1.आंशिक अवकलन (Partial Differentiation)-

Partial Differentiation

आंशिक अवकलन (Partial Differentiation) की आवश्यकता तब होती है जब कोई फलन दो चर अथवा अधिक चर वाला हो।अभी तक हमने पूर्व कक्षाओं में एक ही स्वतन्त्र चर (Independent Variable) वाले फलनों पर विचार किया था और उन्हीं के अवकलन ज्ञात किए थे।परन्तु व्यवहार में बहुधा हमको ऐसे फलनों का सामना करना पड़ता है जो दो या दो से अधिक स्वतन्त्र चरों के फलन होते हैं।उदाहरण: किसी वृत्तीय शंकु के आयतन V जिसके आधार की त्रिज्या r ऊंचाई h हो,का मान

V=\frac{1}{3} \pi r^{2} h
होता है।यहां आयतन V,दो स्वतन्त्र चरों r तथा h का फलन है।अतः हम कह सकते हैं कि V=f(r,h)
इसी प्रकार एक त्रिभुज का क्षेत्रफल \Delta,हम सूत्र

\Delta=\frac{1}{2} b c \sin A
से ज्ञात करते हैं।यहां b,c तथा A स्वतन्त्र चर तथा \Delta उन पर निर्भर करता है।
दो चरों वाले फलन (Functions of Two Variables)-
यदि दो चरों x तथा y का मान देने पर एक का निश्चित मान प्राप्त होता है तो z को x तथा y का फलन कहते हैं अर्थात् z=f(x,y)
यहां z आश्रित चर (Dependent Variable) कहलाता है तथा x और y स्वतन्त्र चर (Independent Variable) कहलाते हैं।z का मान प्रत्येक युग्म (x,y) के लिए परिभाषित होना आवश्यक नहीं है।उदाहरणार्थ फलनिक सम्बन्ध z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}
में z,xy-समतल के उन्हीं बिन्दुओं पर परिभाषित होगा जिनके लिए x^{2}+y^{2} \leq a^{2}
जबकि सम्बन्ध z=x^{2}+y^{2}
में z,xy-समतल के प्रत्येक बिन्दु पर परिभाषित है।xy-समतल में वह प्रदेश (region) जिसके प्रत्येक बिन्दु पर z परिभाषित हो,z का प्रान्त कहलाता है।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके ।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए ।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Radius of Curvature

2.आंशिक अवकलन के उदाहरण (Partial Differentiation Examples)-

Example-1.यदि (If) u=\tan^{-1} \frac{x y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}},तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that) \frac{\partial^{2} y}{\partial x \partial y}=\frac{1}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
Solution–u=\tan^{-1} \frac{x y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}
दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{1+\frac{x^{2} y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}} \cdot\left[\frac {\sqrt{1+x^{2}+y^{2}} \cdot x-x y \cdot \frac{1}{2 \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} 2 y}{1+x^{2}+y^{2}}\right] \\ =\frac{1+x^{2}+y^{2}}{1+x^{2}+y^{2} +x^{2} y^{2}} \cdot\left[\frac{\left(1+x^{2}+y^{2}\right) x-x y^{2}}{\left(1 +x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right] \\ =\frac{x+x^{3}+x y^{2}-x y^{2}}{\left[1\left (1+x^{2} \right)+y^{2} \left(1+x^{2}\right) \right]\left(1+x^{2} +y^{2} \right)^{\frac{1}{2}}} \\ =\frac{x\left(1+ x^{2}\right)}{\left(1+x^{2} \right)\left(1+y^{2}\right)\left(1+x^{2}+y^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y} =\frac{x}{\left(1+y^{2}\right)\left(1+x^{2} +y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} =\frac{1}{\left(1+y^{2}\right)}\left[\frac {\left(1 +x^{2}+y^{2}\right) ^{\frac{1}{2}} \cdot 1-x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} \cdot 2 x}{1+x^{2} +y^{2}}\right] \\ =\frac{1}{\left(1+ y^{2}\right)} \cdot \frac{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)-x^{2}}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \\ =\frac{1+y^{2}}{\left(1+y^{2}\right) \left(1+x^{2}+y^{2} \right)^{3 / 2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{1}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
Example-2.यदि (If) u=2(l x+m y)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right) तथा (and) l^{2}+m^{2}=1,तो (then find ) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} का मान ज्ञात कीजिए।
Solution–u=2(l x+m y)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right).....(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial x}=2(2)(l x+m y) \cdot l-2 x \\ \frac{\partial u}{\partial x}=4 l^{2} x+4 m y l-2 x
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=4 l^{2}-2 \ldots(2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial y} =4(l x+m y) \cdot m-2 y \\ =4 m l x+4 m^{2} y-2 y
पुनः दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=4 m^{2}-2 \cdots (3)

समीकरण (2) में से (3)  पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} =4 l^{2}-2+4 m^{2}-2 \\ =4 \left(l^{2}+m^{2} \right)-4 \\ =4(1)-4 \quad\left[\text { Given } l^{2}+m^{2}=1\right] \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} =0
Example-3.यदि (If) z=\tan (y+a x)+(y-a x)^{\frac{3}{2}},तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0
Solution–z=\tan (y+a x)+(y-a x)^{\frac{3}{2}}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial z}{\partial x}=\sec ^{2}(y+a x) \cdot a+\frac{3}{2}(y-a x)^{\frac{1}{2}} \cdot(-a) \\ \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=a \sec ^{2}(y+a x)-\frac{3}{2} a(y-a x)^{\frac{1}{2}}
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=2 a \sec ^{2}(y+a x) \tan (y+a x).a-\frac{3}{4} a(y-a x)^{-\frac{1}{2}} \cdot(-a) \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=2 a^{2} \sec ^{2}(y+a x) \tan (y+a x)+\frac{3}{4} a^{2}\left(y-a x\right)^{-\frac{1}{2}} \cdots (2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial z}{\partial y}=\sec ^{2}(y+a x) \cdot 1+\frac{3}{2}(y-a x)^{\frac{1}{2}}. 1 \\ \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y}=\sec ^{2}(y+a x)+\frac{3}{2}(y-a x)^{\frac{1}{2}}
पुनः दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} =2 \sec ^{2}(y+a x) \tan (y+a x)+\frac{3}{4}(y-a x)^{-\frac{1}{2}} \\ a^{2} \frac{\partial ^{2}z}{\partial y^{2} } =2 a^{2} \sec ^{2}(y+a x) \tan (y+a x)+\frac{3}{4} a^{2}(y-a x)^{-\frac{1}{2}} \cdots (3)

समीकरण (2) में से (3) घटाने पर-

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0
Example-4.यदि (If) u=\phi(y+a x)+\psi(y-a x),तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}
Solution–u=\phi(y+a x)+\psi(y-a x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial x} =\phi^{\prime}(y+a x) \cdot a+\psi^{\prime}(y-a x)(-a) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x} =a \phi^{\prime}(y+a x)-a \psi^{\prime}(y-a x)
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=a \phi^{\prime \prime}(y+a x) \cdot a-a \psi^{\prime \prime}(y-a x)(-a) \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=a^{2} \phi^{\prime \prime}(y+a x)+a^{2} \psi^{\prime \prime}(y-a x) \cdots(2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial y}=\phi^{\prime}(y+a x)+\psi^{\prime}(y-a x)
पुनः दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\phi^{\prime \prime}(y+a x)+\psi^{\prime \prime}(y-a x) \\ a^{2} \left(\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right)=a^{2} \phi^{\prime \prime}(y+a x)+a^{2} \psi^{\prime \prime}(y-a x) \cdots(3)
समीकरण (2) व (3) से-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}
Example-5.यदि (If) u=\sin (\sqrt{x}+\sqrt{y}), प्रदर्शित कीजिए कि (then prove that) x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{2 u}{\partial y}=\frac{1}{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \cos (\sqrt{x}+\sqrt{y})
Solution–u=\sin (\sqrt{x}+\sqrt{y}) \cdots (1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial x} =\cos (\sqrt{x}+\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ x \frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\sqrt{x}}{2} \cos (\sqrt{x}+\sqrt{y}) \cdots (2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial y}=\cos (\sqrt{x}+\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y}} \\ \Rightarrow y \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\sqrt{y}}{2} \cos (\sqrt{x}+\sqrt{y})\cdots (3)
समीकरण (2) व (3) को जोड़ने पर-

x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\sqrt{x}}{2} \cos (\sqrt{x}+\sqrt{y})+\frac{\sqrt{y}}{2} \cos (\sqrt{x}+\sqrt{y}) \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \cos (\sqrt{x}+\sqrt{y})

Partial Differentiation

Example-6.यदि (If) u=x^{m}f( \frac{y}{x}),तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that) \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} =\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}
Solution- u=x^{m}f( \frac{y}{x}) \cdots (1)
दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{y y} =x^{m} f^{\prime}(\frac{y}{x}) \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y} =x^{m-1} f^{\prime}(\frac{y}{x})
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=(m-1) x^{m-2} f^{\prime}(\frac{y}{x})+x^{m-1} f^{\prime \prime}(\frac{y}{x})\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} y}{\partial x \partial y}=(m-1) x^{m-2} f^{\prime}(\frac{y}{x})-x^{m-3} y f^{\prime \prime}(\frac{y}{x}) \cdots (2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial x}=m x^{m-1} f\left(\frac{y}{x}\right)+x^{m} f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=m x^{m-1} \cdot f\left(\frac{y}{x}\right)-x^{m-2} y \cdot f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)
पुनः दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x} =m x^{m-1} f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)\left(\frac{1}{x}\right)-x^{m-2} \cdot f^{\prime}(\frac{y}{x})-x^{m-2} \cdot y f^{\prime \prime}(\frac{y}{x}). \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} y}{\partial y \partial x}=m x^{m-2} f^{\prime}(\frac{y}{x})-x^{m-2} f^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)-x^{m-3} y f^{\prime \prime}\left(\frac{y}{x}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}=(m-1) x^{m-2} f^{\prime}(\frac{y}{x})-x^{m-3} y f^{\prime \prime}(\frac{y}{x}) \cdots(3)
समीकरण (2) और (3) से-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}
Example-7.यदि (If) f(x, y)=\log \left(x^{2}+y^{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right),तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that) \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0
Solution–f(x, y)=\log \left(x^{2}+y^{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \cdots (1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{x^{2}+y^{2}} \cdot 2 x+\frac{1}{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}} \cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2 x}{x^{2}+y^{2}}-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =2\left[\frac{x^{2}+y^{2}-1-x \cdot 2 x}{\left(3 x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}\right]+\frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \cdot 2 x \\ =\frac{2\left(x^{2}+y^{2}-2 x^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}+\frac{2 x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \\ =\frac{2\left(-x^{2} +y^{2} \right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}+\frac{2 x y}{\left (x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =\frac{2\left(-x^{2}+y^{2}+x y\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}...(2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}} \cdot 2 y+\frac{1}{1+y^{2}} \cdot\left(\frac{1}{x}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2 y}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}
पुनः दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} =2\left[\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right) \cdot 1-y \cdot 2 y}{\left(x^{2}+y^{2} \right)^{2}}\right]+\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \cdot 2 y \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} =2 \frac{\left(x^{2}+y^{2}-2 y^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}-\frac{2 x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} =\frac{2\left(x^{2}-y^{2}-x y\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\cdots \cdots(2)
समीकरण (2) व (3) को जोड़ने पर-

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{-2 x^{2}+2 y^{2}+2 x y}{\left(x^{2}+y^{2} \right)^{2}}+\frac{2 x^{2}-2 y^{2}-2 x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0
Example-8.यदि (If) u=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}} ,तो प्रदर्शित कीजिए कि (then prove that) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=n(n+1)\left(x^{2} +y^{2} +z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}
Solution–u=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}} \cdots (1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{n}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1} \cdot 2 x \\ \frac{\partial u}{\partial x}=n x\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=n\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}+n \left(\frac{n}{2}-1\right) x\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-2}-2 x \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=n\left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)^{\frac{n}{2}-1}+n(n-2) x^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{-z}\right)^{\frac{n}{2}-2} \cdots (2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{n}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1} \cdot 2 y \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y}=n y\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}
पुनः दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=n\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}+n y\left(\frac{n-1}{2}\right)\left(x^{2} +y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-2}(2 y) \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} y}{\partial y^{2}}=n \left(x^{2}+y^{2}+ z^{2} \right)^{\frac{n}{2}-1}+n(n-2) y^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-2}\cdots(3)
इसी प्रकार समीकरण (1) के दोनों पक्षों का z के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial z} =\frac{n}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1} \cdot 2 z \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial z} =n \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}
पुनः दोनों पक्षों का z के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} =n\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}+n\left(\frac{n}{2}-1\right)z \left(x^{2} +y^{2}+ z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-2} \cdot 2 z \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} =n\left(x^{2} +y^{2}+ z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}+n(n-2) z^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)^{\frac{n}{2}-2} \cdots (4)
समीकरण (2),(3),(4) को जोड़ने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=3 n\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}+n(n-2)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \left(x^{2} +y^{2}+ z\right) ^{\frac{n}{2}-2} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\left(3 n+n^{2}-2 n\right)\left(x^{2}+y^{2} +z^{2}\right) ^{\frac{n}{2}-1} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=n(n+1)\left(x^{2}+y^{2} +z^{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}
Example-9.यदि (If) r^{2}=x^{2}+y^{2} तथा (and) \tan \theta=\left(\frac{y}{x}\right), सिद्ध कीजिए कि (prove that) \frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{y}{r^{2}} तथा \left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial r}{\partial y}\right)^{2}=1
Solution–\tan \theta=\left(\frac{y}{x}\right)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\Rightarrow \sec ^{2} \theta \frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{y}{x^{2}} \\ \Rightarrow\left(1+\tan ^{2} \theta\right) \frac{\partial \theta}{\partial x}=\frac{-y}{x^{2}} \\ \Rightarrow\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right) \frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{y}{x^{2}} \\ \Rightarrow\left(x^{2}+y^{2}\right) \frac{\partial \theta}{\partial x}=-y \\ \Rightarrow r^{2} \cdot \frac{\partial \theta}{\partial x}=-y \quad\left[\because r^{2}=x^{2}+y^{2}\right] \\ \Rightarrow \frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{y}{r^{2}} \\ x^{2}=x^{2}+y^{2} \cdots \cdot (1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

2 r \frac{\partial r}{\partial x} =2 x \\ \frac{\partial r}{\partial x} =\frac{x}{r} \\ \frac{\partial r}{\partial x} =\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\left[\because r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right] \\ \left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)^{2}=\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdots (2)
पुनः समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

2 r \frac{\partial r}{\partial y}=2 y \\ \Rightarrow \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r} \\ \Rightarrow \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \quad\left[\because r=\sqrt{x^{2} +y^{2}}\right] \\ \Rightarrow \left(\frac {\partial r}{\partial y}\right)^{2}=\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdots (3)
समीकरण (2) व (3) को जोड़ने पर-

\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial r}{\partial y}\right)^{2}= \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2} +y^{2}} \\ \Rightarrow\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)^{2}+ \left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)^{2}=1
Example-10.यदि (If) \theta=t^{n} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}} .n का मान ज्ञात कीजिए जिससे कि (Find the value of n for which) \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial \theta}{\partial r}\right)=\frac{\partial \theta}{\partial t}
Solution–\theta=t^{n} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}} \cdots (1)
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial \theta}{\partial t} =n t^{n-1} \cdot e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}+t^{n} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}\left(\frac{r^{2}}{4 t^{2}}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial \theta}{\partial t} =n t^{n-1} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}+\frac{1}{4} t^{n-2} r^{2} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}} \cdots (2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का r के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial \theta}{\partial r}=t^{n} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}\left(-\frac{r}{2 t}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial \theta}{\partial r}=-\frac{1}{2} t^{n-1} r e^{-\frac{r^{2}}{4 t}} \cdots (3) \\ \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial \theta}{\partial r}\right)=\frac{\partial \theta}{\partial t} \cdots(4)
समीकरण (2) व (3) से समीकरण (4) में मान रखने पर-

\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left[r^{2} \cdot\left(-\frac{1}{2} t^{n-1} r e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}\right) \right]=n t^{n-1} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}+\frac{1}{4} t^{n-2} r^{2} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}} \\ \Rightarrow \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left[-\frac{1}{2} r^{3} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}\right] t^{n-1}=t^{n-1}\left[n e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}+\frac{1}{4 t} r^{2} e^{-\frac{r^{2}}{4 t}}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{r^{2}}\left[-\frac{3}{2} r^{2} e^{-\frac{r^{2}}{4t}}-\frac{1}{2} r^{3} e^{-\frac{r^{2}}{4t}} \cdot\left(-\frac{r}{2 t}\right)\right]=e^{-\frac{r^{2}}{4t}}\left(n+\frac{r^{2}}{4 t}\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{r^{2}} \cdot r^{2}\left[-\frac{3}{2}+\frac{r^{2}}{4 t}\right] e^{-\frac{r^{2}}{4t}}=e^{-\frac{r^{2}}{4t}} \left(n +\frac{r^{2}}{4 t}\right) \\ \Rightarrow-\frac{3}{2}+\frac{r^{2}}{4 t}=n+\frac{r^{2}}{4 t} \\ \Rightarrow n=-\frac{3}{2}
Example-11.यदि (If) u=\log r, जहां (where) [katex]r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2},तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\frac{1}{r^{2}}
Solution-u =\log r \\ \Rightarrow u =\log \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}} \\ \Rightarrow u=\frac{1}{2} \log \left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right] \cdots (1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}} 2(x-a) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x-a}{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} =\frac{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right] \cdot 1-(x-a) \cdot 2(x-a)}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \\ =\frac{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}-2(x-a)^{2}}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{(y-b)^{2} +(z-c)^{2}-(x-a)^{2}}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \cdot \cdots \cdot(2)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \cdot 2(y-b) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{y-b}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}}
पुनः दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} =\frac{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right] \cdot 1-(y-b) \cdot 2(y-b)}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} =\frac{(x-a)^{2}+(z-c)^{2}-(y-b)^{2}}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-1)^{2}\right]^{2}} \cdots (3)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का z के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}} \cdot 2(z-c) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial z}=\frac{z-c}{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}
पुनः दोनों पक्षों का z के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{\partial u}{\partial z^{2}}=\frac{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right] \cdot 1-(z-c)-2(z-c)}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\frac{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}-(z-c)^{2}}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \cdots(4)
समीकरण (2),(3),(4) को जोड़ने पर-

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} y}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} =\frac{(y-b)^{2}+(z-1)^{2}-(x-a)^{2}+(x-a)^{2}+(z-c)^{2}-(y-b)^{2}+(x-a)^{2}+(y-b)^{2}-(z-c)^{2}}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+ \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2} u} {\partial z^{2}}=\frac{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right]^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial u^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\frac{1}{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+ \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\frac{1}{r^{2}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा आंशिक अवकलन (Partial Differentiation) को समझ सकते हैं।

3.आंशिक अवकलन की समस्याएं (Partial Differentiation Problems)-

Partial Differentiation

प्रमेय \frac{\partial^{2} y}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x} की पुष्टि कीजिए,जबकि (Verify the theorem \frac{\partial^{2} y}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}, when)

(1)u=\log x \cdot(y \sin x+x \sin y)\\ (2) u=x^{y} \\ (3) u=x \sin y+y+\sin x \\(4) u=e^{m y} \cos m x \\ (5)u=\frac{1}{\sqrt{y}} e^{-\frac{(x-a)^{2}}{4y}}
(6.)यदि (If) z(x+y)=x^{2}+y^{2} ,तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that) 

\left(\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}=4\left(1-\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}\right)
(7.)यदि (If) u=x^{2} \tan ^{2}(\frac{y}{x})-y^{2} \tan ^{-1}(\frac{x}{y}),तो (then find the value of) \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answer):(7)\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर आंशिक अवकलन (Partial Differentiation) को ठीक से समझा जा सकता है।

आंशिक अवकलन (Partial Differentiation) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न-

Partial Differentiation

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा आंशिक अवकलन (Partial Differentiation) को समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Equation of Circle of Curvature