6) होंगे।हम इन क्रमचयों के समुच्चय को { s }_{ 3 } से निरूपित (प्रकट) करेंगे। { s }_{ 3 } को क्रमचयों का 3 घात का सममित समुच्चय भी कहते हैं।
• संकेतन (Notation)-माना कि s=\{ { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ x }_{ 3 },......,{ x }_{ n }\}  अवयवों का एक परिमित समुच्चय है तो S के किसी क्रमचय f:s\rightarrow s को सुगमता के लिए दो पंक्तियों का निम्न संकेत प्रयोग करते हैं:

(\begin{matrix} { x }_{ 1 } & { x }_{ 2 }........... & { x }_{ n } \\ f\left( { x }_{ 1 } \right) & f\left( { x }_{ 2 } \right) ........ & f\left( { x }_{ n } \right) \end{matrix})

या (\begin{matrix} { x }_{ 1 } & { x }_{ 2 }......... & { x }_{ n } \\ { y }_{ 1 } & { y }_{ 2 }......... & { y }_{ n } \end{matrix})
जहां { y }_{ i }=f\left( { x }_{ i } \right) ,i=1,2,......,n

(1.)क्रमचय गुणन (Product of Permutation),क्रमचय समूहों का गुणन (Product of permutation groups)-

• माना कि f तथा g किसी समुच्चय S जिसमें n अवयव हैं,के दो क्रमचय हैं।क्योंकि f तथा g परिभाषा से दोनों समुच्चय S के स्वयं पर एकैकी तथा आच्छादक प्रतिचित्रण हैं इसलिए संयुक्त फलन gof तथा fog समुच्चय पर निम्न प्रकार परिभाषित है जो कि स्वयं समुच्चय S पर एकैकी तथा आच्छादक प्रतिचित्रण हैं
  (gof)(x)=g(f(x))\forall x\in s
  तथा (fog)(x)=f(g(x))\forall x\in s
  हम gof को gf तथा fog को fg से निरूपित करेंगे। अतः fg तथा gf से क्रमचय गुणन का बोध होता है अर्थात् उपर्युक्त से gof या gf तथा fog या fg ,n अशांक के क्रमचय हैं।हम gof तथा fog को क्रमशः g तथा f और f तथा g का क्रमचय गुणन कहते हैं।

(2.)दो क्रमचयों की तुल्यता (Equality of two permutations)-

• माना f तथा g कोई दो समान अशांक n के क्रमचय हैं जो कि एक n अवयवों के परिमित समुच्चय S पर परिभाषित है।परिभाषानुसार इनमें से प्रत्येक समुच्चय S के स्वयं पर एकैकी तथा आच्छादक प्रतिचित्रण हैं।सुस्पष्टत: ये क्रमचय तुल्य होंगे यदि वे प्रतिचित्रण समान हैं अर्थात् f=g\Leftrightarrow f\left( x \right) =g\left( x \right) \forall x\in s

(3.)तत्समक क्रमचय (Identity Permutation)-

• यदि परिमित समुच्चय का एक क्रमचय इस प्रकार हो कि प्रत्येक अवयव का प्रतिचित्रण स्वयं पर हो,तत्समक क्रमचय (Identity Permutation) कहलाता है जो कि प्राय: I से निरूपित किया जाता है।
  अर्थात् f\left( x \right) =x\forall x\in s
  यदि S={a,b,c} तो इसका तत्समक अवयव (\begin{matrix} a & b & c \\ a & b & c \end{matrix}) है।

(4.)प्रतिलोम क्रमचय (Inverse of Permutation)-

• यदि किन्हीं दो क्रमचयों का गुणनफल तत्समक क्रमचय हो तो ऐसे दो क्रमचयों को एक दूसरे के प्रतिलोम कहते हैं।
  उदाहरणार्थ-क्रमचय (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{matrix}) का प्रतिलोम क्रमचय (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \end{matrix}) है।
  
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2.क्रमचयों का ग्रुप या सममित ग्रुप (Group of Permutation or Symmetric Group)-

• प्रमेय (Theorem)-1. n संकेतों के n! क्रमचयों का समुच्चय { p }_{ n } क्रमचय गुणन संक्रिया के लिए एक परिमित ग्रुप (समूह) है।
  (The set { p }_{ n } of n! permutations on n symbols is a finite group under the operation of P permutation multiplication.)

उपपत्ति (Proof):माना कि f,g\in { p }_{ n } अर्थात् f,g दो एकैकी आच्छादक फलन स्वयं n अवयवों के परिमित समुच्चय s=\{ { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ x }_{ 3 },......,{ x }_{ n }\} पर हैं और हम जानते हैं कि दो एकैकी आच्छादक फलनों का संयुक्त फलन एक एकैकी आच्छादक फलन होता है।चूंकि क्रमचय एकैकी आच्छादक फलन होता है,अतः { p }_{ n } के दो अवयवों का गुणन भी S का क्रमचय होगा इसलिए { p }_{ n } का अवयव होगा 

\therefore f\in { p }_{ n },g\in { p }_{ n }\Rightarrow fg\in { p }_{ n }
अर्थात् { p }_{ n } में क्रमचय गुणन एक द्विचर संक्रिया (Binary Composition) है।

• ({ G }_{ 1 }) साहचर्यता (Associativity )-व्यापक रूप में फलनों का संयोजन (या संयुक्त) सहचारी होता है इसलिए यदि f,g,h\in { p }_{ n } के लिए
  (fg)h=(fog)oh
  =fo(goh)
  =f(gh)
  अतः क्रमचय गुणन समुच्चय में सहचारी संक्रिया है।
• ({ G }_{ 2 }) तत्समक अवयव का अस्तित्व (Existence of Identity Element):
  स्पष्ट है कि I\in { p }_{ n } तथा यदि,{ x }_{ i }\in s,i=1,2,.....,n; है तो \forall f\in { p }_{ n } के लिए

(foI)({ x }_{ i })=f(I({ x }_{ i })=f({ x }_{ i })
तथा (Iof)({ x }_{ i })=I(f({ x }_{ i })=f({ x }_{ i })
अतः I,{ p }_{ n } का तत्समक है तथा उसका अस्तित्व है।

• ({ G }_{ 3 }) प्रतिलोम का अस्तित्व (Existence of Inverse):
  यदि f,का स्वेच्छागृहीत (arbitrary) अवयव है,तो f एकैकी तथा आच्छादक प्रतिचित्रण स्वयं समुच्चय S पर है। अतः { f }^{ -1 } भी एक प्रतिचित्रण है।अतः { f }^{ -1 }\in { p }_{ n } तब

(fo{ f }^{ -1 })(x)=f({ f }^{ -1 }(x))=x=I(x)
तथा ({ f }^{ -1 }of)(x)={ f }^{ -1 }(f(x))=x=I(x)\\ \Rightarrow fo{ f }^{ -1 }=I={ f }^{ -1 }of
अतः समुच्चय में प्रत्येक क्रमचय का प्रतिलोम विद्यमान है।
उपर्युक्त विवेचन से सिद्ध होता है कि समुच्चय { p }_{ n } क्रमचय गुणन संक्रिया के लिए परिमित ग्रुप है तथा इसका ग्रुपांक n! है।यह ग्रुप क्रमचयों का ग्रुप (Group of Permutation) या सममित ग्रुप (Symmetric Group) कहलाता है।

3.क्रमचय ग्रुप (समूह) समस्याएं और हल[Permutation Group Problems and Solutions],क्रमचय ग्रुप (समूह) [Permutation group example]-

Example-1.यदि \sigma =(\begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}) और \rho =(1\quad 3) दो क्रमचय में हैं तो \sigma o\rho  तथा \rho o\sigma  ज्ञात कीजिए।
(If \sigma =(\begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}) and \rho =(1\quad 3) are two permutations in,find \sigma o\rho and \rho o\sigma.)
Solution-\sigma =(\begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix})\\ \rho =(1\quad 3)\\ =(\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix})\\ \sigma o\rho =(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix})(\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix})\\ \quad \quad \quad =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix})(\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix})\\ \quad \quad \quad =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix})(\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix})\\ \quad \quad \quad =(\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix})\\ \Rightarrow \sigma o\rho =(\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \end{matrix})\\ \Rightarrow \rho o\sigma =(\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix})(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix})\\ \quad \quad \quad =(\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix})(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix})\\ \quad \quad \quad =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix})(\begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix})\\ \quad \quad \quad =(\begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix})\\ \Rightarrow \rho o\sigma =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix})
Example-2. fg तथा gf ज्ञात कीजिए जबकि (Find fg and gf when)

f=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{matrix}),g=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 4 & 5 & 3 \end{matrix})
Solution–fg=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{matrix})(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 4 & 5 & 3 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{matrix})(\begin{matrix} 1 & 2 & 5 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 1 & 2 & 5 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{matrix})\\ \Rightarrow fg=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 5 & 4 \end{matrix})\\ gf=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 4 & 5 & 3 \end{matrix})(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 4 & 5 & 3 \end{matrix})(\begin{matrix} 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 5 & 3 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 1 & 2 & 4 & 3 & 5 \end{matrix})
Example-3. यदि (Let) f=(1 2 3) तथा (and) g=(4 5),5 संकेतों 1,2,3,4,5 पर दो क्रमचय हों तो fg तथा gf को ज्ञात कीजिए।
(f=(1 2 3) and  g=(4 5),be two permutations on 5 symbols 1,2,3,4,5 compute fg and gf.)
Solution–f=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix})\\ \Rightarrow f=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 4 & 5 \end{matrix})\\ g=(\begin{matrix} 4 & 5 \end{matrix})\\ \Rightarrow g=(\begin{matrix} 4 & 5 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 1 & 2 & 3 \end{matrix})\\ fg=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 4 & 5 \end{matrix})(\begin{matrix} 4 & 5 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 1 & 2 & 3 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 4 & 5 \end{matrix})(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 5 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 & 5 \end{matrix})\\ \Rightarrow fg=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix})(\begin{matrix} 4 & 5 \end{matrix})\\ gf=(\begin{matrix} 4 & 5 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 1 & 2 & 3 \end{matrix})(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 4 & 5 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 5 & 4 \end{matrix})(\begin{matrix} 3 & 1 & 2 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 3 & 1 & 2 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 5 & 4 \end{matrix})\\ \Rightarrow gf=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix})(\begin{matrix} 4 & 5 \end{matrix})

Example-4. यदि (if)

\rho =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 4 \end{matrix}),\sigma =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{matrix})
तो निम्न ज्ञात कीजिए (then find the following):

(i)\sigma \rho (ii){ \rho }^{ -1 }{ \sigma }^{ -1 }
Solution-(i) \sigma \rho \\ \sigma=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{matrix}),\rho =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 4 \end{matrix})\\ \Rightarrow \sigma \rho =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{matrix})(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 4 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{matrix})(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 4 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{matrix})(\begin{matrix} 3 & 1 & 2 & 5 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 3 & 1 & 2 & 5 & 4 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{matrix})\\ \Rightarrow \sigma \rho =(\begin{matrix} 1 & 5 & 3 \end{matrix})(\begin{matrix} 2 & 4 \end{matrix})\\ (ii){ \rho }^{ -1 }{ \sigma }^{ -1 }\\ \rho =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 4 \end{matrix})\\ { \rho }^{ -1 }=(\begin{matrix} 2 & 3 & 1 & 5 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix})\\ \sigma =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{matrix})\\ \Rightarrow { \sigma }^{ -1 }=(\begin{matrix} 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix})\\ { \rho }^{ -1 }{ \sigma }^{ -1 }=(\begin{matrix} 2 & 3 & 1 & 5 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix})(\begin{matrix} 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 2 & 5 & 4 \end{matrix})(\begin{matrix} 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 5 & 4 \end{matrix})\\ \Rightarrow { \rho }^{ -1 }{ \sigma }^{ -1 }=(\begin{matrix} 1 & 3 & 5 \end{matrix})(\begin{matrix} 2 & 4 \end{matrix})
Example-5. यदि (if)

\rho =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{matrix}) \\ \rho का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए (then find the inverse of \rho .)
Solution-\rho =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{matrix})\\ { \rho }^{ -1 }=(\begin{matrix} 1 & 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix})\\ \Rightarrow { \rho }^{ -1 }=(\begin{matrix} 2 & 4 & 3 \end{matrix})
Example-6. यदि A=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix}) तो { A }^{ 2 } और { A }^{ 4 } की परिकल्पना कीजिए।(If A=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix}) calculate { A }^{ 2 }  and { A }^{ 4 }.)
Solution-A=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix})\\ { A }^{ 2 }=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix})(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix})\\ \Rightarrow { A }^{ 2 }=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix})(\begin{matrix} 4 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix})\\ \Rightarrow { A }^{ 2 }=(\begin{matrix} 4 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix})\\ \Rightarrow { A }^{ 2 }=(\begin{matrix} 1 & 3 \end{matrix})(\begin{matrix} 2 & 4 \end{matrix})\\ { A }^{ 3 }={ A }^{ 2 }.A=(\begin{matrix} 4 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix})(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix})\\ \Rightarrow { A }^{ 3 }=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{matrix})(\begin{matrix} 4 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix})\\ \quad  \quad \quad =(\begin{matrix} 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{matrix})\\ \Rightarrow { A }^{ 4 }={ A }^{ 3 }.A=(\begin{matrix} 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{matrix})(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{matrix})(\begin{matrix} 4 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix})\\ =(\begin{matrix} 4 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{matrix})\\ \Rightarrow { A }^{ 4 }=I
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा क्रमचय ग्रुप (समूह) [Permutation Group],क्रमचय ग्रुप थ्योरी (Permutation group theory) को समझ सकते हैं।

4.क्रमचय ग्रुप (समूह) समस्याएं [Permutation Group Problems]-

(1.) तीन संकेतों 1,2,3 पर सारे क्रमचय लिखिए।(List all the permutations on three symbols 1,2,3.)
(2.) यदि (if) A=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 4 \end{matrix}) तो ज्ञात कीजिए (then find):
(i){ A }^{ -1 } (ii){ A }^{ 2 } (iii){ A }^{ 3 } तथा (and) (iv) A की कोटि (Order of A )
(3.) माना (Let) f=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{matrix}),g=(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{matrix})
4 संकेतों पर दो क्रमचय हैं,तो (be two permutations on 4 symbols), तो fog तथा gof ज्ञात कीजिए (then find fog and gof ).
(4.) यदि (if) \sigma =(\begin{matrix} 1 & 7 & 2 & 6 & 3 & 5 & 8 & 4 \end{matrix}),\rho =(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 8 & 7 & 6 & 1 \end{matrix}) तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)

\rho \sigma { \sigma }^{ -1 }=(\begin{matrix} \rho (1) & \rho (7) & \rho (2) & \rho (6) & \rho (3) & \rho (5) & \rho (8) & \rho (4) \end{matrix})
उत्तर-(2)(i)(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 2 & 5 & 4 \end{matrix})

(ii)(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 2 & 4 & 5 \end{matrix})

(iii)(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 5 & 4 \end{matrix})

(iv)6

(3)(\begin{matrix} 2 & 3 \end{matrix});(\begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix})
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर क्रमचय ग्रुप (समूह) [Permutation Group],क्रमचय ग्रुप थ्योरी (Permutation group theory) को समझ सकते हैं।

5.क्रमचय ग्रुप (समूह) s3 (Permutation group s3)-

• यह समूह गुणधर्म के साथ तीन परिमित समूहों में से एक है जो एक ही क्रम के किसी भी दो अवयव संयुग्मित हैं।समूह की अन्य समान परिभाषाओं के आधार पर संयुग्मन वर्ग संरचना की व्याख्या के लिए, सममित समूह की तत्व संरचना पर जाएँ: { s }_{ 3 } # संयुग्मता वर्ग संरचना।

6.समूह सिद्धांत में क्रमचय (Permutation in group theory)-

• गणित में, एक क्रमचय समूह एक समूह G होता है, जिसके अवयव किसी दिए गए सेट M के क्रमचय होते हैं और जिसका समूह संचालन G में क्रमचय की संरचना है (जो कि सेट M से स्वयं के लिए एकैकी आच्छादक फलनों के रूप में माना जाता है)।केली के प्रमेय द्वारा, प्रत्येक समूह कुछ क्रमपरिवर्तन समूह के लिए आइसोमॉर्फिक है।

7.क्रमचय ग्रुप का गुणन (Multiplication of permutation group)-

• क्रमचय गुणन करने के लिए, बिन्दुओं की छवियों के माध्यम से ट्रेस करें, और चक्र संरचना में अनुवाद करते समय, छवियों से एक नया क्रमांकन बनाएं।उदाहरण के लिए, मान लें कि हम गुणा करना चाहते हैं (1,5) (2,3,6) · (1,6,4) (3,5)। 1 की छवि पहले के तहत 5 है, और 5 की छवि दूसरे क्रमचय के तहत 3 है।
  उपर्युक्त क्रमचय ग्रुप की थ्योरी, उदाहरण,प्रश्नों के उत्तर द्वारा हम क्रमचय ग्रुप (समूह) [Permutation Group],क्रमचय ग्रुप थ्योरी (Permutation group theory) को ठीक से समझ सकते हैं।

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