1.समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करना (Particular Integral of Homogeneous PDE),समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल (Particular Integral of Homogeneous Partial Differential Equation):

Particular Integral of Homogeneous PDE

समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करने (Particular Integral of Homogeneous PDE) में रैखिक आंशिक अवकलज तथा समघात पदों को समझना आवश्यक है।
रैखिक आंशिक अवकल समीकरण (Linear Partial Differential Equation):
परिभाषा (Definition):रैखिक आंशिक अवकल समीकरण वे समीकरण हैं जिनमें आश्रित चर (Dependent Variable) तथा उसके आंशिक अवकलज (Partial Derivatives) केवल प्रथम घात (First Degree) में ही आते हों और आपस में गुणित नहीं होते।
(1.)समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करना (To Find Particular Integral of Homogeneous PDE):
मान लो दिया हुआ समीकरण है

F\left(D, D^{\prime}\right) y=f(x, y) \cdots(1)
माना कि \frac{1}{F(D, D^{\prime})} f(x, y) ,x तथा y का एक ऐसा फलन है जिस पर F(D,D’) की संक्रिया करने पर f(x,y) प्राप्त होता है अर्थात् माना कि F(D,D^{\prime}) \left\{\frac{1}{F(D,D^{\prime})} f(x, y)\right\}=f(x, y) \cdots(2)
यदि हम (1) व (2) की तुलना करें तो देखते हैं कि

y=\frac{1}{F\left(D, D^{\prime}\right)} f(x, y)
जो कि दिए हुए समीकरण का विशिष्ट समाकल (P.I.) कहलाता है।
(2.)व्यापक विधि (General Method):
स्थिति I.जब F\left(D, D^{\prime}\right) \equiv D-\alpha D^{\prime} हो तब विशिष्ट समाकल (P.I.)

z=\frac{1}{D-\alpha D^{\prime}} f(x, y) \\ \Rightarrow\left(D-\alpha D^{\prime}\right) z=f(x, y) \\ \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}- \alpha \frac{\partial z}{\partial y}=f(x, y) \\ \Rightarrow p-\alpha q=f(x, y)
जो कि लैग्रांज का रैखिक समीकरण हैं।अतः इसके संगत लैग्रांज के सहायक समीकरण होंगे-

\frac{d x}{1}=\frac{d y}{-\alpha}=\frac{d z}{f(x, y)} \cdots(1)
अब (1) के प्रथम दो पदों से

y+\alpha x=c \quad \cdots(2)
पुनः (1) के प्रथम व तृतीय पदों से
z =\int f\left(x, y\right) d x \\ =\int f(x, c-\alpha x) d x [(2) के प्रयोग से]

\frac{1}{\left(D-\alpha D^{\prime}\right)} f(x, y)=\int f(x, c-\alpha x) d x
स्थिति II.यदि F\left(D, D^{\prime}\right) \equiv\left(D-\alpha_{1} D^{\prime}\right)\left(D-\alpha_{2} D^{\prime}\right) \cdots\left(D-\alpha_{n} D^{\prime} \right) हो तब विशिष्ट समाकल (P.I.) होगा।

z=\frac{1}{\left(D-\alpha, D^{\prime}\right)\left(D-\alpha_{2} D^{\prime}\right) \cdots-\left(D-\alpha_{n} D^{\prime} \right)} f(x, y) \\ \Rightarrow\left(D-\alpha_{1} D^{\prime}\right)\left(D-\alpha_{2} D^{\prime}\right) \cdots \cdot\left(D-\alpha_{n} D^{\prime}\right) z=f(x, y) \\ \Rightarrow\left(D-\alpha_{2} D^{\prime}\right)\left(D-\alpha_{3} D^{\prime} \right) \cdots\left(D-\alpha_{n} D^{\prime}\right) z=\frac{1}{D-\alpha_{1} D^{\prime}} f\left(x, y\right) \\ =\int f\left(x, c_{1}-\alpha_{1} x\right) d x जहां y=c_{1}-\alpha_{1} x \\ =\phi_{1}(x, y)(मान लो )
[समाकलन करने के बाद c_{1}-\alpha_{1} x को ‌y से प्रतिस्थापित करने पर]
पुनः \left(D-\alpha_{3} D^{\prime}\right) \cdots\left(D-\alpha_{n} D^{\prime}\right)=\frac{1}{\left(D-\alpha_{2} D^{\prime}\right)} \phi_{1}(x, y) \\ =f \phi_{1}\left(x, c_{2}-\alpha_{2} x\right) d x
जहां y=c_{2}-\alpha_{2} x \\ =\phi_{2}(x, y)
इस प्रकार लगातार क्रिया करने पर हम पाएंगे कि
z=\frac{1}{\left(D-\alpha_{n} D^{\prime}\right)} \phi_{n-1}(x, y) \\ =\int \phi_{n-1}\left(x,c_{n}-\alpha_{n} x\right) d x जहां y=c_{n}-\alpha_{n} x \\ \frac{1}{\left(D-\alpha_{1} D^{\prime}\right)\left(D-\alpha_{2} D^{\prime}\right) \cdots \left(D-\alpha_{n} D^{\prime}\right)} f(x, y)=\phi_{n}(x, y)
यहां यह ध्यान देने योग्य है कि n के प्रत्येक मान के लिए प्रत्येक समाकलन के बाद c_{n}-\alpha x को y से प्रतिस्थापित किया जाता है।
टिप्पणी:(1.) यदि f(x,y) एक x तथा y में एक बहुपद हो तो विशिष्ट समाकल \frac{1}{F(D,D^{\prime})} के संगत गुणनखण्ड को D तथा D’ की आरोही (ascending) घातों में प्रसार कर ज्ञात किया जा सकता है। \frac{1}{D} से तात्पर्य f(x,y) का x के सापेक्ष समाकलन करना होता है जबकि \frac{1}{D^{\prime}} से इसका y के सापेक्ष समाकलन करना होता है।
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2.समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करने के उदाहरण (Particular Integral of Homogeneous PDE Examples),समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल के प्रश्न और उत्तर (Particular Integral of Homogeneous Partial Differential Equation Questions and Answers):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example-1.\left(D^{2}-D^{2}\right) z=x-y
Solution–\left(D^{2}-D^{2}\right) z=x-y
इसका सहायक समीकरण होगा

\left(m^{2}-1\right)=0 \\ \Rightarrow(m-1)(m+1)=0 \\ \Rightarrow m=1,-1 \\ C.F=\phi_{1}(y-x)+\phi_{2}(y+x)
पुनः P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}-D^{\prime^{2}}\right)}(x-y) \\ =\frac{1}{D^{2}\left(1-\frac{D^{\prime^{2}}}{D^{2}} \right)}(x-y) \\ =\frac{1}{D^{2}}\left(1-\frac{D^{\prime^{2}}}{D^{2}}\right)^{-1}(x-y) \\=\frac{1}{D^{2}}\left[1 +\frac{D^ {\prime^{2}}}{D^{2}}+\cdots\right](x-y) \\ =\frac{1}{D^{2}}(x-y) \\ =\frac{1}{6} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2} y
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा

z=\phi_{1}(y-x)+\phi_{2}(y+x)+\frac{1}{6} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2} y
Example-2.\left(D^{2}-6 D D^{\prime}+9 D^{\prime^{2}}\right) z=12 x^{2}+36 x y
Solution–\left(D^{2}-6 D D^{\prime}+9 D^{\prime^{2}}\right) z=12 x^{2}+36 x y
इसका सहायक समीकरण होगा

\left(m^{2}-6 m+9\right)=0 \\ \Rightarrow \left(m^{2}-3 m-3 m+9\right)=0 \\ \Rightarrow m(m-3)-3(m-3)=0 \\ \Rightarrow \left(m-3\right)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=3,3 \\ C.F = \phi_{1}(y+3 x)+x \phi_{2}(y+3 x)
पुनः P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}-6 D D^{\prime}+9 D^{\prime^{2}}\right)}\left(12 x^{2}+36 x y\right) \\ =\frac{1}{\left(D-3 D^{\prime}\right)^{2}}\left(12 x^{2}+36 x y\right) \\ =\frac{1}{\left(D-3 D^{\prime}\right)} \int\left[12 x^{2}+36 x\left(c_{1}-3 x\right)\right] d x \\ =\frac{1}{(D-3 D^{\prime})}\left[12 x^{2}+36 c_{1}x-108 x^{2}\right] d x \\ =\frac{1}{(D-D^{\prime})} \int\left[36 c_{1} x-96 x^{2}\right] d x \\ =\frac{1}{(D-D^{\prime})}\left(18 c_{1} x^{2}-32 x^{3}\right) \\ =\frac{1}{(D-D^{\prime})}\left[18(y+3 x) x^{2}-32 x^{3}\right)[\because c_{1}=3 x+y] \\ =\frac{1}{\left(D-D^{\prime} \right)}\left[18 x^{2} y+54 x^{3}-32 x^{3}\right]\\ =\frac{1}{\left(D-D^{\prime}\right)}\left[18 x^{2} y+22 x^{3}\right]\\ =\int\left[18 x^{2}(c_{2}-3 x)+22 x^{3}\right] d x\\=\int\left[18 c_{2} x^{2}-54 x^{3}+22 x^{3}\right] d x\\ =\int\left[18 c_{2} x^{2}-32 x^{3}\right] d x \\ =6c_{2} x^{3}-8 x^{4} \\ =6(3 x+y) x^{3}-8 x^{4}\left[c_{2}=3 x+y\right] \\ =18 x^{4}+6 x^{3} y-8 x^{4} \\ P.I =10 x^{4}+6 x^{3} y
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा

z =C.F+P.I. \\ \Rightarrow z =\phi_{1}(y+3 x)+x \phi_{2}(y+3 x)+10 x^{4}+6 x^{3} y
Example-3. \left(D^{2}-2 D D^{\prime}+D^{\prime^{2}}\right) z=12 x y
Solution–\left(D^{2}-2 D D^{\prime}+D^{\prime^{2}}\right) z=12 x y
इसका सहायक समीकरण होगा

m^{2}-2 m+1=0 \\ \Rightarrow(m-1)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=1,1 \\C.F=\phi_{1}(y+x)+x \phi_{2}(y+x)
पुनः P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}-2 D D^{\prime}+D^{\prime^{2}}\right)} 12 x y \\ =\frac{1}{\left(D-D^{\prime} \right)^{2}} 12 xy \\ = \iint[12 x(c_{1}-x) d x] d x \\ =\iint\left(12 c_{1} x-12 x^{2}\right) d x d x \\ =2 c_{1} x^{3}-x^{4} \\ =2(x+y) x^{3}-x^{4}[c_{1}=x+y] \\ =2 x^{4}+2 x^{3} y-x^{4} \\ \Rightarrow P.I.=2 x^{3} y+x^{4}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा

z=C.F + P.I\\ z=\phi_{1}(y+x)+x \phi_{2}(y+x)+2 x^{3} y+x^{4}
Example-4.r+(a+b)s+abt=xy
Solution-r+(a+b) s+abt=x y
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता है-

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+(a+b) \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+a b \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=x y \\ \Rightarrow\left[D^{2}+(a+b) D D^{\prime}+a b D^{\prime^{2}}\right]=x y
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण होगा-

m^{2}+(a+b)m+ab=0 \\ \Rightarrow m =\frac{-(a+b) \pm \sqrt{(a+b)^{2}-4 \times 1 \times a b}}{2 \times 1} \\ \Rightarrow m =-\frac{(a+b) \pm \sqrt{a^{2}+2 a b+b^{2}-4 a b}}{2} \\ \Rightarrow m =-\frac{(a+b) \pm \sqrt{a^{2}-2 a b+b^{2}}}{2} \\ =\frac{-(a+b) \pm \sqrt{(a-b)^{2}}}{2} \\ =\frac{-(q+b) \pm(a-b)}{2} \\ =-\frac{(a+b)+(a-b)}{2}, \frac{-(a+b)-(a-b)}{2} \\ =\frac{-a-b+a-b}{2}, \frac{-a-b-a+b}{2} \\ \Rightarrow m =-b,-a \\ C.F=\phi_{1}(y-a x)+\phi_{2}(y-b x)
पुनः P.I =\frac{1}{\left(D+b D^{\prime}\right)\left(D+a D^{\prime}\right)} x y \\ =\frac{1}{(D+b D^{\prime})} \int x(c_{1}+a x) d x \\ =\frac{1}{\left(D+b D^{\prime}\right)} \int\left(c_{1} x+a x^{2} \right)d x \\ =\frac{1}{(D+b D^{\prime})}\left(c_{1} \frac{x^{2}}{2}+\frac{a x^{3}}{3}\right) \\  =\frac{1}{\left(D+b D^{\prime}\right)} \left[(y- a x) \cdot \frac{x^{2}}{2}+\frac{a x^{3}}{3}\right]\left[c_{1}=y-a x\right] \\ =\frac{1}{\left(D+b D^{\prime} \right)}\left[\frac{1}{2} x^{2} y-\frac{1}{2} x^{3}+\frac{1}{3} a x^{3}\right] \\=\int\left[\frac {1}{2} x^{2}\left(c_{2}+b x\right)-\frac{1}{6} a x^{3}\right] d x \\ =\int\left[\frac{1}{2} c_{2} x^{2}+\frac{1}{2} b x^{3}-\frac{1}{6} a x^{3}\right] d x \\ =\frac{1}{6} c_{2} x^{3}+\frac{1}{8} b x^{4}-\frac{1}{24} a x^{4} \\ =\frac{1}{6}(y-b x) x^{3}+\frac{1}{8} b x^{4}-\frac{1}{24} a x^{4}\left[\because c_{2}=y-b x\right] \\ =\frac{1}{6} x^{3} y+\frac{1}{6} b x^{4}+\frac{1}{8} b x^{4}-\frac{1}{24} a x^{4} \\ \Rightarrow P.I.=\frac{1}{6} x^{3} y-\frac{1}{24} b x^{4}-\frac{1}{24} a x^{4} \\ P.I=\frac{1}{6} x^{3} y-\frac{1}{24}(a+b) x^{4}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा

z =C.F.+P.I. \\ =\phi_{1}(y-a x)+\phi_{2}(y-b x)+\frac{1}{6} x^{3} y-\frac{1}{24}(a+b) x^{4}

Particular Integral of Homogeneous PDE

Example-5.\left(D^{2} D^{\prime}-2 D D^{\prime^{2}}+D^{\prime^{3}}\right) z=\frac{1}{x^{3}}
Solution–\left(D^{2} D^{\prime}-2 D D^{\prime^{2}}+D^{\prime^{3}}\right) z=\frac{1}{x^{3}}
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण होगा

m-2 m^{2}+m^{3}=0 \\ \Rightarrow m\left(1-2 m+m^{2}\right)=0 \\ \Rightarrow m(1-m)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=0,1,1 \\ C \cdot F \cdot=\phi_{1}(y)+\phi_{2}(y+x)+y \phi_{3}(y+x)
पुनः P \cdot I. =\frac{1}{\left(D^{2} D^{\prime}-2 D D^{\prime^{2}}+D^{\prime^{3}}\right)} \left( \frac{1}{x^{3}} \right) \\ =\frac{1}{D^{\prime}\left(D^{2}-2 D D^{\prime}+D^{\prime^{2}}\right)} \left( \frac{1}{x^{3}}\right) \\ =\frac{1}{D^{2} D^{\prime}\left(1-\frac{2 D^{\prime}}{D}+\frac{D^{\prime^{2}}}{D^{2}}\right)}\left(\frac{1}{x^{3}}\right) \\ =\frac{1}{D^{2} D^{\prime}}\left[1-\left(\frac{2 D^{\prime}}{D}-\frac{D^{\prime^{2}}}{D^{2}}\right) \right]^{-1} \left( \frac{1}{x^{3}}\right) \\ =\frac{1}{D^{2} D^{\prime}}\left[1+\frac{2 D^{\prime}}{D}-\frac{D^{\prime^{2}}}{D^{2}}+ \cdots \right]\left(\frac{1}{x^{3}}\right) \\ =\frac{1}{D^{2} D^{\prime}}\left(\frac{1}{x^{3}}\right) \\ =\frac{1}{D^{2}} \left(\frac{y}{x^{3}}\right) \\ \Rightarrow P.I. =\frac{y}{2 x}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा

z=C \cdot F \cdot+P \cdot I \\ \Rightarrow z =\phi_{1}(y)+\phi_{2}(y+x)+y \phi_{3}(y+x)+\frac{y}{2 x}
Example-6.\left(D^{2}+5 D D^{\prime}+6 D^{\prime^{2}}\right) z=\frac{1}{y-2 x}
Solution–\left(D^{2}+5 D D^{\prime}+6 D^{\prime^{2}}\right) z=\frac{1}{y-2 x}
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण होगा

m^{2}+5 m+6=0 \\ \Rightarrow m^{2}+3 m+2 m+6=0 \\ \Rightarrow m(m+3)+2(m+3)=0 \\ \Rightarrow(m+2)(m+3)=0 \\ \Rightarrow m=-2,-3 \\ C \cdot F=\phi_{1} (y-2 x)+\phi_{2}(y-3 x)
पुनः P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}+5 D D^{\prime}+6 D^{\prime^{2}}\right)}\left(\frac{1}{y-2 x}\right) \\ =\frac{1}{\left(D+2 D^{\prime}\right)\left(D+3 D^{\prime}\right)} \cdot\left(\frac{1}{y-2 x}\right) \\ =\frac{1}{\left(D+3 D^{\prime} \right)} \int\left(\frac{1}{c_{1}+2 x-2 x}\right) d x \\ =\frac{1}{\left(D+3 D^{\prime}\right)} \int \frac{1}{c_{1}} d x \\ =\frac{1}{\left(D+3 D^{\prime}\right)} \frac{x}{c_{1}} \\ =\frac{1}{(D+3 D^{\prime})} \cdot \frac{x}{y-2 x}[\because c_{1}=y-2 x] \\ =\int \frac{x}{\left(c_{2}+3 x-2 x\right)} d x \\ =\int \frac{x}{c_{2}+x} d x \\ =\int d x-c_{2} \int \frac{1}{c_{2}+x} d x \\ =x-c_{2} \log \left(c_{2}+x\right) \\ \Rightarrow P.I=x-(y-3 x) \log (y-3 x+x)\left[c_{2}=y-3 x\right] \\ \Rightarrow P.I.=x-(y-3 x) \log (y-2 x)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा-

z=\phi_{1}(y-2 x)+\phi_{2}(y-3 x)+x-(y-3 x) \log (y-2 x)
Example-7.\left(D^{3}-4 D^{2} D^{\prime}+4 D D^{\prime^{2}}\right) z=\cos (y+2 x)
Solution–\left(D^{3}-4 D^{2} D^{\prime}+4 D D^{\prime^{2}}\right) z=\cos (y+2 x)
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण होगा-

m^{3}-4 m^{2}+4 m=0 \\ \Rightarrow m\left(m^{2}-4 m+4\right)=0 \\ \Rightarrow m(m-2)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=0,2,2 \\ \text { C.F. }=\phi_{1}(y)+\phi_{2}(y+2 x)+\phi_{3}(y+2 x)
पुनः \text { P. I. } =\frac{1}{\left(D^{\prime}-4 D^{2} D^{\prime}+4 D D^{\prime^{2}}\right)} \cos (y+2 x) \\ =\frac{1}{D\left(D-2 D^{\prime}\right)^{2}} \cos (y+2 x) \\ =\frac{1}{\left(D-2 D^{\prime} \right)^{2}}\left[\frac{1}{D} \cos (y+2 x)\right] \\ =\frac{1}{\left(D-2 D^{\prime}\right)^{2}} \int \cos \left(c_{1}+2 x\right) d x \\=\frac{1}{\left(D-2 D^ {\prime} \right)^{2}} \frac{1}{2} \sin \left(c_{1}+2 x\right) \\ =\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D-2 D^{\prime}\right)^{2}} \sin (y+2 x)\left[y= c_{1}\right] \\ =\frac{1}{2} \iint \sin \left(c_{1}-2 x+2 x\right) d x d x \\ =\frac{1}{2} \iint \sin c_{1} d x d x \\ =\frac{1}{4} x^{2} \sin c_{1} \\ P . I =\frac{1}{4} x^{2} \sin (y+2 x)[c_{1}=y+2 x]
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा-

z=\phi_{1}(y)+\phi_{2}(y+2 x)+\phi_{3}(y+2 x)+\frac{1}{4} x^{2} \sin (y+2 x)
Example-8.\left(D^{2}+5 D D^{\prime}+5 D^{\prime^{2}}\right) z=x \sin (3 x-2 y)
Solution–\left(D^{2}+5 D D^{\prime}+5 D^{\prime^{2}}\right) z=x \sin (3 x-2 y)
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण होगा-

m^{2}+5m+5=0 \\ m=\frac{-5 \pm \sqrt{25-4 \times 5}}{2} \\ \Rightarrow m=-\frac{5 \pm \sqrt{5}}{2} \\ C.F=\phi_{1}\left(y+\frac{1}{2}(-5+\sqrt{5}) x\right]+\phi_{2}\left[y+\frac{1}{2}(-5-\sqrt{5}) x\right]
पुनः \text { P.I. } =\frac{1}{\left(D^{2}+5 D D^{\prime}+5 D^{\prime^{2}}\right)} x \sin (3 x-2 y) \\ =\frac{1}{\left[D +\left(\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right) D^{\prime}\right]\left[D+\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2} \right) D^{\prime}\right]} x \sin (3 x-2 y) \\ =\frac{1}{\left[D+\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right) D^{\prime}\right]} \int x \sin \left[3 x-2\left(c_{1} +\left(\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right) x\right)\right] d x \\ =\frac{1}{\left[D+\left(\frac{5 +\sqrt{5}}{2}\right) D^{\prime}\right]} \int x \sin \left((-2+\sqrt{5}) x-2 c_{1}\right) d x \\ =\frac{1}{[D+(\frac{5+\sqrt{5}}{2})D^{\prime}]} \begin{pmatrix} -\frac{x}{(\sqrt{5}-2)} \cos \left \{ (-2+\sqrt{5}) x-2c_{1} \right \}\\+\frac{1}{(\sqrt{5}-2)^{2}} \sin \left \{ (-2+\sqrt{5}) x-2c_{1} \right \} \end{pmatrix} \\ =\frac{1}{\left[D+\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right) D^{\prime}\right]}\left[-\frac{x}{(\sqrt{5}-2)} \cos (3 x-2 y)+\frac{1}{(\sqrt{5}-2) ^{2}} \sin (3 x-2 y)\right] \\ \because c_{1}=y-\left(\frac{5-\sqrt{5}}{2} \right) \\ =\int-\frac{x}{(\sqrt{5}-2)} \cos \left[3 x-2\left(c_{2}+\left(\frac{5 +\sqrt{5}}{2}\right) x\right)\right] d x + \frac{1}{(\sqrt{5}-2)^{2}} \int \sin \left[3 x-2\left(c_{2} +\frac{5+ \sqrt{5}}{2}\right) x\right] dx \\ =\int-\frac{x}{\sqrt{5}-2} \cos \left \{ (2+\sqrt{5}) x+2 c_{2} \right \} d x-\frac{1}{(\sqrt{5}-2)^{2}} \int \sin \left \{ (2+\sqrt{5}) x+2 c_{2} \right \} d x \\  =-\frac{x}{(\sqrt{5} -2)(\sqrt{5}+2)} \sin \left[(2+\sqrt{5}) x+2 c_{2}\right]-\frac{\cos \left \{ (2+\sqrt{5}) x+2 c_{2} \right \}}{(\sqrt{5} -2)(\sqrt{5}+2)^{2}}+\frac{\cos \left \{ (2+\sqrt{5}) x+2 c_{2} \right \}}{(\sqrt{5}-2)^{2}(\sqrt{5} +2)}\\ =x \sin (3 x-2 y)-\frac{\cos (3 x-2 y)}{(\sqrt{5}+2)}+\frac{\cos (3 x-2 y)}{(\sqrt{5}-2)} \left[c_{2}=y-\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right) x\right]\\ P.I =x \sin (3 x-2 y)+4 \cos (3 x-2 y)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा-

z=\phi_{1} \left[y+\frac{1}{2}(-5+\sqrt{5})\right] x+\phi_{2}\left[y+\frac{1}{2}(-5-\sqrt{5}) x\right]+x \sin (3x-2 y)+4 \cos (3 x-2 y)
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करना (Particular Integral of Homogeneous PDE),समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल (Particular Integral of Homogeneous Partial Differential Equation) के बारे में बताया गया है।

3.समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की समस्याएं (Particular Integral of Homogeneous PDE Problems):

Particular Integral of Homogeneous PDE

निम्नलिखित आंशिक अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following partial differential equations):

\text { (1) } r+s-6 t=y \cos x \\ \text { (2) }\left(D^{2}+D D^{\prime}-2 D^{\prime^{2}}\right) z=(y-1) e^{x} \\ \text { (3) }\left(D^{2}-D D^{\prime}-2 D^{\prime^{2}}\right)=\left(2 x^{2}+x y-y^{2} \right) \sin x y-\cos x y \\ \text { (4) } r-t=\tan ^{3} x \tan y-\tan x \tan ^{3} y
उत्तर (Answers): (1) z=\phi_{1}(y-3 x)+\phi_{2}(y+2 x)-y \cos x+\sin x \\ (2)z=\phi_{1} (y+2 x)+\phi_{2}(y-x)+y e^{x} \\ (3)z=\phi_{1}(y+2 x)+\phi_{2}(y-x) \\ (4) z=\phi_{1}(y+x)+\phi_{2}(y-x) +\frac{1}{2} \tan x \tan y
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करना (Particular Integral of Homogeneous PDE),समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल (Particular Integral of Homogeneous Partial Differential Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करने (Particular Integral of Homogeneous PDE) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Particular Integral of Homogeneous PDE

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करना (Particular Integral of Homogeneous PDE),समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल (Particular Integral of Homogeneous Partial Differential Equation) के बारे में जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।