1.अंकगणित में प्रतिशतता (Percentage in Arithmetic),प्रतिशतता (Percentage):

Percentage in Arithmetic

अंकगणित में प्रतिशतता (Percentage in Arithmetic) के इस आर्टिकल में प्रतिशतता पर आधारित महत्त्वपूर्ण सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे और उन्हें समझेंगे।
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2.अंकगणित में प्रतिशतता पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Percentage in Arithmetic):

Example:1.किसी ड्रम में 250 लीटर मिट्टी का तेल है।5% तेल टपककर बाहर गिर जाता है।ड्रम में अब कितने प्रतिशत तेल शेष बचा है?
(a) 95 % (b) 58 % (c)97.5 % (d) 92.5 %
Solution:प्रतिशत तेल शेष=100%-5%=95%
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:2.एक पुस्तकालय में 40% पुस्तकें अंग्रेजी में हैं।शेष पुस्तकों की 40% पुस्तकें हिन्दी में हैं।शेष पुस्तकें उड़िया में है।यदि 4800 पुस्तकें हिन्दी में हों,तो पुस्तकालय में कुल पुस्तकों की संख्या कितनी है?
(a) 12000 (b) 24000 (c) 28000 (d) 20000
Solution:माना कुल पुस्तकें=x
अंग्रेजी में पुस्तकें=$\frac{40x}{100}$
हिन्दी में पुस्तकें=$\left(x-\frac{400x}{100}\right) \times \frac{40}{100}\\ =\frac{60 x}{100} \times \frac{40}{100}=\frac{24 x}{100}$
प्रश्नानुसार:
$\frac{24 x}{100}=4800 \\ \Rightarrow x=\frac{4800 \times 100}{24}=20,000$
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:3.दो घण्टे एक दिन का क्या प्रतिशत है?
(a) $\frac{25}{6} \%$ (b) $\frac{25}{3} \%$(c) 8 \%(d) 12 \%
Solution:एक दिन=24 घण्टे
दो घण्टे एक दिन का प्रतिशत=$\frac{2}{24} \times 100=\frac{25}{3}$ %
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:4.एक विक्रेता का कमीशन 10000 रुपये तक की सभी बिक्री पर 4% है।उसने अपना कमीशन काटने के बाद अपनी कम्पनी को 31100 रुपये दिए।उसकी बिक्री की राशि क्या थी?
(a) 35000 रुपये (b) 36100 रुपये (c) 35100 रुपये (d) 32500 रुपये
Solution:माना बिक्री की राशि=x
$10,000 \times \frac{95}{100}+(x-10000) \frac{96}{100}=31100 \\ \Rightarrow \frac{950000}{100}-\frac{960000}{100}+\frac{96 x}{100}=31100 \\ \Rightarrow \frac{-10000}{100}+\frac{96 x}{100}=31100 \\ \Rightarrow \frac{96x}{100}=31100+\frac{10000}{100} \\ \Rightarrow x=(31100+100) \times \frac{100}{96} \\ \Rightarrow x=31200 \times \frac{100}{96} \\ \Rightarrow x=325 \times 100=32520$
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:5.किसी आदमी को वर्ष 2007 में 880000 रुपये वार्षिक वेतन के रूप में प्राप्त हुए,जो उसके वर्ष 2006 के वार्षिक वेतन से 10% अधिक थे।वर्ष 2006 में उनका वार्षिक वेतन था
(a) ₹480000 (b) ₹ 800000 (c) ₹ 400000 (d) ₹ 840000
Solution:माना वर्ष 2006 में वार्षिक वेतन=x
$x \times \frac{110}{100}=880000 \\ \Rightarrow x=880000 \times \frac{100}{110}$= ₹ 800000
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:6.एक बल्लेबाज ने 110 रन बनाए,जिनमें 3 चौके तथा 8 छक्के सम्मिलित थे।खिलाड़ी ने अपने रनों के कुल योग के कितने प्रतिशत रन विकेटों के बीच दौड़ने के द्वारा बनाए?
(a) 45 % (b) $45 \frac{5}{11} \%$ (c) $54 \frac{6}{11} \%$ (d) 55 %
Solution:विकेटों के पीछे रन बनाए
=110-3×4-8×6=10-12-48
=110-60=50
प्रतिशत रन विकेटों के पीछे दौड़ने के द्वारा बनाए
=$\frac{50}{110} \times 108 \% \frac{500 \%}{11}=45 \frac{5}{11} \%$
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:7.किसी काॅलेज में लड़के तथा लड़कियों की संख्याएँ 3:2 के अनुपात में हैं।यदि 20% लड़के तथा 25% लड़कियाँ बालिग हैं,तो कितने प्रतिशत विद्यार्थी बालिग नहीं है?
(a) 58 % (b) $66 \frac{2}{3} \%$ (c) 78 % (d) $83 \frac{1}{3} \%$
Solution:माना लड़के=3x,लड़कियाँ=2x
कुल विद्यार्थी=3x+2x=5x
नाबालिग लड़के=$32 \times \frac{100-20}{100}=\frac{240 x}{100}$
नाबालिग लड़कियाँ=$2 x \times \frac{100-25}{100}=\frac{150x}{100}$
कुल नाबालिग विद्यार्थी=$\frac{240 x}{100}+\frac{150 x}{100} \\ =\frac{390 x}{100}$
प्रतिशत नाबालिग विद्यार्थी=$\frac{390 x}{100} \times \frac{100}{5 x} \\ =78 \%$
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:8.दो उम्मीदवारों के मध्य होने वाले किसी चुनाव में पहले उम्मीदवार को कुल वैध मतों के 80% मत मिले।यदि कुल 180000 मतों में 10% अवैध घोषित किए गए हों,तो दूसरे उम्मीदवार के पक्ष में कितने वैध मत पड़े?
(a) 31400 (b) 3100 (c) 32400(b) 32420
Solution:कुल वैध मत=$180000 \times \frac{90}{100}=162000$
दूसरे उम्मीदवार के पक्ष में वैध मत=$162000 \times \frac{100-80}{100} \\ 162000 \times \frac{20}{100}=32400$
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:9.किसी विद्यालय में छात्रों और छात्राओं की संख्या का योग 150 है।यदि छात्रों की संख्या x हो,तो छात्राओं की संख्या विद्यार्थियों की कुल संख्या का x% हो जाती है।छात्रों की संख्या है:
(a) 90 (b) 50 (c) 40 (d) 60
Solution: $x+150 \times \frac{x}{100}=150 \\ \Rightarrow x+\frac{3 x}{2}=150 \\ \Rightarrow \frac{5 x}{2}=150 \\ \Rightarrow x=\frac{150 \times 2}{5} \\ \Rightarrow x=60$
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:10.यदि 24 कैरेट सोने को सौ प्रतिशत शुद्ध सोना माना जाता हो,तो 22 कैरेट सोने में शुद्ध सोने की प्रतिशतता कितनी होगी?
(a) $91 \frac{3}{4} \%$ (b) $91 \frac{2}{3} \%$ (c) $91 \frac{1}{3} \%$ (d)$90 \frac{2}{3} \%$
Solution:22 कैरेट सोने में शुद्ध सोने की प्रतिशतता=$\frac{22}{24} \times 100 \%=91 \frac{2}{3} \%$
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:11.300 का 25% का 20% क्या है?
(a)150 (b) 60 (c) 45 (d) 15
Solution:300 का 25% का 20%
=$300 \times \frac{25}{100} \times \frac{20}{100}=15$
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:12.5214 रुपये A,B और C में बाँटे गए,जिससे A,B से 25% और C से 20% अधिक पाता है।A को कितने रुपये मिलेंगे?
(a) ₹ 1633 (b) ₹ 1493 (c) ₹ 1632 (d)इनमें से कोई नहीं
Solution:A को मिले=x, B को मिले=y, C को मिले=z
$x=\frac{125 y}{100} \Rightarrow y=\frac{100}{125} x \\ x=\frac{120 z}{100} \Rightarrow z=\frac{100}{120} x \\ x+y+z=5214 \\ \Rightarrow x+\frac{100}{125} x+\frac{100}{120} x=5214 \\ \Rightarrow \frac{x}{1}+\frac{4}{5} x+\frac{5}{6} x=5214 \\ \Rightarrow \frac{30 x+24 x+25 x}{30}=5214 \\ \Rightarrow \frac{79 x}{30}=5214 \\ \Rightarrow x=5214 \times 30 \\ z=1980$
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:13.किसी एक संगठन में 40% कर्मचारी मैट्रिक पास हैं,शेष 50% स्नातक हैं तथा अवशिष्ट 180 स्नातकोत्तर हैं।स्नातक कर्मचारियों की संख्या कितनी है?
(a) 360 (b) 240 (c) 180 (d)इनमें से कोई नहीं
Solution:स्नातकोत्तर कर्मचारियों का प्रतिशत
=100%-50%-40%=10%
स्नातक कर्मचारियों की संख्या=$\frac{50 \%}{10 \%} \times 180 \\ =900$
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:14.यदि x ने 30% अंक प्राप्त किए और वह 15 अंकों से अनुत्तीर्ण हो गया तथा Y ने 40% अंक प्राप्त करके उत्तीर्णांक से 35 अधिक अंक प्राप्त किए,तो उत्तीर्ण होने के लिए आवश्यक प्रतिशत अंक है
(a) 43 % (b) 40 % (0) 38 % (d) 33 %
Solution:माना कुल अंक=t
$\frac{30 t}{100}+15=\frac{40}{100} t-35 \\ \Rightarrow \frac{40 t}{100}-\frac{30 t}{100}=15+35 \\ \Rightarrow \frac{10 t}{100}=50 \\ \Rightarrow t=500$
उत्तीर्णांक=$\frac{30 t}{100}+15=\frac{30 \times 500}{100}+15=165$
प्रतिशत उत्तीर्णांक=$\frac{165}{500} \times 100=33 \%$
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:15.एक चुनाव में दो उम्मीदवारों में से एक ने कुल मतों में से 30% मत प्राप्त किए किन्तु वह 210 मत से हार गया।कुल मतों की संख्या कितनी थी?
(a) 240 (b) 525 (c) 610 (d) 520
Solution:माना मतों की संख्या=x
$x \times \frac{70}{100}=x \times \frac{30}{100}+210 \\ \Rightarrow \frac{7x}{10}-\frac{3 x}{10}=210 \\ \Rightarrow \frac{4 x}{10}=210 \\ \Rightarrow x=210 \times \frac{10}{4}=525$
अतः विकल्प (b) सही है।

Percentage in Arithmetic

Example:16.किसी एक घण्टे का 1 मिनट 12 सेकण्ड कितने प्रतिशत है?
(a) $\frac{1}{2} \%$ (b) 2 % (c) 10 % (d) 36 %
Solution:1 घण्टा=3600 सेकण्ड
1 मिनट 12 सेकण्ड=72 सेकण्ड
$\frac{72}{3600} \times 100=2 \%$
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:17.दो उम्मीदवारों के बीच हुए चुनाव में एक उम्मीदवार कुल वैध वोटों का 55% प्राप्त करता है।20% वोट अवैध थे।यदि वोटों की कुल संख्या 7500 थी,तो दूसरे उम्मीदवार को प्राप्त वैध वोटों की संख्या होगी
(a) 2700 (b) 2900 (c) 3000 (d) 3100
Solution:माना दूसरे उम्मीदवार को प्राप्त वैध वोट=x
वैध वोट=$7500 \times \frac{100-20}{100}=\frac{7500 \times 80}{100}=6000 \\ 6000 \times \frac{55}{100}+x=6000 \\ \Rightarrow x+3300=6000 \\ \Rightarrow x=6000-3300 \\ \Rightarrow x=2700$
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:18.किसी वस्तु के मूल्य में r% की वृद्धि की गई।बाद में बढ़े हुए मूल्य में r% की कमी की गई।यदि वस्तु का अन्तिम मूल्य 1 रुपये हो,तो आरम्भ का मूल्य था
(a) ₹ 1 (b) ₹  $\frac{1-r}{100}$ (c) ₹ $\frac{1-r^2}{100}$ (d) ₹$\left(\frac{10000}{10000-r^2}\right)$
Solution:माना वस्तु का प्रारम्भिक मूल्य=x
r% वृद्धि के बाद वस्तु का मूल्य=$x\left(\frac{100+r}{100}\right)$
पुनः बढ़े हुए मूल्य में r% की कमी करने के बाद मूल्य=$x\left(\frac{100+r}{100}\right)\left(\frac{100-r}{100}\right)=1 \\ \Rightarrow x\left(\frac{10000-r^2}{10000}\right)=1 \\ \Rightarrow x=\frac{10000}{10000-r^2}$
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:19.किसी गाँव की जनसंख्या में प्रतिवर्ष 25% की दर से बढ़ोतरी हुई है।यदि तीन वर्ष के उपरान्त जनसंख्या 10000 हो,तो प्रथम वर्ष के आरम्भ में यह कितनी थी?
(a) 5120 (b) 5000 (c) 4900 (d) 4500
Solution:माना प्रथम वर्ष के आरम्भ में जनसंख्या=$P_0 \\ \Rightarrow P_0\left(1+\frac{25}{100}\right)^3=10000 \\ \Rightarrow P_0\left(\frac{125}{100}\right)^3=10000 \\ \Rightarrow P_0=10000 \times \frac{100}{125} \times \frac{100}{125} \times \frac{100}{125} \\ \Rightarrow P_0=5120$
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:20.दो वर्ष पहले किसी कस्बे की जनसंख्या 62500 थी।बड़े नगरों में जनसंख्या का पलायन होने के कारण जनसंख्या में 4% वार्षिक की दर से कमी होती है।कस्बे की वर्तमान जनसंख्या है
(a) 57600 (b) 56700 (c) 76000 (d) 75000
Solution:माना वर्तमान जनसंख्या=P
$P_0=62500\\ =P_0\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \\ \Rightarrow P =62500\left(1-\frac{4}{100}\right)^2 \\ =62500 \times \frac{96}{100} \times \frac{96}{100} \\ \Rightarrow P =57,600$
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:21.एक कक्षा में 50 बच्चे हैं,जिनमें से 4% के पास कोई वर्दी (यूनिफाॅर्म) नहीं है।शेष 96% में से $\frac{1}{3}$ बच्चे वर्दी का केवल एक भाग पहन रहे हैं।शेष बच्चों के पास पूरी वर्दी है।पूरी वर्दी कितने बच्चे पहन रहे हैं?
(a) 26 (b)32 (c)34 (d) 30
Solution:कोई वर्दी नहीं वाले बच्चे=$50 \times \frac{4}{100}=2$
शेष बच्चे=50-2=48
पूरी वर्दी पहनने वाले बच्चे=$48 \times \frac{2}{3}=32$
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:22.यदि (A+B) का 15%=(A-B) का 25% हो,तो B का कितने प्रतिशत A के बराबर है?
(a) 10 % (b) 60 % (c) 200 % (d) 400 %
Solution:(A+B) का 15%=(A-B) का 25%
$\Rightarrow (A+B) \times \frac{15}{100}=(A-B) \times \frac{25}{100} \\ \Rightarrow 3(A+B)=5(A-B) \\ \Rightarrow 5 A-3 A=3 B+5 B \\ \Rightarrow 2 A=8 B \\ \Rightarrow A=4 B \\ \Rightarrow 100 \% A=400 \% B$
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:23.किसी जनपद में रहने वाले व्यक्तियों की संख्या 64000 है।यदि यह जनसंख्या 2.5% वार्षिक की दर बढ़ती है,तो 3 वर्ष बाद वहाँ रहने वाले व्यक्तियों की संख्या हो जाएगी
(a) 70000 (b) 69200 (c) 68921 (d) 68911
Solution: $P_0=64000, P=P_0\left(1+\frac{R}{100}\right)^n \\ =64000\left(1+\frac{2.5}{100}\right)^3 \\ =64000 \times \frac{102.5}{100} \times \frac{102.5}{100} \times \frac{102.5}{100}=68921$
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:24.किसी संख्या का 35% प्राप्त करने के लिए उस संख्या को किससे गुणा किया जाना चाहिए?
(a)$\frac{7}{20}$ (b) 3.5 (c) $\frac{\sqrt{7}}{20}$ (d) $\frac{5}{20}$
Solution: $35 \%=\frac{35}{100}=\frac{7}{20}$
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:25.एक व्यक्ति अपने आय का 76% खर्च करता है।उसकी आय 20% बढ़ जाती है तथा वह अपना खर्च 15% बढ़ा देता है।उसकी बचत कितने प्रतिशत लगभग बढ़ जाती है?
(a) 20 % (b) 35 % (c) $17 \frac{1}{2} \%$ (d) $33 \frac{1}{3} \%$
Solution:माना व्यक्ति की आय=x
खर्च=$\frac{76 x}{100}$
आय में वृद्धि होने के बाद आय=$\frac{120 x}{100}$
खर्च में वृद्धि होने पर खर्च=$\frac{76 x}{100} \times \frac{115}{100}=\frac{8740 x}{10000}$
बचत=$\frac{120}{100} x-\frac{8740 x}{10000}=\frac{12000 x-8740 x}{10000}$
बचत=$\frac{3260 x}{10000}$
पूर्व में बचत=100% x-76% x=24% x
बचत में वृद्धि=$\frac{3260 x}{10000}-\frac{24x}{100}=\frac{3260 x-2400 x}{10000} \\ =\frac{860 x}{10000}$
बचत में प्रतिशत वृद्धि=$\frac{860 x}{10000} \times \frac{100}{24 x} \times 100 \\ \approx 35.83 \%$
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:26.X की आय Y की आय से 20% अधिक है।Y की आय X की आय से कितने प्रतिशत कम है?
(a) $83 \frac{1}{3} \%$ (b) $16 \frac{2}{3} \%$ (c) $83 \frac{2}{3} \%$ (d) $16 \frac{1}{3} \%$
Solution:माना Y की आय=100,X की आय=120
Y की आय X से प्रतिशत कम है=$\frac{120-100}{120} \times 100 \\ =\frac{20}{120} \times 100 =16 \frac{2}{3} \%$
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:27.यदि किसी विद्यालय में 70% विद्यार्थी लड़के हैं और लड़कियों की संख्या 504 है,तो लड़कों की संख्या है
(a) 1176 (b) 1008 (c) 1208 (d) 3024
Solution:लड़कों की संख्या=$\frac{70}{30} \times 504=1176$
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:28.एक आदमी अपने वेतन का 65% खर्च करता है और प्रतिमाह 525 रुपये की बचत करता है,तो उसकी मासिक आय क्या है?
(a) ₹ 1200 (b) ₹ 1500 (c) ₹ 1800 (d) ₹ 2100
Solution:मासिक आय=$\frac{100}{35} \times 525=1500$
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:29.एक गाँव की वर्तमान जनसंख्या 67600 है।यह 4% वार्षिक की दर से बढ़ती रही है।गाँव की जनसंख्या दो वर्ष पूर्व कितनी थी?
(a) 62500 (b) 63000 (c) 64756 (d) 65200
Solution: $P=67600, P_0= ? \\ P=P_0\left(1+\frac{R}{100}\right)^3 \\ \Rightarrow 67600=P_0 \left(1+\frac{4}{100}\right)^2 \\ \Rightarrow \quad P_0=67600 \times \frac{100}{104} \times \frac{100}{104}=62500$
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:30.दो विद्यार्थी किसी परीक्षा में बैठे।इनमें से एक ने दूसरे से 9 अंक अधिक प्राप्त किए तथा उसके प्राप्तांक दोनों के अंकों के योग के 56% के बराबर थे।उनके द्वारा प्राप्त किए गए अंक क्रमशः हैं:
(a) 42,33 (b) 43,34 (c) 41,32 (d 139,30
Solution:माना दूसरे के अंक=x,पहले विद्यार्थी के अंक=x+9
$(x+x+9) \times \frac{56}{100}=x+9 \\ \Rightarrow 100 x+900=112 x+504 \\ \Rightarrow 12 x=900-504 \\ \Rightarrow x=\frac{396}{12}=33$
पहले के अंक=33+9=42
अतः प्राप्तांक 42,33
अतः विकल्प (a) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अंकगणित में प्रतिशतता (Percentage in Arithmetic),प्रतिशतता (Percentage) को समझ सकते हैं।

3.अंकगणित में प्रतिशतता पर आधारित सवाल (Questions Based on Percentage in Arithmetic):

Percentage in Arithmetic

(1.)चीनी के भाव में 20% वृद्धि हो जाने पर एक गृहिणी को चीनी की खपत कितने प्रतिशत कम कर देनी चाहिए,कि इस मद में खर्च न बढ़े?
(a) 20 % (b) 50 % (C) $16 \frac{2}{3} \%$ (d) $83 \frac{1}{3}\%$
(2.)एक भिन्न का अंश 250% बढ़ा दिया जाए तथा हर 400% बढ़ा दिया जाए,तो परिणामी भिन्न $\frac{7}{19}$ होता है।मूल भिन्न है:
(a) $\frac{10}{9}$ (b) $\frac{5}{9}$ (c) $\frac{9}{5}$ (d) $\frac{19}{7}$
उत्तर (Answers):(1.) (c) (2.)(a)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अंकगणित में प्रतिशतता (Percentage in Arithmetic),प्रतिशतता (Percentage) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अंकगणित में प्रतिशतता (Frequently Asked Questions Related to Percentage in Arithmetic),प्रतिशतता (Percentage) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अंकगणित में प्रतिशतता (Percentage in Arithmetic) के इस आर्टिकल में प्रतिशतता
पर आधारित महत्त्वपूर्ण सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे और उन्हें समझेंगे।