1.पीडीई का रैखिक गुणनखण्डों में बदले जाने के द्वारा विशिष्ट समाकल (Particular Integral by reduce to Linear Factor of PDE),आंशिक अवकल समीकरण का रैखिक गुणनखण्डों में बदले जाने के द्वारा विशिष्ट समाकल (Particular Integral by reduce to Linear Factor of Partial Differential Equation):

Particular Integral by reduce to Linear Factor of PDE

पीडीई का रैखिक गुणनखण्डों में बदले जाने के द्वारा विशिष्ट समाकल (Particular Integral by reduce to Linear Factor of PDE):
पूरक फलन (Complementary Function):मान लो असमघात रैखिक समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

\left(D-m_{1} D^{\prime}-\alpha_{1}\right)\left(D-m_{2} D^{\prime}- \alpha_{2}\right) \ldots \left(D-m_{n} D^{\prime}-\alpha_{n}\right) z=0 \cdots(1)
यहां हमें पूरक फलन ज्ञात करना है अतः हमने दाहिना पक्ष शून्य लिया है।
सर्वप्रथम हम \left(D-m D^{\prime}-\alpha\right) z=0 का हल ज्ञात करेंगे।यहाँ

\left(D-m D^{\prime}-\alpha\right) z=0 \Rightarrow p-m q=\alpha z \cdots (2)
जो कि लैग्रांज का रैखिक समीकरण है,अतः इसके सहायक समीकरण होंगे

\frac{d x}{1}=\frac{d y}{-m} =\frac{d z}{\alpha z} \cdots(3)
(3) के प्रथम दो पदों को लेकर समाकलन करने पर

y+m x=c_{1}

(3) के प्रथम दो पदों को लेकर समाकलन करने पर

z=c_{2} e^{2 x}
अतः (2) का व्यापक हल होगा

z=e^{\alpha x} \phi(y+m x)
जहाँ \phi एक स्वेच्छ फलन है
स्थिति:I.जब गुणनखण्डों की पुनरावृत्ति नहीं हो (When factors are non-repeated):
यदि (1) के सभी गुणनखण्ड भिन्न-भिन्न हो तब

z=e^{\alpha_{1} x} \cdot \phi_{1}\left(y+m_{1} x\right) \quad , z= e^{\alpha_{2} x} \phi_{2}\left(y+m_{2} x\right), \cdots \cdot , z=e^{\alpha_{n} x} \phi_{n}\left(y+m_{n} x\right)
समीकरण (1) के n स्वतन्त्र हल होंगे,जहाँ स्वेच्छ फलन है।अतः

z=e^{\alpha_{1} x} \phi_{1}\left(y+m_{1} x\right)+e^{\alpha_{2} x} \phi_{2}\left(y+m_{2} x\right)+\cdots +e^{\alpha_{n} x} \phi_{n}\left(y+m_{n}x\right) \cdots(5)
समीकरण (1) का व्यापक हल होगा।
स्थिति:II.जब गुणनखण्डों की पुनरावृत्ति हो (When factors are repeated):
यदि एक गुणनखण्ड की दो बार पुनरावृत्ति हो अर्थात्

\left(D-m \cdot D^{\prime}-\alpha\right)^{2} z=0 \ldots(6)
मान लो \left(D-m \cdot D^{\prime}-\alpha\right) z=u तब (6) से

\left(D-m \cdot D^{\prime}-\alpha\right) u=0 \\ \Rightarrow u=e^{\alpha x} \cdot \phi_{1}(y+m x)
पुनः \left(D-m D^{\prime}-\alpha\right) z=e^{\alpha x} \phi_{1}(y+m x) \\ \Rightarrow p-m q=\alpha z+e^{\alpha x} \phi_{1} (y+m x) \ldots(7)
जो कि लैग्रांज का रैखिक समीकरण हैं अतः इसके सहायक समीकरण होंगे

\frac{d x}{1}=\frac{d y}{-m}=\frac{d z}{\alpha z+e^{\alpha x} \phi_{1}(y+m x)} \cdots(8)
अब (8) के प्रथम दो पदों को लेकर समाकलन करने पर:
y+mx=a \cdots (9)
पुनः (8) के प्रथम व अन्तिम पदों को लेने पर:
\frac{d z}{d x}-\alpha z=e^{\alpha x} \phi_{1}(a) [(9) के प्रयोग से]
जो कि एक साधारण रैखिक समीकरण है जिसका समाकलन गुणांक e^{-\alpha x} है अतः इसका हल होगा

ze^{-\alpha x}=\int \phi_{1}(a) d x+\phi_{2}(a) \\ =x \phi_{1}(a)+\phi_{2}(a) \\ \Rightarrow z=e^{\alpha x}\left\{\phi_{2}(y+m x)+x \phi_{1}(y+m x)\right\} \cdots(10)
इसी प्रकार यदि एक गुणनखण्ड की r बार पुनरावृत्ति हो अर्थात् \left(D-m D^{\prime}-\alpha\right)^{r} z=0
हो तब इसका व्यापक हल होगा

z=e^{\alpha x}(\phi_{1}(y+m x)+x \phi_{2}(y+m x)+\cdots+x^{r-1} \phi_{r}(y+m x)) .....(11)
विशिष्ट समाकल (Particular Integral):
असमघात रैखिक समीकरणों के विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की विधियाँ वैसी ही हैं जैसे कि अचर गुणांकों वाले साधारण रैखिक समीकरणों के विशिष्ट समाकलन ज्ञात करने के लिए काम में ली जाती है।नीचे विभिन्न स्थितियों में विशिष्ट समाकल दिए गए हैं।
स्थिति:I.\frac{1}{F\left(D, D^{\prime}\right)} e^{a x+b y}=\frac{1}{F(a, b)} e^{a x+b y} जबकि F(a, b) \neq 0
यहां फलन e^{a x+b y} का उत्तरोत्तर अवकलन करने पर:

D e^{a x+b y}=a e^{a x+b y}, D^{\prime} \cdot e^{a x+b y}=b e^{a x+b y} \\ D^{2} e^{a x+b y}=a^{2} e^{a x+b y}, D^{\prime^{2}} e^{a x+b y}=b^{2} e^{a x+b y}
व्यापक रूप में

D^{m} e^{a x+b y}=a^{m} e^{a x+b y}, D^{\prime^{m}} \cdot e^{a x+b y}= b^{m} e^{a x+b y} \\ D^{r} D^{\prime^{s}} \cdot e^{a x+b y}=a^{r} b^{s} e^{a x+b y} \\ F\left(D, D^{\prime}\right)=e^{a x+b y}=F(a, b) e^{a x+b y}
अब इसके दोनों पक्षों पर \frac{1}{F\left(D, D^{\prime}\right)} की संक्रिया करने तथा इसको F(a,b) से विभाजित करने पर:

F\left(D, D^{\prime}\right) e^{a x+b y}=\frac{1}{F(a, b)} e^{a x+b y}
यदि F(a,b)=0 हो तब हम का मान निम्न प्रकार ज्ञात कर सकते हैं:

\frac{1}{F(D, D^{\prime})} e^{a x+b y}=e^{a x+b y} \frac{1}{F\left(D+a, D^{\prime}+b\right)} \cdots(1)

स्थिति:II.=\frac{1}{F\left(D^{2}, D D^{\prime}, D^{\prime ^{2}}\right)} \sin (a x+b y) \\ =\frac{1}{F\left(-a^{2},-a b, -b^{2}\right)} \sin (a x+b y) जबकि F\left(-a^{2},-a b, -b^{2}\right) \neq 0
यहाँ फलन \sin (a x+b y) का उत्तरोत्तर अवकलन करने पर:

D \sin (a x+b y)=a \cos (a x+b y) \\ D^{\prime} \sin (a x+b y)=b \cos (a x+b y) \\ D^{2} \sin (a x+b y)=-a^{2} \sin (a x+b y) \\ D^{\prime^{2}} \sin (a x+b y)=-b^{2} \cos (a x+b) \\ D D^{\prime} \sin (a x+b y)=-a b \sin (a x+b y) \\ \Rightarrow F\left(D^{2}, D D^{\prime}, D^{\prime 2}\right) \sin (a x+b y)=F\left(-a^{2},-a b,-b^{2}\right) \sin (a x+b y)
अब इसके दोनों पक्षों पर की संक्रिया करने तथा इसको F\left(-a^{2},-a b,-b^{2}\right) से विभाजित करने पर:

\frac{1}{F\left(D^{2}, D D^{\prime}, D^{\prime 2}\right)} \sin (a x+b y)=\frac{1}{F\left(-a^{2},-a b,-b^{2}\right)} \sin (a x+b y)
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि
\frac{1}{F\left(D^{2}, D D^{\prime}, D^{\prime 2}\right)} \cos (a x+b y)=\frac{1}{F\left(-a^{2},-a b,-b^{2}\right)} \cos (a x+b y) जबकि F\left(-a^{2},-a b,-b^{2}\right) \neq 0
यदि F\left(-a^{2},-a b,-b^{2}\right) = 0 हो, तब हम \sin (a x+b y) तथा \cos (a x+b y) का मान निम्न प्रकार से लिखकर ज्ञात कर सकते हैं:

\frac{1}{F\left(D^{2}, D D^{\prime}, D^{\prime 2}\right)} \sin (a x+b y)=I.P \cdot\left\{e^{i(a x+b y)}\right\} \\ \frac{1}{F\left(D^{2}, D D^{\prime}, D^{\prime 2}\right)} \cos (a x+b y)=R.P \cdot\left\{e^{i(a x+b y)}\right\}
स्थिति:III. \frac{1}{F\left(D, D^{\prime}\right)} x^{m} y^{n}=\left\{F\left(D, D^{\prime} \right)\right\}^{-1} x^{m} y^{n}
यहाँ विशिष्ट समाकल का मान, संकारक \left\{F\left(D, D^{\prime}\right)\right\}^{-1} को \frac{D}{D^{\prime}} की बढ़ती हुई घातों में विस्तार कर,यदि m<n हो तो \frac{D^{\prime}}{D} की बढ़ती हुई घातों में विस्तार कर,यदि m>n हो या Dव D’ की घातों में विस्तार कर,ज्ञात किया जा सकता है।m=n हो तो दोनों में से कोई भी एक का विस्तार किया जा सकता है।
स्थिति:IV. \frac{1}{F\left(D, D^{\prime}\right)}\left(e^{a x+b y} \cdot v\right)=e^{a x+b y} \frac{1}{F\left(D+a, D^{\prime}+b\right)}(v)
यदि दिए हुए फलन का उत्तरोत्तर अवकलन करने पर:

D\left(e^{a x+b y} \cdot v\right)= a e^{ax+b y} \cdot v+e^{a x+b y} \cdot D v \\ = e^{a x+b y}(D+a) v \\ D^{2} \left(e^{a x+b y} \cdot v\right) =D\left\{e^{a x+b y}(D+a) v\right\} \\ =a e^{a x+b y} \cdot(D+a) v+e^{a x+b y} D(D+a) v \\ =e^{a x+b y} \cdot(D+a)^{2} V \\................................\\ D^{r}\left(e^{a x+b y} \cdot v\right) =e^{a x+b y} \cdot(D+a)^{r} v
इसी प्रकार D^{\prime^{r}}\left(e^{a x+b y} \cdot v\right)=e^{a x+b y}\left(D+a\right)^{r} V
तथा D^{r} D^{\prime^{s}}\left(e^{a x+b y} \cdot v\right)=e^{a x+b y}(D+a)^{r}\left(D^{\prime} +b\right)^{s} v \\ \therefore F\left(D, D^{\prime}\right)\left(e^{a x+b y} \cdot V\right)=e^{a x+b y} F\left(D+a, D^{\prime}+b\right) v
इससे हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि

\frac{1}{F(D, D^{\prime})}\left\{e^{a x+b y} \cdot v\right\}=e^{a x+b y} \frac{1}{F\left(D+a, D^{\prime}+b\right)}(v)
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2.पीडीई का रैखिक गुणनखण्डों में बदले जाने के द्वारा विशिष्ट समाकल के उदाहरण (Particular Integral by reduce to Linear Factor of PDE Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equation):
Example:1.2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2} y}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}-3 \frac{\partial z}{\partial y}=5 \cos (3 x-2 y)
Solution:2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2} y}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}-3 \frac{\partial z}{\partial y}=5 \cos (3 x-2 y)
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(2 D D^{\prime}+D^{\prime 2}-3 D^{\prime}\right) z=5 \cos (3 x-2 y) \\ \Rightarrow D\left(2 D+D^{\prime} -3\right) z=5 \cos (3 x-2 y) \\C \cdot F \cdot=\phi_{1}(x)+e^{\frac{3 x}{2}} \phi_{2}(2 y-x)
पुनः P \cdot I=\frac{1}{D^{\prime}\left(2 D+D^{\prime}-3\right)} 5 \cos (3 x-2 y) \\ =\left(\frac{5}{-2}\right) \frac{1}{\left(2D+D^{\prime}-3\right)} \sin (3 x-2 y) \\ =\left(-\frac{5}{2}\right) \frac{\left(2 D+D^{\prime}+3\right)}{(2 D+D^{\prime}-3)\left(2 D+D^{\prime}+3\right)} \sin (3 x-2 y) \\ =\left(-\frac{5}{2}\right) \frac{(2 D+D+3)}{\left(2 D+D^{\prime}\right)^{2}-9} \sin (3 x-2 y) \\ =\left(-\frac{5}{2}\right) \frac{\left(2 D+D^{\prime}+3\right)}{4 D^{2}+ D^{\prime^{2}}+4D D^{\prime}-9} \sin (3 x-2 y) \\ =\left(-\frac{5}{2}\right) \frac{\left(2 D+D^{\prime}+3\right)}{-4(3)^{2}-4+4(3)(2)-9} \sin (3 x-2 y) \\ =\left(-\frac{5}{2}\right) \frac{6 \cos (3 x-2 y)-2 \cos (3 x-2 y)+3 \sin (3x-2 y)}{-36+24-9-4} \\ \Rightarrow P.I=\left(\frac{1}{10}\right) 4 \cos (3 x-2 y)+3 \sin (3 x-2 y)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
z=C.F.+P.I.

\Rightarrow z=\phi_{1}(x)+e^{\frac{3 x}{2}} \phi_{2}(2 y-x)+\frac{1}{10} [4 \cos(3 x-2 y)+3 \sin (3 x-2y)]

उपर्युक्त प्रश्न के उत्तर द्वारा पीडीई का रैखिक गुणनखण्डों में बदले जाने के द्वारा विशिष्ट समाकल (Particular Integral by reduce to Linear Factor of PDE),आंशिक अवकल समीकरण का रैखिक गुणनखण्डों में बदले जाने के द्वारा विशिष्ट समाकल (Particular Integral by reduce to Linear Factor of Partial Differential Equation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Example:2. \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2} y}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}-3 \frac{\partial z}{\partial x}+3 \frac{\partial z}{\partial y}+2 z=e^{2 x-y}
Solution:\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2} y}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}-3 \frac{\partial z}{\partial x}+3 \frac{\partial z}{\partial y}+2 z=e^{2 x-y}
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(D^{2}-2 D D^{\prime}+D^{\prime 2}-3 D+3 D^{\prime}+2\right) z=e^{2 x-y} \\ \Rightarrow\left[\left(D-D^{\prime} \right)^{2}-3\left(D-D^{\prime}\right)+2\right] z=e^{2 x+y} \\ \Rightarrow\left[\left(D-D^{\prime} \right)^{2}-2\left(D-D^{\prime}\right)-\left(D-D^{\prime}\right)+2\right] z=e^{2 x+y} \\ \Rightarrow\left[\left(D-D^{\prime}\right)\left(D-D^{\prime}-2\right)-1\left(D-D^{\prime}-2\right)\right] z=e^{2 x+y} \\ \Rightarrow\left(D-D^{\prime}-2\right)\left(D-D^{\prime}-1\right) z=e^{2 x+y} \\ C \cdot F=e^{x} \phi_{1}(y+x)+e^{2x} \phi_{2}(y+x)
पुनः P.I. =\frac{1}{\left(D-D^{\prime}-2\right)\left(D-D^{\prime}-1\right)} e^{2 x+y} \\ =\frac{1}{(2-1-2)\left[(D+2)-\left(D^{\prime}+1\right)-1\right]} e^{2 x+y}[\because F(a, b)=0] \\ =-\frac{1}{\left(D+2-D^{\prime}-1-1\right)} e^{2 x+y} \\ =\left(-e^{2 x+y}\right) \frac{1}{(D+D^{\prime})} (1) \\ =-e^{2 x+y} \frac{1}{D\left(1-\frac{D^{\prime}}{D} \right)}(1) \\ =-e^{2 x+y} \frac{1}{D}\left(1-\frac{D^{\prime}}{D}\right)^{-1}(1) \\ =-e^{2 x+y} \frac{1}{D}\left(1+\frac{D^ {\prime}} {D}+\cdots\right)(1) \\ =-e^{2 x+y} \frac{1}{D}(1) \\ \Rightarrow P.I.=-x e^{2 x+y}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:

z=C.F.+P.I.
\Rightarrow z =e^{x} \phi_{1}(y+x)+e^{2 x} \phi_{2}(y+x)-x e^{2 x+y}

Particular Integral by reduce to Linear Factor of PDE

Example:3.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+a \frac{\partial z}{\partial x}+b \frac{\partial z}{\partial y}+a b z=e^{mx+ny}
Solution:\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+a \frac{\partial z}{\partial x}+b \frac{\partial z}{\partial y}+a b z=e^{mx+ny}
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(D D^{\prime}+a D+b D^{\prime}+a b\right) z=e^{m x+n y} \\ \Rightarrow \left[D\left(D^{\prime}+a\right) +b\left(D^{\prime}+a\right)\right] z=e^{m x+n y} \\ \Rightarrow\left(D^{\prime}+a\right)(D+b) z=e^{m x+n y} \\ C \cdot F \cdot=e^{-b x} \phi_{1}(y)+e^{-a y} \phi_{2}(x)
पुनः P.I=\frac{1}{(D^{\prime}+a)(D+b)} e^{m x+n y} \\ P.I.=\frac{1}{(n+a)(m+b)} e^{m x+n y}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
z=C.F.+P.I.

\Rightarrow z=e^{-b x} \phi_{1}(y)+e^{-a y} \phi_{2}(x)+\frac{e^{m x+n y}}{(n+a)(m+b)}

उपर्युक्त प्रश्न के उत्तर द्वारा पीडीई का रैखिक गुणनखण्डों में बदले जाने के द्वारा विशिष्ट समाकल (Particular Integral by reduce to Linear Factor of PDE),आंशिक अवकल समीकरण का रैखिक गुणनखण्डों में बदले जाने के द्वारा विशिष्ट समाकल (Particular Integral by reduce to Linear Factor of Partial Differential Equation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Example:4.a b \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-\left(a^{2}+b^{2}\right) \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+a b \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+a b^{2} \frac{\partial z}{\partial x}-a^{2} b \frac{\partial z}{\partial y}=\cos (a x+b y)+\cos (m x+n y)
Solution:a b \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-\left(a^{2}+b^{2}\right) \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+a b \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+a b^{2} \frac{\partial z}{\partial x}-a^{2} b \frac{\partial z}{\partial y}=\cos (a x+b y)+\cos (m x+n y)
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\Rightarrow\left(a b D^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right) D D^{\prime}+a b D^{\prime 2}+a b^{2} D-a^{2} b D^{\prime} \right) z=\cos (a x+b y)+\cos (m x+n y) \\ \Rightarrow\left[a b D^{2}-b^{2} D D^{\prime}-a^{2} D D^{\prime}+a b D^{\prime 2}+a b^{2} D-a^{2} b D^{\prime}\right] z=\cos (a x+b y)+ \cos (m x+n y) \\ \Rightarrow\left[bD(a D-b D^{\prime})-a D^{\prime}\left(a D-b D^{\prime} \right)+a (bD-a D^{\prime})\right]z =\cos (a x+b y)+c o s(m x+n y) \\ \Rightarrow\left[\left(a D-b D^{\prime}\right)\left(b D-a D^{\prime}\right)+a b\left(b D-a D^{\prime}\right)\right] z=\cos (a x+b y)+\cos (m x+n y) \\ \Rightarrow\left(b D-a D^{\prime}\right)(a D-b D^{\prime}+a b)z=\cos (a x+b y)+\cos (m x+n y) \\ C.F.=\phi_{1}(b y+a x)+e^{-a b x} \phi_{2}(a y+b x)
पुनः P.I.=\frac{1}{(b D-a D^{\prime})\left(a D-b D^{\prime}+a b\right)} \cos (a x+b y)+\cos (m x+n y) \\ P_{1}=\frac{1}{\left(b D-a D^{\prime}\right)(a D-b D^{\prime}+a b)} \cos (a x+b y) \\ =\frac{\left(a D-b D^{\prime}-a b\right)}{\left.\left(b D-a D^{\prime}\right)\left[\left(a b-b D^{\prime}+a b\right)(a D-b D^{\prime}-a b\right)\right]} \cos (a x+b y) \\ =\frac{(a D-b D^{\prime}-a b)}{\left( b D- a D^{\prime}\right)\left(a^{2} D^{2}+b^{2} D^{\prime 2}-2 a b D D^{\prime}-a^{2} b^{2}\right)} \cos (a x+b y) \\ =\frac{\left(a D-b D^{\prime}-a b\right) \cos \left(a x+b y\right)}{\left[b(D+a)-a\left(D^ {\prime} +b\right)\right]\left[-a^{4}-b^{4}+2 a^{2} b^{2}-a^{2} b^{2}\right]} \\ =\frac{-a^{2} \sin (a x+b y)+b^{2} \sin (a x+b y)-a b \cos (a x+b y)}{-\left(a^{4}+b^{4}-a^{2} b^{2}\right)} \cdot \frac{1}{\left(b D-a D^{\prime}\right)} (1)\\ =\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right) \sin (a x+b y)+a b \cos (a x+b y)}{\left(a^{4}+b^{4}-a^{2} b^{2}\right)} \cdot \frac{1}{b D\left(1-\frac{a D^{\prime}}{b D}\right)}(1) \\ =\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right) \sin (a x+b y)+a b \cos (a x+b y)}{\left(a^{4}+b^{4}-a^{2} b^{2}\right)} \cdot \frac{1}{b D}\left(1-\frac{a D^{\prime}}{b D}\right)^{-1}(1) \\ =\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right) \sin (a x+b y)+a b \cos (a x+b y)}{\left(a^{4}+b^{4}-a^{2} b^{2}\right)} \cdot \frac{1}{b D}\left(1+\frac{a D^{\prime}}{b D}+\cdots\right)(1)\\ P_{1} =\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right) x \sin (a x+b y)+a b x \cos (a x+b y)}{\left(a^{4}+b^{4}-a^{2} b^{2}\right)} \\ P_{2} =\frac{1}{(b D-a D^{\prime})\left(a D-b D^{\prime}+a b\right)} \cos(mx+ny) \\ =\frac{1}{(b D-a D^{\prime})}\left[\frac{a D-b D^{\prime}-a b}{\left(a D-b D^{\prime}+a b\right)\left(a D-b D^{\prime}-a b\right)}\right] \cos (m x+n y) \\ =\frac{1}{\left(b D-a D^{\prime}\right)} \cdot \frac{\left(a D-b D^{\prime}-a b\right) \cos (m x+n y)}{\left(a m-b n\right)^{2}-a^{2} b^{2}} \\ = \frac{1}{(b D-a D^{\prime})} \frac{(a m-b n) \sin (m x+n y)+a b \cos (m x+n y)}{\left(a m-bn\right)^{2}+a^{2} b^{2}}

=\frac{I.P.  \frac{1}{(bD-a D^{\prime})}(a m-b n) e^{i(m x+n y)}+ R. P. \frac{a b}{(b D- a D^{\prime})} \cdot e^{i(m x+n y)}}{(a m-b n)^{2}+a^{2} b^{2}} \\ =\frac{I.P.\left[(a m-b n) \cdot \right]}{(imb-ian)[(a m-b n)^{2}+a^{2} b^{2}]} e^{i(m x+n y)}+ R.P. \frac{ab}{(imb-ian)[(a m-b n)^{2}+a^{2} b^{2}]} e^{i(m x+n y)}\\=\frac{I \cdot P. \left[-i(a m-b n) \cdot e^{i(m x+n y)}\right]+R.P. \left[-i a b e^{i(mx+n y)}\right]}{(a m-b n)^{2}+a^{2} b^{2}}

\Rightarrow P_{2}=\frac{-(a m-b n) \cos (m x+n y)+a b \sin (m x+n y)}{(m b-a n)\left[(a m-b n)^{2}+a^{2} b^{2}\right]} \\ P \cdot I=\frac{a b \sin (m x+n y)-(a m-b n) \cos (m x+n y)}{(b m-a n)\left[a^{2} b^{2}+(a m-b n)^{2}\right]}+\frac{ a bx \cos(m x+n y)+\left(a^{2}-b^{2}\right) \sin (a x+by)}{b\left(a^{4}-a^{2} b^{2}+b^{4}\right)}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
z=C.F.+P.I.

z=\phi_{1} (b y+a x)+\bar{e}^{a x} \phi_{2}(a y+b x)+\frac{a b \sin (m x+n y)-(a b-b n) \cos (m x+n y)}{(b m-a n)\left[a^{2} b^{2}+(a m-b)^{2}\right]}+ \frac{a b x \cos \left(a x+b y\right)+\left(a^{2}-b^{2}\right) \sin (a x+b y)}{b\left(a^{4}-a^{2} b^{2}+b^{4}\right)}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा पीडीई का रैखिक गुणनखण्डों में बदले जाने के द्वारा विशिष्ट समाकल (Particular Integral by reduce to Linear Factor of PDE) को समझ सकते हैं।

3.पीडीई का रैखिक गुणनखण्डों में बदले जाने के द्वारा विशिष्ट समाकल की समस्याएं (Particular Integral by reduce to Linear Factor of PDE Problems):

Particular Integral by reduce to Linear Factor of PDE

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equation):
(1.)हल कीजिए:\left(D^{2}+D D^{\prime}+D^{\prime}-1\right) z=\sin (x+2 y)
(2.)हल कीजिए: \left(D+D^{\prime}-1\right)\left(D+2 D^{\prime}-3\right) z=2 x+3 y
(3.)हल कीजिए:\left(D-D^{\prime}\right)\left(D+D^{\prime}+3\right) z=e^{x+2 y}+x y
(4.)हल कीजिए:\left(D-3 D^{\prime}-2\right)^{2} z=2 e^{2 x} \tan (y+2 x)
उत्तर(Answers):(1)z=e^{-x} \phi_{1}(y)+e^{x} \phi_{2}(y-x)-\frac{1}{10}\left[\cos(x+2 y)+2 \sin (x+2 y)\right]\\ (2) z=e^{x}+\phi_{1}(y-x)+e^{3 x} \phi_{2}(y-3 x)+\frac{2}{3} x+y+\frac{23}{9} \\\text { (3) } z=\phi_{1}(y+x)+e^{3 x} \phi_{2}(y-x)-y e^{x+2 y}-\frac{1}{3}\left(\frac{x^{2} y}{2}+\frac{x y}{3}+\frac{x^{2}}{3}{+\frac{x^{3}}{6}+\frac{2 x}{9}}\right) \\ \text { (4) } z=e^{2 x} \cdot\left[\phi_{1}(y+3 x)+x \phi_{2}(y+3 x)\right]+x^{2} e^{2 x} \tan (y+3 x)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर पीडीई का रैखिक गुणनखण्डों में बदले जाने के द्वारा विशिष्ट समाकल (Particular Integral by reduce to Linear Factor of PDE) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.पीडीई का रैखिक गुणनखण्डों में बदले जाने के द्वारा विशिष्ट समाकल (Particular Integral by reduce to Linear Factor of PDE) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Particular Integral by reduce to Linear Factor of PDE

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा पीडीई का रैखिक गुणनखण्डों में बदले जाने के द्वारा विशिष्ट समाकल (Particular Integral by reduce to Linear Factor of PDE),आंशिक अवकल समीकरण का रैखिक गुणनखण्डों में बदले जाने के द्वारा विशिष्ट समाकल (Particular Integral by reduce to Linear Factor of Partial Differential Equation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।