1.PDE में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की लघु विधि (Particular Integral by short Method in PDE),आंशिक अवकलन समीकरण में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की लघु विधि (Particular Integral by short Method in partial differential equation):

Particular Integral by short Method in PDE

PDE में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की लघु विधि (Particular Integral by short Method in PDE):यदि अवकल समीकरण F(D,D’)=f(x,y) में फलन f(x,y),\phi(a x+b y) रूप में हो तो इसके संगत विशिष्ट समाकल अर्थात्

z=\frac{1}{F\left(D, D^{\prime}\right)} \phi(a x+b y)
द्वारा व्यापक विधि की अपेक्षा सरल विधि से ज्ञात किया जा सकता है।
स्थिति:I.जबकि (When) F(a, b) \neq 0
उत्तरोत्तर अवकलन से हम जानते हैं कि

D \phi(a x+b y)=a \phi^{\prime}(a x+b y) \\ D^{\prime} \phi(a x+b y)=b \phi^{\prime}(a x+b y) \\ D^{2} \cdot \phi(a x+b y)=a^{2} \phi^{\prime \prime}(a x+b y) \\ D^{\prime \prime} \phi(a x+b y)=b^{2} \phi^{\prime \prime}(a x+b y)
व्यापक रूप में

D^{\prime \prime} \phi(a x+b y)=a^{m} \phi^{m}(a x+b y) \\ D^{\prime^{m}} (a x+b y)=b^{m} \phi^{m}(a x+b y) \\ D^{\prime} D^{\prime} \phi(a x+b y)=a^{r} b^{s} \phi^{r+s} (a x+b y) \\ F\left(D, D^{\prime}\right) \phi(a x+b y)=F(a, b) \phi^{n}(a x+b y) \cdots(1)
जहां \phi^{n}, \phi का (ax+by) के सापेक्ष n वां अवकलज है तथा n,F(D,D’) की घात (degree) है।चूंकि F(D,D’) एक n घात का समघात फलन हैं अतः इसमें D की जगह a तथा D’ की जगह b रखकर (1) के दाहिने पक्ष का F(a,b) प्राप्त किया जा सकता है।
अब (1) के दोनों पक्षों पर \frac{1}{F\left(D, D^{\prime}\right)} की संक्रिया करने तथा इसको F(a,b) से विभाजित करने पर

\frac{1}{F(D, D^{\prime})} \phi^{n}(a x+b y)=\frac{1}{F(a, b)} \phi(a x+b y) \cdots(2)
बशर्ते F(a, b) \neq 0
(2) में ax+by=u प्रतिस्थापित करने पर-

\frac{1}{F(D, D^{\prime})} \phi^{n}(u)=\frac{1}{F(a, b)}, \phi(u)
अब इसके दोनों पक्षों का u के सापेक्ष n बार समाकलन करने पर-

\frac{1}{F(D, D^{\prime})} \phi(u)=\frac{1}{F(a, b)} \iint \ldots \int \phi(u) du \cdot d u
या z=\frac{1}{F(a, b)} \iint \cdots \int \phi(u) d u \cdots d u \cdots(3)
जहां u=ax+by
क्रियाविधि (Working Rule): समीकरण F\left(D, D^{\prime}\right) z=\phi(a x+b y) का विशिष्ट समाकल ज्ञात करने के लिए हम \phi(a x+b y) में ax+by=u रखकर इसका u के सापेक्ष n बार समाकलन कर इसको F(a,b) से विभाजित करते हैं,जहां F(D,D’) एक n घात का समघात फलन है तथा F(a, b) \neq 0
स्थिति:II.जबकि (When) F(a,b)=0
यदि F(a,b)=0 हो तो स्थिति के अनुसार विशिष्ट समाकल का मान अनन्त हो जाता है अर्थात् स्थिति I में बतायी गई विधि असफल हो जाती है।
ऐसी स्थिति में,यह स्पष्ट है कि F(D,D’) का कम से कम गुणनखण्ड (bD-aD’) होगा।अब हम पहले उस स्थिति का अध्ययन करेंगे जबकि F(D,D’) का केवल एक गुणनखण्ड (bD-aD’) हो तथा बाद में इसका व्यापकीकरण करेंगे।
मान लो F\left(D, D^{\prime}\right)=\left(b D-a D^{\prime}\right)^{r} G\left(D, D^{\prime}\right)
जहां G(a, b) \neq 0
अब यदि हम \left(b D-a D^{\prime}\right) z=\psi(a x+b y) लें तब

b \frac{\partial z}{\partial x}-a \frac{\partial z}{\partial y}=\psi(a x+b y)
या b p-a q=\psi(a x+b y)
जो कि लैग्रांज का रैखिक समीकरण है अतः इसके सहायक समीकरण होंगे

\frac{d x}{b}=\frac{d y}{-a}=\frac{d z}{\psi(a x+b y)} \cdots(4)
अब (4) के प्रथम दो पदों से

a x+b y=c_{1} \cdots(5)
पुनः (4) के प्रथम एवं तृतीय पदों से-
\frac{d x}{b}=\frac{d z}{\psi(c_{1})} [(5) के प्रयोग से]
\Rightarrow z=\frac{\psi(c_{1})}{b} x \\ \Rightarrow z=\frac{x}{b} \psi(a x+b) [ c_{1} का मान रखने पर]

\therefore z=\frac{b}{b D-a D^{\prime}} \psi(a x+b y)=\frac{x}{b} \psi(a x+b y)
इसी प्रकार उपर्युक्त विधि को बार-बार काम में लेने पर

z =\frac{1}{\left(b D-a D^{\prime}\right)^{r}} \psi(a x+b y) \\ =\frac{x^{r}}{r! b^{r}} \psi(a x+b y)
अतः यदि F\left(D, D^{\prime}\right)=\left(b D-a D^{\prime}\right)^{r} G\left(D, D^{\prime}\right) हो तो विशिष्ट समाकल निम्न द्वारा दिया जा सकता है:

z =\frac{1}{\left(b D-a D^{\prime}\right)^{r} G\left(D, D^{\prime}\right)} \psi(a x+b y) \\ \therefore z =\frac{1}{(b-a D^{\prime})^{r}} \psi(ax+b y) \\ =\frac{x^{r}}{r! b^{r}} \psi(a x+b y) \cdots(6)
जहां \frac{1}{G(D, D^{\prime})} \phi(a x+b y)=\psi(a x+b y) \quad \left[ G(a, b) \neq 0\right]
क्रियाविधि (Working Method):
समीकरण F\left(D, D^{\prime}\right) z=\phi(a x+b y) का विशिष्ट समाकल ज्ञात करने के लिए पहले हम स्थिति I के अनुसार सूत्र (3) का प्रयोग कर

\frac{1}{G\left(D, D^{\prime}\right)} \phi(a x+b y)
का मान ज्ञात करते हैं इसके पश्चात् सूत्र (6) का प्रयोग करते हैं, जहां
F(D, D^{\prime})=\left(b D-a D^{\prime}\right)^{r} G\left(D, D^{\prime}\right) है तथा G(a, b) \neq 0
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2.PDE में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की लघु विधि के उदाहरण (Particular Integral by short Method in PDE Examples),आंशिक अवकल समीकरण के हल किए हुए उदाहरण (Partial Differential Equations Solved Examples),आंशिक अवकल समीकरण समस्याएं और हल (Partial Differential Equations Problems and Solutions):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:1.\left(D+D^{\prime}\right) z=\sin x
Solution:\left(D+D^{\prime}\right) z=\sin x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

m+1=0 \Rightarrow m=-1 \\ C \cdot F=\phi(y-x)
पुनः P.I.=\frac{1}{D+D^{\prime}} \sin x \\ =\frac{1}{1+0} \int \sin u  जहां u=x+0 y
=-\cos u \\ \Rightarrow P.I.=-\cos x
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
z=C.F.+P.I.

z=\phi(y-x)-\cos x
Example:2.\left(D^{2}-2 D D^{\prime}+D^{\prime^{2}}\right) z=e^{x+2 y}
Solution:\left(D^{2}-2 D D^{\prime}+D^{\prime^{2}}\right) z=e^{x+2 y}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

m^{2}-2 m+1=0 \\ \Rightarrow(m-1)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=1,1 \\ C.F.=\phi_{1}(y+x)+x \phi_{2}(y+x)
पुनः P.I. =\frac{1}{D^{2}-2 D D^{\prime}+D^{\prime^{2}}} e^{x+2 y} \\ =\frac{1}{1^{2}-2(1)(2)+2^{2}} \iint e^{u} du du जहां u=x+2y
=\int e^{u} d u \\ =e^{u} \\ \Rightarrow P \cdot I. =e^{x+2 y}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
z=C.F.+P.I.

\Rightarrow z=\phi_{1}(y+x)+x \phi_{2}(y+x)+e^{x+2 y}
Example:3.\left(D^{3}-3 D^{2} D^{\prime}+3 D D^{\prime^{2}}+D^{\prime^{3}}\right) z=e^{2 x+y}
Solution:\left(D^{3}-3 D^{2} D^{\prime}+3 D D^{\prime^{2}}+D^{\prime^{3}}\right) z=e^{2 x+y}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

m^{3}-3 m^{2}+3 m-1=0 \\ \Rightarrow (m-1)^{3}=0 \\ \Rightarrow m=1,1,1 \\C. F .=\phi_{1}(y+x)+x^{2} \phi_{2}(y+x)+x^{2} \phi_{3}(y+x)
पुनः P.I. =\frac{1}{D^{3}-3 D^{2} D^{\prime}+3 D D^{\prime^{2}}-D^{\prime^{3}}} e^{2 x+y} \\ =\frac{1}{\left(D-D^{\prime}\right)^{3} } e^{2 x+y} \\ =\frac{1}{(2-1)^{3}} \iiint e^{u} d u d u d u जहां u=2x+y
=\iint e^{u} d u d u \\ =\int e^{u} d u \\ \Rightarrow P.I.=e^{u} \\ \Rightarrow P.I.=e^{2 x+y}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
z=C.F.+P.I.

\Rightarrow z=\phi_{1}(y+x)+x \phi_{2}(y+x)+x^{2} \phi_{3} (y+x)+e^{2 x+y}
Example:4.\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=30(2 x+y)
Solution:\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=30(2 x+y) \\ \Rightarrow\left(D^{2}+D^{\prime^{2}}\right) z=30(2 x+y)
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

m^{2}+1=0 \\ \Rightarrow m=\pm i \\ C \cdot F=\phi_{1}(y+i x)+\phi_{2}(y-i x)
पुनः P \cdot I =\frac{1}{\left(D^{2}+D^{\prime^{2}}\right)} 30(2 x+y) \\ =\frac{30}{\left(2^{2}+1^{2}\right)} \iint u d u d u जहां u=2x+y
=\frac{30}{5} \int\left(\frac{u^{2}}{2}\right) d u \\ =\frac{6}{2}\left(\frac{u^{3}}{3}\right) \\ =u^{3} \\ P \cdot I. =(2 x+y)^{3}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
z=C.F.+P.I.

z=\phi_{1}(y+i x)+\phi_{2}(y-i x)+(2 x+y)^{3}

Particular Integral by short Method in PDE

Example:5.\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=2 x+3 y
Solution:\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2} y}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=2 x+3 y \\ \Rightarrow\left(D^{2}+2 D D^{\prime}+D^{\prime^{2}}\right)=2 x+3 y
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

m^{2}+2 m+1=0 \\ \Rightarrow (m+1)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=-1,-1 \\ C.F.=\phi_{1}(y-x)+x^{2} \phi_{2}(y-x)
पुनः P \cdot I \cdot=\frac{1}{D^{2}+2 D D^{\prime}+D^{\prime^{2}}}(2 x+3 y) \\ =\frac{1}{\left(D+D^{\prime} \right)^{2}}(2 x+3 y) \\ =\frac{1}{(2+3)^{2}} \iint u d u d u जहां u=2x+3y
=\frac{1}{25} \int\left(\frac{u^{2}}{2}\right) d u \\ =\frac{1}{50} \int u^{2} d u \\ =\frac{1}{50} \cdot \frac{u^{3}}{3} \\ =\frac{1}{150} u^{3} \\ \Rightarrow P \cdot I =\frac{1}{150}(2 x+3 y)^{3}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
z=C.F.+P.I.

\Rightarrow z=\phi_{1}(y-x)+x^{2} \phi_{2}(y-x)+\frac{1}{150}(2 x+3 y)^{3}
Example:6.\left(D^{2}+D D^{\prime}-2 D^{\prime^{2}}\right) z=\sqrt{2 x+y}
Solution:\left(D^{2}+D D^{\prime}-2 D^{\prime^{2}}\right) z=\sqrt{2 x+y}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

m^{2}+m-2=0 \\ \Rightarrow m^{2}+2 m-m-2=0 \\ \Rightarrow m(m+2)-1(m+2)=0 \\ \Rightarrow(m-1)(m+2)=0 \\ \Rightarrow m=1,-2 \\ C \cdot F=\phi_{1}(y+x)+\phi_{2}(y-2 x)
पुनः P \cdot I=\frac{1}{D^{2}+D D^{\prime}-2 D^{\prime^{2}}} \sqrt{(2 x+y)} \\ =\frac{1}{\left(D-D^{\prime}\right)(D+2 D^{\prime})} \sqrt{(2 x+y)}\\ =\frac{1}{(D-D^{\prime})} \cdot \frac{1}{(2+2 \times 1)} \int \sqrt{u} d u जहां u=2x+y
=\frac{1}{\left(D-D^{\prime}\right)} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot u^{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow P \cdot I.=\frac{1}{6\left(D-D^{\prime}\right)}(2 x+y)^{\frac{3}{2}} \\ =\frac{1}{6(2-1)} \int u^{\frac{3}{2}} d u जहां u=2x+y

=\frac{1}{6} \cdot\left(\frac{2}{5}\right) u^{\frac{5}{2}} \\ \Rightarrow P \cdot I =\frac{1}{15}(2 x+y)^{\frac{5}{2}}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
z=C.F.+P.I.

\Rightarrow z =\phi_{1}(y+x)+\phi_{2}(y-2 x)+\frac{1}{15}(2 x+y)^{\frac{5}{2}}
Example:7.\left(D^{2}-5 D D^{\prime}+4 D^{\prime^{2}}\right) z=\sin (4 x+y)
Solution:\left(D^{2}-5 D D^{\prime}+4 D^{\prime^{2}}\right) z=\sin (4 x+y)
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

m^{2}-5 m+4=0 \\ \Rightarrow m^{2}-4 m-m+4=0 \\ \Rightarrow m(m-4)-1(m-4)=0 \\ \Rightarrow(m-1)(m-4)=0 \\ \Rightarrow m=1,4 \\ \text { C.F. }=\phi_{1}(y+x)+\phi_{2}(y+4 x)
पुन: P. I. =\frac{1}{\left(D^{2}-5D D^{\prime}+4 D^{\prime^{2}}\right)} \sin (4 x+y) \\ =\frac{1}{\left(D-4 D^{\prime}\right)\left(D-D^{\prime}\right)} \sin (4 x+y) \\ =\frac{1}{\left(D-4 D^{\prime}\right)(4-1)} \int \sin u d u  जहां  u=4x+y
=\frac{1}{3\left(D-4 D^{\prime}\right)}(-\cos u) \\ =\frac{1}{3\left(D-4 D^{\prime}\right)}(-\cos u) \\ =-\frac{1}{3\left(D-4 D^{\prime}\right)} \cos (4 x+y) \\ =-\frac{1}{3} \cdot \frac{x}{1 !(1)} \cos (4 x+y) \\ P \cdot I. =-\frac{x}{3} \cos (4 x+y)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
z=C.F.+P.I.

\Rightarrow z=\phi_{1}(y+x)+\phi_{2}(y+4 x)-\frac{x}{3} \cos (4 x+y)
Example:8.\left(D^{2}-2 D D^{\prime}+D^{\prime^{2}}\right) z=\tan (y+x)
Solution:\left(D^{2}-2 D D^{\prime}+D^{\prime^{2}}\right) z=\tan (y+x)
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा-

m^{2}-2 m+1=0 \\ \Rightarrow(m-1)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=1,1 \\ C.F=\phi_{1}(y+x)+x \phi_{2}(y+x)
पुनः P.I.=\frac{1}{\left(D-D^{\prime}\right)^{2}} \tan (y+x) \\ =\frac{x^{2}}{2 !(1)^{2}} \tan (y+x) \\ \Rightarrow P \cdot I. =\frac{x^{2}}{2} \tan (y+x)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
z=C.F.+P.I.

\Rightarrow z =\phi_{1}(y+x)+x \phi_{2}(y+x)+\frac{1}{2} x^{2} \tan (y+x)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा PDE में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की लघु विधि (Particular Integral by short Method in PDE) को समझ सकते हैं।

3.PDE में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की लघु विधि की समस्याएं (Particular Integral by short Method in PDE Problems):

Particular Integral by short Method in PDE

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

\text { (1.) } r-2 s +t=\sin (2 x+3 y) \\ \text { (2.) }\left(D^{2}+2 D D^{\prime}+D^{\prime^{2}}\right) z=e^{2 x+3 y} \\ \text { (3.) } \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=12(x+y) \\ \text { (4) } \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\cos mx \cos ny \\ \text { (5.) }\left(D^{3}-4 D^{2} D^{\prime}+4 D D^{\prime^{2}}\right) z=4 \sin (2 x+y)
उत्तर (Answers): (1 ) Z=\phi_{1}(y+x)+x \phi_{2}(y+x)-\sin (2 x+3 y)\\ (2) z=\phi_{1}(y-x)+x \phi_{2}(y-x)+\frac{1}{25} e^{2 x+3 y}\\ (3.) z=\phi_{1}\left(y+ix\right)+\phi_{2}(y-i x)+(x+y)^{3}\\ (4) z=\phi_{1}(y+i x)+\phi_{2}(y-i x)-\frac{\cos m x \cos n y}{m^{2}+n^{2}}\\ (5) z=\phi_{1}(y)+\phi_{2}(y+2 x)+x \phi_{3}(y+2 x)-x^{2} \cos (2 x+y)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर PDE में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की लघु विधि (Particular Integral by short Method in PDE) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.PDE में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की लघु विधि (Particular Integral by short Method in PDE) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Particular Integral by short Method in PDE

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा PDE में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की लघु विधि (Particular Integral by short Method in PDE) को समझ सकते हैं।